专题. 平方差公式（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册专项突破讲与练（北师大版）

专题1.12平方差公式（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平方差公式1.平方差公式两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.2.平方差公式的几种常见变化及应用变化公式应用举例（1）位置变化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a（2）符号变化(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(−b)2−a2（3）系数变化(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a（4）指数变化(a3+b2)(a3-b2)=(（5）增项变化(a-b+c)(a-b-c)=(a−b)2-（6）连用公式(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+（7）曾因式变化(-a-b)(-a+b)(a-b)(a+b)=[(−a)2−b2](a特别提醒：公式特征1.等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.2.等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.3.理解字母a,b的意义，平方差公式中的a,b既可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式.【知识点二】平方差公式的验证平方差公式的几何意义边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是a2−特别提醒利用图形验证平方差公式的关键是将同一个图形的面积用不同的方法表示，即直接表示和间接表示.【考点目录】【考点1】运算平方差公式进行运算；【考点2】构造平方差公式计算；【考点3】平方差公式中的整体思想；【考点4】运用平方差公式化简求值；【考点5】运用平方差公式进行简便运算；【考点6】建立平方差公式模型解决实际问题.【考点1】运算平方差公式进行运算；【例1】（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：； （2）； （3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，运用公式时找准公式中的“”和“”，经过符号、系数、位置等变形后即符合平方差公式特征．（1）直接利用平方差公式计算即可．（2）变换括号里面加数的位置后利用平方差公式计算即可．（3）变换括号里面加数的位置后利用平方差公式计算即可．（4）变换括号里面加数，符号的位置后利用平方差公式计算即可．（1）解：=（2）（3）（4）【变式1】（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（

）A、B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式逐项判断即可得．解：A、，能用平方差公式，则此项不符合题意；B、，不能用平方差公式，则此项符合题意；C、，能用平方差公式，则此项不符合题意；D、，能用平方差公式，则此项不符合题意；故选：B．【变式2】（2022下·浙江杭州·七年级统考期末）若，，则与的等量关系是（结果不含，）．【答案】【分析】灵活运用平方差公式，求出答案即可．解：∵，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了平方差公式的计算，熟练运用平方差公式是本题的关键．【考点2】构造平方差公式进行运算【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）求的个位数字．【答案】6【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据平方差公式，求出，根据的个位数字是6即可得出结果．解：，∵，个位数按照2，4，8，6依次循环，而，∴原式的个位数为6．【变式1】（2023上·湖北·九年级校考周测）设，则以下四个选项中最接近的整数为（

）A．252 B．504 C．1007 D．2013【答案】B【分析】题目主要考查求代数式的值，平方差公式，根据题意，进行错位相减，然后求解即可．解：∴，故选：B．【变式2】（2022下·四川成都·七年级校考期中）计算：．【答案】5050【分析】先分别计算相邻的两个数的平方差，化简，再计算有理数的加法．解：，故答案为：5050．【点拨】此题考查了平方差公式的应用，正确理解式子的构成特点掌握平方差公式是解题的关键．【考点3】平方差公式中的整体思想；【例3】（2023上·全国·八年级专题练习）在下列等式中，A和B应表示什么式子？（1）；（2）．【答案】（1）A代表，B代表b；（2）A代表，B代表【分析】本题主要考查平方差公式的推广，熟练掌握整体代入得思想是解题的关键．结合平方差公式的形式，分别找出符号相同的项和符号相反的项即可求解．（1）解：；故A代表，B代表b；（2）解：．故A代表，B代表．【变式1】（2023上·四川内江·八年级校考期中）已知，则的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果．解：，，故选：C．【变式2】（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习），则．【答案】【分析】先设，然后根据平方差公式即可求解．解：设则，，，∴，∵，∴，即，故答案为：．【点拨】此题考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：．【考点4】运用平方差公式化简求值；【例4】（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，3【分析】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，整式的化简求值．利用多项式乘多项式，平方差公式计算，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可．解：，将代入得，原式．【变式1】（2022上·江苏南通·八年级统考期中）已知，则的值为（

）A．13 B．8 C．3 D．5【答案】A【分析】由，可得，根据，代入求解即可．解：∵，∴，∴，故选：A．【点拨】本题考查了平方差公式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式2】（2023上·河南南阳·八年级统考期中）已知，则的值为．【答案】13【分析】本题考查了平方差公式、代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．先利用平方差公式求出，再代入计算即可得．解：，，，故答案为：13．【考点5】运用平方差公式进行简便运算；【例5】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：（1） （2）【答案】（1）；（2）1【分析】（1）根据，利用平方差公式计算即可得；（2）根据，利用平方差公式计算即可得．（1）解：原式．（2）解：原式．【点拨】本题考查了利用平方差公式进行运算，熟记平方差公式是解题关键．【变式1】（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）计算的结果是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】先根据平方差公式计算，再按照有理数的加减法计算即可．解：，故选：C．【点拨】本题考查平方差公式的运用，解题关键是掌握平方差公式．【变式2】（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：．【答案】9【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式求解即可．解：原式．故答案为：9．【考点6】建立平方差公式模型解决实际问题.【例6】（2023上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）操作与探究（1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）．①

②③

④思考与创新（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：①已知，，求的值；②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b）【答案】（1）③；（2）①21或；②见分析【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．（1）根据题意分别表示出左边4个等腰梯形的面积和右边大平行四边形面积即可求解；（2）①首先利用完全平方公式得到，然后求出，然后利用，求出，然后利用平方差公式求解即可；②根据平方差公式画出图形求解即可．解：（1）图1中左边4个等腰梯形的面积为，右边大平行四边形面积为∴，∴剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是③；（2）①∵，，∴∴∴∴∴∴当时，；当时，；∴的值为21或；②如图所示，选图2，左边阴影的面积为，右边阴影的面积为∴；如图所示，选图3，左边阴影的面积为，右边阴影的面积为∴．【变式1】（2023上·四川泸州·八年级校联考阶段练习）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成如图所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确表示两个图形中阴影部分的面积．根据题意分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可．解：∵图1中阴影部分的面积表示为：，图2中阴影部分的面积表示为：，∴，故选：A．【变式2】（2023上·河南新乡·八年级校考阶