6-3阶跃响应冲击响应

§6-3阶跃响应冲激响应在电路分析中，常引入阶跃函数（stepfunction）来描述电路中的一些物理现象。例如，引入阶跃函数建立开关接通或断开电源（激励）的电路模型和数学模型，以便分析电路的激励与响应。一、阶跃函数与阶跃响应1.单位阶跃函数单位阶跃函数ε(t)的定义t<0t>0tε(t)01图1.单位阶跃函数2.延时单位阶跃函数延时单位阶跃函数的定义为t<t0t>t0tε(t)01图2.延时单位阶跃函数t0tkε(t)0k图4.k个单位阶跃函数tε(－t)01图3.单位阶跃函数ε(－t)3.单位阶跃函数的开关作用+t=0N－+－1VuN－++－u(t)ε+t=0N－+－1VuN－++－u(－t)ε+t=0N－1Aui1A+N－ut=0iN+－u(t)εiN+－u(－t)εi单位阶跃信号作用下电路的零状态响应，称为电路的阶跃响应，记作

s(t)。+t=0－+－1VuCRC4.阶跃响应+－+－uCRC(t)ε阶跃响应（2）RL并联电路的阶跃响应t=01ARLiLRLiL(t)ε阶跃响应（1）RC串联电路的阶跃响应●若电路的输入为延时单位阶跃信号ε(t－t0)，则电路的阶跃响应（亦即零状态响应）为s(t－t0)例如，图示电路的零状态响应为t=1s1ARLiL●若电路的输入为k个单位阶跃信号，依据零状态响应的比例性可知ks(t)

即为电路的零状态响应t=1s5ARLiL二、分段常量信号及其响应在信号分析中，把某些时间段为常量的信号称为分段常量信号，分段常量信号可表示为阶跃信号的叠加。例如0f(t)tt010t1－t00t10f(t)t11－t0t020t1－0t2t0+0t12t0==[例题]

在图(a)所示电路，已知电压源的电压波形如图(b)

所示，初始电压uc(0)=0，试求响应

uc(t)及其波形如何？解：图(b)所示分段常量信号uS(t)可分解成图(c)和图(d)所示两阶跃信号的线性叠加0（c）t1t/s10u1(t)/V0（d）t/s－10t2u2(t)/V+－uS(t)+－uc2Ω1F（a）0（b）t1t2t/suS(t)/V10即时间常数为u1(t)作用于电路的零状态响应为u2(t)作用于电路的零状态响应为

应用叠加定理求得uS(t)作用于电路的零状态响应为响应

uc(t)的波形uc(t)/V100－10t/st1t2分段常量信号作用于电路的零状态响应，可分解为一系列阶跃信号单独作用于电路所产生的零状态响应的叠加三、冲激函数与冲激响应1.单位冲激函数单位冲激函数可以看成是脉冲函数p△(t)在△→0时的极限。当脉冲宽度△减小时，脉冲函数的幅度(1/△)增加，而p△(t)曲线下的面积总保持为1。当脉冲宽度△→0

时，脉冲幅度(1/△)→∞，在此极限情况下，可以得到一个宽度趋于零，趋于无限大的面积仍为1的脉冲，这就是单位冲激函数δ(t)，可记为△1/△p△(t)tO面积=1脉冲函数1tO单位冲激函数δ(t)tOKδ(t)K强度为K的冲激函数（t≠0）单位冲激函数又称为狄拉克（Dirac）函数，记为δ(t)。它在t≠0处为零，但在t=0处是奇异的，是一种奇异函数，其定义为1tO单位冲激函数δ(t)发生在t=t0时的单位冲激函数写为δ(t－t0)

，用Kδ(t－t0)表示一个强度为K

，发生在t0时刻的冲激函数1tO延迟出现的单位冲激函数δ(t－t0)t0tOKδ(t－t0)K延迟发生，强度为K的冲激函数t02.冲激函数的两个性质（1）冲激函数δ(t)对时间的积分等于单位阶跃函数E(t)

，即反之，单位阶跃函数E(t)对时间的一阶导数等于冲激函数δ(t)

，即（2）冲激函数的筛分性质（又称取样性质）由于在t≠0时，δ(t)

=0，所以对任意在t=0

时连续的函数f(t)

，将有则有同理，对任意一个在t=t0

时连续的函数f(t)

，有3.冲激响应单位冲激输入（激励）下的零状态响应定义为单位冲激响应，记为h(t)。其响应可以是电压，也可以是电流。则，激励产生的响应为如果激励产生的响应为激励产生的响应为其中，k

为积分常数线性、时不变电路的一个重要性质于是，单位冲激响应为结论：线性时不变电路的冲激响应是它的阶跃响应的一阶导数[例题]求RL串联电路在冲激电压源δ(t)

作用下电流的冲激响应。RLi(t)－+δ(t)解：利用冲激响应电路中电流i(t)的单位阶跃响应为电流i(t)的单位冲激响应为RLi(t)－+δ(t)分析：i