2020-2021学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.或+霏=（）

A.25B.35C.70D.90

2.某校共有学生2500人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容

量为50的样本，其中高一抽取14人，高二抽取16人，则该校高三学生人数为（）

A.600B.800C.1000D.1200

3.ZVIOB的斜二测直观图△4OE如图所示，则△AOB的面积是（）

A.72B.2C.2&D.4

4.我国古典乐器一般按“八音”分为“金，石，木，革，丝，土，匏（pdo）,竹”，其中

“金，石，木，革为打击乐器，“丝”为弹拨乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，现从

“金，石，土，竹，丝”中任取两种乐器，则至少有一种为吹奏乐器的取法种数为（）

A.5B.6C.7D.8

5.若一个底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个顶角为上；的扇形，则该圆锥的体积为

（）

A.B.C.735"D.2扬

33

6.如图所示，在正四棱柱ABC。-A囚GQ中，AB=2AA\,P,Q分别是AO和3。的中点，

则异面直线DxP与BQ所成的角为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

7.从正方体的八个顶点中任取3个点为顶点，恰好构成直角三角形的概率为（）

8.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件E="第一枚硬币正面朝上”,事件F=“第二枚硬

币反面朝上”，则下列结论中正确的是()

A.E与尸相互独立B.£与下互斥

C.E与尸相等D.P(EUF)=—

2

二、多项选择题：本大题共4个小题每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.设a,6为两条不重合的直线，a为一个平面，则下列说法正确的是()

A.若bua,则a_LaB.若。_La,allb,则b_La

C.若。〃a,bua,贝ija〃bD.若。〃a,Z?±a,贝(]

10.袋子中有3个黑球，2个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记1分，

黑球记0分，记4次取球的总分数为X,则()

A.X〜B(4,—2)B.P(X=2)=-14^4

5625

c.X的期望E(X)=孕D.X的方差。(X)=笑

525

11.有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%,第2,3台次品率为5%,加工的

零件混在一起，已知第1,2,3台车床加工的零件分别占总数的25%,30%,45%,记事

件8="任取一个零件为次品”，事件A,二"零件为第i台车床加工”(i=l,2,3),

则()

A.P(BHi)=0.06B.P(A2B)=0.015

3

C.P(B)=0.0525D.P(Ai|B)=半

12.在矩形4BC。中，A8=2,A£>=1,E为AB中点，沿OE将△AOE折起到A'DE位置(H

不在平面ABC。内)，F,G分别为CV与C£>的中点在翻折过程中，下列结论正确的是

()

B.OE_L平面AAG

C.存在某位置，使得4B_LAG

D.设直线8F与平面DE8c所成的角为。，则sin。的最大值是逅

10

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某地区为调查该地的居民月用水量，调查了本地的10户居民的月平均用水量为：2.0,

3.2,4.5,5.3,6.0,7.6,8.0,9.2,10.0,11.6,这组数据的80%分位数为.

14.随机变量E的分布列是

24

Pah

若E⑴=-|,则。⑴=.

15.在正三棱柱48c-481G中,4B=A4］=2,点。满足同U-（AB+而），则I而尸.

16.三棱锥S-ABC的顶点均在半径为4的球面上，/\ABC为等边三角形且外接圆半径为2,

平面SABL平面ABC,则三棱锥S-ABC体积的最大值是.

四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知（3x-L）n的展开式中各项系数之和为32.

X

（1）求〃的值；

（2）求（xd）（3x-L）n展开式中的常数项.

XX

18.某校为推进科技进校园活动，组织了一次科技知识问答竞赛，组委会抽取了100名学生

参加，得到的竞赛成绩作出如图所示频率分布直方图.已知成绩在［75,80）的学生有20

人.

（1）求〃，6的值，并估计本次竞赛学生成绩的中位数（结果保留一位小数）；

（2）从成绩在［65,70）与［95,100）学生中任取3人进行问卷调查.记这3名学生成绩

在［95,100）内的人数为X,求X的分布列与期望.

19.如图，PA是圆柱的母线，点C在以A3为直径的底面。。上，点。是P8的中点，点E

在彘上，1.OE//AC.

（1）求证：DE〃平面PACt

（2）求证：平面。平面PBC.

20.共享电单车作为一种既环保又便捷的绿色交通出行工具，不仅方便市民短途出行，还可

以缓解城市交通压力.A市从2016年开始将其投入运营，如表是该市年份代码x与共享

单车数y（单位：万辆）的统计数据：

年份20162017201820192020

X12345

共享中乍数y（万辆）1014182326

（1）经分析，y与x存在显著的线性相关性，求y关于x的线性回归方程，并预测2021

年的共享单车数；

（2）根据往年统计数据可知2020年每辆车的各项支出费用大致符合正态分布N（山。

2），口=800,o2=10000,支出费用在1000元及以上的单车没有利润，支出费用在［800,

1000）的单车每辆车年平均利润为10元，支出费用低于800元的单车每辆车年平均利润

为20元，请预测2021年总利润.

EXjyj-nxy

若随机变量X〜N（H，。2）,则p（广。<x<R+。）=0.6826,P（H-2o<X<n+2

。）=0.9544,P（n-3o<X<n+3。）=0.9974.

21.如图，四棱柱ABCO-AHGDi的底面A8C£>为矩形，AD=2AB,M为8C中点，平面

AtDtDA±ABCD,44_L4。且44=4。.

（1）证明：ZBiAlD=90°.

（2）若此四棱柱的体积为2,求二面角A-A山的正弦值.

8M

22.一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况,需要检验血液是否有抗体.现

有“（〃6N*）份血液样本，每份样本取到的可能性均等.有以下两种检验方式：（1）逐

份检验，则需要检验“次；（2）混合检验，将其中左（依N*且k22）份血液样本分别取

样混合在一起检验.若检验结果无抗体，则这大份的血液全无抗体，因而这人份血液样

本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这％份血液究竟哪几份有抗体，

就要对这4份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为什1次.假设在接受检验的

血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率

均为p（0<p<l）.

（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰

好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；

（2）现取其中k（依N*且无22）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总

次数为牛，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为匕若E（牛）=E（8）,求p关

于&的函数关系式p=/（&）,并证明pVl-e-工.

e

参考答案

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.Cg+Cg=（）

A.25B.35C.70D.90

【分析】由题意利用组合数公式，计算求得结果.

解：5义,曳=15+20=35,

v

662X13X2X1

故选:B.

2.某校共有学生2500人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容

量为50的样本，其中高一抽取14人，高二抽取16人，则该校高三学生人数为（）

A.600B.800C.1000D.1200

【分析】求出抽样比例为50,根据高一、高二抽取的人数求出高三抽取的人数，即可求

出该校高三学生人数.

解：由题意知，抽样比例为2500+50=50,高一抽取14人，高二抽取16人，则高三抽

取50-14-16=20（人），

所以该校高三学生人数有20X50=1000（人）.

故选：C.

3.ZV1OB的斜二测直观图如图所示，则△A08的面积是（）

2C.2&D.4

【分析】由直观图和原图形的关系易知aAOB的底边OB以及OB上的高线，计算它的

面积即可.

解：由直观图和原图形的关系易知，

△AOB中底边OB=2,底边OB上的高线长为4,

.•.△AO8的面积为

S=—X4X2=4.

2

故选：D.

4.我国古典乐器一般按“八音”分为“金，石，木，革，丝，土，匏（pd。），竹”，其中

“金，石，木，革为打击乐器，“丝”为弹拨乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，现从

“金，石，土，竹，丝”中任取两种乐器，则至少有一种为吹奏乐器的取法种数为（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】根据题意，由间接法分析：先计算全部的取法，排除其中没有吹奏乐器的取法,

分析可得答案.

解：根据题意，从“金，石，土，竹，丝”中，任选两种乐器，有C52=1O种取法，

其中没有吹奏乐器的有G2=3种，

则至少有一种为吹奏乐器的取法有10-3=7种；

故选：C.

5.若一个底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个顶角为耳的扇形，则该圆锥的体积为

（）

A.B.C.V35KD.2^IT

33

【分析】由已知求出圆锥的母线长，再由勾股定理求圆锥的高，代入圆锥体积公式求解.

解：圆锥的底面半径，•=1，设母线长为/,

贝112兀==21二1，解得/=3r=3,

.,•圆锥的高h=J12_丫2=«§2一]2-2\[2，

可得圆锥的体积nx12x2V2冗•

故选：B.

6.如图所示，在正四棱柱ABCD-ALBIGOI中，AB=2AAt,P,Q分别是A。和的中点,

则异面直线。砂与8Q所成的角为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【分析】以。为原点，3c为x轴，。4为、轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利

用向量法求出异面直线GP与3Q所成的角的余弦值，即可得到它们所成的角.

解：以。为原点，0cx轴，D4为y轴，。。为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设底面边长为2,

则。(0,0,0),A(0,2,0),8(2,2,0),C(2,0,0),

Bi(2,2,I),Ci(2,0,I),Di(0,0,1),

因为P,Q分别是AD和8。的中点，

所以P(0,1,0),Q(1,1,0),

则D[P=(0,1,-1)>B]Q=(-1,-1,-1),

DTP-BTQ

设直线AP与8|Q所成的角为0,则cose=-=^—7^—=0,

故选：A.

7.从正方体的八个顶点中任取3个点为顶点，恰好构成直角三角形的概率为()

A.—B.—C.—D.—

14777

【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从正方体的8个顶点中

任取3个有eg种取法，即可构成的三角形有56种可能，正方体有6个表面和6个对角

面，每一个面中的任意3个顶点可构成4个直角三角形，得到结果.

解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是从正方体的8个顶点中任取3个有C：=56种取法，

可构成的三角形有56种可能，

正方体有6个表面和6个对角面，它们都是矩形(包括正方形)，

每一个矩形中的任意3个顶点可构成4个直角三角形，

共有12X4=48个直角三角形，

故所求的概率：

故选：D.

8.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件E="第一枚硬币正面朝上"，事件F="第二枚硬

币反面朝上”，则下列结论中正确的是()

A.E与尸相互独立B.E与F互斥

C.E与F相等D.P(EUF)得

【分析】先求出抛掷两枚质地均匀的硬币，所得的总的基本事件数，再对应各个选项逐

个判断即可.

解：抛掷两枚质地均匀的硬币，所得的总的基本事件数有：

“两枚硬币都朝上”，“两枚硬币都朝下”，“第一枚硬币朝上，第二枚硬币朝下”，

“第一枚硬币朝下，第二枚硬币朝上”，共4种情况，

故事件E与事件尸不互斥，也不相等，故8,C错误，A正确，

9191111

且P(£)P(F)=4-，所以P(EUF)=P(E)P(F)=—X—

4242224

故。错误，

故选：A.

二、多项选择题：本大题共4个小题每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.设a,6为两条不重合的直线，a为一个平面，则下列说法正确的是()

A.若a_Lb,bua,则a_LaB.若a_l_a,a//b,则6J_a

C.若a〃a,〃ua,则a〃6D.若a〃a,b±a,则

【分析】由直线与直线垂直、直线在平面内可得线面关系判断A；由直线与平面垂直的

性质判断8；由直线与直线平行、直线在平面内可得线面关系判断C；由直线与平面垂

直、直线与平面平行分析直线与直线的位置关系判断D.

解：若力ua,则aua或a〃a或a与a相交，相交也不一定垂直，故A错误；

若Ua,a//h,由直线与平面垂直的性质可得匕_La,故B正确；

若a〃a,bua,则a〃匕或a与Z?异面，故C错误；

若b_La,则b垂直于所有与a平行的直线，又“〃a,则故。正确.

故选：BD.

10.袋子中有3个黑球，2个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记1分，

黑球记0分，记4次取球的总分数为X,则()

2144

A.X〜B(4,—)B.P(X=2)

5625

C.X的期望E(X)D.X的方差。(X)--

525

【分析】由题意可得，每次抽到白球的概率为名，且每次积1分，则4次取球的总分数X

5

服从二项分布，即X〜B(2,4),结合期望与方差公式，以及概率公式，即可求解.

5

9

解：由题意可得，每次抽到白球的概率为9，且每次积1分，

则4次取球的总分数X服从二项分布，即X〜B(2,看)，故A选项正确，

5

P(X=2)=q(卷)2(1~)2=黑，故3选项错误，

E(X)=4X^：4,故C选项错误，

55

D(X)=4X9^x23蟾94.，故。选项正确.

5525

故选：AD.

11.有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%,第2,3台次品率为5%,加工的

零件混在一起，已知第1,2,3台车床加工的零件分别占总数的25%,30%,45%,记事

件3="任取一个零件为次品”,事件4="零件为第i台车床加工"(i=l,2,3),

则()

A.P(BA)=0.06B.P(A?B)=0.015

3

C.P(B)=0.0525D.P(4|8)=半

【分析】根据已知条件，结合全概率公式和条件概率公式，即可求解.

解：由题意可得,P(4)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,

P(B|Ai)=0.06,P(B|A2)=P(BAO=0.05,故A选项正确，

由全概率公式可得，P(B)=P(A。P(B|Ai)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.25X0.06+0.3X0.05+0.45X0.05=0.0525,故C选项正确，

P(A2B)=P(A2)p(B|A2)=0.3X0.05=0.015,故B选项正确，

P(A.IB)=P<A1)P(B|A1)=O^5><AO6=2,故。选项错误.

P(B)0.05257

故选：ABC.

12.在矩形ABC。中，AB=2,AD=\,E为AB中点，沿DE将△4£>£折起到4DE位置(4

不在平面ABCO内)，F,G分别为CA与CQ的中点在翻折过程中，下列结论正确的是

()

A.尸G〃平面A'OE

B.OE_L平面A4G

C.存在某位置，使得4B，AG

D.设直线8尸与平面。E8C所成的角为。，则sin。的最大值是叵

10

【分析】对于选项A：由题意可得尸GIH。，进而判断FGH平面ADE；对于选项8：如图

1,连接GE,证明。ELAG,即可判断。平面H4G；对于选项C：

假设存在某位置，使得4BLAG,如图1,连接GB,A'G,由题意可证得AG,平面4GB,

进而得出AGJ_A，G,从而得出矛盾，即可判断选项C的正确性；对于。选项：如图2,

延长C8,DE交于点、N,连接AW,由题意可将直线与平面。E8C所成的角转化为

AW与平面DEBC所成的角，要使A,N与平面DEBC所成的角的正弦值最大，只需A'H

J_平面ABC。，进而可得出sin0的最大值.

解：对于选项A：因为F,G分别为CH与CO的中点，所以FGM7),又因为FGC平面

A,DE,所以FG||平面ACE,故A选项正确：

对于选项8：如图1,连接GE,

AB

图I

因为在矩形ABC。中，E,G分别为AB,C£＞的中点，AB=2,AD=\,所以四边形AEG。

是正方形，

△A3E是等腰直角三角形，所以。ELAG,设AG与。E的交点为连接A77,所以

A,HA-DE,因为A'“nAG=H,所以。E_L平面A'AG,

故8项正确；

对于选项C：假设存在某位置，使得ABLAG,如图1,连接GB,A'G,由题意知：AG

=GB=®由AB=2得：AB2^AG2+GB2,故

BG±AG,又因为ABC8G=B,所以AG,平面A，GB,所以AGL4G,显然不成立，故

假设错误，即不存在某位置，使得A为，AG,故C项不正确；

对于D选项：如图2,延长CB,OE交于点N,连接AW,

所以8MEG,EN\\GB,所以四边形BNEG是平行四边形，所以BN=EG=BC,即点8为

NC的中点，又因为尸是C4'的中点，所以BF||AW,所以直线B尸与平面。E8C所成的角

等于AW与平面QEBC所成的角相等，由B选项可知：平面A4G,故平面ABC。

，平面WAG,故要使AW与平面QEBC所成的角的正弦值最大，只需AH_L平面A8CQ,

此时A'H=返，HN=HE+EN=运/受巨,

22Pz2_

A'N=4（乎.）2+（3步）=遥，所以sinO=%'=2故。选项正确.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某地区为调查该地的居民月用水量，调查了本地的10户居民的月平均用水量为：2.0,

3.2,4.5,5.3,6.0,7.6,8.0,9.2,10.0,11.6,这组数据的80%分位数为9.6.

【分析】百分位数的定义知这组数据的80%分位数是从小到大排序后的第8、9个数的平

均数.

解：V1OX8O%=8,

这组数据的80%分位数是从小到大排序后的第8、9个数的平均数，

这组数据从小到大排序后的第8、9个数分别是9.2,10,

其平均数为上义(9.2+10)=9.6,

2

故答案为：9.6.

14.随机变量己的分布列是

《24

Pab

若E⑴=率则。⑴

【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，以及期望和方差公式，即

可求解.

解：由分布列的性质可得，。+〃=1①，

又,：E(V=§,

3

2a+4b=-^-@,

3

联立①②解得，b=2,

33

:⑺=|x(2-1)2-h|x(4-1)2=|.

故答案为：提.

9

15.在正三棱柱ABC-4BC中,4B=A4i=2,点。满足疝卷(AB+布)，则I而1=2.

【分析】首先确定点。的位置，然后利用几何体的空间结构特征作出辅助线，最后然后

结合勾股定理可得向量的模的大小.

解：由题意可知，点。为48的中点，如图所示，取AB的中点E,连接EZ),EC,DC,

Ai&

由正三棱柱的性质可知：OE_L平面A8C,贝IJOELCE,

在RtaCDE中，DE,AAj1，CE=V§,

•，-ICDl=C£>=V3+l=2-

故答案为：2.

16.三棱锥S-ABC的顶点均在半径为4的球面上，XNBC为等边三角形且外接圆半径为2,

平面SABJ_平面ABC,则三棱锥S-ABC体积的最大值是_6+m_.

【分析】由题意画出图形，求得S到底面ABC距离的最大值，再求出底面三角形ABC

的面积，可得三棱锥S-ABC的体积的取值范围，结合选项得答案.

解：如图，设三棱锥S-ABC的外接球的球心为0,则0A=0B=0C=0S=4,

设△4BC外接圆的圆心为。1,则0凶=0山=0C=2,

连接0。”则00」平面ABC,可得00i=742-22=2^3>

设△ABC的边长为a,由一J"=2X2=4,

sin60°

得a=2*^*§,O(?2=2^2,X~'=1>

平面SA8L平面ABC,当△SAB为等腰三角形且S4=S8时，S到底面48c的距离最大，

设为力，则h=OOi+SO2=2M^42-

又S△ABC=X（2V3）2=3«,

三棱锥S-ABC的体积的最大值为V=iX3＞/3X）=6+3娓,

故答案为：6+3娓.

四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知（3x-^）n的展开式中各项系数之和为32.

X

（1）求〃的值；

（2）求仁二^白乂-工尸展开式中的常数项.

XX

【分析】（1）对X赋值1,可求得〃的值；

（2）先求得二项式色乂-工尸的通项，再求得项与x项的系数，求和即可求得答案.

x

解：（1）由题意，令x=l得（3-1）"=2"=32,

解得〃=5.

（2）因为二项式（3x~—）5的通项为T*=C：（3x）=

Xr+10X

Cr（,1）r.35-r.x^2ri

令解得故展开式中含有项的系数为：

5-2r=-l,r=3,x1□

再令5-2厂=1,解得r=2,展开式中含有x项的系数为：C1（-1）2-33,

□

所以（xJ）（3x-工尸展开式中的常数项为：

XX

XC＜（-1）3-35-3X-1-^C＜（-1）2-35-2X=-9C5+27C5=18C5=180.

18.某校为推进科技进校园活动，组织了一次科技知识问答竞赛，组委会抽取了100名学生

参加，得到的竞赛成绩作出如图所示频率分布直方图.已知成绩在［75,80）的学生有20

人.

（1）求“，b的值，并估计本次竞赛学生成绩的中位数（结果保留一位小数）；

（2）从成绩在［65,70）与［95,100）学生中任取3人进行问卷调查.记这3名学生成绩

在［95,100）内的人数为X,求X的分布列与期望.

【分析】（1）由成绩在［75,80）的学生有20人,可得其频率为磊-0.2，即可得

b£^=0.040,再由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1,即可求“

的值，再结合中位数的公式，即可求解.

（2）由题意知，成绩在［65,70）的学生人数为3人，成绩在［95,100）的学生人数为5

人，X所有可能的取值为0,1,2,3,分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结

合期望公式，即可求解.

解：（1）已知成绩在［75,80）的学生有20人，故其频率为啬=0.2，

n9

所以b啖4=0.040，

b

所以（0.006+0.034+0.040+0+0,036+0.014+0.010）X5=1,

得a=0.060,

由题得左边第一个矩形的面积为0.03,第二个矩形的面积为0.17,第三个矩形的面积为

0.2,第四个矩形的面积为0.3,所以中位数在第四个矩形里面，设中位数为x,

则0.03+0.17+0.2+(%-80)X0.06=0.5,

所以x-81.7,

故中位数为81.7分.

（2）由题意知，成绩在［65,70）的学生人数为3人，成绩在［95,100）的学生人数为5

人,

X所有可能的取值为0,I,2,3,

P(X=O)=

/-11/-12

vcQf)15Cqvc

==w___L

P(X2)--------=-----=,p(kY=Q))=--------=

々r35628「3而'一西，

故X的发布列为：

X0124

p115155

56562828

X服从超几何分布所以X的期望为E(X)=3x•!•芈.

88

19.如图，PA是圆柱的母线，点C在以AB为直径的底面。。上，点。是PB的中点，点E

在篇上，S.OE//AC.

(1)求证：OE〃平面PAC；

(2)求证：平面。OEJ_平面P3C.

【分析】(1)由OD//PA,OE//AC,知平面。0£7/平面PAC,再由面面平行的性质定理,

得证；

(2)由BCrAC,OE//AC,推出BC±OE,由PAL底面。O,0DHPA,推出0DLBC,

再结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，得证.

【解答】证明：(1)因为点。为线段P8的中点，0为线段AB的中点，

所以0DHPA,

又因为0E〃AC,0EC\0D=0,PAHAC=A,

所以平面。0£7/平面PAC,

又因为OEu平面OOE,所以£>E〃平面P4C.

(2)因为点C在以A8为直径的底面。0上，所以/ACB=90°,BC±AC,

又因为。E//AC,所以BCLOE,

因为PA是圆柱的母线，所以丛，底面。0,因为OA//PA,所以OOJ_底面。。，

所以OOJ_BC,

又因为OEu平面。0E,。£><=平面OOE,且。。COE=。，

所以8C_L平面。OE,

又因为8Cu平面PBC,所以平面力OEL平面P8C.

20.共享电单车作为一种既环保又便捷的绿色交通出行工具，不仅方便市民短途出行，还可

以缓解城市交通压力.A市从2016年开始将其投入运营，如表是该市年份代码x与共享

单车数y（单位：万辆）的统计数据：

年份20162017201820192020

X12345

共享单车数y（万辆）1014182326

（1）经分析，>与x存在显著的线性相关性，求y关于x的线性回归方程，并预测2021

年的共享单车数；

（2）根据往年统计数据可知2020年每辆车的各项支出费用大致符合正态分布N⑺，。

2），口=800,。2=]oooo,支出费用在1000元及以上的单车没有利润，支出费用在[800,

1000）的单车每辆车年平均利润为10元，支出费用低于800元的单车每辆车年平均利润

为20元，请预测2021年总利润.

n

.Xxjyj-nxy一.

参考公式和数据：：=且-----------，*-

bn-ca-y-bx

b2-2

〉.xi-nx

i=l

若随机变量X〜N（p,。2）,贝lj尸（p-。VX<u+。）=0.6826,P（^i-2o<X<p+2

o）=0.9544,P（|i-3。<X<p+3o）=0.9974.

【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，将工=7代入上

式的线性回归方程中，即可求解.

（2）根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.

【解答】（1）解：由条件彳二3，7=18.2，

5__5

Zxiy.-5x*y=4L£x：=55，

i=li=l

b=55一::32=41，a=?-.=18.2-4.1X3=5.9

所以y关于x的线性回归方程，

jXA'Q

*=6时，y=4.1X6+5.9=30.5,

预测2021年共享单车数为30.5万辆.

(2)由题意支出费用X服从正态分布，即X〜N(800,IO。?)，p(800^X<1000)=

P(800^X<800+2X100)=0.4772,

所以支出费用在［800,1000)的单车总利润为30.5X0.4772X10=145.546万元，

P(X<800)-1,

所以支出费用在800元以下的单车总利润为30.5X0.5X20=305万元，

所以预测2021年总利润为145.546+305=450.546万元.

21.如图，四棱柱ABC£>-4BICI£>I的底面A8CZ)为矩形，AD=2AB,〃为BC中点，平面

MD\DAVABCD,AAi_L4。且A|A=4D

(1)证明：ZBiA,D=90°.

(2)若此四棱柱的体积为2,求二面角A-A/-M的正弦值.

【分析】(1)推导出平面4AD4,平面AQQA,从而由此

能证明NBiAi£>=90°.

(2)取AO中点O,连接40,则AiOLAO,推导出40J_平面438,由四棱柱的体

积求出AB=1,以O为坐标原点，诬，而，西为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐

标系，利用向量法能求出二面角A-A山-M的正弦值.

解：(1)证明：因为平面AQiDAL平面A8C。，

平面AiQQACl平面ABCD=A。，ABu平面ABC。，ABLAD,

所以ABJ_平面A\D\DA,

因为AB〃4S,所以4山1，平面AIOIDA,

又因为4Du平面A\D\DA

所以AiA_LAN,即NBiAQ=90°.

(2)取A。中点。，连接4。，因为4A=A。，所以40L4。，

又因为平面AiOQA1,平面ABCD,

平面A\D\DAn平面ABCD=AD,

所以40,平面ABC。，

所以40为四棱柱A