2024年中考数学重难点突破 与反比例有关的面积问题

专题08与反比例有关的面积问题

了<修炼出

C

1.如图，△Q4C和△B4D都是等腰直角三角形，4。。=44。8=90。，反比例函数y=£

X

在第一象限的图象经过点反贝黑a4c与的面积之差S衣一口

△UAC5LAD.AL)

【答案】3

【分析】妙解1：已知反比例函数的解析式为尸色，根据系数左的代数意义，设函数图象上

X

点B的坐标为何，色)再结合已知条件求解即可；

m

妙解2：利用反比例函数系数上的几何意义，围绕点3构造矩形求解即可；

妙解3：利用反比例函数系数人的几何意义，围绕点3构造直角三角形求解即可.

【详解】妙解1：

如图，设点C(〃，0),因为点2在反比例函数y=9的图象上，所以设点2(%,-).

xm

AOAC和△A4D都是等腰直角三角形,

二点)的坐标为(…)，点。的坐标为(〃，

由AD=5Z),得"-9=7"-",化简整理得加-2〃z〃=-6.

m

.'..S2fOAC—SABAD--n2--(m-n)z=——m-+mn=-—(m2—2mn),

即SAOAC-SABAD=?,.

妙解2：

如图，作AFlx轴于点凡延长2。交。4于点"交y轴于点G,延长交x轴于点£.

1•点5在反比例函数＞=9的图象上，

X

二矩形8尸OG的面积为6.

•••AOAC和△氏4。都是等腰直角三角形，

:.“HAD*BAD,ABEF=^OHG,

一S^OAC-SQBAD=/OACME_SmAH)=四边形BEOH=四边形即^•

妙解3：

如图，作3尸lx轴于点凡延长8。交。4于点连接08.

X

・•.Rt/\OBF的面积等于3.

VAOAC和△A4。都是等腰直角三角形，

AHAD*BAD,CF-DB=DH,BF=DC.

•S»OAC-S^BAD=SbOAC-Sl\HAD=%边形DCOH=万(。。+D力-DC,

S.BF=；OF-BF=g(OC+CF).BF,

所以SbOAC-SMAD=SROBF=3.

2.如图，矩形045。被三条直线分割成六个小矩形，若。、E是CO边上的三等分点，反

比例函数y=g(kwo)刚好经过小矩形的顶点尸、G,若图中的阴影矩形面积E+邑=5,则

【分析】根据题意求得S矩形"G。=21+2邑=2x5=10,进而即可根据反比例函数系数左的

几何意义求得后的值.

【详解】7DE是C。边上的三等分点，

•,S矩形ozG。=2S]+2s2=2x5=1°,

=10，

k

..反比例函数夕=-刚好经过小矩形的顶点尸、G,

X

女=%,%=S矩形CUGD=1°,

故答案为：10.

【我思故我在】本题考查反比例函数系数左的几何意义，矩形的面积，求得矩形CMGD的

面积是关键.

3.如图，在x轴上有一点/(3,0),点。是点/关于了轴的对称点，点2在反比例函数

y=&(x<0)的图象上，连接8。，交反比例函数图象于点C,若OC〃血的面积

【分析】作BELx轴于点E,CFLx轴于点F,由SAABD[BE-AD=24可得BE长度，根

据△QCOSMR4,△。。尸64/8£可得。/=；8£=4,孚=上用含左代数式表示0f

2AE2

AE,进而求解.

•••点D为点/关于y轴对称点,

二。坐标为(-3,0),

:.AD=6,

■：SAABD=yBE-AD=24,

:.BE=8,

OCIIAB,

△DCOS^DBA,

OCDO

AB~AD~2f，

△OCFs^ABE,

CFOCOF1

BE~AB~^4E~2

CF=^BE=4,

B,。在图象上，

AE=3--,OF=-~,

84

k

.~4=1

一口N

8

解得上=-8.

故答案为：-8.

【我思故我在】本题考查反比例函数与三角形的综合应用，解题关键是掌握反比例函数的性

质，掌握相似三角形的判定与性质，通过添加辅助线求解.

Q

4.如图，点/、2在反比例函数y=-(x>0)的图像上，延长48交x轴于C点，且点2是

X

【分析】作设。(",0)即可表示IOC的面积，再利用中点坐标公式

表示B点坐标，利用2点在反比例图像上即可求解.

，c(〃,0),

c1仆八,八184/7

S..=—xOCxAD=-x77x——=——

nr22mm

B点是/C中点,

m+n4

■B点坐标

2'm

.・2点在反比例图像上,

—

mm+n

又发w0,

n=3m,

<_4x3m_

^AAOC一—1',

m

故答案是：12.

【我思故我在】本题考查反比例函数的综合运用、中点坐标公式和设而不解的方程思想，属

于中档难度的题型.解题的关键是设而不解的方程思想.此外设有/（国,凶）,8（Z，%）两点,

则48的中点坐标是：（土产,七匹｝

5.如图，菱形ABCD的对角线/C,BD交于点P,且AC过原点O,DB交x轴于点Q,AB口x

轴，点。的坐标为（9,6）,反比例函数y=幺的图像经过/,P两点，则△OP。的面积是

X

131

【答案】y##4-

【分析】根据菱形的性质可得对角线8。与/C互相垂直且平分，再过点尸和点C作无轴的

垂线，证明ROPEsROCF,根据相似三角形的性质求出0E=3,PE=2,再证明WOQ—WOP,

13

求出。0=了，最后利用三角形的面积公式求出4。尸。的面积即可.

【详解】解：7在菱形中，对角线与ZC互相垂直且平分，

PA=PC,

k

,•ZC经过原点。，且反比例函数y=—的图象恰好经过ap两点，

由反比例函数＞=幺图象的对称性知：

X

OA=OP=-AP=-CP

22'

:.OP=-OC

3，

过点尸和点C作x轴的垂线，垂足为E和尸，如图所示：

PELx^,P/lx轴,

：.PE//CF,

:.KOPE^KOCF,

OP:OC=OE:OF=PE:CF=1:3,

.「点。的坐标为(9,6),

:.0F=9,CF=6,

/.OE=3,PE=2,

OP=J尸炉+O炉=722+32=V13,

•.•四边/BCD为菱形,

/.BPLAP,

・•.AOPQ=APEO=90°,

■「/POE=ZPOQ,

APOQsAEOR

,OPOQ

'~OE~~OP，

即3=止=①="，

OE33

v_113,13

-SLOPQ=2Xyx2=y-

13

故答案为：y

【我思故我在】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质、反比例函数

的图象和性质、菱形的性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求出OE=3,PE=2,

。0=?

6.如图，过点C（2,l）作NC〃x轴，8C〃y轴，点/,8都在直线尸-x+6上，若反比例

函数V=幺。>0）的图像与A/BC总有公共点，则k的取值范围是.

X

【答案】2<k<9

【分析】由已知点C与直线y=-尤+6,则"8C是确定的,故要考虑反比例函数图像与AABC

有公共点，分两个方面讨论：①反比例函数图像过点C或在点C上方；②反比例函数图像

与直线有公共点；①、②两个方面同时满足，即可得解.

【详解】根据题意，若反比例函数了=«(尤>0)的图像与A/BC总有公共点，则反比例函数

X

的图像经过点。或在点。上方，且反比例函数图像与直线有公共点；

①当反比例函数的图像经过点C或在点。上方时，则

②当反比例函数图像与直线有公共点时，

y=-x+6

由k消去y元整理得，一元二次方程6x+左=0有实数根，

y=-

IX

.•.△=62—4左20,

:.k<9

由①②可知，k的取取值范围是2V左±9.

故答案为：2<k<9,

【我思故我在】此题考查了反比例函数的图像与点、直线的位置关系的问题，熟练运用方程

组的思想与方法是解此题的关键.

7.如图，已知点/的横坐标与纵坐标相等，点3(0,2),点/在反比例函数了=3的图

X

象上.作射线48,再将射线绕点/按逆时针方向旋转45。，交y轴于C点，则△48C

面积为.

【答案】20

【分析】过8作8尸，/C于尸，过尸作FDLy轴于。，过/作尸延长线于£,证明

AAEF^^FDB(AAS),设BD=a,贝1斯=匹由点/(4,4)和点8(0,2)可得/E+OD

=4,求得。，可得尸(3,1),进而求得直线/C的解析式为y=3x-8,令x=0,得出C

(0,-8),即可求解.

【详解】解：•点N在反比例函数片^的图象上，且点/的横坐标与纵坐标相等,

・•/(4,4),

过5作加LL4C于尸，过尸作尸。J_y轴于。，过4作4EL0厂延长线于E,

•「BF1AF,NBAF=45。,则即为等腰直角三角形,

/.ABFD=90°-ZAFE=ZFAE

在A4EF与AFDB中

ZBDF=ZFEA=90°

<NBFD=NFAE

BF=AF

/.△AEF9AFDB(AAS),

设BD=a,贝lj£F=Q,

・.•点4(4,4)和点5(0,2),

：.DF=4-a=AE,OD=OB-BD=2-a,

\'AE+OD=4,

.,.4-a+2-a=4,

解得4=1,

/.F(3,1),

4k+b=4k=3

设直线4C的解析式为y=京+6,则3F,解得

b=—8'

.'.y=3x-8,

令x=0,贝！Jy=-8,

.•.C(0,-8),

.-.5C=10,

^^ABC=­xl0x4=20,

故答案为：20.

【我思故我在】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与

判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键.

8.如图，己知4,4,4,…4是x轴上的点，且。4=44=44=•••=4一/=*,分别过点

4,4,4,…4作x轴的垂线交反比例函数y=工(x>0)的图象于点4,5,4，…纥，过点当作

X

BE14于点4,过点B3作B3P2，4为于点鸟……，记△3/坊的面积为51,XB印3的

面积为邑……，的面积为$6,则岳+邑+邑+…+'=，

【分析】由OA1=A1A2=A2A3=...=^6^7=1可知3/点的坐标为(1,J1),星点的坐标为(2,%),

用点的坐标为(3,%)...瓦点的坐标为(6,y6),把x=1,x=2,x=3代入反比例函数的

解析式即可求出/、丝、”的值，再由三角形的面积公式可得出S/、S2、S3…q的值，故可

得出结论.

【详解】OAi=AiA2=AiA3=...=4M7=1,

二设氏(1,以)，B2(2,y2),B3(3,ys),...B6(6,y6),

.Bi,B,以…&在反比例函数(X>0)的图象上，

2X

_1_1_1

••必=1，歹2=5，=§，・・・丁7='，

*="(…)FMWT

谆=卜,8一%)=}("

c1,/x1<11

邑=~xlx(%-以)=]XI--

【我思故我在】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适

合此函数的解析式是解答此题的关键.

91

9.如图，点A为函数y=—(x>0)图象上一点，连接0A,交函数y=—(x>0)的图象于点B,

XX

点C是x轴上一点，且AO=AC,则△ABC的面积为.

【分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得:SAAOD=2,SABOE=；，再证明ABOEs^AOD,

22

由性质得0B与0A的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论.

【详解】如图，分别作BE1轴，AD”轴，垂足分别为点E、D,

BEIIAD,

/.ABOEc^AAOD,

.S\BOE_°B?

—一—犷

/OA=AC,

.-.OD=DC,

••S△AOD=S△ADC=5SAAOC>

9

二点A为函数y=—(x>0)的图象上一点，

x

.Qa9

..OAAOD=-，

2

同理得：S△BOE=y,

J_

.''BOE=2=J_

———g_§，

2

OB_1

"O4~3,

AB_2

"O4~3,

.S'ABC_2

,s―2x9

••口VABC_~~一°，

故答案为6.

10.点P,Q,R在反比例函数y=*(常数QO,x>0)图象上的位置如图所示，分别过

这三个点作X轴、y轴的平行线.图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为&,S2,S3.若

OE=ED=DC,SI+S3=27,贝US2的值为.

【分析】利用反比例函数系数上的几何意义，及OE=ED=DC求解H，邑,国，然后利用

S1+S3=27列方程求解即可得到答案.

【详解】解：由题意知：矩形。"C的面积=左,

•：OE=DE=DC,

=*

同理：矩形。G。。，矩形。NRE的面积都为人，

-：OE=DE=DC,

—k—k—k——k.

3362

rS]+S3=27,

:.-k+-k=21,

23

162

"T

162127

----x—

56y

故答案为：y.

【我思故我在】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是

解题的关键.

11.如图，在平面直角坐标系中，△/BC的顶点4、8均在函数y=£(x>0)的图象上，

X

点C在〉轴正半轴上，AC=BC,ZACB=90°.若点8的横坐标是点/横坐标的2倍，则

△N2C的面积为.

【分析】过点/作轴于点M过点8作3NU轴于点M设点)的坐标为媪

C(0,c),贝可证组△BCM根据全等三角形的性质得出°、c的方程组,

求得°、c,由勾股定理可求NC的长，即可求△/BC的面积.

【详解】解：过点/作NMLv轴于点过点8作轴于点N,

63

：.AM=a,BN=2a,OC=c,CM=一一c,CN=c——,

aa

:AC=BC,ZACB=90°f

ZCAM+ZACM=90°,Z.ACM+^BCN=90°,

:"CAM=/BCN,

,：ACMA=ABNC=90°f

.•.△CAM9/\BCN(AAS),

：.CM=BN,AM=CN,

6.

——c=2a

a

即

3，

a=c——

a

"二或a=-\

解得c1(舍)，

:.AM=J\,CM=3,

222

：AC=AM+CM=10y

1

・•.S”y心7=2.5・

故答案为：2.5

【我思故我在】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角

形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是本题的关键.

o

12.如图，和△/CD均为正三角形，且顶点8、D均在双曲线＞=嚏（》＞0）上，连接

BC交4D于P,连接OP,则图中SBO是

【分析】先根据△403和△/CD均为正三角形可知4403=NC1D=60。，故可得出

AD//OB,所以邑。加=5-,过点B作BE104于点E,由反比例函数系数上的几何意义

即可得出结论.

ZAOB=ACAD=60°,

AD//OB,

一-屋vOBP-=q

过点2作BE工0/于点E,则S.°BE=S-BE=，

o

1•点2在反比例函数y=2的图象上，

X

/.S△UCDREF=_2X8=4，,

-，-S&0BP=S-0B=江QBE=8.

故答案为：8.

【我思故我在】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数左的几何意

义等知识，综合运用以上知识是解题的关键.

3

13.如图，若点M是x轴正半轴上一点，过点M作尸。〃y轴，分别交函数y=—(尤>0)

X

2

和函数y=—(x>0)的图像于P、。两点，连接。尸、OQ,贝b。尸。的面积为

【分析】由尸。〃夕轴可知J。.=gx3=1.5,邑.w=gx|_2|=l,拆分AOP。即可得出结论.

【详解】解：••・PQ〃y轴，

,PMlx轴，QMlx轴，

邑OPM=；X3=1.5，SO。M=；x|-2|=l,

又S.OPQ=SMPM+S^OQM,

-邑。蛇=15+1=2.5.

故答案为：2.5

【我思故我在】本题考查了反比例函数系数后的几何意义，解题的关键是通过拆分三角形求

出△尸。。的面积.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由反比例函数系数发的

几何意义得出S：和S：,再根据三角形之间的关系得出结论.

5a

14.如图，点4、8分别是x轴上的两点，点C、。分别是反比例函数y=-(x>0),y--(x<0)

XX

图像上的两点，且四边形N3C。是平行四边形，则平行四边形/BCD的面积为

【答案】8

【分析】连接OC、OD,根据反比例函数系数4的几何意义求出和AOCE的面积,

从而求出平行四边形的面积.

【详解】解：如图，连接。COD,CD交y轴于巴

5Q

,点C,。分别是反比例函数y=-a>0),y=一(x<0)图象上的两点，

XX

1315

…S/kDOE=5X1-31=2,S.COE=-X5=~,

…~2~t2~~2D平行四边形4ss，

••S平行四边形Z3CD=8.

故答案为：8.

【我思故我在】本题考查反比例函数系数左的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数系

数k的几何意义是正确解答的关键.

2

15.如图，点月、P小P,、4在反比例函数y=—。>0)的图象上，它们的横坐标依次为1、

x

2、3、4……，过这些点分别作x轴、夕轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为岳、

求出乙叱的坐标，再用平移法和反比例函数上的几

何意义进行求解即可.

2

【详解】解：当x=2023,>=谅

「A（2023,4I，

由图象可知：

S[=2-1x%

H+邑=2Tx%

H+邑+邑=2-1、44

24044

/.S,+S+Ry

7S3H—+*S*7n99=2—1xp=2_1x------=-------

玛23020232023

4044

故答案为：砺.

【我思故我在】本题考查反比例函数与几何的面积问题.熟练掌握反比例函数左的几何意义,

利用平移法解决面积问题是解题的关键.

k

16.如图，平行四边形O4BC的顶点。，3在y轴上，顶点/在＞=」（自＜0）上，顶点

X

【分析】过点A作AELy轴于点E,过点C作CD±y轴于点D,依据平行四边形的性质及

反比例函数k的几何意义解题即可.

【详解】解：过点/作轴于点瓦过点。作CD轴于点。，

・•.平行四边形Q45C,

：.AE=CD,AB=CO,

[AE=CD

\AB=CO

4ABESD[HL),

在反比例函数产与中，△COD的面积=冬

X2

AABE的面积=aCOD的面积=与，

同理得的面积的面积=限，

2

综上平行四边形OABC的面积为h+同=心-％.

故答案为k2-kx.

【我思故我在】本题主要考查反比例函数中左的几何意义，能够熟练运用平行四边形的性质

得到面积之间的关系并结合几何意义解题是解题关键.

24

17.如图，/、3两点分别在反比例函数k-(x>0)和尸—(x>0)的图象上，S.AB//X

尤x

轴，C为x轴上任意一点，则△4BC的面积为.

【答案】1

【分析】根据反比例函数左的几何意义，得出SABC=S.°二邑"广邑”加=2-1=1,进而求解

即可.

【详解】解：如图，延长3/交y轴于点M,连接CM,OB,

-

S«ABC-S«4B0-SdB0M~LAOM2-1-1,

故答案为：「

【我思故我在】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k的几何意义，理解反比例函数

k的几何意义是解决问题的关键.

18.如图，反比例函数y=&的图象经过矩形/BCD对角线的交点E和点/,点夙。在x

轴上，△OCE的面积为6,贝!］后=.

【答案】8

【分析】如图作由矩形的性质可知斯=g48,设E点坐标为(a,b),则/点

坐标为(c,26),根据点4,E在反比例函数y=&上，根据反比例函数系数的几何意义可

X

列出06=左=2瓦，根据三角形OEC的面积可列出等式，进而求出k的值.

【详解】解：如图作E7U5C,则£尸=>3,

设£点坐标为(。，6),则/点的纵坐标为2人

则可设/点坐标为坐标为(c,26),

1,点/,£在反比例函数夕=勺上，

X

/.ab=k=2bc,解得：4=2。，故瓦三FC=2c-c=c,

:.OC=3c,

7

故S4OEC=JxOCxET=；x3cxb=6,解得：bc=4,

k=2bc=8,

故答案为：8.

【我思故我在】本题考查矩形的性质，反比例函数的图形，反比例函数系数左的几何意义，

能够熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决本题的关键.

Q

19.如图，。是函数〉=-一(％v0)图象上的一点，A是x轴上任意一点，过点P作歹轴的垂

x

线，交函数＞=士在第一象限内的图象于点5,交歹轴于点C,连接尸/,AB,贝I」△尸的

x

面积为.

【答案】y

【分析】连接。尸，OB,根据轴，可知轴，推出

1]11

SJAB=S&OB=S&POC+S、BOC=]X[-8|+*x3=—.

【详解】连接OP,OB,

-：PBLy^,

・..必/x轴，

-V—V

一QjAB_3POB

-Cc

一°AP(?C丁QABOC

=—x|-8|+—x3

2112

_11

故答案为：号

【我思故我在】本题主要考查了反比例函数，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握反比

例函数的性质，反比例系数左的几何意义.

Q

20.如图，/是双曲线y=J尤>0)上的一点，点。是04的中点，过点C作y轴的垂线，

垂足为。交双曲线于点3,则△N3D的面积是.

【答案】4

【分析】根据点。是。/的中点，根据三角形中线的可得SAACD=SAOCD,SAACB=SAOCB,

o

进而可得=根据点3在双曲线y=—(x>0)上，轴，可得以。8。=4,

X

进而即可求解.

【详解】•「点。是。4的中点，

:.SAACD=SAOCD,SAACB=SAOCB,

:.SAACD+SAACB=SAOCD+SAOCB,

：.S^ABD=SQBD,

o

二点3在双曲线>=Jx>0）上，轴，

.S^OBD——x8=4,

.-.SAABD=4,

答案为：4.

【我思故我在】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的左的几何意义，掌握反比例函

数上的几何意义是解题的关键.

21.在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点N（x,y）,我们把点称为

7

点/的“倒数点”.如图，矩形OCDE的顶点C为（3,0）,顶点£在y轴上，函数y=±（x>0）

X

的图象与DE交于点A,若点B是点A的“倒数点”,且点B在矩形OCDE的一边上,则△03C

的面积为.

【答案】;1或93

【分析】根据题意，点8不可能在坐标轴上，可对点3