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文档简介
2020-2021学年南昌十中高二上学期期末数学试卷(理科)
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)
1.设集合4={x|x>3},B={x|log3(x—a)>0},则a=3是3=4的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3.已知总端为两条不同直线,^承为两个不同平面,则下列命题中不正确的是()
A.若召恭'您I嬲:二尊,则京藤哪
B.若雄橘解$_L图,则£_L静
C.若雄篦弱点匚龈,则3密索!
D.若尊L阿塔耕=&懒匚稣瞰1.S,则»11鼾
4.下列命题中,错误的命题是()
A.平行于同一直线的两个平面平行。
B.一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个平面相交。
C.平行于同一平面的两个平面平行。
D.一条直线与两个平行平面所成的角相等。
5.长方体的正视图与侧视图如图所示,则其俯视图的面积为()
22
43
正视图侧视图
A.12B.8C.6D.4
6.已知实数x€R,则“%<0"是“ln(x+1)<0”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.设点是一条直线,然,,£抑,能是不同的平面,则下列说法不正确的是()
A.如果露1.,翻,那么婚内一定存在直线平行于期
B.如果侬不垂直于好,那么婚内一定不存在直线垂直于视
C.如果磔11鼾,押’1著,侬^'耕=看,那么S',*
D.如果勰1.耕,早与■,期都相交,那么下与然,,视所成的角互余
8.椭圆2/+y2=1的长轴长为()
A.V2B.2V2C.1D.2
9.如图,已知四棱锥S-4BCD的底面为矩形且S4_L底面4BCD,若侧棱
SC=5V2,则此四棱锥的外接球表面积为()
A.257r
B.507r
C.IOOTTUC
D.200TT
10.设m,九是两条不同的直线,a,£是两个不同的平面,下列命题中正确的是().
A.若aJ■氏mca,九u氏则m_L九
B.若a〃3,mca,nu0,,则?n〃九
C.若m1n,mca,nu0,则a10
D.若mJLa,ml",九〃£,则Q_L/?
11.如图,锐角三形4BC内接于。0,Z.ABC=60°,^BAC=40°,作2―--------9
OEJ.AB交劣弧否于点E,连接EC,则4OEC=().
B
A.5°
B.10°
C.15°
D.20°
12.若某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表
面积为()
3
A.—JT
2
C.+3
2
D.-n+毡
2
二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.命题“mxeR,x2-l<的否定是.
14.中国古代数学经典《九章算术少中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌S诏沦。),
若三棱锥P-4BC为鳖牖,且241平面48C,PA=2,AB=3,BC=4,AB1BC,则该鳖席
的外接球的表面积为.
15.在椭圆式+^=1内有一点P(l,-1),广为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|的
43
值最小,则M的坐标.
16.如图,正方体4BC。一4%的劣的棱长为1,P对角线BQ的三等分
点,P到直线CG的距离为
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.如图所示,某几何体的直观图、侧视图与俯视图如图所示,正视图为矩形,尸为CE上的点,且BF1
平面ACE,ZC交BD于点G.
(1)求证:4E〃平面BFD;
(2)求三棱锥C-BG尸的体积.
18.已知命题p:关于化的方程+4%+a+1=0有实根,命题q:VxG/?,x2+ax+1>0,若pAq
为真,求实数a的取值范围.
19.如图,在边长为4的菱形4BCD中,/.BAD=60°,DEJ.AB于点E,将△4DE沿。E折起到△AiDE
的位置,使4E1EB.
(1)求证:ArD1DC;
(2)求直线ED与平面&BC所成角的正弦值;
(3)求二面角E-AiB-C的余弦值.
20.(理科)求椭圆式+g=1上的点到直线八x—-12=0的最大距离和最小距离.
1612
21.四棱锥P—4BC0的底面48CD是边长为1的菱形,/.BCD=60°,
E是CD中点,P4J"底面ABC。,PA=2.
(/)证明:平面PBEJ■平面P4B;
(〃)求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值.
B
22.已知椭圆C的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点4(2,0),8(0,1).
(/)求椭圆C的方程;
(〃)设椭圆C在2、B两点的切线分别为“、l2,P为椭圆C上任意一点,点P到直线G的距离分别为
n、d2,证明:存在直线I:y=-|x+m,使得点P至亚的距离d(其中d羊0)满足哭恒为定值,
并求出这一定值.
参考答案及解析
1.答案:A
解析:解:由题可知:B={x|x>a+1}
当a=3时,x>a+1>4,
BQA
当BU4时,a+123即a22,不一定有a=3.
•••a=3是BU4的充分不必要条件.
故选:A.
利用对数函数求出集合B,再利用集合包含与命题充分必要性来判定.
主要考查指数函数和对数函数的单调性、集合子集的概念、充要条件,考查学生的逻辑推理能力,
属于基础题.
2.答案:A
解析:本题考查了空间几何体的三视图,考查了棱锥的体积公式,
根据三视图可知,该几何体是一底面为等腰直角三角形,有一条侧棱垂直于底面的三棱锥,所以这
个几何体的体积为N次N或淑1=
察誓顺
故选A.
3.答案:A
解析:试题分析:一条直线平行于一个平面,只能得到这条直线平行于这个平面内的无数条直线,
但并不是平行于这个平面内的任意一条直线,所以4不正确;根据相应的性质定理和判断定理可知B,
C,。均正确.
考点:本小题主要考查空间中直线、平面间的位置关系.
点评:解决此类空间中直线、平面间的位置关系问题,关键是紧扣判定定理和性质定理,定理中要
求的条件缺一不可.
4.答案:A
解析:试题分析:4项中平行于同一直线的两个平面可能平行还可能相交
考点:空间线面的位置关系
点评:基本知识点的考查,要求学生熟记掌握
5.答案:A
解析:解:由三视图的特点:长对正,高平齐,宽相等,
可知该长方体的俯视图是由长为4,宽为3的矩形构成,
所以俯视图的面积S=4x3=12.
故选:A.
根据三视图的特点:长对正,高平齐,宽相等进行分析即可.
本题考查三视图的特点,考查学生的空间立体感,属于基础题.
6.答案:B
解析:
本题考查了对数函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,
属于基础题.
根据ln(x+1)<0,,»0<X+1<1»-1<X<0,再集合充分条件必要条件的定义判断即可求
解.
解:“ln(x+1)<0"o0<x+1<1Q—1<x<0,
•.“x<0”是“ln(x+1)<0"的必要不充分条件,
故选B.
7.答案:D
解析:试题分析:对于4髓工穆,说明这两个平面必相交,设其交线为R任意直线班匚勰且涵F施,
由平面的基本性质可知知威墀,所以由线面平行的判定定理可判定蚓春溪,正确;对于B,假设国仁武
且事1•视,则由面面垂直的判定定理可得^_L理,这与条件图不垂直于视相矛盾,假设不正确,故
8也正确;对于C,如下图(1),设面产磔=叫都产盼=糜,在平面炉内取一点四,作磁JL谛于点,就,
密,1.砥于点廨,则由面面垂直:徽1.四墀的性质可得柒1嘴襄溜1金装而勰钙,爵=宜,所以
曰JL或您谒11磁,由线面垂直的判定定理可得甘,/,故C选项正确;对于D,这是不成立的,如下
图(2)的长方体,设超=假窗=工筋室=0,分别记平面,破窗将、平面,案1'为需承,记直线踊缴为
S,则新与平面嘴■/那所成的角分别为位爵翁队之速蟒鲜,而
—=e/'融陶=%=虫,故主基.=4例区幽阕用肥,
'斓'翦W'3.
8.答案:D
%2
解析:解:椭圆2/+y2=l,可得y2+丁=1,
2
可得a=l,b=-,
2
所以椭圆的长轴长为:2.
故选:D.
利用椭圆方程,求解长轴长即可.
本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.
9.答案:B
解析:解:如图所示连接AC,BD相交于点。1.取SC的中点,连接。01.
则00J/S4.
vSA1底面4BCD,
0。1JL底面ABCD.
可得点。是四棱锥S-ABCD外接球的球心.
因此SC是外接球的直径.
vSC=5V2.4/?2=50,
二四棱锥P-4BCD夕卜接球的表面积为4TTR2=507r.
故选史
如图所示,连接AC,8。相交于点Oi.取SC的中点,连接0。1.利用三角形的中位线定理可得001//SA由
于S4_L底面4BCD,可得。/1底面48CD.可得点。是四棱锥S-4BCD外接球的球心,SC是外接球的
直径,即可得出结论.
本题考查了线面垂直的性质、三角形的中位线定理、正方形的性质、勾股定理、球的表面积,考查
了推理能力与计算能力,属于中档题.
10.答案:D
解析:4中,m与n可垂直、可异面、可平行;B中m与n可平行、可异面;C中若a〃0,仍然满足m1n,
me.a,nu£,故C错误;。正确.
11.答案:B
解析:连接。C.:Z71BC=60°,^BAC=40。,•••4ACB=80°.vOE1AB,E为函的中点.•••玩、
庭和肝的度数均为80°.二NEOC=80°+80°=160°.•••乙OEC=10°.
12.答案:C
解析:
三视图复原可知几何体是圆锥的一半,根据三视图数据,求出几何体的表面积.本题考查的知识点
是由三视图求表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.
解:由三视图可知,该几何体是半个圆锥,且母线为2,底面圆的半径为1,
则该几何体的表面积为:
.鳏=工暮小普13:1,草带,虎==统北道.
S2%%
故选C.
13.答案:VxGR,x2—1>V3x
解析:解:根据全称命题的否定是特称命题,得;
命题“mxeR,x2-l<V3x"的否定是:
“VxeR,X2-1>y/3x".
故答案为:"Vx6R,x2—1>V3x.
根据特称命题的否定是全称命题,直接写出该命题的否定即可.
本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
14.答案:297r
解析:
本题考查球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
由题意,四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席,可将三棱锥P-4BC放到长方体中,P力,平
面ABC,PA=2,AB=3,BC=4,AB1BC,可得长方体的长宽高分别为4,3,2.即可求解外接
球的表面积.
解:由题意,四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席,可将三棱锥P-4BC放到长方体中,
PZL平面ABC,PA=2,AB=3,BC=4,AB1BC,
可得长方体的长宽高分别为4,3,2.
长方体的外接球即三棱锥P-48c外接球的半径R=X42+32+22=堡.
22
•・・鳖膈的外接球的表面积S=4兀/?2=297r.
故答案为297r.
15.答案:(手,-1)
解析:
本题以椭圆中求距离和的最小值的问题为载体,着重考查了椭圆的基本概念和圆锥曲线的统一定义
等知识点,属于中档题.
根据椭圆的方程求得椭圆离心率为e=}右准线方程:x=4.作出椭圆的右准线1,过M点作MN11
于N,根据圆锥曲线的统一定义,得湍=e=],所以2|MF|=|MN|,欲求|MP|+2|MF|的最小值,
即求|MP|+|MN|的最小值.作PNo11于No,交椭圆于Mo,由平面几何知识可得,当动点M在椭圆
上运动,与点M。重合时,|MP|+|MN|取到最小值.最后设出点的坐标,代入椭圆方程,解之即
可得到使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标.
解:•••椭圆方程为百+竺=1,
43
.・.a2—4,b2—3,可得c=Va2—b2=1
所以椭圆的离心率e=£=g右准线方程:x=-=4
a2c
作出椭圆的右准线汝口图,过“点作MN1I于N,
根据圆锥曲线的统一定义,得黑=e=》,
\MN\2
2\MF\=\MN\,所以|MP|+2\MF\=\MP\+\MN\.
欲求|MP|+2|MF|的最小值,即求|MP|+|MN|的最小值,
过作PN01l于No,交椭圆于Mo,由平面几何知识可得,当动点M在椭圆上运动,与点Mo重
合时,|MP|+2|MF|取到最小值.
设小(殉,一1),代入椭圆方程得今+R:=1,解之得%0=竽(舍负)
.••使|MP|+21MH的值最小的点”的坐标为(乎,一1).
故答案为(苧,一1).
16.答案:苧
解析:解:如图所示,连接殳。1,作MP〃&B,连接则GM等于P
到直线CG的距离.
•••P对角线的三等分点,
B1M=当,
二C1M=I1+--2X1X—x—=—>
1\9323
P到直线CG的距离等于
故答案为:与
如图所示,连接//,作M/7/B1B,连接C1",则C1M等于P到直线CC1的距离,利用余弦定理,求
出即可.
本题考查求P到直线CCi的距离,考查余弦定理的运用,正确转化是关键.
17.答案:(1)证明::ABC。是矩形,二6是4c中点,
•••BFJ•平面ACE,•••CELBF,
由三视图知BC=8E=2,F是BC中点,
连结FG,得FG〃/IE,
•••4E〃平面BFD.
(2)解:由(1)得FG〃/IE,
由三视图知4E1面BCE,
:.FGJ■面BCE,
在RtABCE中,BF=次=CF=丘,
S^CFB=3XV2XV2—1>
又FG="E=1,
111
VJBGF=VQ-BCF=3,SMFB'FG=-xlxl=-.
解析:⑴由线面垂直得CE1BF,由G、F分别是AC、BC中点,FG//AE,由此能证明4E〃平面BFD.
(2)由%_BGF=%-BCF,利用等积法能求出三棱锥C-BGF的体积.
本题考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥体积的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力
的培养.
18.答案:解:由方程2M+4x+a+l=0有实根,得16—8(a+l)20,即
二命题p为真命题的a的范围为(-8,1];
由x2+ax+1>0,得a?—4<0,即—2<a<2.
二命题q为真命题的a的取值范围为(-2,2).
••,pAq为真,p>q均为真,
<f<a<2'得。€(-皿
・•・实数a的取值范围是(-2,1].
解析:分别由p,q为真命题求得a的取值范围,取交集得答案.
本题考查复合命题的真假判断,考查方程根与判别式间的关系,是基础题.
19.答案:证明:(1)••・在边长为4的菱形4BCD中,4BAD=60°,DE1ABZf
于点E,
2------C
将AADE沿DE折起到的位置,使&E1EB./:/
••・由题意知E4,EB,ED两两垂直,建立空间直角坐标系,上/,
由题意得DE=20,从而4式2,0,0),B(0,2,0),C(0,4,2遮),D(0,0,2V3),
A^D=(-2,0,273).DC=(0,4,0)./
X
•.■A^DDC=0.A^D1DC.
(2)设平面&BC的一个法向量为沅=(x,y,z),
则(沆,叫'=2久一2y=0,
令z=1,则沅=(-V3,-V3,1).
(m-BC=2y+2V3z-0
ED=(0,0,2®
直线。与平面所成角的正弦值:|湍急|—2近_V7
E&BC―V3+3+1-2V5-T
(3)解:平面&BE的一个向量记=(0,0,1),
瓯=(2,-2,0),BC=(0,2,273).
设平面的一个法向量为沅=(x,y,z),
则(沅,四=2x-2y=0
令z=1,则沅=(-V3,-V3,1).
(m-BC=2y+2V5z=0
一、mn>J1
・•・cos<m,n>=--------=——
|m||n|7
.•・二面角E-AXB-C的余弦值为
解析:(1)由题意知E4,EB,两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明为D1DC.
(2)求出直线ED向量和平面4BC的一个法向量,利用向量法能求出直线ED与平面&BC所成角的正
弦值.
(3)求出平面E&B的法向量和平面4BC法向量,利用向量的数量积求解二面角E-C的余弦值.
本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查线段比值的求法,是中档题,解题时
要认真审题,注意空间思维能力的培养.
20.答案:解:设椭圆参数方程为C二;潟点戊缶为参数),
设P是椭圆上任意一点则尸(4cosa,275s出a),
则P到直线,的距离d=曳吧上齐涝吧乌=麻。s(*)T2|£[誓,4强卜
.•.当cos(a+9=±l时,可得最小距离和最大距离分别为:延,4遥.
35
解析:设椭圆参数方程为[二;溪工戊(a为参数),利用点到直线的距离公式、三角函数求值即可得
出.
本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、点到直线的距离公式、三角函数求值,考查了推理能力
与计算能力,属于中档题.
21.答案:证明:(1)连接8。,
••,四棱锥P-4BCD的底面ABCD是边长为1的菱形,乙BCD=60°,
•••BD=BC=DC=1,
•••E是CO中点,:.BE1DC,
-AB//DC,BELAB,
•••PZJL底面ABCD,BEu平面ABCD,
•••BE1PA,
,:PAC\AB=A,PAyABu平面P4B,BE_L平面P48,
vBEu平面PBE,.•.平面PBE1平面P4B.
解:(口)以E为原点,EB为x轴,EC为y轴,以过点E且垂直于平面4BCD的直线为z轴,
建立空间直角坐标系如下:
则P修1,2),C(0[,0),喈,0,0),E(0,0,0),
同=(一日福,-2),丽=(曰,0,0),即=弓,-1,2),
设平面的法向量=(x,y,z),
(n-EB=—x=0
则{_,,取z=1,得元=(0,2,1),
(五•EP=—%—y+2z=0
设直线PC与平面P8E所成的角为巴
,I—TI国•司1例
则、”/〃cues<PC.n>=——-v--------=—=.——尸=——.
I
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