流体力学第3章

二、流体静压强的特性方向特性：流体静压强的方向必然是沿着作用面的内法线方向。大小特性：任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关。6/10/20243方向特性6/10/20244pypxpzpn作用在ACD面上的流体静压强作用在ABC面上的流体静压强作用在BCD面上的静压强、作用在ABD面上的静压强

微元四面体受力分析6/10/20245

静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数，即

6/10/20246第二节流体平衡方程式

一、流体平衡微分方程式在静止流体中任取一边长为dx，dy和dz的微元平行六面体的流体微团，现在来分析作用在这流体微团上外力的平衡条件。作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒（G.I.Taylor）级数展开，在垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为：6/10/20247p微元平行六面体x方向的受力分析6/10/20248略去二阶以上无穷小量后，分别等于和由于平行六面体是微元的，所以可以把各微元面上中心点的压强视为平均压强。因此，垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为：

和同理，可得到垂直于y轴的下、上两个微元面上的总压力分别为：和6/10/20249

垂直于轴的后、前两个微元面上的总压力分别为：

作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。对于x轴，则为6/10/202410

整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量ρdxdydz则得同理得（3-3）写成矢量形式

此方程的物理意义：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。

适用范围：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。

6/10/202411压强差公式把式（3-3）两边分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得流体静压强是空间坐标的连续函数，即，它的全微分为

物理意义：在静止流体中，空间点的坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp，压强的增量取决于质量力。

6/10/202412

二、流体平衡条件对于不可压缩均质流体，有

上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学分析知：该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条件是

fx、fy、fz具有力的势函数－的充分必要条件6/10/202413

力的势函数对各坐标轴的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量，即：，，写成矢量形式：

流体平衡的条件:只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态。有势的力：有势函数存在的力。

6/10/2024143.等压面：dp=0压强差公式可写为：等压面性质：等压面就是等势面等压面与质量力垂直——广义平衡下的等压面方程6/10/202415

第三节重力场中流体的平衡帕斯卡原理

一、重力作用下的静力学基本方程式

P0P1P2Z1Z2推导静力学基本方程式用图6/10/202416作用在液体上的质量力只有重力G=mg，其单位质量力在各坐标轴上的分力为fx=0，fy=0，fz=-g代入压强差公式，得6/10/202417

对于均质不可压缩流体，密度ρ为常数。

这就是重力作用下的液体平衡方程，通常称为流体静力学基本方程。该方程的适用范围是:重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体。若在静止液体中任取两点l和2，点1和点2压强各为p1和p2，位置坐标各为z1和z2，则有：

6/10/2024181.物理意义从物理学可知，把质量为m的物体从基准面提升z高度后，该物体就具有位能mgz，则单位重量物体所具有的位能为z(mgz/mg=z)。所以z的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位势能。p/ρg表示单位重量流体的压强势能，这说明如下：容器离基准面z处开一个小孔，接一个顶端封闭的玻璃管(称为测压管)，并把其内空气抽出，形成完全真空(p=0)，在开孔处流体静压强p的作用下，流体进入测压管，上升的高度h=p/ρg称为单位重量流体的压强势能。位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能。表示在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止液体中的能量守恒定律。6/10/202419闭口测压管液柱上升高度6/10/202420

2.几何意义单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，称为水头。z的几何意义表示为单位重量流体的位置高度或位置水头。p/ρg也是长度单位，它的几何意义表示为单位重量流体的压强水头。位置水头和压强水头之和称为静水头。方程几何意义：表示在重力作用下静止流体中各点的静水头都相等。在实际工程中，常需计算有自由液面的静止液体中任意一点的静压强。6/10/202421静止液体中任一点压强6/10/202422

如图所示，在一密闭容器中盛有密度为ρ的液体，若自由液面上的压强为p0、位置坐标为z0，则在液体中位置坐标为z的任意一点A的压强p可写为或由它可得到三个重要结论：(1)在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。(2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：一部分是自由液面上的压强p0；另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重量ρgh。(3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面。6/10/202423帕斯卡原理施于在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点。6/10/202424二标准大气的压强分布1.从海平面到11000m的空间为标准大气的对流层，层内气温随高度增加而递减，递减率近似等于常数。如果已知海平面的气温T1=288.15K，压强p1=101325Pa，参考坐标系的z轴向上2.从高11000m到20100m的空间为标准大气的同温层，层内的气温几乎不变，近似值为T2=216.7K。该层内气体的密度随气压成正比。6/10/202425三、压强的度量

流体压强按计量基准的不同可区分为绝对压强和相对压强。

绝对压强：以完全真空时的绝对零压强(p＝0)为基准来计量的压强。

相对压强（计示压强）：以当地大气压强为基准来计量的压强。6/10/202426绝对压强与相对压强之间的关系当自由液面上的压强是当地大气压强pa时，有

或式中p—流体的绝对压强，Pa；pe—流体的相对压强，Pa。

6/10/202427真空

绝对压强计示压强绝对压强绝对压强、计示压强和真空之间的关系6/10/202428

当流体的绝对压强低于当地大气压强时，就说该流体处于真空状态。例如水泵和风机的吸入管中，凝汽器、锅炉炉膛以及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些地方的计示压强都是负值，称为真空或负压强，用符号pv表示，则如以液柱高度表示，则

式中hv称为真空高度。

6/10/202429

（1）当地大气压强是某地气压表上测得的压强值，它随着气象条件的变化而变化，所以当地大气压强线是变动的。（2）由于绝大多数气体的性质是气体绝对压强的函数，如正压性气体ρ=ρ（p)，所以气体的压强都用绝对压强表示。而液体的性质几乎不受压强的影响，所以液体的压强常用计示压强表示，只有在汽化点时，才用液体的绝对压强。6/10/202430压强的三种量度单位（1）压强的基本定义（2）大气压的倍数（3）用液柱高度来表示工程单位：国际标准大气压工程大气压6/10/202431第四节液柱式测压计

一、测压管一根玻璃管，一端连接在需要测定的器壁孔口上，另一端和大气相通。与大气相接触的液面相对压强为零。这就可以根据管中水面到所测点的高度测得压强。6/10/2024322.测压管测量原理图

在压强作用下，液体在玻璃管中上升高度，设被测液体的密度为ρ，大气压强为pa，可得M点的绝对压强为

M点的计示压强为

测压管只适用于测量较小的压强，一般不超过9800Pa，相当于1mH2O。如果被测压强较高，则需加长测压管的长度，使用就很不方便。此外，测压管中的工作介质就是被测容器中的流体，所以测压管只能用于测量液体的压强。6/10/202433

二、U形管测压计1.结构装在刻度板上两端开口的U形玻璃管。测量时，管的一端与被测容器相接，另一端与大气相通。管内装有密度ρ2大于被测流体密度ρ1的液体工作介质，如酒精、水、四氯化碳和水银等。它是根据被测流体的性质、被测压强的大小和测量精度等来选择的。但要注意，工作介质不能与被测流体相互掺混。6/10/2024342.测量原理下面分别介绍用U形管测压计测量p>pa和p<pa两种情况的测压原理。(1)被测容器中的流体压强高于大气压强（即p>pa）：

6/10/202435Paρ1Mp12h1h2ρ等压面P>Pa6/10/202436

p1=p+ρ1gh1

p2=pa+ρ2gh2所以p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2M点的绝对压强为p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1

M点的计示压强为pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1于是，可以根据测得的h1和h2以及已知的ρ1和ρ2计算出被测点的绝对压强和计示压强值。

6/10/202437U形管测压(2)被测容器中的流体压强小于大气压强(即p<pa)：6/10/202438

p+ρ1gh1+ρ2gh2=paM点的绝对压强为p=p-ρ1gh1-ρ2gh2

M点的真空或负压强为pv=pa-p=ρ1gh1+ρ2gh2如果U形管测压计用来测量气体压强时，因为气体的密度很小，ρ1gh1项可以忽略不计。

6/10/202439若被测流体的压强较高时，用一个U形管则过长可以采用串联的U形管组成多U形管测压计。通常采用双U形管或三U形管测压计。在图所示的三U形管测压计中，以互不渗混的两种流体作为工作介质（ρ1>ρ‘1），则在平衡的同一工作介质连续区内，同一水平面即为等压面，如1-1，1‘-1‘，2-2，2‘-2‘和3-3都是不同的等压面。得：pA=p1-ρgh；p2=p’+ρ1gh2p1=p’1+ρ1gh1；

p’2=p3-ρ‘1gh’2P’1=p2-ρ‘1gh’1；

p3=pa-ρ1gh3相加得容器中A点的绝对压强

6/10/202440三U形管测压计6/10/202441容器中A点的计示压强为

若为n个串联U形管测压计，则被测容器A中的计示压强计算通式为

测量密度为ρ的气体的压强时，如果U形管连接管中的密度为ρ1‘的流体也是气体，则各气柱的重量可忽略不计，则有

6/10/202442U形管差压计三、U形管差压计6/10/2024431.结构U形管差压计用来测量两个容器或同一容器（如管道流体中不同位置两点的压强差。测量时，把U形管两端分别与两个容器的测点A和B连接，ρ>ρA，ρ>ρB。2.测量原理若ρA>ρB，U形管内液体向右管上升，平衡后，1-2是等压面，即p1=p2。

因p1=p2，故则6/10/202444

若两个容器内是同一流体，即ρA=ρB=ρ1，则上式可写成

若两个容器内是同一气体，由于气体的密度很小，U形管内的气柱重量可忽略不计，上式可简化为

6/10/2024450ph1h2ΘpasLAρ120倾斜微压计四、倾斜微压计6/10/202446

1．结构由一个大截面的杯子连接一个可调节倾斜角度的细玻璃管构成，其中盛有密度为ρ的液体。在未测压时，倾斜微压计的两端通大气，杯中液面和倾斜管中的液面在同一平面1—2上。当测量容器或管道中某处的压强时，杯端上部测压口与被测气体容器或管道的测点相连接，在被测气体压强p的作用下，杯中液面下降h1的高度至0—0位置，而倾斜玻璃管中液面上升了L长度，其上升高度。2．测量原理根据流体平衡方程式，被测气体的绝对压强为

其计示压强为

6/10/202447

如果用倾斜微压计测量两容器或管道两点的压强差时，将压强大的p1连接杯端测压口，压强小的p2连接倾斜玻璃管出口端，则测得的压强差为由于杯内液体下降量等于倾斜管中液体的上升量，设A和s分别为杯子和玻璃管的横截面积，则或又于是有式中k—倾斜微压计常数,。6/10/2024485.补偿式微压计测量微小压强或压强差，常用于要求较高的实验测定，也可校准普通的倾斜微压计6/10/202449

【例3-1】有一直径d=12cm的圆柱体，其重力W=mg，质量m=5.1kg，在力F=100N的作用下，当淹深h=0.5m时，处于静止状态，求测压管中水柱的高度H度

6/10/202450【例3-2】有一测压装置，假设容器A中水面上的记示压强pe=2.45×104Pa,h=500mm,h1=200mm,h2=100mm,h3=300mm,水的密度ρ1=lOOOkg/m3，酒精的密度ρ2=800kg/m3水银的密度ρ3=13600kg/m3，试求容器B中气体的记示压强。6/10/202451

【例3-3】两圆筒用管子连接，内充水银，第一个圆筒的直径d1=45cm，其活塞上受力F1=3197N，密封气体的记示压强pe=9810Pa；第二个圆筒的直径d2=30cm，其活塞上受力F2=4945.5N，开口通大气。若不计活塞重量，求平衡状态时两活塞的高度差h。水银的密度ρ=13600kg/m36/10/202452第五节液体的相对平衡C1流体的平衡1水平直线等加速运动设液体以等加速度a沿水平方向作直线运动

体积力分量f

x=-a,

fy=0,fz

=-g

压强全微分式6/10/202453压强分布式在图示坐标系中等压面为一簇与自由液面平行的斜平面，处处与体积力合力垂直3.等压面方程ax+gz=C6/10/202454设液体以等角速度ω绕中心轴z轴旋转体积力分量

压强分布式

等角速度旋转运动fx=ω2x，fy=ω2y，fz=－g

压强全微分式在图示坐标系中说明液内压强在z方向为线性分布，在r方向为二次曲线分布。6/10/202455等压面代入压强分布式，令h=zs-z

，可得

由积分得

证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。

c不同值时得一簇旋转抛物面。自由液面上c=0。设自由液面垂直坐标为ｚs，方程为6/10/202456【例3-4】油轮的前后舱装有同样的油，液位分别为h1和h2，前舱长l1，后舱长l2，前后舱的宽度均为b，试问在前后舱隔板上的总压力等于0，即隔板前后油的深度相同时，油轮的等加速度a应该是多少6/10/202457【例3-5】液体转速计由直径为d1的中心圆筒和重力为W的活塞及与其联通的两根直径为d2的细管组成，内装水银。细管中心线距圆筒中性轴的距离为R。当转速计的转速变化时，活塞带动指针上下移动。试推导活塞位移h与转速n之间的关系式。6/10/202458第六节静止液体作用在平面上的总压力

许多工程设备，在设计时常需要确定静止液体作用在其表面上的总压力的大小、方向和位置。静止液体作用在平面上的总压力分为静止液体作用在斜面、水平面和垂直面上的总压力三种，斜面是最普通的一种情况，水平面和垂直面是斜面的特殊情况。6/10/202459

静止液体作用在水平面上的总压力。由于水平面是水平放置的，压强分布是均匀分布的，那么仅有液体作用在底面为A、液深为h的水平面的总压力：F=ρghA总压力的作用点是水平面面积的形心。可见，仅由液体产生作用在水平平面上的总压力同样只与液体的密度、平面面积和液深有关。6/10/202460静水奇象6/10/2024616/10/202462

一、总压力的大小在平面A上取一微元面积dA，其淹深为h，到oy轴的距离为x作用在这条微元面积上静止液体的总压力为

dFp=pedA=ρghdA=ρgxsinadA沿面积A积分，得作用在平面A上的总压力为6/10/202463=xcA是整个淹没平面面积A对Oy轴的面积矩，xc为平面A的形心C的x坐标，称为形心x坐标。如果用hc表示形心的垂直深度，称为形心淹深，那么，则Fp=ρghcA

因此静止液体作用在任一淹没平面上的总压力等于液体的密度、重力加速度、平面面积和形心淹深的乘积。与平面的倾斜角度无关。作用在静止液体中任一淹没平面上液体的总压力也相当于以平面面积为底，平面形心淹深为高的液柱的重力。6/10/202464

二、总压力的作用点淹没在静止液体的平面上总压力的作用点，即总压力作用线与平面的交点，称为压力中心。由合力矩定理可知，总压力对Oy轴之矩等于各微元面积上的总压力对Oy轴之矩的代数和。按合力矩定理有6/10/202465上式除以总压力式，得

根据惯性矩的平行移轴公式

式中ICy—是面积对于通过它形心且平行于Oy轴轴线的惯性矩。

1.压力中心的位置与a角无关，即平面面积可以绕与Oy轴平行且通过压力中心的轴旋转。2.压力中心总是在形心下方，随淹没的深度增加，压力中心逐渐趋近于形心。6/10/202466按照上述方法同理可求得压力中心的y坐标

式中yC—平面形心的y坐标；Ixy—平面面积对OXY坐标的两轴的惯性矩；Icxy—平面面积对于通过形心而平行于坐标系两轴的惯性矩。通常，实际工程中遇到的平面多数是对称的，因此压力中心的位置是在平面对称的中心线上，此时不必求yp的坐标值，只需求得xp坐标值即可。

6/10/202467截面几何图形面积A型心xc惯性距Icy

bh

1/2h1/12bh31/2bh2/3h1/36bh31/2h(a+b)6/10/2024686/10/202469

【例3-6】一个两边都承受水压的矩形闸门，左边的水深分别为H1=4.5m，右边水深H2=2.5m，闸门与水平面成45度角，假设闸门的宽度b=1m，求作用在闸门上的总压力及其作用点。

6/10/202470第七节静止液体作用在曲面上的总压力6/10/202471结论：作用于曲面上的静水总压力Fp的水平分力Fpx等于作用于该曲面的垂直投影面上的静水总压力，方向水平指向受力面。hc—投影面形心的淹没深度Ax

—曲面在侧壁面的投影面积6/10/202472(V是压力体体积)6/10/202473

总压力的作用点

总压力的作用线通过Ｏ点Fpx和Fpz与作用线的交点。总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用点，即压力中心。

6/10/202474

静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序(1)将总压力分解为水平分力Fpx和垂直分力Fpz。

(2)水平分力的计算，。(3)确定压力体的体积。(4)垂直分力的计算，方向由虚、实压力体确定。(5)总压力的计算，。(6)总压力方向的确定，。(7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。6/10/202475压力体压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体积。一般是三种面所封闭的体积：底面是受压曲面；顶面是受压曲面边界线封闭的面积在自由面或者其延长面上的投影面；中间是通过受压曲面边界线所作的铅直投射面。6/10/202476实压力体当液体与压力体位于受压曲面上方时，称为实压力体。曲面所受铅直分力向下。6/10/202477虚压力体当液体与压力体位于受压曲面下方时，称为虚压力体。曲面所受铅直分力向上。6/10/202478

【例3-7】图所示圆柱扇形闸门，已知H=5m，a=60°，闸门宽度B=10m，求作用于曲面ab上的总压力。

6/10/202479【例3-8】图所示为贮水容器，其壁面上有三个半球形的盖。设d=0.5m，h=1.5m，H=2.5m。试求作用在每个盖上的液体总压力。

6/10/202480【例3-9】图所示一圆筒（高H0=0.7m，半径R=0.4m，内装V=0.25m3的水）以等角速度10rad/s绕铅直轴旋转。圆筒中心开孔通大气，顶盖的重量m=5kg。试确定作用在顶盖螺栓上的力

6/10/202481第八节静止液体作用在潜体和浮体上的浮力

阿基米德原理

一、浮力的原理如图所示，有一物体沉没在静止的液体中，它受到的静水总压力P可以分解成水平分力px、py和垂直分力pz。先确定水平分力。对于浸没于液体中的物体，可以找到一个母线平行于x轴的水平外切柱面与物体相切的封闭曲线BCFD，该曲线将物体分成左右两部分，作用于物体上沿着x方向的水平分力px就是这两部分的外部曲面上的水平分力Px1与Px2之和，