2024版创新设计高考总复习 数学 人教A版第8节 函数的图象

第8节函数的图象

考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列

表法、解析法）表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性

质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.利用描点法作函数的图象

步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、

单调性、周期性、对称性等）；（4）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小

值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换

|）子）+修

上

A〃>0）个单位

移

|内U+a）|.怨

«(aX))1----------------1

个单位下个单位

移左“>0）个单位

|y=/a)-*I

（2）对称变换

y=/（x）的图象老壬邈对逛y=3㈤的图象；

y=«r）的图象老会邈暨的图象；

y=fix）的图象关于原点对/丫=一/（一用的图象；

关于直线

）=出（4>0,且aW1）的图象：二二对苏》V=1。轲（。>0,且a#l）的图象.

（3）伸缩变换

尸网--------------------------------------

各点横坐标变为原来的：（a〉0）倍'

横坐标不变

*y=4/U).

各点纵坐标变为原来的4A>0）倍

(4)翻折变换

x轴下方部分翻折到上方

y=/(尤)的图象*v=l/U)l的图象;

x轴及上方部分不变

y轴右侧部分翻折到左侧，

y=/(x)的图象南y轴百则丽芬去掉，右侧示赛v=Alxl)的图象.

［常用结论］

1.记住几个重要结论

(1)函数y=/(x)与y=/(2a—x)的图象关于直线x=a对称.

(2)函数y=/(x)与y=28—/(2a—九)的图象关于点3，份中心对称.

(3)若函数y=/(x)对定义域内任意自变量x满足：x),则函数y=/(x)

的图象关于直线x=a对称.

2.图象的左右平移仅仅是电对可毛而言，如果x的系数不是1,常需把系数提出

来，再进行变换.

3.图象的上下平移仅仅是电对千、而言的，利用“上加下减”进行.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“义”)

(1)当xG(O,+8)时，函数y=伏%)|与y=*x|)的图象相同.()

⑵函数尸必㈤与y=J(ax)(a>0且“W1)的图象相同.()

(3)函数y=/(x)与y=-«r)的图象关于原点对称.()

(4)若函数y=/(x)满足.*1+x)=*l—x),则函数7U)的图象关于直线x=1对

称.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)令y(x)=-x,当xW(O,+8)时，y=|4x)|=尤，y=fi\x\)=­x,两者图

象不同，(1)错误.

(2)中两函数当“W1时，y=劭㈤与y=/Uu)是由y=«r)分别进行纵坐标与横坐标

伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.

(3)y=/(x)与y=—Ax)的图象关于x轴对称，(3)错误.

2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶

时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是()

距学校的班离矩学校的距离

答案c

解析法一出发时距学校最远，先排除A；中途堵塞停留，距离不变，再排除

D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B,故选C.

法二由小明的运动规律知，小明距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速

运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加快速度行驶，比前段下降

得快，故应选C.

3.(2023•长沙雅礼月考)函数y=-cosxln|x|的图象可能是()

答案D

解析函数y=-cosxln|x|的定义域为{x|xW0},

又一cos(-x)ln|-x|=-cosxlnpv|,

所以函数y=—cosxln|x|是偶函数.

因为偶函数的图象关于y轴对称，排除A,C；

又％=兀时，y=-cosidn兀＞0,排除B.故选D.

4.函数y=/(x)的图象与旷=^的图象关于y轴对称，再把y=/(x)的图象向右平移1

个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=.

答案e^+,

解析由题意得凡r)=er,

'g(x)=e-(厂1)=e-l1.

考点突破•题型剖析

考点一作函数的图象

例1作出下列函数的图象：

(Dy=d)；(2)y=|log2(x+l)|；(3)y=/一2|X|一1.

解(1)先作出y=QY的图象，保留y=(y“图象中x20的部分,

再作出y=@y的图象中Q0部分关于y轴的对称部分,

即得y=g)国的图象，如图①实线部分・

(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将光轴下方的部分沿龙轴翻折上

去，即可得到函数y=|log2(x+l)|的图象，如图②.

f—।x>0

(3)；y=「'二’且函数为偶函数，先用描点法作出［0,+8)上的图

象，

再根据对称性作出(一8,0)上的图象，

得图象如图③.

感悟提升1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数

时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.

2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得

到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解

析式的影响.

训练1分别作出下列函数的图象:

⑴y=sin|x|；（2）y=^7f-

解（1）当x20时，了=5后仅|与y=sinx的图象完全相同，

又旷=5抽同为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①.

故函数的图象可由y=；的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如

图②所示.

考点二函数图象的识别

角度1函数图象的识别

例2（1）（2022.全国甲卷涵数於）=（3」3r）・cosx在区间［—T全T号7T上的图象大致为

_1T_O

2LO

2

答案A

1Q

解析法一(特值法)取*=1,则yu)=(3—w)cos1=§cos1>0；

1O

取x=—l,则/(—l)=q—3)cos(—l)=—gcos1V0.结合选项知选A.

法二fi~x)=(33v)cos(-X)=-(3X-3-v)cosx=

所以函数«X）=（3，-3r）cosx是奇函数，排除B,D；

1Q

取x=1,则式1）=（3—§）cos1=2cos1>0,排除C.故选A.

（2）（2022.全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［—3,3］的大致图

象，则该函数是（）

-%3+3%

A--V=X-+1

_2xcosx2sinx

D.y=

c・y=^TFf+l

答案A

解析对于B,当x=l时，y=0,与图象不符，排除B；

对于D,当x=3时，y=1sin3>0,与图象不符，排除D；

TT

对于C,当0<%<］时，OVcosxVl,

故>=隼管<母ywi,与图象不符，排除c.故选A.

感悟提升1.抓住函数的性质，定性分析：

⑴从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位

置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从周期性，判断图象的循环

往复；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

2.抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算

分析解决问题.

角度2借助动点探究函数图象

例3如图，不规则四边形ABCO中，A8和CO是线段，AO和8c是圆弧，直线

/_LAB交A8于E,当/从左至右移动（与线段有公共点）时，把四边形A8CD

分成两部分，设左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是（）

答案c

解析当/从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了。点后面积

保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选

C.

感悟提升根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法

(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.

⑵定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象

的变化特征，从而利用排除法做出选择.

注意求解的过程中注意实际问题中的定义域问题.

7T—X

训练2(1)(2023.湖南名校联考)函数.*%)=(：05川11的图象大致为()

答案C

JT-Y

解析要使函数/(x)=cosxln有意义,

兀—X

则不解得一＜无，

，函数/U）的定义域为（一兀，71）,

rTl+X71-X

又八一%)=cos(—x)lncosxln不=一/),

...人幻为奇函数，故排除A,D；

兀

jrIT4

当工=彳时，cos7>0,In------=ln|<0,

44।兀

叫

故周

<0,排除B,故选C.

（2）向高为”的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深〃的函数关系的图象

如图所示，那么水瓶的形状是（

答案B

解析观察图象，根据图象的特点，发现取水深人=当时，注水量F>y,即水

深为一半时，实际注水量大于水瓶容积的一半，A中V'<^,C,D中V=y,

故排除A,C,D,选B.

考点三函数图象的应用

角度1研究函数的性质

例4已知函数火x）=x|x|—2x,则下列结论正确的是（）

A.六x）是偶函数,单调递增区间是（0,+°°）

B./U）是偶函数，单调递减区间是（一8,1）

C：*x）是奇函数，单调递减区间是（一1,1）

D.yu）是奇函数，单调递增区间是（一8,0）

答案c

解析将函数«¥)=尤|川一1¥去掉绝对值,

3^—lx,X与0,

得yc光)=，,

[―A2—2x,JC<0

观察图象可知，函数_/u)的图象关于原点对称，

故函数次。为奇函数，且在(一1,1)上单调递减.

角度2图象法解不等式

例5已知函数加)=<(O'*2，则«r)W上的解集为(

)

」0g4(x+1),—1<X<1,

A.(—8,0]B.(-l,0]

C.(—1,0]U[L+°o)D.[l,+8)

答案C

解析作出函数y=/U)与y=%的图象，如图.

结合图象知不等式4x)W5的解集为(一1,0]U[l,+°°),故选C.

角度3求参数的取值范围

sinitx,OWxWl,

例6(2023・湖州调研)已知函数Hx)=<若实数a,b,互不相

10g2023X»X>1,

等，且_Aa)=/S)=/(c),则a+b+c的取值范围是.

答案(2,2024)

sinme,OWxWl,

解析函数/U)=,的图象如图所示，

.10g2()23X,X>1

不妨令a<b<c,

由正弦曲线的对称性可知a+b=l,

而1VCV2023,所以2Va+0+cV2024.

感悟提升1.利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期

性、最值（值域）、零点）常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应

关系.

2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多

少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问

题.

训练3（1）（2023•河南顶尖名校联考）若关于x的不等式a^+bx+c<0的解集是（一

1,1）,则（）

A.b>0B.a+c>0

C.a+b+c>0D.Sa+2b+c>0

答案D

解析显然”>0,不等式可化为e〈V—%一宗在同一直角坐标系中作出函数

bc

y=e\>=—7一£的图象（图略），

依题意两函数图象的交点横坐标为一1,1,

hc

则一/°，—/1，

所以〃VO,-c>a,A,B错误；

当x=l时，ae+b+c=0,而a+/?+c〈ae+/?+c=0,C错误；

22

当x=2时，ae+2b+c>09而Sa+2b+c>ae+2b+c>0,D正确.

⑵已知奇函数./W在xNO时的图象如图所示，则不等式状x）<0的解集为

答案(一2,-1)U(1,2)

解析MU)<0,x和火x)异号，

由于人犬)为奇函数，补齐函数的图象如图.

当Xd(—2,-1)U(O,1)U(2,+8)时，加；)>o,

当xG(—8,-2)U(-1,O)U(1,2)时，危)<0,

.•.不等式欢x)<0的解集为(-2,-1)U(1,2).

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

x~\~3

1.为了得到函数y=lg-j鼠的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点()

A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

答案C

x+3

解析,->=lg-jy=lg(x+3)-l,

.向左平移3个单位长度,「、向下平移1个单位长度.

..y—lgx---------------------------—lg(x+3)-------------------------------lg(x+3)-1.

2.(2023・兰州诊断)已知函数«x)=xlnx的图象如图所示，则函数11一幻的图象为

答案D

解析法一因为八1—x）=/［—（x—1）］,

所以函数的图象是先将函数人力的图象关于y轴对称，得到人一》）的图象,

再向右平移一个单位长度得到的，故选D.

法二易知函数式处的定义域为（0,+°°）.

由1一元>0,得x<l,所以函数的定义域为（一8,1）,故排除A,c；

又当》=一1时，咒1一（一l）］=/（2）=21n2>0,排除B,故选D.

3.已知二次函数1x）的图象如图所示，则函数g（x）=/（x>ex的图象为（）

答案A

解析由函数«x）的图象结合题意知,

当X<-1或x>l时，g(x)>0;

当一1VX<1时，g(x)<0,由选项可知选A.

r3

4.(2023・石家庄一检)函数加:)=刀尸的图象大致是()

解析函数7U)的定义域为R,次一九)=于7为=-7U),

所以函数«r)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除B,D；

/4)=24+24>2><24=2,.*8)=28+28V呼=2,可排除C.故选A.

~|~bx<—]

5.若函数,*x)=,,；、'，的图象如图所示，则.*-3)=()

In\xIciJ,x1

答案c

In(a—1)=0,。=2,

解析由图象"=3,得

力=5,

2x+5,x<-1,

，於)=

In(x+2),xN—1.

故人-3)=5—6=—1.

6.（多选）（2023•江苏七市调研）已知函数|幻=西~|（“611）,则y=«r）的大致图

象可能为（）

答案ABD

解析当«<0时，y=y^x1—a,

即V—/=-q（y20）,

所以该曲线是焦点在y轴的双曲线的上半支，即为D；

当a=0时，y=y[^=\x\,即为A；

当a>0时，若x£[—W，y[（i],则产+/二々。；2。）,

该曲线是圆心在原点，半径为3的圆的上半部分（含端点），

若xW(—8,-y[a)U(y[a,+0°),xi—yi=a(y^G),

则该曲线是焦点在x轴上的双曲线位于光轴上方的部分，即为B.故选ABD.

7.（2023.重庆八中调研）已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为

符合的是（）

次）

A八X，l~n~|ix~j|

0/（力=金彳

答案B

解析由题中函数的图象可知该函数是偶函数，定义域为（—8,-1）U（-1,

0）U（0,1）U（1,+8）.

对于A,因为|x巾WO产,。，所以且'WO,

所以定义域符合.因为^=一穴外，所以函数不是偶函数，故A不符合.

|xWO,

对于B,因为彳一一八所以％W±1且xWO,

Un|x|WO,

所以定义域符合.因为人一尤)=耙=/2，

1口|八I

所以函数是偶函数，符合所给图象特征.

对于C,由f-1WO得x#±l,所以函数的定义域不符合.

对于D,由/一1#0得x#±l,所以函数的定义域不符合.根据排除法，故选B.

8.(多选)对于函数_/U)=lg(|x-2|+l),下列说法正确的是()

A./U+2)是偶函数

B於+2)是奇函数

C：/(x)在区间(-8,2)上单调递减，在区间(2,+8)上单调递增

D./U)没有最小值

答案AC

解析.*x+2)=lg(|x|+l)为偶函数，A正确，B错误.

作出7U)的图象如图所示，可知700在(一8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调

递增；

由图象可知函数存在最小值0,C正确，D错误.

—2

9.若函数负x)=；二7的图象关于点(1,1)对称，则实数4=.

答案1

以—a-\-a一2a—2

解析•穴幻=一口—=a+tUT'

关于点(1,a)对称，故a=L

10.设函数_/U)=|x+a|,g(x)=x—1,对于任意的xGR,不等式火x)Ng(x)恒成

立，则实数a的取值范围是.

答案［―L+°°)

解析如图，作出函数“r)=|x+a|与g(x)=x—l的图象，观察图象可知,

当且仅当一aWl,即a2一1时，不等式yCx)»g(x)恒成立,

因此a的取值范围是［-1,+8).

110g却，0<x<2,

11.(2022•茂名一模)已知函数«r)=,井尤1,X2,X3均不相等，且

-x+3,xN2,

加1)=/2)=於3),则XI-X2-X3的取值范围是.

答案(2,3)

解析不妨设X1VX2〈尤3,作出/U)的大致图象,

由图可得，|10g2Xl|=|10g2X2|=-X3+3G(0,1),

所以log2Xl=-log2JC2,即XIX2=1.

由兀V1)=/(X2)=AX3),得X3G(2,3),

所以的取值范围是(2,3).

—f+2,xWl,

则搬)=

12.(2022・浙江卷)已知函数={,1;若当

x+~~lx>L

Ix9

x^［a9/时，则人一。的最大值是.

答案|j3+小

解析由题意知娘=一冏+2=京

则T+A=28-

4

作出函数/U）的图象，如图所示，

结合图象，令一片+2=1,解得尤=±1；

令x+：—l=3,解得尤=2±\/5,

又x>l,所以x=2+小,

所以（/?—a）max=2+小一（一1）=3+小.

【B级能力提升】

13.如图，点尸在以AB为直径的半圆弧上沿着放运动，AB=2,记NBAP=x.将

点P到A,8两点的距离之和表示为x的函数/U）,则y=«r）的图象大致为（）

答案C

解析由题意可知，△PAB为直角三角形,

PA=2cosx,PB=2sinx,

所以PA+PB=2cosx+2sinx=26sin[+*,0,争，

即y=/U）=2gin（x+：）,0,

因为xG0,3

所以x+铝f,引，

所以26sin（x+g）e[2,2啦],

当x+A会即尸;时，函数段）取得最大值2色，故排除B,D；

又/U）的解析式为正弦型，排除A,选C.

14.（2023•郑州调研）若eF・X3=-X31n%2=—L则下列不等关系一定不成立的是

（）

A.X1<X3<X2B.X3<X1<X2

C.X3<X2<X