2024届云南省玉溪第二中学数学高一下期末调研模拟试题含解析

2024届云南省玉溪第二中学数学高一下期末调研模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则2．已知，集合，则A． B． C． D．3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．直角边不相等的直角三角形4．已知、都是公差不为0的等差数列，且，，则的值为（）A．2 B．-1 C．1 D．不存在5．已知的三个内角所对的边为，面积为，且，则等于（）A． B． C． D．6．在等差数列中，若，则（）A．8 B．12 C．14 D．107．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下列命题正确是（）A．m∥n，m∥α⇒n∥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n D．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β9．若线性方程组的增广矩阵是5b1102bA．1 B．2 C．3 D．410．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．-1 B．-2 C．-5 D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在封闭的直三棱柱内有一个表面积为的球，若，则的最大值是_______.12．下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P、Q，高分别为2、1，底面半径为1．A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）．下列四个结论：①三棱锥体积的最大值为；②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为；③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为；④直线BQ与AP所成角的最大值为；其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）13．已知，则的最小值为__________．14．若数列满足（）,且，，__.15．在三棱锥中，，，，作交于，则与平面所成角的正弦值是________.16．已知向量，，若，则实数__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求适合下列条件的直线方程：经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。18．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．求证：⑴平面；⑵．19．已知数列和满足：，，，，且是以q为公比的等比数列．（1）求证：；（2）若，试判断是否为等比数列，并说明理由．（3）求和：．20．动直线m：3x+8y+3λx+λy+21＝0（λ∈R）过定点M，直线l过点M且倾斜角α满足cosα，数列{an}的前n项和为Sn，点P（Sn，an+1）在直线l上．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设bn，数列{bn}的前n项和Tn，如果对任意n∈N*，不等式成立，求整数k的最大值．21．若是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列.（1）求数列的公比.（2）若，求的通项公式.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

A中平面，可能垂直也可能平行或斜交，B中平面，可能平行也可能相交，C中成立，D中平面，可能平行也可能相交.【详解】A中若，，，平面，可能垂直也可能平行或斜交；B中若，，，平面，可能平行也可能相交；同理C中若，，则，分别是平面，的法线，必有；D中若，，，平面，可能平行也可能相交.故选C项.【点睛】本题考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，属于简单题.2、D【解析】

先求出集合A，由此能求出∁UA．【详解】∵U＝R，集合A＝{x|1﹣2x＞0}＝{x|x}，∴∁UA＝{x|x}．故选：D．【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3、A【解析】

根据a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，利用等差、等比中项的性质可知，根据基本不等式求得a=c，判断出a=b=c，推出结果．【详解】由a，b，c依次成等差数列，有2b=a+c(1)由，，成等比数列,有(2)，由(1)(2)得，又根据，当a=c时等号成立，∴可得a=c，∴，综上可得a=b=c，所以△ABC为等边三角形.故选：A.【点睛】本题考查三角形的形状判断，结合等差、等比数列性质及基本不等式关系可得三边关系，从而求解，考查综合分析能力，属于中等题.4、C【解析】

首先根据求出数列、公差之间的关系，再代入即可。【详解】因为和都是公差不为零的等差数列，所以设故，可得又因为和代入则．故选：C．【点睛】本题主要考查了极限的问题以及等差数列的通项属于基础题。5、C【解析】

利用三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换知识可得，从而得到角A.【详解】∵∴即∴∴∴，∴（舍）∴故选C【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．6、C【解析】

将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，，得解得，，所以．故选C．【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.7、A【解析】

取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．【详解】如下图所示，取的中点，连接、，由于、分别为、的中点，则，且，所以，异面直线与所成的角为或其补角，三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，为的中点，则，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．8、D【解析】

在A中，n∥α或n⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．【详解】由两条直线m，n，两个平面α，β，知：在A中，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故A错误；在B中，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n平行或异面，故B错误；在C中，α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9、C【解析】

由题意得5×3421+【详解】由题意得5×3421+解得b1则b2【点睛】本题主要考查了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考查运算能力，属于中档题.10、A【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A.考点：本题主要考查了简单的线性规划.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据已知可得直三棱柱的内切球半径为，代入球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，因为，所以,可得的内切圆的半径为，又由，故直三棱柱的内切球半径为，所以此时的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直三棱柱的几何结构特征，以及组合体的性质和球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.12、①③【解析】

由①可知只需求点A到面的最大值对于②，求直线PB与平面PAQ所成角的最大值，可转化为到轴截面距离的最大值问题进行求解对于③④，可采用建系法进行分析【详解】选项①如图所示，当时，四棱锥体积最大，选项②中，线PB与平面PAQ所成角最大值的正弦值为，所以选项③和④，如图所示：以垂直于方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴，其中设,.,设直线BQ与AP所成角为，，当时，取到最大值，，此时，由于，，，所以取不到答案选①、③【点睛】几何体的旋转问题需要结合动态图形和立体几何基本知识进行求解，需找临界点是正确解题的关键，遇到难以把握的最值问题，可采用建系法进行求解.13、【解析】

根据均值不等式即可求出的最小值.【详解】因为所以，根据均值不等式可得：当且仅当，即时等号成立.【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.14、1【解析】

由数列满足，即，得到数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，利用等比数列的极限的求法，即可求解．【详解】由题意，数列满足，即，又由，，所以数列的奇数项构成首项为1，公比为，偶数项构成首项为，公比为的等比数列，当为奇数时，可得，当为偶数时，可得．所以．故答案为：1.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及无穷等比数列的极限的计算，其中解答中得出数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、【解析】

取中点,中点,易得面,再求出到平面的距离,进而求解再得出到平面的距离.从而算得与平面所成角的正弦值即可.【详解】如图,取中点,中点,连接.因为,,所以.因为,,所以.在中,余弦定理可得.在中,余弦定理可得,故.在中,,且面.故到面的距离.到面的距离.又因为,所以,所以,所以,故到面的距离.故与平面所成角的正弦值是故答案为：【点睛】本题主要考查了空间中线面垂直的性质与运用,同时也考查了余弦定理在三角形中求线段与角度正余弦值的方法,需要根据题意找到点到面的距离求解,再求出线面的夹角.属于难题.16、【解析】

根据平面向量时，列方程求出的值．【详解】解：向量，，若，则，即，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】

（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线。（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】（1）已知，直线方程为化简得（2）由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式得，所求直线的方程为或【点睛】本题考查直线方程，属于基础题。18、(1)见证明；(2)见证明【解析】

（1）由中位线定理即可说明，由此证明平面；（2）首先证明平面，由线面垂直的性质即可证明【详解】证明：⑴因为在中，点，分别是，的中点所以又因平面,平面从而平面⑵因为点是的中点，且所以又因,平面,平面,故平面因为平面所以【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定以及线面垂直的性质，属于基础题．19、（1）证明见解析（2）是等比数列，详见解析（3）答案不唯一，具体见解析【解析】

（1）由即可证明；（2）证明即可（3）由（1）可知，是以为公比的等比数列，也是以为公比的等比数列，讨论和分组求和即可【详解】（1）因为，且是以q为公比的等比数列，所以，则，所以.（2）是等比数列因为；所以，又所以是以5为首项，为公比的等比数列．（3）由（1）可知，是以为公比的等比数列，也是以为公比的等比数列，所以当时，，当时.【点睛】本题考查等比数列的证明，分组求和，考查推理计算及分类讨论思想，是中档题20、(1)an＝6•（﹣1）n﹣1；(1)最大值为1．【解析】

（1）由直线恒过定点可得M（1，﹣3），求得直线l的方程，可得an+6＝1Sn，运用数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求；（1）bn•（﹣1）n﹣1，讨论n为偶数或奇数，可得Tn，再由不等式恒成立问题解法，可得所求k的范围，可得最大值．【详解】（1）3x+8y+3λx+λy+11＝0即为（3x+8y+11）+λ（3x+y）＝0，由3x+y＝0且3x+8y+11＝0，解得x＝1，y＝﹣3，可得M（1，﹣3），可得直线l的斜率为tanα1，即直线l的方程为y+3＝1（x﹣1），即有y＝1x﹣5，即有an+1＝1Sn﹣5，即an+6＝1Sn，当n＝1时，可得a1+6＝1S1＝1a1，即a1＝6，n≥1时，an﹣1+6＝1Sn﹣1，又an+6＝1Sn，相减可得1an＝an﹣an﹣1，即an＝﹣an﹣1，可得数列{an}的通项公式an＝6•（﹣1）n﹣1；（1）bn，即bn•（﹣1）n﹣1，当n为偶数时，Tnn；当n为奇数时，Tnn，当n为偶数时，不等式成立，即为1n﹣7即k≤1n﹣1，可得k≤1；当n为