正多边形和圆（解析版） 九年级数学下册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页27.4正多边形和圆姓名：_______班级_______学号：________题型1直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系1．（2023上·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程的一个实数根，则三角形的内切圆半径是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了三角形内切圆，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的两根，根据构成三角形的条件确定这个三角形的三边长为6、8、10，由此利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，根据等面积法得到求出的长即可得到答案．【详解】解：，，或2，当时，，不能组成三角形，不符合题意；，当第三边为10时，，此三角形是直角三角形，如图所示，在中，点是的内接圆，分别与相切于D、E、F，

，，，，，圆的半径为2，故选：B．2．（2023上·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，则的坐标是；第2023次滚动后，内切圆的圆心的坐标是．【答案】【分析】作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，

，

点的坐标为，点的坐标为，，，，点是内切圆的圆心，，，，，设，，，，解得：，，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，由图可得的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，解得：，，的坐标为，即，每滚动3次为一个循环，，第2023次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8093，，故答案为：，．【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键．3．（2023上·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）在中，，，，则内切圆的半径长为．【答案】1【分析】本题考查直角三角形的内切圆的性质，设内切圆半径为r，利用三角形的内切圆的圆心到三角形三边的距离等于半径r，结合三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设内切圆半径为r，∵在中，，，，∴，∵三角形的内切圆与的三边相切，∴三角形的内切圆的圆心到三边的距离等于半径r，由得，∴，故答案为：1．4．（2023上·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）已知：如图，是的内切圆，，求的半径r．【答案】【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出是解题关键．设、、与的切点分别为、、；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出的长．【详解】解：如图：连接，，在，，，，根据勾股定理，四边形中，，，四边形是正方形，由切线长定理，得：，，，，即．题型2圆外切四边形模型5．（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵是四边形的内切圆，∴，，，，∵，∴，∵，，，∴，故选：A；【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到．6．（2021·九年级课时练习）下面图形中，一定有内切圆的是（

）A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形【答案】C【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案．【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角，所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆，选项中只有菱形，对角线平分对角．故选C【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键．7．（2019上·浙江温州·九年级校考期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在上，若，则的直径为．

【答案】【分析】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可．【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，

∵正方形，正方形和正方形都在正方形内，∴，∵分别与，，，相切，∴四边形是正方形，∴过点，，四边形为正方形，，，．．．设的直径为，则．，．，，（）解得：．即的直径为．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键．8．（2019·全国·九年级专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：.【答案】见解析.【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB.【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形，∴AD+BC=AB+CD=2AB，∵梯形中位线为EF，∴AD+BC=2EF，∴EF=AB.【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键.题型3三角形内心有关应用9．（2023上·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）下列语句中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆C．三角形的内心到三角形三边的距离相等D．各边相等的多边形是正多边形【答案】C【分析】由垂径定理推论、确定圆的条件、三角形的内心性质、正多边形定义，分别对各个选项进行判断即可．本题主要考查了垂径定理、确定圆的条件、三角形的内心、正多边形．熟练掌握垂径定理的推论、确定圆的条件、三角形的内心性质、正多边形定义，是解决问题的关键．【详解】A、应为“平分非直径的弦的直径垂直于弦”，故此选项不符合题意；B、应为“不共线的三点确定一个圆”，故此选项不符合题意；；C、三角形的内心到三边的距离相等，故此选项符合题意；D、菱形也是各边相等，但不是正多边形，故此选项不符合题意．故选：C．10．（2023上·浙江温州·九年级温州绣山中学校考阶段练习）如图，等边的内切圆的半径长为，则它的边长为（

）

A．12 B．24 C． D．【答案】B【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解即可．【详解】解：过点作，则；

∵是正的内切圆，∴O是正的内心，；在中，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质．解决本题的关键是将正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形．11．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，点是的内切圆的圆心，若，则度数等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案．【详解】解：∵O是的内心，∴，，∵，∴，∴，∴．故选：D．12．（2023上·天津和平·九年级天津市第五十五中学校考阶段练习）如图，在中，且，点P为的内心，点O为边中点，将绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为．【答案】/【分析】在的下方作等腰直角三角形，使得，．连接，，过点作交的延长线于点．根据三角形的内心为三角形角平分线的交点，求得，进而判断出点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆上运动，求出，，结合，可得结论．【详解】解：在的下方作等腰直角三角形，使得，．连接，，过点作交的延长线于点．∵点是的内心，，∴，，∴，∴，∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，∵，，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查三角形的内心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．题型4一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系13．（2023下·湖北武汉·九年级校联考期中）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把三角形的三边长代入面积公式，得出三角形的面积为，然后设这个三角形内切圆的半径为，再根据三角形的内切圆的半径垂直于三角形的三边，结合三角形的面积公式，得出，即，再把三角形的三边长代入面积公式，计算即可得出答案．【详解】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，∴，如图，设这个三角形内切圆的半径为，则，即，∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，∴，解得：，∴这个三角形内切圆的半径为．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆、求代数式的值、二次根式的运算，解本题的关键在正确求出代数式的值．14．（2022上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】延长交于点，连接，交于点，利用圆周角定理，以及内心是三角形三条角平分线的交点，证明是等腰三角形，过点作，证明，得到，利用切线长定理，求出的长，过点作，连接，设，利用勾股定理，求出的高，进而求出的面积，再利用的面积等于的周长与内切圆半径乘积的一半，求出内切圆的半径即可．【详解】解：延长交于点，连接，交于点，则：，∵I是内心，∴，∴，∴，即：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，过点作，则：，又∵，，∴，∴，∴，∵I是内心，∴，∴，如图2：过点作，连接，设，则：，则：，即：，解得：，∴；∴设的半径为则：∴，即：，解得：；故选A．【点睛】本题考查三角形的内切圆和内心．熟练掌握内心是三角形角平分线的交点，合理的添加辅助线，是解题的关键．同时考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及切线长定理．本题的综合性强，难度大，对学生的思维量要求较高．15．（2023上·江苏盐城·九年级校联考期中）已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为．【答案】【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，

设，则，由勾股定理得：，．．解得：．，，，，解得：，故答案为：．16．（2023上·九年级课时练习）已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为．【答案】50【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：的面积为；故答案为：50．【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键．17．（2021上·山东临沂·九年级校考期中）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为．【答案】4【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长度，再判断四边形为正方形，然后利用切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．【详解】如图，连接、，在中，，设内切圆半径为r，、为的切线，∴，，∵，，∴四边形为正方形，∴，由切线长定理得，，，，，∴，解得，则的周长为．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．题型5三角形内切圆与外接圆综合18．（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得分别是的角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．【详解】解：连接，

∵是的内心，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵点又是的外心，∴，故选：．19．（2023上·天津·九年级校考阶段练习）已知为平面上一点，是的内心，也是的外心，．则的度数为．【答案】/65度【分析】本题考查三角形的内心和外心、角平分线的定义、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接、，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得，再根据圆周角定理得到即可求解．【详解】解：连接、，∵，∴，∵是的内心，∴，，∴，∴，∵是的外心，∴，故答案为：．20．（2023上·福建福州·九年级校考期中）如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为．【答案】【分析】作于点D，作于点F，连接和，可得平分，且垂直平分，及和，点A、点P、点Q、和点共线，进一步求得、和，由，得，利用勾股定理求得即可求得答案．【详解】解：作于点D，作于点F，连接和，如图，则，∵，∴平分，且垂直平分，∵，∴，∴，∵、分别是的内心和外心，∴点P、点Q、线段都在线段上，则，，，在中，，得，解得，在和中∴，∴，则，∵，∴，解得，则．故答案为∶．【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角形的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键．21．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则．【答案】/40度【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数．【详解】解：连接交于点G，，，∵点O为的内切圆的圆心，，，，垂直平分，，，故答案为：．22．（2022上·云南红河·九年级统考期末）已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则．

【答案】5【分析】连接、、、、、，根据题意得到，即，进而得出，即可求解．【详解】解：如图，连接、、、、、，

∵的内切圆半径，、、为切点，，

，

，

，，

，

，

，，即，，故答案为：5．【点睛】本题考查圆的外接三角形，等腰三角形的性质，圆的切线定理，准确作出辅助线是解题的关键．题型6求正多边形的中心角23．（2023上·河南商丘·九年级商丘市实验中学校考阶段练习）如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（

）A．72° B．54° C．60° D．36°【答案】A【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：的度数为；故选A．24．（2023上·陕西安康·九年级校联考阶段练习）如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边长是．【答案】2【分析】本题考查圆内接正多边形的性质、等边三角形的判定与性质，先求得圆内接正六边形的中心角，进而证明为等边三角形即可求解．熟知圆内接正n多边形的中心角公式是解答关键．【详解】解：如图，由题意，，，∴为等边三角形，∴，即这个正六边形纸片的边长是，故答案为：2．25．（2023上·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，正五边形内接于，连接，，则.

【答案】/度【分析】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得，即可求解．【详解】∵五边形为正五边形，∴，故答案为：．26．（2023上·福建南平·九年级校考阶段练习）如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为．【答案】/72【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．【详解】解：如图，连接，∵五边形是的内接正五边形，∴，∴，∴，故答案为：．题型7已知正多边形的中心角求边数27．（2023下·浙江·九年级开学考试）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(

)A．14 B．18 C．16 D．20【答案】D【分析】本题主要考查正多边形的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可．【详解】解：∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，∴该正多边形的边数为：，故D正确．故选：D．28．（2023上·河北廊坊·九年级校考期中）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（

）A．3 B．5 C．8 D．10【答案】C【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．【详解】解：这个多边形的边数是，故答案为：C．29．（2023上·陕西西安·九年级西安交通大学附属中学航天学校校考阶段练习）中心角为的正多边形的边数为.【答案】6【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正n多边形的中心角为求解即可．【详解】解：中心角为的正多边形的边数为，故答案为：6．30．（2023·上海·统考中考真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为．【答案】18【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．【详解】根据正n边形的中心角的度数为，则，故这个正多边形的边数为18，故答案为：18．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．题型8正多边形和的综合31．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形，运用垂径定理求出是解答本题的关键．连接，，证明是等边三角形，得到，由垂径定理求出，在利用勾股定理求出．【详解】解：如图，连接，，，，是等边三角形，，，，故选：．32．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）如图，在正六边形中，点是边的中点，是边上任意一点，若正六边形的面积是，则的值是（

）A． B． C． D．由于点的位置不确定，所以的值不确定【答案】A【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积，根据正六边形的性质，得出，即可求解，掌握正六边形的性质是解题的关键．【详解】解：如图，连接，过点作交于点，交于点，连接，则，∵，，，∴，∵，∴，故选：．33．（2023上·甘肃武威·九年级统考阶段练习）如果正六边形的边长是1，那么它的边心距是．【答案】/【分析】本题主要考查了正六边形与圆的有关计算，利用正六边形的中心角和边心距的性质是解题的关键．根据正六边形的中心角为以及正六边形边心距的性质解直角三角形可得结论．【详解】解：∵为正六边形，∴．在中，．故答案为：．34．（2023上·浙江温州·九年级统考期中）如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，设正六边形的边长为a，利用含角的直角三角形的性质求出，从而得出的长，进而解决问题．【详解】解：设正六边形的边长为a，连接，交于H，如下图：∵六边形是的内接正六边形，∴，，，∴∴，∴∴，由正六边形的性质知，是等边三角形，∴，故答案为：．题型9尺规作图一-正多边形35．（2022下·八年级单元测试）如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上；(2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长．【答案】(1)见详解；(2)见详解．【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题；（2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可．【详解】（1）解：正方形如图所示：（2）解：以为顶角的等腰三角形如图所示：．【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．36．（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．∵BD垂直平分AC，AC为的直径，∴BD为的直径，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四边形ABCD是的内接正方形．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．37．（2020下·山东青岛·九年级统考学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．【答案】见解析【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法