黑龙江省伊春市嘉荫县第一中学2023-2024学年数学高一下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

黑龙江省伊春市嘉荫县第一中学2023-2024学年数学高一下期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知的内角的对边分别为，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．过点P（0，2）作直线x+my﹣4＝0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y﹣14＝0的距离最小值为（）A．0 B．2 C． D．23．下列说法正确的是（）A．锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B．如果向量，则；C．在中，记，，则向量与可以作为平面ABC内的一组基底；D．若，都是单位向量，则.4．已知，满足，则（）A． B． C． D．5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．－ B． C．－ D．6．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，则的值为()A． B． C． D．7．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标．下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（）A．2015年第三季度环比有所提高 B．2016年第一季度同比有所提高C．2017年第三季度同比有所提高 D．2018年第一季度环比有所提高8．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知向量，，若与的夹角为，则（）A．2 B． C． D．110．不等式的解集为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若直线y＝x＋m与曲线x＝恰有一个公共点，则实数m的取值范围是______.12．已知正方体的棱长为，点、分别为、的中点，则点到平面的距离为______.13．在数列中，，，则__________．14．某扇形的面积为1，它的周长为4cm，那么扇形的圆心角的大小为____________.15．在平行四边形中，为与的交点，，若，则__________．16．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则_______；_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前项和，，求数列，的前项和.18．已知函数，，且是R上的奇函数，（1）求实数a的值；（2）判断函数）的单调性（不必说明理由），并求不等式的解集；（3）若不等式对任意的恒成立，求实数b的取值范围.19．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求值.20．从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.利用频率分布直方图求：（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩.（答案精确到0.1）21．我市某商场销售小饰品，已知小饰品的进价是每件3元，且日均销售量件与销售单价元可以用这一函数模型近似刻画.当销售单价为4元时，日均销售量为400件，当销售单价为8元时，日均销售量为240件.试求出该小饰品的日均销售利润的最大值及此时的销售单价.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】中，，所以.由正弦定理得：.所以.所以，即因为为的内角，所以所以为等腰三角形.故选A.2、C【解析】

由直线过定点，得到的中点，由垂直直线，得到点在以点为圆心，以为半径的圆，求得圆的方程，由此求出到直线的距离最小值，得到答案．【详解】由题意，过点作直线的垂线，垂足为，直线过定点，由中点公式可得，的中点，由垂直直线，所以点点在以点为圆心，以为半径的圆，其圆的方程为，则圆心到直线的距离为所以点到直线的距离最小值；，故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系的应用，同时涉及到点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题．3、C【解析】

可举的角在第一象限，但不是锐角，可判断A；考虑两向量是否为零向量，可判断B；由不共线，推得与不共线，可判断C；考虑两向量的方向可判断D，得到答案．【详解】对于A，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角，比如的角在第一象限，但不是锐角，故A错误；对于B，如果两个非零向量满足，则，若存在零向量，结论不一定成立，故B错误；对于C，在中，记，可得与不共线，则向量与可以作为平面内的一组基底，故C正确；对于D，若都是单位向量，且方向相同时，；若方向不相同，结论不成立，所以D错误．故选C．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．4、A【解析】

根据对数的化简公式得到,由指数的运算公式得到=，由对数的性质得到>0,，进而得到结果.【详解】已知,=,>0,进而得到.故答案为A.【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系.5、D【解析】试题分析：由已知可得，故选D.考点：程序框图.6、C【解析】

根据三角函数的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，根据三角函数的定义可得.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角的函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7、C【解析】

根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．故选C．【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．8、B【解析】

方程化为，可转化为半圆与直线有两个不同交点，作图后易得．【详解】由得由题意半圆与直线有两个不同交点，直线过定点，作出半圆与直线，如图，当直线过时，，，当直线与半圆相切（位置）时，由，解得．所以的取值范围是．故选：B.【点睛】本题考查方程根的个数问题，把问题转化为直线与半圆有两个交点后利用数形结合思想可以方便求解．9、B【解析】

先计算与的模，再根据向量数量积的性质即可计算求值.【详解】因为，，所以，.又，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.10、B【解析】

把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，结合二次函数的图象可得二次不等式的解集．【详解】由,得(x−1)(x+3)>0，解得x<−3或x>1.所以原不等式的解为，故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，求出二次方程的根结合二次函数的图象可得解集，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、{m|－1＜m≤1或m＝－}【解析】

由x=，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m的取值范围．【详解】由x=，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，从图上看出其三个极端情况分别是：①直线在第四象限与曲线相切，②交曲线于（0，﹣1）和另一个点，③与曲线交于点（0，1）．直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣，当直线y=x+m经过点（0，1）时，m=1．当直线y=x+m经过点（0，﹣1）时，m=﹣1，所以此时﹣1＜m≤1．综上满足只有一个公共点的实数m的取值范围是：﹣1＜m≤1或m=﹣．故答案为：{m|－1＜m≤1或m＝－}．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．12、【解析】

作出图形，取的中点，连接，证明平面，可知点平面的距离等于点到平面的距离，然后利用等体积法计算出点到平面的距离，即为所求.【详解】如下图所示，取的中点，连接，在正方体中，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，且，又，，平面，平面，平面，则点平面的距离等于点到平面的距离，的面积为，在正方体中，平面，且平面，，易知三棱锥的体积为.的面积为.设点到平面的距离为，则，.故答案为：.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．13、16【解析】

依次代入即可求得结果.【详解】令，则；令，则；令，则；令，则本题正确结果：【点睛】本题考查根据数列的递推公式求解数列中的项，属于基础题.14、【解析】

根据扇形的面积和周长列方程组解得半径和弧长，再利用弧长公式可求得结果.【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，则，解得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了扇形的面积公式，考查了扇形中弧长公式，属于基础题.15、【解析】

根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.【详解】由向量的加法法则得：所以，所以故填：【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.16、【解析】

根据三角函数的定义直接求得的值，即可得答案.【详解】∵角终边过点，，∴，，，∴.故答案为：；.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】

（1）根据题意得到，解方程组即可.（2）首先根据，得到，再利用错位相减法即可求出.【详解】（1）有题知，解得.所以.（2）当时，，当时，.检查：当时，.所以，.①，②，①②得：，.【点睛】本题第一问考查等差数列的性质，第二问考查利用错位相减法求数列的前项和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18、（1）0（2），（3）【解析】

（1）根据奇函数的性质可得．，由此求得值（2）函数在上单调递增，根据单调性不等式即可（3）不等式．．分离参数即可．【详解】（1），是上的奇函数．．即得：．即，得：．，．（2）由（1）得．函数在上单调递增，由不等式得不等式．所以，解得不等式的解集为，．（3）由不等式在上恒成立，可得，即．当时，，当，时，．令，．故实数b的取值范围.【点睛】本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题．19、（1）；（2）【解析】

（1）由的横坐标缩小为原来的，向左平移个单位长度，可得函数，令，解不等式即可求得本题答案；（2）由，可得，又由，即可得到本题答案.【详解】解：（1）由题意，得令，解得所以，函数的单调递增区间为：（2），，又，得，由，得，.【点睛】本题主要考查三角函数的伸缩平移，三角函数的图象与性质以及利用和差公式求值.20、（1）众数为75分，中位数为分；（2）76.2分【解析】

（1）由众数的概念及频率分布直方图可求得众数，根据中位数的概念可求得中位数；.（2）由平均数的概念和频率直方图可求得平均数.【详解】（1）由众数的概念及频率分布直方图可知，这50名学生成绩的众数为75分.因为数学竞