第一章多项式(教案)

高等代数北大三版第一章多项式教学目的：了解多项式的概念，多项式的运算及运算律。会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解。了解多项式与对称多项式的概念。教学重点与难点：整除理论。有理数域上的因式分解。§1．数域代数性质：关于数的加减乘除等运算性质引入：关于数的范围的讨论定义：设P是一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，那么称P为一个数域。另一说法：如果包含0和1的一个数集P，对于加减乘除（除数不为0）运算都是封闭的，那么称P为一个数域。例：1．QRCZW2Z（前3个是，后3个不是）2．R*C+（均不是）3．＝是证明封闭不是4．是重要结论：最小数域为有理数域（任何数域包含有理数域）§2．一元多项式一元多项式的概念定义：设是一非负整数，是一个符号（文字），形式表达式：其中。称为系数在数域P中的一元多项式。（数域P上的一元多项式）=1\*GB3①记＝＝＝＝=2\*GB3②其中称为的次项为次项系数。=3\*GB3③，则为的首项为首项系数，为的次数。记。=4\*GB3④所有系数均为0的多项式称为零多项式，记0（唯一不定次数）=5\*GB3⑤＝除去系数为0的项外，同次项系数均相等。（注意0多项式与0次多项式的区别）二．多项式的加、减、乘运算及运算律设＝＝＝＝补充系数为0的项，使与具有相同多的项数后＝＝＋，均不为0多项式算律：1．加法交换律法结合律乘法交换律乘法结合律乘法对加法的分配率＝乘法消去律且，则（则）三．一元多项式环的概念所有系数在数域P中的一元多项式的全体，记P为系数域常用数学归纳法：关于自然数的命题=1\*GB3①当初始值时，命题成立=2\*GB3②假设小于或等于时，命题成立，往证时，命题成立反证法：=1\*GB3①假设结论成立=2\*GB3②按照正确分析，综合方法，退出与已知或事实矛盾的结果=3\*GB3③结论成立§3．整除的概念一．带余除法引例于是商式余式带余除法定理：对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的，存在，使成立。其中或者＝0，并且与是唯一确定的。证明：（讲解思路与方法，学生阅读）中是商式，是余式。二．整除定义：如果存在，使成立。那么称整除，记做。†表示不能整除=1\*GB3①整除时称为因式，为倍式=2\*GB3②时，除的余式＝0=3\*GB3③有意义且0只能整除0多项式。零次多项式只能被零次多项式整除。（）性质：1，为非零常数2，3，，其中是任意多项式。分别证明之。（1详，23略）结论：=1\*GB3①与具有相同的因式与倍式，讨论时可互相替代。=2\*GB3②两个多项式的整除关系不引文为系数域的扩大而改变。作业：44－2（2）34（2）§4．最大公因式一．最大公因式公因式：，则称是，的一个公因式定义：对于，若满足：=1\*GB3①是，的公因式=2\*GB3②是，的公因式，有，则称是，的一个最大公因式。引理：，那么，和，有相同的公因式。存在性：=1\*GB3①=2\*GB3②，=3\*GB3③，时定理：对于，，一定存在，且可表示成，的一个组合，即证：，与，有相同的公因式，与，有相同的公因式＝，与，有相同的公因式＝＝又因，故有限次必可整除，即，于是是，的最大公因式。又由＝－回推至最后即得得证。唯一性：=1\*GB3①若是，的公因式，则也是。为任意非零常数。=2\*GB3②令取首项系数是1的最大公因式，则唯一。记做求法：辗转相除法。练习：=1\*GB3①，=2\*GB3②，例，，求且表成形式解：二．互素定义：若则称，是互素的。定理：存在，使得结论：1且2，且三．最大公因式与互素概念的推广（学生阅读）作业：45－5（1）（3）6（3）1112*综合除法=1\*GB3①对，是一次式时，求，。例，，所以=2\*GB3②表示为（）的幂形式。即，§5．因式分解定理一．不可约多项式定义：数域上次数的多项式，如果它不能表示成数域上的两个次数比低的多项式的乘积，那么称为上的不可约多项式。=1\*GB3①一次多项式总是不可约的=2\*GB3②不可约多项式依赖于数域例在上不可约，在上可约=3\*GB3③不可约多项式的因式=4\*GB3④不可约多项式与任意多项式的关系性质定理：为不可约多项式，，，若或推广：，即整除其中一个。二．因式分解及唯一性定理数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成上一些不可约多项式的乘积。=1\*GB3①唯一性解释，则。调整顺序后，=2\*GB3②证明：（数学归纳法）=3\*GB3③理论上给出分解可行，但无一般分解方法=4\*GB3④引入标准分解式：。=5\*GB3⑤，的标准分解式存在，可求。则可写出。§6．重因式一．重因式定义：不可约多项式称为多项式的重因式，如果，而†说明：=1\*GB3①，不是的因式=2\*GB3②，是的单因式=3\*GB3③，是的重因式=4\*GB3④若，讨论其重因式类型二．重因式的判定准备：的微商：。基本公式：，，，例，的高阶微商：的微商，，一个次多项式的微商是次多项式，阶微商是一个常数，阶微商等于0。定理：若不可约多项式是的重因式，则是的重因式证：是的重因式∴，而†，＝∴，又†，从而†，故是的重因式。推论1：是的重因式，则是，，的因式，但不是的因式推论2：是的重因式是，的公因式推论3：没有重因式判定：=1\*GB3①求（辗转相除法）=2\*GB3②去掉的重数，，得到与具有相同不可约因式的但无重数的多项式。§7．多项式函数将看成函数，称为上的多项式函数。，，有，，，÷定理（余数定理）：用去除，余式为常数，则（综合除法）根：，称为的根（零点）结论：是的根重根：是的重因式。称为的重根，时单根，时重根。定理：中次多项式（）在数域中的根不可能多余个（重根按重数计算）多项式函数与多项式的统一性：（不同多项式定义的函数不同）定理：若，的次数都不超过，且对个不同的数，，有相同的值，，，则。例：求多项式有重根的条件解，，求，且，令，即§8．复系数与实系数多项式的因式分解一．上代数基本定理：每个次数的复系数多项式在复数域中有一根。=1\*GB3①每个次数的多项式，在复数域上必有一个一次因式。=2\*GB3②在上不可约多项式只有一次的。复系数多项式因式分解定理：每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次多项式的乘积。=1\*GB3①标准分解式为：=2\*GB3②次复系数多项式恰有个复根。二．上=1\*GB3①对，是复数且即为的一个复根，则也是的复根，。=2\*GB3②是实系数不可约多项式。实系数多项式因式分解定理：每个实系数多项式（次数）在实数域上都可以分解成（且唯一）一次因式与二次不可约因式的乘积。=1\*GB3①=2\*GB3②求根，求分解式仍旧没有具体方法。作业：P46-2022§9．有理系数多项式问题：1有理系数多项式的因式分解，可以分解为整系数多项式的因式分解问题，并解决有理根问题。2有任意次数的不可约多项式问题。一．本原多项式如果非零的整系数多项式的系数没有异于的公因子（互素），则为本原多项式。于是任意，为有理数，为本原多项式（此种表示只差符号，是相对唯一的）定理：（Gauss引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。（反证法）二．因式分解定理：如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积。结论：有理多项式的分解转化为整系数多项式的分解推论：设，是整系数多项式且是本原的，如果，其中是有理系数多项式，则是整系数的。三．求整系数多项式的全部有理根的方法。定理：，是的一个有理根，且，则（首项）（常数项）（证明略）例1求的全部有理根。∴的所有可能有理根为，经综合除法验证，为有理根。例2证明在有理数域上不可约（反证）设可约，则有1次因式