2020-2021学年南昌十中高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年南昌十中高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合4={x|x>3},B={x|log3（x—a）>0},则a=3是3=4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知总端为两条不同直线，^承为两个不同平面，则下列命题中不正确的是（）

A.若召恭'您I嬲:二尊，则京藤哪

B.若雄橘解$_L图，则£_L静

C.若雄篦弱点匚龈，则3密索！

D.若尊L阿塔耕=&懒匚稣瞰1.S,则»11鼾

4.下列命题中，错误的命题是（）

A.平行于同一直线的两个平面平行。

B.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交。

C.平行于同一平面的两个平面平行。

D.一条直线与两个平行平面所成的角相等。

5.长方体的正视图与侧视图如图所示，则其俯视图的面积为（）

22

43

正视图侧视图

A.12B.8C.6D.4

6.已知实数x€R,则“％<0"是“ln（x+1）<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.设点是一条直线，然,，£抑，能是不同的平面，则下列说法不正确的是（）

A.如果露1.,翻，那么婚内一定存在直线平行于期

B.如果侬不垂直于好，那么婚内一定不存在直线垂直于视

C.如果磔11鼾，押’1著，侬^'耕=看，那么S'，*

D.如果勰1.耕，早与■,期都相交，那么下与然,，视所成的角互余

8.椭圆2/+y2=1的长轴长为（）

A.V2B.2V2C.1D.2

9.如图，已知四棱锥S-4BCD的底面为矩形且S4_L底面4BCD,若侧棱

SC=5V2,则此四棱锥的外接球表面积为（）

A.257r

B.507r

C.IOOTTUC

D.200TT

10.设m,九是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）.

A.若aJ■氏mca,九u氏则m_L九

B.若a〃3，mca,nu0,,则?n〃九

C.若m1n,mca,nu0,则a10

D.若mJLa,ml",九〃£,则Q_L/?

11.如图，锐角三形4BC内接于。0,Z.ABC=60°,^BAC=40°,作2―--------9

OEJ.AB交劣弧否于点E,连接EC,则4OEC=（）.

B

A.5°

B.10°

C.15°

D.20°

12.若某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表

面积为（）

3

A.—JT

2

C.+3

2

D.-n+毡

2

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.命题“mxeR,x2-l<的否定是.

14.中国古代数学经典《九章算术少中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌S诏沦。），

若三棱锥P-4BC为鳖牖，且241平面48C,PA=2,AB=3,BC=4,AB1BC,则该鳖席

的外接球的表面积为.

15.在椭圆式+^=1内有一点P（l,-1）,广为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|的

43

值最小，则M的坐标.

16.如图，正方体4BC。一4%的劣的棱长为1,P对角线BQ的三等分

点，P到直线CG的距离为

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.如图所示，某几何体的直观图、侧视图与俯视图如图所示，正视图为矩形，尸为CE上的点，且BF1

平面ACE,ZC交BD于点G.

(1)求证：4E〃平面BFD；

(2)求三棱锥C-BG尸的体积.

18.已知命题p：关于化的方程+4%+a+1=0有实根，命题q：VxG/?,x2+ax+1>0,若pAq

为真，求实数a的取值范围.

19.如图，在边长为4的菱形4BCD中，/.BAD=60°,DEJ.AB于点E,将△4DE沿。E折起到△AiDE

的位置，使4E1EB.

(1)求证:ArD1DC；

(2)求直线ED与平面&BC所成角的正弦值;

(3)求二面角E-AiB-C的余弦值.

20.(理科)求椭圆式+g=1上的点到直线八x—-12=0的最大距离和最小距离.

1612

21.四棱锥P—4BC0的底面48CD是边长为1的菱形，/.BCD=60°,

E是CD中点，P4J"底面ABC。，PA=2.

(/)证明：平面PBEJ■平面P4B；

(〃)求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值.

B

22.已知椭圆C的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点4(2,0),8(0,1).

(/)求椭圆C的方程；

(〃)设椭圆C在2、B两点的切线分别为“、l2,P为椭圆C上任意一点，点P到直线G的距离分别为

n、d2,证明：存在直线I：y=-|x+m,使得点P至亚的距离d(其中d羊0)满足哭恒为定值，

并求出这一定值.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：由题可知：B={x|x>a+1}

当a=3时，x>a+1>4,

BQA

当BU4时，a+123即a22,不一定有a=3.

•••a=3是BU4的充分不必要条件.

故选：A.

利用对数函数求出集合B,再利用集合包含与命题充分必要性来判定.

主要考查指数函数和对数函数的单调性、集合子集的概念、充要条件，考查学生的逻辑推理能力，

属于基础题.

2.答案：A

解析：本题考查了空间几何体的三视图，考查了棱锥的体积公式，

根据三视图可知，该几何体是一底面为等腰直角三角形，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以这

个几何体的体积为N次N或淑1=

察誓顺

故选A.

3.答案：A

解析：试题分析：一条直线平行于一个平面，只能得到这条直线平行于这个平面内的无数条直线，

但并不是平行于这个平面内的任意一条直线，所以4不正确；根据相应的性质定理和判断定理可知B,

C,。均正确.

考点：本小题主要考查空间中直线、平面间的位置关系.

点评：解决此类空间中直线、平面间的位置关系问题，关键是紧扣判定定理和性质定理，定理中要

求的条件缺一不可.

4.答案:A

解析：试题分析：4项中平行于同一直线的两个平面可能平行还可能相交

考点：空间线面的位置关系

点评：基本知识点的考查，要求学生熟记掌握

5.答案：A

解析：解：由三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等，

可知该长方体的俯视图是由长为4,宽为3的矩形构成，

所以俯视图的面积S=4x3=12.

故选：A.

根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等进行分析即可.

本题考查三视图的特点，考查学生的空间立体感，属于基础题.

6.答案：B

解析：

本题考查了对数函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，

属于基础题.

根据ln(x+1)<0,,»0<X+1<1»-1<X<0,再集合充分条件必要条件的定义判断即可求

解.

解：“ln(x+1)<0"o0<x+1<1Q—1<x<0,

•.“x<0”是“ln(x+1)<0"的必要不充分条件，

故选B.

7.答案：D

解析：试题分析：对于4髓工穆,说明这两个平面必相交，设其交线为R任意直线班匚勰且涵F施，

由平面的基本性质可知知威墀，所以由线面平行的判定定理可判定蚓春溪，正确；对于B,假设国仁武

且事1•视，则由面面垂直的判定定理可得^_L理，这与条件图不垂直于视相矛盾，假设不正确，故

8也正确；对于C,如下图(1),设面产磔=叫都产盼=糜，在平面炉内取一点四，作磁JL谛于点，就，

密,1.砥于点廨，则由面面垂直：徽1.四墀的性质可得柒1嘴襄溜1金装而勰钙,爵=宜，所以

曰JL或您谒11磁，由线面垂直的判定定理可得甘，/，故C选项正确；对于D,这是不成立的，如下

图(2)的长方体，设超=假窗=工筋室=0，分别记平面，破窗将、平面，案1'为需承，记直线踊缴为

S,则新与平面嘴■/那所成的角分别为位爵翁队之速蟒鲜，而

—=e/'融陶=%=虫，故主基.=4例区幽阕用肥,

'斓'翦W'3.

8.答案：D

%2

解析：解：椭圆2/+y2=l,可得y2+丁=1,

2

可得a=l,b=-,

2

所以椭圆的长轴长为：2.

故选：D.

利用椭圆方程，求解长轴长即可.

本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.

9.答案：B

解析：解：如图所示连接AC,BD相交于点。1.取SC的中点，连接。01.

则00J/S4.

vSA1底面4BCD,

0。1JL底面ABCD.

可得点。是四棱锥S-ABCD外接球的球心.

因此SC是外接球的直径.

vSC=5V2.4/?2=50,

二四棱锥P-4BCD夕卜接球的表面积为4TTR2=507r.

故选史

如图所示，连接AC,8。相交于点Oi.取SC的中点，连接0。1.利用三角形的中位线定理可得001//SA由

于S4_L底面4BCD,可得。/1底面48CD.可得点。是四棱锥S-4BCD外接球的球心，SC是外接球的

直径，即可得出结论.

本题考查了线面垂直的性质、三角形的中位线定理、正方形的性质、勾股定理、球的表面积，考查

了推理能力与计算能力，属于中档题.

10.答案：D

解析：4中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若a〃0,仍然满足m1n,

me.a,nu£,故C错误；。正确.

11.答案：B

解析：连接。C.：Z71BC=60°,^BAC=40。，•••4ACB=80°.vOE1AB,E为函的中点.•••玩、

庭和肝的度数均为80°.二NEOC=80°+80°=160°.•••乙OEC=10°.

12.答案：C

解析：

三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积.本题考查的知识点

是由三视图求表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状.

解：由三视图可知，该几何体是半个圆锥，且母线为2,底面圆的半径为1,

则该几何体的表面积为：

.鳏=工暮小普13：1,草带,虎==统北道.

S2%%

故选C.

13.答案：VxGR,x2—1>V3x

解析：解：根据全称命题的否定是特称命题，得；

命题“mxeR,x2-l<V3x"的否定是：

“VxeR,X2-1>y/3x".

故答案为："Vx6R,x2—1>V3x.

根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定即可.

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

14.答案：297r

解析：

本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

由题意，四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席，可将三棱锥P-4BC放到长方体中，P力，平

面ABC,PA=2,AB=3,BC=4,AB1BC,可得长方体的长宽高分别为4,3,2.即可求解外接

球的表面积.

解：由题意，四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席，可将三棱锥P-4BC放到长方体中，

PZL平面ABC,PA=2,AB=3,BC=4,AB1BC,

可得长方体的长宽高分别为4,3,2.

长方体的外接球即三棱锥P-48c外接球的半径R=X42+32+22=堡.

22

•・・鳖膈的外接球的表面积S=4兀/?2=297r.

故答案为297r.

15.答案：（手,-1）

解析：

本题以椭圆中求距离和的最小值的问题为载体，着重考查了椭圆的基本概念和圆锥曲线的统一定义

等知识点，属于中档题.

根据椭圆的方程求得椭圆离心率为e=｝右准线方程：x=4.作出椭圆的右准线1,过M点作MN11

于N,根据圆锥曲线的统一定义，得湍=e=］，所以2|MF|=|MN|,欲求|MP|+2|MF|的最小值，

即求|MP|+|MN|的最小值.作PNo11于No，交椭圆于Mo，由平面几何知识可得，当动点M在椭圆

上运动，与点M。重合时，|MP|+|MN|取到最小值.最后设出点的坐标，代入椭圆方程，解之即

可得到使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标.

解：•••椭圆方程为百+竺=1,

43

.・.a2—4,b2—3,可得c=Va2—b2=1

所以椭圆的离心率e=£=g右准线方程：x=-=4

a2c

作出椭圆的右准线汝口图，过“点作MN1I于N,

根据圆锥曲线的统一定义，得黑=e=》,

\MN\2

2\MF\=\MN\,所以|MP|+2\MF\=\MP\+\MN\.

欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值,

过作PN01l于No,交椭圆于Mo，由平面几何知识可得，当动点M在椭圆上运动，与点Mo重

合时，|MP|+2|MF|取到最小值.

设小（殉,一1）,代入椭圆方程得今+R:=1,解之得%0=竽（舍负）

.••使|MP|+21MH的值最小的点”的坐标为（乎,一1）.

故答案为（苧,一1）.

16.答案：苧

解析：解：如图所示，连接殳。1，作MP〃&B,连接则GM等于P

到直线CG的距离.

•••P对角线的三等分点，

B1M=当,

二C1M=I1+--2X1X—x—=—>

1\9323

P到直线CG的距离等于

故答案为:与

如图所示，连接//，作M/7/B1B,连接C1",则C1M等于P到直线CC1的距离，利用余弦定理，求

出即可.

本题考查求P到直线CCi的距离，考查余弦定理的运用，正确转化是关键.

17.答案：（1）证明：:ABC。是矩形，二6是4c中点，

•••BFJ•平面ACE,•••CELBF,

由三视图知BC=8E=2,F是BC中点，

连结FG,得FG〃/IE,

•••4E〃平面BFD.

(2)解：由(1)得FG〃/IE,

由三视图知4E1面BCE,

:.FGJ■面BCE,

在RtABCE中，BF=次=CF=丘,

S^CFB=3XV2XV2—1>

又FG="E=1,

111

VJBGF=VQ-BCF=3,SMFB'FG=-xlxl=-.

解析：⑴由线面垂直得CE1BF,由G、F分别是AC、BC中点，FG//AE,由此能证明4E〃平面BFD.

(2)由%_BGF=%-BCF，利用等积法能求出三棱锥C-BGF的体积.

本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力

的培养.

18.答案：解：由方程2M+4x+a+l=0有实根，得16—8(a+l)20,即

二命题p为真命题的a的范围为(-8,1]；

由x2+ax+1>0,得a?—4<0,即—2<a<2.

二命题q为真命题的a的取值范围为(-2,2).

••,pAq为真，p>q均为真，

<f<a<2'得。€(-皿

・•・实数a的取值范围是(-2,1].

解析：分别由p,q为真命题求得a的取值范围，取交集得答案.

本题考查复合命题的真假判断，考查方程根与判别式间的关系，是基础题.

19.答案：证明：(1)••・在边长为4的菱形4BCD中，4BAD=60°,DE1ABZf

于点E,

2------C

将AADE沿DE折起到的位置，使&E1EB./：/

••・由题意知E4,EB,ED两两垂直，建立空间直角坐标系，上/,

由题意得DE=20,从而4式2,0,0),B(0,2,0),C(0,4,2遮)，D(0,0,2V3)，

A^D=(-2,0,273).DC=(0,4,0)./

X

•.■A^DDC=0.A^D1DC.

(2)设平面&BC的一个法向量为沅=(x,y,z),

则(沆,叫'=2久一2y=0,

令z=1,则沅=(-V3,-V3,1).

(m-BC=2y+2V3z-0

ED=(0,0,2®

直线。与平面所成角的正弦值：|湍急|—2近_V7

E&BC―V3+3+1-2V5-T

(3)解：平面&BE的一个向量记=(0,0,1),

瓯=(2,-2,0)，BC=(0,2,273).

设平面的一个法向量为沅=(x,y,z),

则(沅,四=2x-2y=0

令z=1,则沅=(-V3,-V3,1).

(m-BC=2y+2V5z=0

一、mn>J1

・•・cos<m,n>=--------=——

|m||n|7

.•・二面角E-AXB-C的余弦值为

解析：(1)由题意知E4,EB,两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明为D1DC.

(2)求出直线ED向量和平面4BC的一个法向量，利用向量法能求出直线ED与平面&BC所成角的正

弦值.

(3)求出平面E&B的法向量和平面4BC法向量，利用向量的数量积求解二面角E-C的余弦值.

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时

要认真审题，注意空间思维能力的培养.

20.答案：解：设椭圆参数方程为C二;潟点戊缶为参数)，

设P是椭圆上任意一点则尸(4cosa,275s出a),

则P到直线，的距离d=曳吧上齐涝吧乌=麻。s(*)T2|£［誓,4强卜

.•.当cos(a+9=±l时，可得最小距离和最大距离分别为：延，4遥.

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解析：设椭圆参数方程为［二;溪工戊(a为参数)，利用点到直线的距离公式、三角函数求值即可得

出.

本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、点到直线的距离公式、三角函数求值，考查了推理能力

与计算能力，属于中档题.

21.答案:证明:(1)连接8。,

••,四棱锥P-4BCD的底面ABCD是边长为1的菱形，乙BCD=60°,

•••BD=BC=DC=1,

•••E是CO中点，:.BE1DC,

-AB//DC,BELAB,

•••PZJL底面ABCD,BEu平面ABCD,

•••BE1PA,

,：PAC\AB=A,PAyABu平面P4B,BE_L平面P48,

vBEu平面PBE,.•.平面PBE1平面P4B.

解：（口）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，以过点E且垂直于平面4BCD的直线为z轴,

建立空间直角坐标系如下：

则P修1,2),C(0[,0),喈,0,0),E(0,0,0),

同=(一日福,-2),丽=(曰,0,0),即=弓,-1,2),

设平面的法向量=(x,y,z),

(n-EB=—x=0

则｛_,,取z=1,得元=(0,2,1),

(五•EP=—%—y+2z=0

设直线PC与平面P8E所成的角为巴

,I—TI国•司1例

则、”/〃cues<PC.n>=——-v--------=—=.——尸=——.

I