2021-2022学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷（含详解）

2021-2022学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1.（4分）函数y卷sin2x的最小正周期7=-

2.（4分）已知函数/（x）=/+太是奇函数，则实数。=.

3.（4分）已知集合A={x||x|<2},8={x|」—>0},则ACB=.

x+1

4.（4分）方程/g（2x+l）+lgx=1的解集为.

5.（4分）设函数f（x）Jx+l（x）0）,那么（io）=______.

2x（x<0）

6.（4分）若集合4={x|3cos2nx=3x,x€R},B^{y\y2=\,yER},贝i」ACB=.

7.（5分）基函数y=/,当a取不同的正数时，在区间［0,1］上它们的图象是一族美丽的

曲线（如图）.设点A（1,0）,B（0,1）,连接48,线段A8恰好被其中的两个基函数

y=/,y=d的图象三等分，即有BM=MN=NA.那么印=.

8.（5分）己知函数f（x）=近1-2（a>0且a#l）的图象不经过第四象限，则a的取值

范围为.

9.（5分）已知函数f（x）=asiiir+cosx在［0,g-］上的最小值为-2,则实数a的值

为.

10.（5分）给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是

①存在实数a,使sinacosa=l；

②存在实数a,使sina+cosa［；

③y=sin是偶函数；

④x4是函数y=sin（2x^^L）的一条对称轴方程；

⑤若a,0是第一象限角，且a>0,则sina>sin0.

11.(5分)某同学向王老师请教一题：若不等式/对任意(1,+8)恒

成立，求实数。的取值范围.王老师告诉该同学：恒成立，当且仅当x=0时取

等号，且g(x)=x-4配v在(1,+8)有零点”.根据王老师的提示，可求得该问题中

a的取值范围是.

12.(5分)设二次函数/(x)=iwr-2x+nGn,nGR),若函数/(x)的值域为［0,+°°),

22

且/(1)W2,则』一+二2—的取值范围为

22

n+lm+l

二、选择题(本大题共4题，满分20分)

13.(5分)一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是()

弧度

A.2B.3C.4D.5

14.(5分)对于函数/(x)=asinx+bx+c(其中，a,beR,cGZ),选取a,b,c的一组值

计算/(l)和/(-1),所得出的正确结果一定不可能是()

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

15.(5分)设函数/(x)=工，g(%)^(u?+bx(a,b&R,aWO)若y=/(x)的图象与y

X

=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(XI,yi),B(屹，"),则下列判断正确的是

()

A.当aVO时，xi+x2<0,yi+y2>0

B.当aVO时，xi+x2>0,y\+y2<0

C.当〃>0时，xi+x2<0,yi+y2Vo

D.当a>0时，xi+九2>0,yi+y2>0

16.(5分)设函数/(x)=2^-2^'+3xeR,对于实数a、h,给出以下命题：

IxI+1

命题pi：

命题p2：a-廿20；

命题q：/(a)+于(b)20.

下列选项中正确的是()

A.pi、p2中仅pi是q的充分条件

B.pi、P2中仅〃2是q的充分条件

C.pi、P2都不是夕的充分条件

D.pi、P2都是4的充分条件

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)

17.(15分)已知函数f(x)=12三的定义域为集合A,集合8=(a,〃+1),且BUA.

1-x

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：函数y=f(x)是奇函数但不是偶函数.

18.(15分)如图，在半径为20a”的半圆形(。为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,

其中点A、8在直径上，点C、。在圆周上.

(1)请你在下列两个小题中选择一题作答即可：

①设NBOC=8,矩形ABC。的面积为S=g(。)，求g(6)的表达式，并写出6的范围.

②设BC=x(c/n),矩形ABC。的面积为S=f(x),求/(x)的表达式，并写出x的范围.

(2)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积.

19.(15分)在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦

eXe

函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh(x)=-^,双曲余弦函数：

cosh(x).(e是自然对数的底数，e=2.71828…).

(1)解方程：cosh(x)—2；

(2)类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh(x+y)=,并

证明；

(3)若对任意re[0,/n2J,关于x的方程sinh(t)+cosh(x)=a有解，求实数a的取

值范围.

20.(15分)对闭区间/,用表示函数y=f(x)在/上的最大值.

(1)对于f(x)=xJ，求的值；

X

(2)已知f(x)=asin(x^-Hcos且)'=/(》)偶函数，儿〔司二^'

求6的最大值；

(3)已知/(x)=sinx,若有且仅有一个正数4使得Mo.a]=kM[a,2a]成立，求实数女的

取值范围.

21.(16分)定义域为R的函数y=f(x),对于给定的非空集合A,AUR,若对于A中的任

意元素a,都有/(x+a)可(x)成立，则称函数y=/(x)是“集合A上的Z-函数”.

(1)给定集合人={-1,1},函数y=/(x)是“集合A上的Z-函数”，求证：函数y

=/(x)是周期函数；

(2)给定集合A={1},g(x)—ar+bx+c,若函数y=g(x)是''集合A上的Z-函数”,

求实数a、6、c所满足的条件；

(3)给定集合A=[0,1],函数y=〃(x)是“集合4上的Z-函数"，求证："y=/?(x)

是周期函数”的充要条件是“y=k(x)是常值函数”.

2021-2022学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)

1•【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可.

【解答】解：由三角函数的周期公式可知，

函数尸工sin2x的最小正周期为T=22L=TT

22

故答案为：n.

2.【分析】由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法.

【解答】解：由奇函数定义有-x)=-f(x),

则/(-1)=a-2=-/(1)=-(a+2),

解得a—0.

3•【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A,B,再根据集合交

集运算法则，即可求出答案.

【解答】解：•••集合A={x||x|<2}=(-2,2)

B={x|——>0)=(-1,+°°)

x+1

：.AHB=(-1,2)={x|-l<x<2}

故答案为：{x|-l<x<2}

4.【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，

求解一元二次方程得答案.

【解答】解：(2x+l)+lgx=1,

：.lg(x(2x+D)=/gl0,

'x〉0

•2x+l>0>

x(2x+l)=10

解得：x—2.

故答案为：{2}.

5.【分析】欲求f'(10),根据原函数的反函数为fl(x)知，只要求满足于f(x)=10

的x的值即可，故只要解方程/(X)=10即得.

【解答】解：令/(f)=10,则(10),当，＜0有2f=10n/=5,不合，

当f20有P+l=10nr=-3(舍去)或t—3,

那么fl(10)=3

故答案为：3.

6.【分析】利用余弦函数和指数函数的图象化简集合A,求解二次方程化简集合8,然后直

接取交集运算.

【解答】解：函数y=3cos2nx与y=3'的图象如图，

所以A={X|3COS2TLT=3X,X€R}={XI,m，1),8=3尸=1,)，eR}={7,1},

所以AnB={xi,1}A{-1,1}={1}.

故答案为{1}.

7.【分析】先确定M、N的坐标，然后求得a,p；再求a0的值.

【解答】解：BM=MN=NA,(1,0),B(0,1),所以用母，

NJ上）,分别代入＞=y，y=/

匕3,

2_

CI=10§2，B=log!

T*3

2

aB=log^•log|=1

TT

故答案为：i

8•【分析】根据指数函数的图象与性质，求出/(X)恒过定点，结合题意列不等式求出4

的取值范围.

【解答】解：函数/(x)=*1-2(〃＞0且QW1)中，

令x+l=0,得工=-1,所以/(-I)=1-2=-1,

即/(x)的图象过定点(-1,-1)；

由/(X)的图象不经过第四象限,

则,/•(())=0-220,

解得。22,

所以a的取值范围是［2,+8).

故答案为：［2,+8).

9.【分析】/(x)=asinjv+cosji在［0,弓一］上的最小值为-2,可分与n<0两类讨论,

结合题意求得实数。的值.

【解答】解：•.•函数f(x)=asinx+cosx在［0,5］上的最小值为-2,

①若a2O,则y=asinx2O,y=cosx20,f(x)20,与题意不符；

②若a<0,则丁=心1必与、=8$%均在［0,段-］上单调递减，

:,f(x)=asiar+cosx在［0,g_］上单调递减，

.V(x)min=f(-^-)=4=-2,符合题意，

故答案为：-2.

10•【分析】根据二倍角公式得到sinacosa=」sin2a,结合正弦函数的值域可判断①正误；

2

根据两角和与差的正弦公式可得到sina+cosa=J，sin(a+匹)结合正弦函数的可判断

4

②正误；

根据诱导公式得到y=sin(也;-2x)=sin(=一")=cos2x,再由余弦函数的奇偶

性可判断③正误；

将xf代入到y=sin(2x0^)得到如(2xA+IZL)-sin爸=-1,根据正弦

函数的对称性可判断④正误.

利用反例判断⑤的正误，即可.

【解答】解：对于①，由sina・cosa=l,得sin2a=2,矛盾；①错误.

对于②，由sina+cosa=-^，得&sin(a+-^-)矛盾；②错误.

对于③，y=sin(-^---2x)=sin(=COS2X,是偶函数；③正确.

对于④，将人工代入至二sin(2x4^)得到qn(2x2L+I2L)=sin亚=-1,

x8丫「842

x4是函数y=sin(2x隹匚)的图象的一条对称轴方程.④正确.

对于⑤，不妨取0=60°,a=390°,a>B但是sina<sin0..•.⑤不正确.

故③④正确

故答案为：③④.

II.【分析】根据函数/?(x)=x-4/nx在(1,+8)有零点，设为乂)，得到xo=4/nxo,

=犹4,根据函数/?(外的单调性求出灿的范围，根据/(即)=-(a+4)Inxo^O,得到

关于a的不等式，解出即可.

【解答】解：x-V-a/nx>x+1,即且--R〃x2x+1,

4

x

x

令/(亢)=-^—-alive-x-L(x>l),

x4

函数/z(x)=x-4/nx在(1,+°°)有零点，设为xo,

则/?(尢())=xo-4/nx()=0,贝ijxo=4/nxo,则/=夏4,

x0

h'(x)=1-

XX

令H(x)>0,解得：x>4,令/?'(x)<0,解得：1<X<4,

故/i(x)在(1,4)递减，在(4,+8)递增，

而力(1)=1,h(4)=4-4/H4<0,故1VXO<4,

x4

e0XO

故『(xo)=------alnxo-xo-1=-------alnxo-4/ztxo-1=-(a+4)bvco2O,

x0x0

V/nxo>O,.•・a+4W0,故aW-4,

故〃的取值范围是(-8,-4],

故答案为：(-8,-4].

12.【分析】根据二次函数的性质以及基本不等式的性质求出代数式的取值范围即可.

【解答】解：二次函数/(X)—iw？-2x+n(/??,/1GR),

若函数/(k)的值域为[0,+8),

贝lj△=4-4/?77?=0,解得：nm=1,且m>0,

又/(I)-2+〃W2,n=—f

m

则77?+工<4,

m

n2+lm2+l

1

2~

=_L+_rni_

,11-2

l-+^y1+m

m

6

_m+l

m2(1+m2)

42

-m-m+l

而由m+」_W4,m>0,

m

得2Wm2+_l_W14,

m

故"P+J-l的取值范围是[1,13],

m

22

即q—的取值范围是n，13],

n2+1+1

故答案为：[I,13].

二、选择题(本大题共4题，满分20分)

13•【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求/,〃然后结合扇形圆心角公式可求.

'l+2r=4

【解答】解：设扇形半径一，弧长/，则1,

ylr=2

解得r=l，1—2,

所以圆心角为工=2.

r

故选：A.

14.【分析】求出/(1)和/(-1),求出它们的和；由于cWZ,判断出/(I)4/(-1)为

偶数.

【解答】解：/(I)=asinl+什&D

/(-1)=-asin1-b+c@

①+②得：

/(1)4/(7)=2c

Vcez

:.f(1)+/,(-1)是偶数

故选：D.

15•【分析】画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论.

【解答】解：当〃<0时，作出两个函数的图象，

若y=f(x)的图象与y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点，

必然是如图的情况，

因为函数f(x)=」是奇函数，所以A与A'关于原点对称，

X

显然X2>-Xl>0,即X)4-X2>0,

-yi>>2,即yi+y2V0,

同理，当。>0时，有当。>0时，xi+x2<0,y\+y2>0

xxgG)

=2-2fh(x)।?R

IxI+1

是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(-8,0)单调增，在(0,+°°)单

调减，且%(x)>0,根据这些信息即可判断.

【解答】解：令/(x)=g(x)+h(x),g(x)=2X-2h(x)=-_——,x€R»

IxI+1

g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(-8,0)单调增，在(0,+

8)单调减，且〃(X)>0,/(〃)+f(Z?)2-7(6),

即g(a)+h即)2-g即)-h即),

即g(a)+h(a)2g(-Z?)。(/?)],

①当a+h^O时，a》-b,故g(a)(-b),又h(x)>0,故/?(a)>-h(b),

此时/(a)+fCb)20,

可得pi是q的充分条件；

②当q-序20时，则有：

a>0,

(/)当a21时，a^\/~a，贝U-bWa,故g(a)2g(-Z?)；

止匕时，h(a)>0,-h(6)<0,

:.h(a)>-h(b),

：.f(a)+f⑹20成立；

(ii)当a=0时，6=0,f(0)+f(0)=6—0成立，即/(a)+fCb)20成立；

(Hi),:g(x)在R上单调递增，/z(x)在(-8,o)单调递增，

.*./(x)—g(x)+h(x)在(-8,o)单调递增，

"：f(-1)=0,：.f(x)>0在(-1,0)上恒成立；

又'."NO时，g(x)20,h(x)>0,

：.f(x)>0在［0,+8)上恒成立，

：.f(x)>0在(-1,+8)恒成立，

故当0<a<l时，a<y/~a<\,-1<-<1,

：.f(a)>0,f(b)>0,

：.f(a)+f(b)20成立.

综上所述，4-序》0时，均有/(a)+f(/»)20成立，

:.p2是q的充分条件.

故选：D.

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)

17.【分析】(1)由产>0可求得/(x)的定义域4,由8=(a,a+1),且BUA,列式计

算可求得答案；

(2)可证得f(x)+fC-x)=0,从而可得结论成立.

【解答】解：(1)由上曳>0得-1<XV1,

l-x

，函数f(x)区的定义域A=(-1,1)；

l-x

又8=（〃，〃+1）,且3GA,

1.fa>-l,解得-iWaWO,即“日-1,0］；

la+l<1

(2)证明：二/'(x)+f(-x)=/g上曳+/g上三=/g(上曳•±N)=/g1=0,

l-x1+x1-x1+x

'.f(-X)=-f(x),/(-X)壬/1(x),

・••函数)，=/(x)是奇函数但不是偶函数.

18.【分析】(1)①连接0C,设NBOC=。，矩形ABCZ)的面积为S,则S=AB・BC=2。比

BC=900sin29,由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值.

②连接0C，设BC=x,矩形ABCD的面积为S；则S=AB>BC=2xyJi()()_=2

VX2(400-X2)1由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；

(2)根据(1)问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABC。的面积最大及最

大值.

【解答】解：如图所示，

(1)①连接0C,设/BOC=0,矩形A8C£>的面积为S,则BC=20sin。，OB=20cosO

(其中0<0<生)；

2

：.S=AB'BC=20B'BC=400sin2d,且当sin20=l,即S=2L时,S取最大值为400,此

4

时BC=10近;

所以，取BC=10\历时，矩形A8CZ)的面积最大，最大值为400a#

②连接0C,设BC=x,矩形ABCD的面积为5；则AB=24曲。-x2(其中0<x<20),

5=2x^400-x2=242(400-乂2)WJ?+(400-/)=400,当且仅当/=400-

即x=10我时，S取最大值400；

所以，取BC=10&5J时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400c病.

(2)由(1)知，取NBOC=三时，得到C点，从而截得的矩形ABCQ,此时截得的矩

4

形ABCD的面积最大，最大值为400c/n2.

19.【分析】(1)cosh(x)—2,即炭+/'=4,化简得(e^)2-4^+1=0,即可求解,

(2)sinhCx+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y),将双曲正弦与双曲余弦函数

分别代入左右两边验证，即可证明，

t-t

(3)分析可知且二_+1有解，利用函数的单调性可求得实数。的取值范围.

2

【解答】解：(1)cosh(x)—2,

即：-+-=4,

整理得(/)2-4必+1=0,

解得：x=ln(2±A/3).

(2)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y),

x-ty-x-y

理由：左边=sinh(x+y)=£--------,

2

x_-xy-yx,-xy-y

右边=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)=-^-e——X_®---®—+------——Xe~~e—

2222

x+y,x-y广x-x-y->x-ly,尸xx-y-x-yx-ty-x-y

=e+巳-巳-exe+巳一巳一巳=巳一E,

~242-

左边等于右边，于是sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)成立.

t-X-x

(3)因为7E[0,ln2],则lWe'<2,则。=sinh(/)+cosh(x)=e~e~+e+e—,

22

t—x-x,

所以-e-e=e+exF=I,当且仅当x=0时取等号，

22V

tT

贝|J心e-e+]有解，

2

tT

因为函数〉=落y=-均为[0,/〃2]上的增函数，故函数g(f)=.且一二2—+1在[0,历2]

2

上为增函数，

所以(t)min—g(0)=1,

故实数a的取值范围为[1,+8).

20•【分析】(1)判断)，=/(x)的单调性即可求解；

(2)由偶函数求得“=2,根据)，=/(x)的最大值判断a,人范围，即可求解；

(3)讨论0<%<1与当Mo.a]=AM[a.2a]时，判断正数4的取值个数，即可求解.

【解答】解：(1)对任意xi,X2G[1,2],且xi〈x2时，

由f⑶)-f(X2)=x14-^—(x2-f-^-)=(X:X2)(1--—)>0，

x1x2X1x2

对任意XI,X2G[2,4],且XI<X2时，

+-_

由f(xi)-f(x2)=x[--(x2^)=(x1-x2)(1------)<0

x1x2X1x2

所以f(x)=x4在[1，2]上单调递减，在[2,4]上单调递增;

X

又f(1)=1+Y=5,f(4)=4+^-=5,

所以M[\,4]=5；

(2)由于y=/(x)是偶函数，所以f=f

66

mil/兀7T、/TU7T、.7T7T、.TT7T、

则asin(彘-•*^-)+cos(-g--^-)=asin(~g--^-)+cos)

解得4=2；

则f(x)=2sin(x^^TT~)+cos7T=V3cosx,

因为M=^->

m[a，b]2

所以?-+2k兀《a<b43二+2k兀，k€Z»

oo

故b-a的最大值为里L.

3

(3)①当0VZV1时，由于M[0,a]=kM[a,2力则M[0,方],所以0<@<弓_,

M兀

若0<a<7""时，有Mo,a]=sinmM[a,勿=sin2a=2sinacosm

所以sina=2ksinacosa,Wcosa=-^-;

2k

若。＜k＜]■时，有cosw^E[1,+8),此时。无解；

乙乙K

?』＜k＜零■时，有cosa=^7t(三齐，1＞此时。有一解;

乙乙乙K乙

若华《＜1时有cosa=上变争,此时a无解；

,

若g~《a〈三时，有I©2产ina,I[a,2a]=sin-y=l

所以sina=k,

因为sina€，1)，

若0＜卜(尚时