河北省沧州市孟村回族自治县2024届中考数学最后一模试卷含解析

河北省沧州市孟村回族自治县2024届中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A,

B,C三点共线），已知45=100米，3c=200米.为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,

为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

侏T*200^f

A区5[xClX

A.点AB.点BC.A,8之间D.B,。之间

2.下列计算,结果等于a，的是（)

A.a+3aB.a5-aC.(a2)2D.a8-j-a2

3.一个正方体的平面展开图如图所示,将它折成正方体后“建”字对面是（）

C.凉D.山

4.如图，已知射线OM,以O为圆心，任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心，AO长为半径

画弧，两弧交于点B,画射线OB,那么NAOB的度数是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

5.如图，在已知的小ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于‘BC的长为半径作弧，两弧相交

2

于点M、N；②作直线MN交AB于点D,连接CD,则下列结论正确的是（）

A.CD+DB=ABB.CD+AD=ABC.CD+AC=ABD.AD+AC=AB

6.如图，△ABC纸片中，ZA=56,ZC=88°.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折

痕为BD.则NBDE的度数为（）

C

A.76°B.74°C.72°D.70°

7.甲、乙两盒中分别放入编号为1、2、3、4的形状相同的4个小球，从甲盒中任意摸出一球，再从乙盒中任意摸出

一球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数（）的概率最大.

A.3B.4C.5D.6

8.如图是某几何体的三视图，下列判断正确的是（）

A.几何体是圆柱体，高为2B.几何体是圆锥体，高为2

C.几何体是圆柱体，半径为2D.几何体是圆锥体，直径为2

9.安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学记数法表示3804.2千正确的是（）

A.3804.2X103B.380.42xl04C.3.8042xl06D.3.8042xl05

10.已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1,这个多边形的边数是（）

A.8B.9C.10D.12

11.如图，等腰△ABC的底边5c与底边上的高AO相等，高AO在数轴上，其中点A,。分别对应数轴上的实数-2,

2,则AC的长度为（）

c.275D.475

s

12.如图，已知矩形4BCZ>中，BC=2AB,点E在3c边上，连接OE、AE,若EA平分N3EZ>,则不口的值为（）

）CDE

A2B26—3c2舁3D2-、

'2'-2-,-3-'3

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知48=16机，半径。4=10机，高度为m.

14.16的算术平方根是.

15.如图，某城市的电视塔A3坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔A8的高度，在点M处测得塔尖点A

的仰角NAM3为22.5。，沿射线M5方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影4的俯角NA"5

16.如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、。、。都在横格线上，且线段

3c交于点O,则43：C。等于.

B

CD

17.如图，在口A5CD中，AC是一条对角线，EF//BC,且与A5相交于点比与AC相交于点B3AE=2EBf

连接。P.若SAAM=L贝!ISAAD产的值为.

18.若分式，有意义，则实数x的取值范围是.

x-5

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，AB、CD是。O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE,求证：ND=/B.

20.（6分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲

在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为

4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达

式及飞行的最高高度.

D

>x

21.（6分）甲、乙、丙、丁四位同学进行乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛.若确定甲打第一场,

再从其余三位同学中随机选取一位，恰好选中乙同学的概率是—.若随机抽取两位同学，请用画树状图法-或列表

法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

22.（8分）计算：2sin60°+|3-G|+（n-2）（-）-1

2

23.（8分）如图，已知NAOB与点M、N求作一点P,使点P到边OA、OB的距离相等，且PM=PN（保留作图痕

迹，不写作法）

24.（10分）已知：如图，在R3AB。中，ZB=90°,NOA8=10。，OA=\.以点。为原点，斜边。4所在直线为x

轴，建立平面直角坐标系，以点尸（4,0）为圆心，BL长为半径画圆，。尸与x轴的另一交点为N,点M在。尸上,

且满足NMPN=60。.OP以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为fs,解答下列问题：

（发现）（1）疝v的长度为多少；

（2）当f=2s时，求扇形MPN（阴影部分）与RtAA3。重叠部分的面积.

（探究）当。P和△A3。的边所在的直线相切时，求点尸的坐标.

25.（10分）尺规作图：校园有两条路OA、OB,在交叉路口附近有两块宣传牌C、D,学校准备在这里安装一盏路

灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P.（不写画图

过程，保留作图痕迹）

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的两个根分别为XI,X2,其中Xl>X2,若Xl=2X2,求m的值.

27.（12分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已

3

知甲队的工作效率是乙队工作效率的7倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.

2

（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不

超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、A

【解析】

此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之

间的里程，就用到两点间线段最短定理.

【详解】

解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15x100+10x300=1(米)，

②以点5为停靠点，则所有人的路程的和=30x100+10x200=5000(米)，

③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30x300+15x200=12000(米)，

④当在A3之间停靠时，设停靠点到A的距离是贝!](0<m<100),则所有人的路程的和是：30m+15(100-m)

+10(300-m)=l+5m>l,

⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到5的距离为“,则(0<n<200),则总路程为30(100+n)+15/1+10(200-n)=

5000+35zz>l.

该停靠点的位置应设在点4

故选A.

【点睛】

此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短.

2、C

【解析】

根据同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减；同底数塞的乘法法则：同底数塞相乘，底数不变，指数相加；募的

乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可.

【详解】

A.a+3a=4a,错误；

B.“5和”不是同类项，不能合并，故此选项错误；

C.(a2)2=a4,正确；

D.as-i-a2-a6,错误.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了同底数幕的乘除法，以及累的乘方，关键是正确掌握计算法则.

3、D

【解析】

分析：本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，据此作答.

详解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“建”字相对的字是“山”.

故选：D.

点睛：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题.

4、B

【解析】

首先连接AB,由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得/AOB的度数.

【详解】

连接AB,

根据题意得：OB=OA=AB,

.,.△AOB是等边三角形，

ZAOB=60°.

故答案选：B.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定与性质.

5、B

【解析】

作弧后可知MN_LCB,且CD=DB.

【详解】

由题意性质可知MN是BC的垂直平分线，则MNLCB,且CD=DB,则CD+AD=AB.

【点睛】

了解中垂线的作图规则是解题的关键.

6,B

【解析】

直接利用三角形内角和定理得出NABC的度数，再利用翻折变换的性质得出/BDE的度数.

【详解】

解：VZA=56°,NC=88。，

:.ZABC=180o-56O-88o=36°,

•••沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD,

/.ZCBD=ZDBE=18°,ZC=ZDEB=88°,

:.ZBDE=180o-18°-88o=74°.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了三角形内角和定理，正确掌握三角形内角和定理是解题关键.

7、C

【解析】

解：甲和乙盒中1个小球任意摸出一球编号为1、2、3、1的概率各为

4

其中得到的编号相加后得到的值为｛2,3,1,5,6,7,8)

和为2的只有1+1；

和为3的有1+2；2+1；

和为1的有1+3；2+2；3+1；

和为5的有1+1；2+3；3+2；1+1；

和为6的有2+1；1+2；

和为7的有3+1；1+3；

和为8的有1+1.

故p(5)最大，故选C.

8、A

【解析】

试题解析：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱,

再根据左视图的高度得出圆柱体的高为2；

故选A.

考点：由三视图判断几何体.

9、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中长回＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移

动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】

V3804.2千=3804200,

.,.3804200=3.8042xl06；

故选：C.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axltr的形式，其中10a|VlO,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

10、A

【解析】

试题分析：设这个多边形的外角为x。，则内角为3x。，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180,解可

得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数.

解：设这个多边形的外角为x。，则内角为3x。，

由题意得：x+3x=180,

解得x=45,

这个多边形的边数：360。+45。=8,

故选A.

考点：多边形内角与外角.

11、C

【解析】

根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可.

【详解】

解：•.•点A,。分别对应数轴上的实数-2,2,

：.AD=4,

•.•等腰△ABC的底边BC与底边上的高AD相等，

：.BC=4,

:.CD=2,

在RtAACD中，AC=^AD~+CD2=742+22=245，

故选：C.

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理.

12、C

【解析】

过点A作AFLDE于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB,利用全等三角形的判定和性质以及

矩形的性质解答即可.

【详解】

在矩形A5C。中，AB=CD,

,：AE平分

：.AF=AB,

'：BC^2AB,

：.BC=2AF,

AZA£)F=30°,

在小AFD与4DCE中

VZC=ZAFD=90o,

ZADF=ZDEC,

AF=DC„

AAAFD^ADCECAAS),

△C£)E的面积=△A尸。的面积=,AFxDF=工AFx=3AB?

222

;矩形ABCD的面积=A5・5C=2A52,

A2AABE的面积=矩形ABC。的面积-CDE的面积=(2-0)AB2,

/./XABE的面积=曰-百）,

2

2-6

.SABE_2_26-3

S.CDE63

T

故选：c.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角

平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1.

【解析】

由CDJ_AB,根据垂径定理得到AD=DB=8,再在RtAOAD中，利用勾股定理计算出OD,则通过CD=OC-OD

求出CD.

【详解】

解：'：CDLAB,AB=16,

.*.40=05=8,

在RtAOAO中，AB=16m,半径。4=〃0»i,

2222

：•0D=7OA-AD=710-8=6，

：.CD=OC-OD^IO-6=1（/«）.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了切线的性质定理以及勾股定理.

14、4

【解析】

正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根

；（土4）2=16

A16的平方根为4和-4

A16的算术平方根为4

15、100A/2.

【解析】

解：如图，连接AN,由题意知，BMLAA',BA=BA',：.AN=A'N,：.ZANB=ZA'NB=45°,VZAMB=22.5°,

：.ZMAN^ZANB-/AMB=22.5°=NAMN,二人心"心?。。米，在RtAA5N中，ZANB^45°,—A^IOOA/2

(米)，故答案为100点.

点睛：此题是解直角三角形的应用——仰角和俯角，主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解本题的

关键是求出NAN5=45。.

16、2：1.

【解析】

过点O作OELAB于点E,延长EO交CD于点F,可得OFJ_CD,由AB//CD,可得△AOBs/UX)C,根据相似三

ARf)F

角形对应高的比等于相似比可得——=—,由此即可求得答案.

CDOF

【详解】

如图，过点O作OELAB于点E,延长EO交CD于点F,

VAB//CD,.\ZOFD=ZOEA=90°,即OF_LCD,

VAB//CD,.•.△AOB^ADOC,

又•；OEJ_AB,OF±CD,练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等,

.ABOE_2

CD~OF~3'

故答案为：2：1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解本题的关键.

17、-

【解析】

=1,可知S△ADC=$4ABC=弓.再由,=鲁;，

由3AE=2EB，和EF〃BC,证明△AEF^△ABC,得，结合SA

得|'；=1=,再根据SAADF=：SAADC即可求解.

【详解】

解：V3AE=2EB,

设AE=2a,BE=3a,

；EF〃BC,

/.△AEF^AABC,

・\任£_（生）2-（二X）2_±

:・心。一-J-JF'

•SAAEF=1,

・・ABC=—?

.

•••四边形ABCD为平行四边形，

AS乙ADC=8LABC=y

VEF//BC,

..vFA_E.

FCB£为f

.•一二F7.

••—==.

i--LFFL/

•••SAADF=rSAADC=-?

故答案是：7

【点睛】

本题考查了图形的相似和平行线分线段成比例定理，中等难度，找到相似比是解题关键.

18、\

【解析】

由于分式的分母不能为2,X」在分母上，因此X-1W2,解得X.

解：•.•分式，有意义，

/.x-l/2,即"1.

故答案为xWL

本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为2.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、证明见解析.

【解析】

根据在同圆中等弦对的弧相等，AB、CD是。。的直径，则CFZ）=AEB，由FD=EB,得，FD=EB，由等量减去

等量仍是等量得：CFD-FD=AEB-EB，即PC=AE，由等弧对的圆周角相等，得ND=NB.

【详解】

解：方法（一）

证明：；AB、CD是。O的直径，

•*-CFD=AEB-

VFD=EB,

••FD=EB,

工CFD-FD=AEB-EB-

即FC=AE-

.\ZD=ZB.

方法（二）

证明：如图，连接CF,AE.

TAB、CD是。。的直径，

，NF=NE=90。（直径所对的圆周角是直角）.

VAB=CD,DF=BE,

ARtADFC^RtABEA(HL).

【点睛】

本题利用了在同圆中等弦对的弧相等，等弧对的弦，圆周角相等，等量减去等量仍是等量求解.

20、—米.

3

【解析】

先求抛物线对称轴，再根据待定系数法求抛物线解析式，再求函数最大值.

【详解】

由题意得：C(0,1),D(6,1.5),抛物线的对称轴为直线x=4,

设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+l(a^O),

b

-----=4

则据题意得：la

1.5=36i+6/?+l

1

a----

24

解得：

b=L

3

羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=--x2+-x+l,

243

y=-—(x-4)2+-,

243

飞行的最高高度为：*米.

3

【点睛】

本题考核知识点：二次函数的应用.解题关键点：熟记二次函数的基本性质.

21、(1).；(2).

【解析】

1)由题意可得共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，则可利用概率公式求解即可求得答案;

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率

公式求解即可求得答案.

【详解】

解:(1)1•甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场,再从其余的三位同学中随机选取一位,...恰

好选到丙的概率是：.；

⑵画树状图得：

甲乙丙丁

zd\/1\/N/1\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

•.•共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有2种情况，

•••恰好选中甲、乙两人的概率为：­=.

fji

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适

合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

22、1

【解析】

根据特殊角的三角函数值、零指数塞的运算法则、负整数指数幕的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可.

【详解】

原式=lx无+3-73+1-1=1.

2

【点睛】

此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从

高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的

顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

23、见解析

【解析】

作NAOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，它们的交点即是要求作的点P.

【详解】

解：①作NAOB的平分线OE,②作线段MN的垂直平分线GH,GH交OE于点P.

点P即为所求.

【点睛】

本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作法，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的的作图步骤是解答本题的

关键.

24、【发现半3)加的长度为三⑵重叠部分的面积为无；【探究】:点p的坐标为a,o)；或(冬8,0)或(-2叵,0);

MN3833

【拓展】f的取值范围是2</W3或4W/<5,理由见解析.

【解析】

发现：(3)先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；

(2)先求出PA=3,进而求出PQ,即可用面积公式得出结论；

探究：分圆和直线A5和直线05相切，利用三角函数即可得出结论；

拓展：先找出和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论.

【详解】

［发现］

(3)'：P(2,0),：.OP=2.

'：OA=3,，4尸=3,:.MN的长度为1=g.

1803

JT

故答案为—;

3

(2)设。P半径为r,则有片2-3=3,当Z=2时，如图3,点N与点A重合，...”L=r=3,设MP与A8相交于点Q.在

RtAABO中，VZOAB=30°,ZMPN=60°.

VZPQA=90°,：.PQ=-PA=~,.•.AQ=APxcos30°=走,，S重叠部分=54A/>2=!20x40=走.

22228

即重叠部分的面积为走.

8

［探究］

①如图2,当。尸与直线相切于点C时，连接PC,则有PCLA3,PC=r=3.

；NOA5=30°,：.AP=2,：.OP=OA-AP=3,-2=3；

...点P的坐标为（3,0）；

②如图3,当。尸与直线05相切于点。时，连接尸£）,则有尸Z>_L05,PD=r=3,：.PD//AB,：.ZOPD^ZOAB^30o,

：.cosZOPD=—,：.OP=-1—=38,...点P的坐标为（冥3,0）；

OPcos30033

③如图2,当。尸与直线05相切于点E时，连接尸E,则有尸EJ_O3,同②可得：。尸

3

点尸的坐标为（—也,0）；

［拓展］

f的取值范围是2〈合3,2<t<4,理由：

如图4,当点N运动到与点A重合时，MN与RtAAB。的边有一个公共点，此时f=2；

4-1

当f>2,直到。P运动到与A3相切时，由探究①得：。尸=3,，"=丁一=3,MN与R3A3。的边有两个公共点,

：.2<t<3.

如图6,当。P运动到PM与05重合时，MN与RSA3。的边有两个公共点，此时U2；

直到。尸运动到点N与点。重合时，MN与R3AB。的边有一个公共点，此时U4；

：.2<t<4,即：f的取值范围是2〈条3,2<t<4.

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关

键.

25、见解析.

【解析】

分别作线段CD的垂直平分线和NAOB的角平分线，它们的交点即为点P.

【详解】

如图，点P为所作.

【点睛】

本题考查了作图-应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键.

26、⑴见解析；(2)m=2

【解析】

(1)根据一元二次方程根的判别式进行分析解答即可；

(2)用“因式分解法”解原方程，求得其两根，再结合已知条件分析解答即可.

【详解】

(1),在方程x2-6mx+9m2-9=1中，A=(-6m)2-4(9m2-9)=26m2-26m2+26=26>l.

方程有两个不相等的实数根；

(2)关于x的方程：X?-6mx+9m2-9=1可化为：[x-(2m+2)][x-(2m-2)]