4月大数据模拟卷02（山东、海南专用）（解析版）高中数学

4月大数据精选模拟卷02（山东、海南专用）

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知集合4={乂一%2+2%>0},8={》|》>1},则An(CRB)=()

A.(0,1)B.(0,1]C.(-oo,0)D.(1,2)

【答案】B

【详解】

因为A={x|-f+2x〉o}={x[0<x<2},CR8=1}

所以An(CM)=(。』

故选：B

2.若复数2=三，则目=()

A.V2B.2C.V3D.y[5

【答案】D

【详解】

3—i(3-i)(l+，)3+21+12+.

口-(1-i)(l+i)-~2Iz|=G+F=75

故选：D

3.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学

为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，"几何原本”，"什么是数学”

四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门］选修课程选完，则

每位同学的不同选修方式有（）

A.60种B.78种C.84种D.144种

【答案】B

【详解】

由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1』,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4

1

门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有A；种不同分配方式,由乘法原理可得共有

•用=36种，若是0,1,3,则先将4门学科分成三组共C：C；种不同方式,再分配到三个学年共有用

6

种不同分配方式，由乘法原理可得共有=24种，若是0,2,2,则先将门学科分成三组共写•种

C2c2

不同方式，再分配到三个学年共有A；种不同分配方式,由乘法原理可得共有弋"•耳=18种

4

所以每位同学的不同选修方式有36+24+18=78种,

故选：B.

型、ln|x-2|

4.函数~。•的部分图象大致为().

(x-2\

【答案】A

【详解】

、In|x-2|.In2_In2

因为/(外=*7一~/，一〃°)=Kk=一-二°，排除B和C,

(-X-2)-(-2)»

又当工.”时，|n|x-2|>0,(x-2)3>0,所以〃x)>0,排除D,

故选：A.

5.已知圆C:(x—4)?+(丁一2)2=16,直线/：y=%(x+2)(Z<0)与圆。交于M、N两点、若LCMN为

直角三角形，则％=()

1111

A.B.C.D.

4567

【答案】D

【详解】

因为△C0N为等腰直角三角形，且圆C的半径为4，

2

|6Zr-2|r—1

11

所以点C到直线/的距离d,=2V2,整理得7公一6々—1=0,解得&=一一或攵=1(舍去).

JF717

故选：D.

22___

6.已知双曲线c:'—"=l(b>0)的离心率为e,若ee(6,Ji5)则C的焦点到一条渐近线的距离的

取值范围为()

A.(1,30)B.(0,+oo)C.(2而母)D.(72,372)

【答案】C

【详解】

因为e=j+号底厢),所以力€(2夜,3拒)，

而C的焦点(土c,0)到渐近线fox土政=0的距离为d=b

4『+从

所以距离的取值范围为倒"3码.

故选：C

ex+4a,x>0,、

7.已知函数〃x)=<2Togg+l),xM。在定义域上单调递增’且关于'的方程小)“+2恰有一

个实数根，则实数。的取值范围为()

111.1

A.B.一，一C.D.(0,1)

%4ee7

【答案】C

【详解】

3

v=e^+4ci

(0,2)

■>

v=2-logXv+l)

0<Q<1,1

〃x)在定义域上单调增，.:•■一<。<1,

4a+l>24

"/y=e'+4Q在x=0处切线为y—(4a+l)=x,即j=x+4«+i,

乂4。+122故y=x+2与y=e'+4a(x>0)没有公共点

,y=x+2与y=2-log“(x+l)有且仅有一个公共点且为(0,2)

,y=2—log“(x+l)在x=0处的切线的斜率必须大于等于1,

f1

y=-k=--->1,/.In6Z>—1,1・a2-,

Inae

综上：—。<1

e

8.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若

数列｛玉｝满足X,用则称数列｛%｝为牛顿数列.如果函数f(x)=^-x-2,数列｛%„｝为

f'M,

%—2

牛顿数列，设4,=ln」^且6=1,x„>2,数列｛q｝的前〃项和为S“，贝152021=().

Xn+1

(1V021J门产

A.22021-1B.2202,-2c.1--D.-2

【答案】A

【详解】

4

X”X"2_%”+2

由题可知：/'(x)=2x-l,%=x，-

2x.T2%„-1

^^-2z、2

所以血w=与三一=(丐],

当+1+1“"+2+](%"+1,

2^

x.—2x—2

则两边取对数可得In-;=21n-^―,即all+l=2an

X“M+1X„+1

所以数列｛4｝是以1为首项2为公比的等比数列，

所以邑021=4匕©=22°2「1

i-q

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知。>匕>0,且。+/?=1,则().

21

A.log,b>log；,aB.-+->6

(ab

baahab

C.a>bD.2-2>2--2-

【答案】ACD

【详解】

对于A中，由a>h>0,且。+6=1,可得0<。<1，0<h<l，

由对数函数性质可知y=log,,x,y=log%x为单调减函数，

因为。>。>0,log〃a<l0gz,b=l,log”匕>log,8=l,所以log46>log",所以A正确;

对于B中，由a>0>0，a+b-1，

,21/21、/c2ba.c伍

可得—i——I—|(a+/?)=3H---1—23+2,2,

ab\ab)ab

1

当且仅当——=，时，即々=回时等号成立，因为3+2正<6,所以B错误；

ab

对于C中，由0<。<1,Q<b<\,

因为指数函数性质可知y=a‘，y=6*都是单调递减函数，a>b>Q，

所以。”>废>〃，所以C正确;

5

对于D中，令〃x）=2'—2-x,是单调递增函数，因为2〃—2-a>2"-2-J所以D正确.

故选：ACD.

10.2020年4月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰-复工复产、恢复经济正常运行.某企

业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法错误的是（）

疫情防控期间某企业复工职工调查

申请休假

5.1%

B.从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178

C.不到80名职工倾向于继续申请休假

D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名

【答案】AC

【详解】

对于选项A：x=100—42.3—17.8—5.1=34.8,所以选项A错误，

对于选项B：由扇形图可知该职工倾向于在家办公的职「.占17.8%,所以从该企业中任取一名职工，该职

工倾向于在家办公的概率为0.178,所以选项B正确，

对于选项C：由扇形图可知倾向于继续申请休假的职工占5.1%,irii5.1%xl644«84（人），所以选项C

错误，

对于选项D：由扇形图可知倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工占42.3%+17.8%=60.1%,而

60.l%x1644®988（人），所以选项D正确，

故选：AC.

11.已知函数/（x）=.sinR+J|cosx|,则（）

A./（X）是周期函数B./（x）的图象必有对称轴

6

C./（x）的增区间为,keZD./（x）的值域为［1,我］

【答案】ABD

【详解】

故A正确；

对B,/(-x)=Jsin(-x)|+Jcos(-刈=Jsinx]+J|cosx|=/(x)，故/(x)关于V轴对称，故B正

确；

3

对C,当左=0时，区间为0,耳,V/=2"

1、1/、JL

<24,故/（X）在0,-不单调递增,故C错误;

对D,由AB可得/卜+^卜/⑴二八一》），则/（X）关于x=（对称，且周期为

故“X）的值域即为“X）在0,?的取值范围，此时/（x）=闹嚏+而

33

:（“卜（cos,5-（si”户.

VXGcosx>sinx,/"(x)>0.

2jsinxcosx

可知/（x）在0,?单调递增，

•."（0）=1,卜我，故/（x）的值域为［1,圾］.

12.已知双曲线。过点（3,0）且渐近线方程为y=±乎X，则下列结论正确的是（）

2

A.C的方程为工—产=1B.C的离心率为6

C.曲线y=e*-2-i经过。的一个焦点D.直线x-6y-1=0与C有两个公共点

【答案】AC

【详解】

7

对于A：由双曲线的渐近线方程为y=土与x，可设双曲线方程为1■—丁=2(/1丰0)，把点(3,夜)代入,

9Y2

W?-2=A,即；1=1.所以双曲线C的方程为二—尸=1,故A选项正确;

33

对于B：由〃=3，廿=1,得c=席毋=2,所以双曲线C的离心率为专=¥，故B选项错误;

对于C：取x+2=0,得x=—2，y=0,曲线y=e"2—1过定点(—2,0),故C选项正确;

对于D：双曲线的渐近线x±Gy=0,直线x-6y-1=0与双曲线的渐近线平行，直线x—Gy-1=0

与C有1个公共点，故D不正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知。=(加一1),b=(-L2),c=(-3,m),若〃//(2坂+。)，则实数〃?=.

【答案】-5或1

【详解】

26+c=(-5,4+m),则Q//(2B+C)<=>5=4m+m2，则rrr+4m-5=0，贝U加=-5或加=1.

14.fx-4+-^的展开式中常数项是________.(用数字作答)

(X)

【答案】-160

【详解】

32

由题意，化简(x-4+9_(X-4X+4?_(--2)6

、x,x

又由(x-2)6展开式的通项为玛丁-，(一2)'=(-,

当r=3时，可得(一2)3。；/=—160/,

所以(x—4+3)的展开式中常数项是一16,二=-160.

故答案为:-16()

x+4e,x<0

15.已知函数/(x)=<ex，若存在玉<0,x>0,使得/(%)=/(%)，则％/(电)的取值范

—,x>02

Ix

8

围是.

【答案】［Ye?,。］

【详解】

*X2

*,*f(玉)=/(M)»/•%+4e=—,Xy-e----4e,

x2x2

Q玉<0,—«4e,

X2

小、八口卜一\///、exx-exex(x-l)

与尤>0时，/(%)=—，/(%)=——--=——--

XXX

由/（%）>0得由r（x）v0得Ovxvl,所以在（0,1）上递减，在（L-）上递增,

/（X）在无=1处取得最小值.-.e<—<4e,

%2

二%/（工2）二一4e---,

222

令，=—,则e4/44e,x}f(x2)=t-4et=(t-2e)-4e

当，=2e时，％"（犬2）取得最小值-4/,当f=4e时，百/（々）取得最大值0，

所以国/（々）的取值范围是［Te?,。］.

16.如图，平面ABC,平面BCDE,四边形BCDE为矩形，BE=2,BC=4,口46c的面积为2百，点P

瓜np

为线段OE上一点，当三棱锥p-ACE的体积为立时，——=_

3DE

3

【答案】-

4

【详解】

解：如图，过A作AFLBC的延长线，垂足为F,

9

:平面ABCmBCDE,平面4BCn平面BCDE=BC,

尸1.平面BCDE,

由8E=2,BC=4,[]A3c的面积为2百，得;BCAF=26,

G,则VD_ACE=VAYDE=3义DExBExAF

=-x—x4x2x6；

323

%_ACE=VA-PCE=；X；XPEXBEXAF=4.

DN3

更

PEVpACE31nlDP3

DEVD_ACE4734DE4

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①asin(A+C)=8cos(A-V)；®1+2COSCCOSJB=COS(C-B)-COS(C+B)；③

---2-t-an--3--=一h

tanA+tanBc

这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.

问题:在DABC中，内角A,B,C的对边分别为a,4c,且b+c=2百,a=&,求DABC的面

积.

【详解】

选①，由正弦定理得sinAsin8=sin8cos(A-。

因为0<3(乃，所以sinBwO,

io

所以5抽4=85卜一制，化筒得5皿4且。sA+「nA，

22

所以cos(A+[J=0,因为0<4<万，所以A=q,

因为/=b*2+c2-2bccos—=(b+c)2-2bc-2bccos—,a=y/6,b+c=2y/3,

33

所以bc=2,

jn空;

所以S^BC=—OcsinA

2232

选②因为1+2COSCCOS3=COS(C-3)-COS(C+3),

所以l-cos(C-3)+cos(C+B)+2cosCeos3=1+2cos(C+B)=l-2cosA=0,

所以cosA=一,

2

TC

因为C为三角形的内角，所以A=—,

3

式

因为/=〃+/-2/?ccos—=(b+c)2—2bc-2/?ccos—,a-V6,/?+c=273

3

所以历=2,

=4csinA」x2xsin工=@；

所以S,8c

2232

2tan8b

选③因为

tanA+tanB

GDsinB

所以由正弦定理可得:——-——

tanA+tanBsinC

sinB

X

可得__cos^=^B

sinA+sin8sinC

cosAcosB

2sinB2sinB

可得cos8=cosB=2sin8cosA=sin8

sinAcosB+sinBcosAsinCsin。sinC

cosAcosBcosAcosB

因为sinBw0,sinCw0,

所以解得cosA='，

2

ii

因为Ae（（）,乃），所以4=彳,

因为a?=b2+c2-2Z?ccosy=(b+c)2-2bc-2bccos^,a=y/6,b+c-2>j3,

所以bc=2,

所以SMBC=-bcsinA=—x2xsin一

223

18.己知数列｛a“｝满足4=O（/eN*）

（1）证明:数列＞是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

（2）设S,,为数列｛%/+]｝的前〃项和，证明S,,

【详解】

11c

（1）由题对4+1+2。“+]。“=0两边同时除以。“+汹”得--------=2

2+1an

1。1

又一=2,所以《一是首项为2,公差为2的等差数列,

4册

所以——2+2(九-1)=2/1

1

所以

-五

111Z11

/

-X-X

----一

4/\4H

〃

H+/!V〃

/1+

11

<

-/\-

44/+14

\(7

1

即s<-

〃4

19.下围棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息.现某学校象

棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛.现某班有12位象棋爱好

者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，（规则采用“中国数目法”，没有和棋.）即每人进行11轮比赛，最

后靠积分选出第一名去参加校级比赛.积分规则如下（每轮比赛采取5局3胜制，比赛结束时，取胜者可能会

12

出现3:0,3:1,3:2.三种赛式).

3:0或3:13:2

胜者积分3分2分

负者积分。分1分

9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分26分，乙累计积分22分.第10轮甲和丙比赛，设

每局比赛甲取胜的概率均为2,丙获胜的概率为工，各局比赛结果相互独立.

33

(1)①在第1()轮比赛中，甲所得积分为X，求X的分布列；

②求第io轮结束后，甲的累计积分y的期望；

(2)已知第10轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛.(“提前一轮”即比赛进行1()

轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)?若能，求出相应的概率;若不能，请

说明理由.

【详解】

(1)①由题意，随机变量X的可能取值为3,2,1,0,

2\3、22、⑶16

则尸(X=3)=+

3773人3,27

16

81

1

9

所以X的分布列为

X3210

16168

P

2781819

②随机变量y的可能取值为29,28,27,26,

2290

则£“)=—x29+—x28+—x27+-x26=

278181981

13

(2)若X=3,则甲10轮后的总枳分为29分，乙即便第10轮和第11轮都得3分,

则11轮过后的总积分是28分，29>28.

所以甲如果第10轮积3分，则可提前一轮结束比赛，其概率为尸(X=3)=1^.

20.如图，在五面体ABCDE下中，四边形ABCO是边长为4的正方形，EF//BC,EF=2,CE=DE,

CE.LDE,平面COE_L平面ABC。.

(1)求证：DEL平面EEBC；

(2)求二面角的余弦值.

【详解】

(1)•.•四边形A8CO为正方形，.•.BCLCZ)，

•.•平面8E_L平面A8CD，平面CZ)Ec平面ABCZ)=CZ)，BCu平面ABC。，

平面CDE,又OEu平面CDE，..BC_LOE；

又CE1DE,8C,CEu平面EFBC，BCnCE=C,.•.£）石，平面EFBC.

(2)取8,48中点0,2，连结EO,OP,

•.•□CDE为等腰直角三角形，平面CDEc平面ABCD=CD，£0匚平面8E，，七。_1平面488,

知OP,OC,两两互相垂直，

以。为坐标原点，为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

14

z

则A(4,—2,0),3(420),C(0,2,0),。(0,-2,0),E(0,0,2),尸(2,0,2).•.荏=(0,4,0),

丽=(2,2,-2),

设平面AB产的法向量为〃=(l,y,z),

n-AB-4y=0_

则〈一，令x=l,解得：y=0,z=l，

万•FB=2x+2y-2z=0

由（1）知：小，平面£EBC,...平面BFC的个法向量为诙=（0,2,2）,

n-DE2

cos<DE

一回国72x2722

由图形可知：二面角A-BF-C为钝二面角,

二面角A-BF-C的余弦值为一」.

2

21.设函数/（x）=e*-以一人+l（a,/?cR）.

⑴若。=1，〃X）有两个零点，求。的取值范围;

(2)若f(x"0,求a+b的最大值.

【详解】

(1)当匕=1时，/(x)=ex-ar,jii!!//(x)=ex-a,

若a40,/'(x)>0，/(%)单调递增，不合题意.

若“>(),由/'(x)=0得x=lna.

15

0<x<lna时,/'(力<0,〃x)单调递减：x>ln〈时,/'(x)>0,f(x)单调递增,

此时，所以/(X)的极小值为==,

/(x)有两个零点，则a-alna<0,即lna>l,所以a>e,

故。的取值范围是(e,—).

(2)由题/'(x)=e、—a,

若。<0,/'(力>0,/(力单调递增,

当XT-8时，―此时存在与,使得了优)<0,不符合题意.

若a=0,由f(x)20,知1一人之0,即。<1，满足a+匕W1.

若a>0，由J"(x)=0得x=lna,当xclna时，/"(x)<0,当x>lna时，/f(x)>0.

则/(x)在x=lna时极小值，即f(\na)=a-a\na-h+\>Q,

所以力Wa-alna+l,则a+b<2a-a\na+\.

令g(a