2023-2024学年江苏省南通市通州区海安县数学高一下期末考试试题含解析

2023-2024学年江苏省南通市通州区海安县数学高一下期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若实数a＞b，则下列结论成立的是（）A．a2＞b2 B． C．ln2a＞ln2b D．ax2＞bx22．已知为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第三象限 B．第一象限C．第二象限 D．第二或第三象限3．在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为()A． B． C． D．4．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如右图，甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为则（）A． B．C． D．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则在方向上的投影为（）A．1 B．2 C．3 D．46．设函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原中的大小是（）．A． B． C． D．9．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．记，则函数的最小值为__________．12．由正整数组成的数列，分别为递增的等差数列、等比数列，，记，若存在正整数（）满足，，则__________．13．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．14．已知平面向量，若，则________15．若正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为______.16．已知数列从第项起每项都是它前面各项的和，且，则的通项公式是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数．（I）求的最小正周期；（II）求在上的最大值与最小值．18．在中，角所对的边分别为，，，，为的中点.（1）求的长；（2）求的值.19．我市某商场销售小饰品，已知小饰品的进价是每件3元，且日均销售量件与销售单价元可以用这一函数模型近似刻画.当销售单价为4元时，日均销售量为400件，当销售单价为8元时，日均销售量为240件.试求出该小饰品的日均销售利润的最大值及此时的销售单价.20．已知函数.（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域.21．已知不等式的解集为.(Ⅰ)若，求集合；(Ⅱ)若集合是集合的子集，求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

特值法排除A,B,D,单调性判断C【详解】由题意，可知：对于A：当a、b都是负数时，很明显a2＜b2，故选项A不正确；对于B：当a为正数，b为负数时，则有，故选项B不正确；对于C：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴ln2a＞ln2b，故选项C正确；对于D：当x＝0时，结果不成立，故选项D不正确；故选：C．【点评】本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．2、A【解析】

用不等式表示第二象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．【详解】由已知为第二象限角，则则当时，此时在第一象限.当时,，此时在第三象限.故选:A【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限.3、A【解析】由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.4、C【解析】

利用甲、乙两名同学6次考试的成绩统计直接求解．【详解】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知：甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，由甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为得，．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查平均数、的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5、A【解析】

根据正弦定理，将已知条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式可求，根据在方向上的投影为，代入数值，即可求解．【详解】因为，所以，即，即，因为，所以，所以，所以在方向上的投影为：．故选：A．【点睛】本题主要考查正弦定理和平面向量投影的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于中档题．6、B【解析】

由已知中函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，可以根据函数的图象分析出实数的取值范围．【详解】函数的图象如下图所示：关于的方程恰有个不同的实数解，令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（*）则方程（*）的两个解在（1，2]，可得，解得，故选：B.【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．7、D【解析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ＝＝＝,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．故选D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.8、C【解析】

根据斜二测画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状，可得结论．【详解】如图：根据斜二测画法可得：，故原是一个等边三角形故选【点睛】本题是一道判定三角形形状的题目，主要考查了平面图形的直观图，考查了数形结合的思想9、B【解析】

方程化为，可转化为半圆与直线有两个不同交点，作图后易得．【详解】由得由题意半圆与直线有两个不同交点，直线过定点，作出半圆与直线，如图，当直线过时，，，当直线与半圆相切（位置）时，由，解得．所以的取值范围是．故选：B.【点睛】本题考查方程根的个数问题，把问题转化为直线与半圆有两个交点后利用数形结合思想可以方便求解．10、D【解析】

特值,利用排除法求解即可.【详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：求最值，说明恒成立参变分离，再求最值。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解析】

利用求解.【详解】，当时，等号成立.故答案为：4【点睛】本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12、262【解析】

根据条件列出不等式进行分析，确定公比、、的范围后再综合判断.【详解】设等比数列公比为，等差数列公差为，因为，，所以；又因为，分别为递增的等差数列、等比数列，所以且；又时显然不成立，所以，则，即；因为，，所以；因为，所以；由可知：，则，；又，所以，则有根据可解得符合条件的解有：或；当时，，解得不符，当时，解得，符合条件；则.【点睛】本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.根据存在性将变量的范围尽量缩小，通过不等式确定参变的取值范围，然后再去确定符合的解，一定要注意带回到原题中验证，看是否满足.13、9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14、1【解析】

根据即可得出，解出即可．【详解】∵；∴；解得，故答案为1．【点睛】本题主要考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系，属于基础题.15、4.【解析】

设正四棱锥的高为PO，连结AO，在直角三角形POA中，求得高,利用体积公式，即可求解．【详解】由题意，如图所示，正四棱锥P-ABCD中，AB=，PA=设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=，在直角三角形POA中，，∴.【点睛】本题主要考查了正棱锥体积的计算，其中解答中熟记正棱锥的性质，以及棱锥的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．16、【解析】

列举,可找到是从第项起的等比数列,由首项和公比即可得出通项公式.【详解】解：,即,所以是从第项起首项,公比的等比数列.通项公式为：故答案为：【点睛】本题考查数列的通项公式,可根据递推公式求出.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（II）3，.【解析】

（I）利用降次公式和辅助角公式化简解析式，由此求得的最小正周期.（II）根据函数的解析式，以及的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得在区间上的最大值与最小值.【详解】（I）的最小正周期．（Ⅱ），．【点睛】本小题主要考查降次公式和辅助角公式，考查三角函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题.18、(1)．(2)【解析】

（1）在中分别利用余弦定理完成求解；（2）在中利用正弦定理求解的值.【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，∴，解得∵为的中点，∴．在中，由余弦定理得，∴．（2）在中，由正弦定理得，∴．【点睛】本题考查解三角形中的正余弦定理的运用，难度较易.对于给定图形的解三角形问题，一定要注意去结合图形去分析.19、当该小饰品销售单价定位8.5元时，日均销售利润的最大，为1210元.【解析】

根据已知条件，求出，利润，转化为求二次函数的最大值，即可求解.【详解】解：由题意，得解得所以日均销售量件与销售单价元的函数关系为.日均销售利润.当，即时，.所以当该小饰品销售单价定位8.5元时，日均销售利润的最大，为1210元.【点睛】本题考查函数实际应用问题，确定函数解析式是关键，考查二次函数的最值，属