2022-2023学年陕西省榆林市榆阳区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省榆林市榆阳区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.观察下列图形，是中心对称图形的是（）

A/B0DR

2.若6>-1,则下列各式中错误的是（）

A.4m>-4B.—5m<—5C.m+1>0D.1—m<2

3.在口ABC。中，乙4=50。，贝此C的度数是（）

A.40°B.50°C.100°D.130°

4.下列各式从左到右的变形，是因式分解的为（）

A.（Q+2）（a—2）—凉—4B.a?—4a+4=（a—2）?

C./+2%+7=%（%+2）+7D.xy—1=xy（l—$

5.已知关于%的方程"=3-a有增根，贝布的值为（）

X一□X-D

A.4B.5C.6D.-5

6.如图，在aZBC中，AB=AC,AD18C于点。，DE1AB^

点E,BF1AC于点F,DE=5cm,则=()

A.8cm

B.10cm

12cm

D.14cm

7.如图，四边形ABC。的对角线交于点0,下列条件不能判定四边形4BCD是平行四边形的是

)

A.AB//CD,AD=BC

B.AB=CD,AD=BC

C.^ABC=/.ADC,^BAD=4BCD

D.AO=CO,BO=DO

8.如图，在口力BCD中，对角线AC、8。相交于点。，2E平分NBA。，分别交BC、BD于点E、

P,连接OE,^ADC=60°,AB=^BC=4,则下列结论：®^CAD=30°；@OE=^AD；

③BD=4门；④SABEO=2C其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.若分式七|有意义，则实数x的取值范围是____.

x—5

10.多项式6a2。—3aZ?2的公因式是.

11.若一个九边形的每个内角都为120。，那么边数几为.

12.“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参

观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同

时到达书院，设学生步行的速度为每小时乂里，则可列方程为

13.如图，将△48C绕点C顺时针旋转90。得到△EDC,若点4,D,

E在同一条直线上，且48=1,BC=2,贝必。的值为.

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

14.解不等式组邑+12并把解集在数轴上表示出来.

四、解答题（本大题共12小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题5.0分）

因式分解：4a2（a——（a—力）.

16.（本小题5.0分）

解方程：2—色=组.

%4+%%+1

17.（本小题5.0分）

如图，在△28C中，请用尺规作图法在BC上找一点F,连接AF,使得力F=BF.（保留作图痕

迹，不写作法）

18.（本小题5.0分）

如图，在口ABCD中，点E、F分另!］为4B、CD上的点，连接AF、EC,且4F//EC.求证：BE=DF.

19.（本小题5.0分）

如图，在四边形A8CD中，E、F、M分别是4B、CD、BD的中点，力。=BC.求证：ME=MF.

20.（本小题5.0分）

己知，如图，在AAOB中，点C在。力上，点E、D在。B上，S.AB=AD,CD//AB,CE//AD,

问：ACDE是否为等腰三角形？为什么？

A

21.(本小题6.0分)

如图，已知A4BC的三个顶点的坐标分别为4(3,2)、B(2,0)、C(l,3).

(1)将△ABC先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到AaiBiG，在图中画出△A/iG；

(2)在图中作出△ABC关于原点。成中心对称的△2c2.

22.(本小题7.0分)

先化简(a+1-巴华)+正竽，再从—3,-2,—1中选择一个适当的数代入求值.

'a+17a+1

23.(本小题7.0分)

如图，在RtAABC中，ZXCB=90°,NB=30。，DE是4B的垂直平分线，交AB、BC于点。、

E连接CD、4E.求证：

(1)△4DC是等边三角形；

(2)点E在线段CD的垂直平分线上.

A

24.(本小题8.0分)

“我们把多项式a?+2ab+/及一2必+匕2叫做完全平方式，，，如果一个多项式不是完全

平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个

项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，

不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代

数式最大值，最小值等问题.例如：

分解因式：x2+2x—3=(x2+2x+1)—3—1=(x+l)2—4=(x+1+2)(x+1-2)=

(%+3)(x—1).

求代数式2/+4久—6的最小值：2退+4%—6=2(x2+2x)—6=2(x2+2x+l)—6—2=

2(x+l)2-8.

(x+l)2>0,2(x+l)2—8>-8,二当％=—1时，2/+4x—6有最小值，最小值是-8.

根据材料用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：x2-4x—5；

(2)当x为何值时，多项式-2久2一4%+3有最大值？并求出这个最大值.

25.(本小题8.0分)

已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价少20元，花540元购进甲图书的数量与花780元购

进乙图书的数量相同.

(1)求甲乙两种图书每本的进价分别是多少元？

(2)某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过3550元，则至少购进甲图书

多少本？

26.(本小题10.0分)

在口ABCD中，点。是对角线BD的中点，点E在边BC上,£。的延长线与边4。交于点F,连接BF、

DE如图1.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)若。E=DC,ZCBD=45°,过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别父于点G、H、P如

图2.

①当CD=QOCE=2时，求BE的长;

②求证：CD=CH.

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：选项A、C、。的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来

的图形重合，所以不是中心对称图形；

选项2能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图

形.

故选：B.

根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.【答案】B

【解析】解：4、在6>-1两边都乘上4可得，4m>-4,故此选项不符合题意；

B、在m〉-1两边都乘上-5可得，-5m<5,故此选项符合题意；

C、在m>-1两边都加上1可得，m+1>0,故此选项不符合题意；

。、根据不等式性质3可知，机>-1两边同乘以-1时，可得-爪<1,再在巾<1的两边同时加上

1,可得1-爪<2,故此选项符合题意.

故选：B.

根据不等式的性质分析判断即可.

主要考查了不等式的性质.不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方

向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个

负数，不等号的方向改变.

3.【答案】B

【解析】解：•••平行四边形4BCD中对角相等，

Z.C=Z.A=50°,

故选：B.

根据平行四边形的对角相等即可求解.

本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解决本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：4、（a+2）（a-2）=a2-4是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意.

B、a?一4a+4=（a-2＞是因式分解，符合题意.

C、/+2比+7=*0+2）+7,等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意.

D、久y-l=xy（l-高），等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意.

故选：B.

分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左到右的变形中是否为分

解因式，只需根据定义来确定.

本题主要考查了因式分解的定义，熟知相关定义是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：•••方程有增根，

x—5—0,

x-5,

xa

口=3-三，

x=3（%—5）—a,

x=3x—15—a,

把久=5代入整式方程解得a=-5,

故选：D.

首先最简公分母为0,求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母

的值.

本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根产生的原因，增根确定后可按如下步骤进

行：①化分式方程为整式方程;②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值,这是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：•••AB=4C,4D1BC于点D,

.•・根据等腰三角形三线合一的性质，得仆ADC,

1

•••^^ADB=S^ADC=2S*CB'

11

^^ADB=5ZB.DE,S^ACB=,BF,

11

A^AB-DEX2=^AC-BF,

・•.BF=2DE,

DE=5cm,

BF=10cm.

故选：B.

根据等腰三角形三线合一的性质，得AADB三AaDC,从而得到S-DB=S-DC=^SA4CB，根据面

积公式S-DB=\AB-DE,S—CB^\AC-BF,变形计算即可.

本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和面积公式是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：4、由4B〃CD,AD=BC,不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题

忌；

B、•••AB=CD,AD=BC,

••・四边形A8CD是平行四边形，故选项B不符合题意；

C、•••乙ABC=AADC,ABAD=乙BCD,

••・四边形4BCD是平行四边形，故选项C不符合题意；

D、■：AO=CO,BO=DO,

••・四边形ABCD是平行四边形，故选项。不符合题意；

故选：A.

由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.

本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：①:/IE平分NBA。，

•••Z-BAE=乙DAE,

,・,四边形ZBCD是平行四边形,

/.AD//BC,/.ABC=/.ADC=60°,

Z.DAE=Z.BEAy

•••Z.BAE=乙BEA,

AB=BE=4,

・•.△ABE是等边三角形，

AE=BE=4,

•・•BC=2AB=8,

・•.EC=4,

•••AE=EC,

Z.EAC=Z-ACE,

•・•乙AEB=Z.EAC+Z.ACE=60°,

AACE=30°,

•・•AD“BC,

•••^CAD=AACE=30°,故①正确；

③•••BE=EC,OA=OC,

OE=^AB=2,OE//AB.

・•・(EOC=ABAC=60°+30°=90°,

在中，OC=7EC2一OE?=2一，

,・,四边形ABC。是平行四边形，

・••乙BCD=乙BAD=120°,

・•・乙ACB=30°,

AACD=90°,

在Rt△OCD中，。。=VOC2+CD2=2c,

・•.BD=2OD=4/7,故③错误；

②由③知：OE是△ABC的中位线，

1

・•.OE=^AB,

■：AB=\BC,

OE=^BC=^AD,故②正确；

④BE=EC=2,

S^BOE=S"EOC~qOE,OC-2V-3>故④正确；

故正确的有①②④，

故选：C.

①根据平行四边形的性质得4D〃BC,AABC=^ADC=60°,进而可得△4BE是等边三角形，所

以ZE=BE=4,AE=EC,所以N£;4C=^ACE,可得NHCE=30°,因为20〃BC,所以Z/MD=

^ACE=30°,故可判断①；因为BE=EC,OA=OC,所以。E=^AB=2,OE//AB,所以NEOC=

ABAC=60°+30°=90°,在RtAEOC中，OC=VEC2-OE2=2AT3)由四边形4BCD是平行

四边形，可得ABCD=Z.BAD=120°,所以乙4CD=90°,由勾股定理得。。=VOC2+CD2=247,

所以BD=2OD=4「，即可判断③；由③知：OE是AABC的中位线，所以。E=^AB,即可得

OE=^BC=^AD,故可判断②；因为8E=EC=2,所以SABOE=S^EOC=^。石•。。=2/3,

即可判断④.

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平

行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，

并熟练掌握同高三角形面积的关系.

9.【答案】力力5

【解析】解：由题意得：久一570,

解得：x大5.

故答案为：x*5.

根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解.

本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于零.

10.【答案】3a6

【解析】解：••,系数的最大公约数是3,

相同字母的最低指数次累是

多项式6a2b—3a炉的公因式是3ab.

找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次暴，即可确定公因式.

本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键.

11.【答案】6

【解析】解：••・一个n边形的每个内角都为120。，

它的每个外角=180°-120°=60°,

多边形边数n=360°+60°=6.

故答案为：6.

先依据多边形的内角的度数求得外角的度数，再根据多边外角和360。进行求解即可.

本题考查多边形内角与外角，解题关键是熟知多边形无论边数是几，其外角和永远为360。.

12.【答案】型=2+1

x1.5%

【解析】解：设学生步行的速度为每小时x里，则牛车的速度是每小时1.5X里，

•••学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，

30_30,.

•,「忘+L

故答案为：-=^+1.

x1.5%

根据时间=距离十速度，结合学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院列分式方程即可.

本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键.

13.【答案】C

【解析】解：连接BD,

由旋转得：

BC=CD=2,乙BCD=90°,

BD=yfl,BC=

由旋转得：

CA=CE,^ACE=90°,

•••/,CAE==45°,

由旋转得：

/.CAB=NE=45°,

•••Z.BAD=/.CAB+/.CAE=90°,

在Rt△48。中，AB=1,

•••AD=VBD2-AB2=J(2<1)2-I2=C，

故答案为：<7.

连接BD,根据旋转的性质可得8C=CD=2,乙BCD=90°,CA=CE,^ACE=90°,从而求出BD,

^CAE=ZE=45°,进而可得NB4D=90。，然后在RtA/lBD中，利用勾股定理进行计算即可解

答.

本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

(3-%>10

14.【答案】解:悖+12-X②，

由①得：%<2,

由②得：%>-3,

・•.不等式组的解集是-3<%<2,

在数轴上表示为।।一一一二.

-5-4-3-2-1012345

【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可.

本题考查了不等式的性质、解••元一次不等式(组)、在数轴上表示不等式组的解集等知识点的应

用，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集.

15.【答案】解:4a2(a-b)-(a-b)

=(a—b)(4a2—1)

—(a-b)(2a+l)(2a—1).

【解析】先提取公因式，然后再根据平方差公式继续因式分解即可.

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再

用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

16.【答案】解：方程两边都乘x(x+1),得2x(x+1)—1=x(2x+1),

去括号得：2/+2%—1=2/+x,

整理，得x=1,

检验，当x=1时，x(x+1)0,

则x=1是原分式方程的解.

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方

程的解.

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求

解.解分式方程一定注意要验根.

17.【答案】解：如图，点尸为所作.

【解析】作AC的垂直平分线交BC于点F,根据线段垂直平分线的性质得到力F=CF.

本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了线段垂直平分线的性质.

18.【答案】证明：••・四边形4BCD是平行四边形，

AB//CD,AB=CD,

■：AF//EC,

••・四边形4ECF是平行四边形，

•••AE=CF,

：.AB-AE=CD-CF,

即BE=DF.

【解析】根据平行四边形的性质和判定以及等式的性质解答即可.

此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和判定以及等式的性质解答.

19.【答案】证明：•.〃，M是4B,BD的中点，

•••EM是的中位线，

1

EM=^AD,

同理，FM=：BC,

■■AD=BC,

：.ME=MF.

【解析】根据三角形中位线定理得到EM=^AD,FM=|SC,即可证明ME=MF.

本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

20.【答案】解：是等腰三角形.

CD//AB,

・•.Z.CDE=乙B,

X---CE//AD,

••・乙CED=乙ADB,

XvAB=AD,

Z-B=Z-.ADB,

•••Z.CDE=Z-CED,

CDE是等腰三角形.

【解析】欲证ACDE是否是等腰三角形，利用已知CD〃4B,CE//AD,证明三角形中两内角是否

相等来证是否等腰.

本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质；角的等量代换的运用是正确解答本题的关键.

21.【答案】解:⑴AABiCi如图所示,

(2)如图，△&B2C2即为所求.

【解析】(1)根据给出的平移方式作图即可；

(2)找出△ABC的三个顶点关于原点。成中心对称的对应点位置，再顺次连接可得.

本题考查了作图一平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此

得出变换后的对应点.

2

22.【答案】解：(1)原式=S+1)

Q+1Q+2)，

Q2+2Q+1—5—2aa+1

—a+1(。+2)2

_(a+2)(a—2)a+1

—a+1(a+2)2

_a—2

—a+2f

丁a+1H0且a+2W0,

•••a只能取-3,

当a=-3时，原式==5.

【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原

式=喀，然后根据分式有意义的条件得到a取-3,然后把a=-3代入计算即可.

a+2

本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.注

意分式有意义的条件.

23.【答案】(1)证明：在中，^ACB=90°,Z.B=30°,

1

・•.Z.BAC=60°,AC=^AB,

・••DE是AB的垂直平分线，

1

...AD=DB=^AB,

•••AD=AC,

・•.△ADC是等边三角形；

(2)证明：DE是AB的垂直平分线，

AE=BE,DE1AB,

・•.Z.EAB=LB=30°,则=Z.BAC-乙EAB=30°,

•••Z-BAE=Z.CAE,

・•・AE平分N84C,

•••DELAB,AC1BC,

DE=DC,

・・・△/DC是等边三角形，

•••AD=AC9

二点E在线段CD的垂直平分线上.

【解析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余可得乙况4c=60。，根据含30度角的直角三角形的性

质可得=根据DE是4B的垂直平分线，可得=即可证明AaDC是等边三

角形；

(2)根据垂直平分线的性质可得4E=BE,进而可得力E平分NB4C,根据角平分线的性质可得DE=

DC,根据等边三角形的性质可得4。=AC,即可得证.

本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三

角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

24.【答案】解：⑴“2一4%-5,

=%2—4%+4—9,

=(%—2产—9,

=(%-2+3)(%—2—3),

=(%+1)(%—5)；

(2)-2%2-4%+3

=-2(x2+2%+1-1)+3

=-2(/+2久+1)+5

=—2(久+1)2+5,

当尤=—1时，多项式—2——4久+3有最大值，最大值是5.

【解析】(1)根据阅读材料，先将/-4%-5变形为广—钮+4-9,再根据完全平方公式写成。-

2)2-9,然后利用平方差公式分解即可；

(2)利用配方法将多项式-2/—4久+3,转化为-2(%+1)2+5,然后利用非负数的性质进行解答.

本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌

握配方法的步骤和运用是解答的关键.

25.【答案】解：(1)设甲乙两种图书每本的进价分别是x元、(x+20)元，

540(久+20)=780%,