2024年山东省烟台市高考数学一模试卷

2024年山东省烟台市高考数学一模试卷

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三四总分

得分

留意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若复数Z满足z•（1+D=—2。贝lj|z|=（）

A.V2B.V3C.2D.V5

2.已知集合/={%|a<%<a+2},B={x\y=ln（6+x—%2）},且贝U（）

A.-1Wa<2B.-1VaV2C.-24a<1D.-2<a<1

3.在丁ABC中，aA=/是usinA=*的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.过抛物线/=2py（p>0）的焦点且倾斜角为45。的直线与抛物线交于力，B两点，若点2,

B到y轴的距离之和为4或，则p的值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车

制造企业为调查其旗下4型号新能源汽车的耗电量（单位：上加・h/100km）状况，随机调查得

到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量若P（12<f<14）=0.7,

则样本中耗电量不小于14kW-h/100/an的汽车大约有（）

A.180辆B.360辆C.600辆D.840辆

6.由点P（—3,0）射出的两条光线与0。1：（久+l）2+y2=1分别相切于点a,B,称两射线P4

PB上切点右侧部分的射线和优弧4B右侧所夹的平面区域为。01的“背面”.若。2：（久-

1）2+（y—t）2=1处于。。1的“背面”，则实数t的取值范围为（）

A.-2V3<t<2V3B.一竽苧一1

C.-l<t<lD.一咨<t〈咨

3一一3

7.已知等边的边长为2,。为的中点，P为线段4。上一点，PE1AC,垂足为E,

当丽・正=一|时，PE=（）

12111121

加

加

B前C

3-3-XC3-6-6-3-4C

8.高斯是德国有名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王3-子”的3-美誉.函数/（x）=

因称为高斯函数,其中xeR,[幻表示不超过x的最大整数，例如:[-1,1]=-2,[2.5]=2,

则方程[2x+1]+[x]=4%的全部解之和为（）

13CD7

A.2-4-4-

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续进展，国家

出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2024年起实施三孩生育政策等.依

据下方的统计图，下列结论正确的是（）

2010至2022年我国新生儿数量折线图

800-----------------------------------------------------------------------------------------------

2010201220142016201820202022年份

A.2010至2024年每年新生儿数量的平均数高于1400万

B.2010至2024年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万

C.2015至2024年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势

D.2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2024年每年新生儿数量的方差

10.已知函数/(%)=Asin(ajx+0)(/>0,3>0,一，<0V])的y

部分图象如图所示，则()

A./(%)的最小正周期为几

B.当久e[—空时，B©的值域为[-容争

C.将函数/(久)的图象向右平移专个单位长度可得函数g(x)=sM2久的图象

D.将函数的图象上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关

于点(：,0)对称

11.已知双曲线C：捻-，=l(a>0">0),。为坐标原点，过C的右焦点尸作C的一条渐近

线的平行线交C于点P,交C的另一条渐近线于点Q,贝女)

A.向量评在行上的投影向量为^

B.若AOQF为直角三角形，贝北为等轴双曲线

C.若tan/OQ尸=—则C的离心率为V10

D.若可=4FP,则C的渐近线方程为x+2y=0

12.已知/己)=e3g(x)=e~x,若直线x=k(k>0)与/'(x)、g(x)图象交点的纵坐标分别

为n,m,且n<2m,贝!J()

A.n+m<B.n—m<^

C.nn>(m+l)m+1D.nm+1<(m+l)n

第n卷(非选择题)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.(%—2y+1户开放式中含/y项的系数为_.

14.某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件.小

张到该企业选购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品

中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则打算选购该企业产品；否则，拒绝选购.假

设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占

10%,则小张打算选购该企业产品的概率为—.

15.过点(一1,1)与曲线/(久)=ln(x+1)-3ex+2相切的直线方程为一.

16.在三棱锥U—ABC中，AB,AC,4,两两垂直，AB=AV=4,AC=2,P为棱4B上一

点，AHLVP于点H,贝必U”C.面积的最大值为—；此时，三棱锥力-UCP的外接球表面

积为—.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知等比数列｛厮｝的各项均为正数，其前几项和为%,且3%,口3,5a2成等差数列，54+5=5a3.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）设。=an-log3an+1,求数列｛%｝的前n项和

18.（本小题12.0分）

在锐角△4BC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且c-2bcosA=b.

（1）求证：A=2B；

（2）若4的角平分线交BC于。，且c=2,求△ABO面积的取值范围.

19.（本小题12.0分）

黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形形长，尤以色泽鲜丽、

肉质细嫩、气味芳香而著称.为争辩黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖阅历，

某院校争辩小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为争辩对象,从出卵开头持续观看20天，

试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作

为第右天的观测值%（单位：mm）,其中i=l,2,3,20.依据以往的统计资料，

该组数据（。,%）可以用Logistic曲线拟合模型V=串^或Logistic非线性回归模型y=]+4_比

U

进行统计分析，其中a,b,1t为参数.基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：

（1）你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明;

(2)假定a=12.5,且黄河鲤仔鱼的体长y与天数t具有很强的相关关系.现对数据进行初步处理,

得到如下统计量的值：t=奇£幽女=10.5,z=图々=一3.83,卬=去£猖1叫=

-1.608,溜式q-t)2=665工幽0—)9-Z)=-109.062,O-=

—138.32,其中4=皿"一》,叫=1呻-1),依据⑴的推断结果及给定数据，求y关于t的

阅历回归方程，并猜测第22天时仔鱼的体长(结果精确到小数点后2位).

附：对于一组数据(%2，丫2)，…，(%小％)，其回归直线y=a+力％的斜率和截距的最

小二乘估量分别为b=9曲二吗三,a=y-bx;参考数据：e-4«0.0183.

第i8f)2，

20.(本小题12.0分)

如图，在四棱棱U—4BCD中，底面ABCD为菱形，4B=2,=60。，△KBC为等边三角

形.

(1)求证：BC1VD-,

(2)若二面角力-BC-U的大小为60。，求直线忆4与平面UBC所成角的正弦值.

21.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系中，已知点P到点F(鱼,0)的距离与到直线x=2e的距离之比为苧.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)过点(0,1)且斜率为kW2)的直线［与C交于4B两点，与％轴交于点M,线段4B的垂

直平分线与x轴交于点N,求热的取值范围.

22.(本小题12.0分)

-1

已知/(%)=asinx-x+(%>-1),且0为/(%)的一个极值点.

(1)求实数a的值；

(2)证明：①函数/(%)在区间(一1,+8)上存在唯一零点；

②2-Ki<£'=2sinj<1,其中九EN*且九22.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由z(l+i)=—2i,得z=言=(；：猊)=T,

\z\=V2.

故选A.

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由6+%—％2>0,解得一2V%<3,

所以8={%|—2V%V3},

集合/={x\a<%<a+2}W0,

由于a=所以一比；3，

la+2<3

解得一2<a<1.

故选：C.

先求出集合B,再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出a的取值范围即可.

本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题.

依据充分必要条件的定义进行推断即可.

【解答】

上1

即-=

解：在中，若/=I则sin/=sing=6-

o622

1%

故

由

=一

反之，在A/IBC中，若si加4=3，则a=看或即,2-6

所以"=是"s讥a=”的充分不必要条件，

o2

故选：A.

4.【答案】B

【解析】解：设过抛物线/=2py(p>0)的焦点且倾斜角为45。的直线方程为y=x+1,

联立尸f,

lx2=2py

消y可得%2—2px—p2=0,

设B(x2,y2),

贝！J11+%2=2p,X±X2=_p2,

不妨设>0,x2<0,

・••点B到y轴的距离之和为

•e*ki|+\x2\=4也

即%i—x2=4V2,

即(%i+%2)2—4%I%2=32,

即8P2=32,

又p>0,

即p=2,

故选：B.

由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及韦达定理求解即可.

本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系及韦达定理，属基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由于f〜N(13R2),且p(12<f<14)=0.7,所以P(f>14)=X[1-P(12<f<

14)]=1x(1-0.7)=0.15,

所以样本中耗电量不小于14kW-h/lOOkzn的汽车大约有1200x0.15=180(辆).

故选：A.

依据正态分布的性质，求出P(f214),再由样本容量求频数.

本题考查了正态分布的概率计算问题，也考查了运算求解力量，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：设过点P的切线方程为y=k(x+3),

直线2P的方程为y=苧(％+3)，即尤―Wy+3=0,

直线的方程为丫=-弓(％+3)，即^+W丫+3=0,

。。2：(x—l)2+(y—t)2=1处于。。1的“背面”，

与PB相切时t取最小值，由11制3|=1,解得t=一苧或t=—2百,

结合图形可得t的最小值为-苧,

同理与P力相切时可得t的最大值为t=竽

26，，，26

-------v七<------

3一一3

故选：D.

设过点P的切线方程为y=k(x+3),进而可得切线方程，利用新定义可求t的最值,进而可求实

数t的取值范围.

本题考查新定义，考查直线与圆的位置关系，属中档题.

7.【答案】B

【解析】解：设布=4同(0<2<1),则正=定一行=前一；I而，PB=ABAAD,

>>>--->>>>>>>>>c>2

・••PC•PB=(AC-AAD)•(AB-AAD)=AC-AB-AAC-AD-AAB-AD+A2AD

2-Zx2xA/3x—x2+3於=3於—6A+2=——>

•••9Z2-18A+8=0,A=|或;I=舍去)，

P为△ABC的重心，：PELAC,：.E为力C的中点，

：.~PE=AE-AP=-|ID=-|x!(XB+ZC)=~l^B+jxC，

故选：B.

设»=4而，由丽•瓦^=一:求出4,得到P为A4BC的重心，E为4C的中点，再利用平面对量基

本定理求解即可.

本题考查平面对量的线性运算，平面对量基本定理，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：当2人32万+1<2卜+1(卜€2)时，可得k—gwx<k,keZ,

由[2%+1]+[x]=4%,得2k+fc-1=4%,

=-.••/c——：</c,角星得一1<k<1,kGZf

44244

当々=0时，%=当々=1时，%=。，

42

当2k+l<2x+l<2fc+2(fceZ)时，可得k<x<fc+|,k€Z,

由[2%+1]+[x]=4%,得2k+1+k=4%,

21?11

x=-k-j--J,<'.fc<—/c+—<fc+—>解得—1Vk<1,kEZf

4444Z

当々=0时，X=当々=1时，％=1,

4

方程[2久+1]+[x]=4x的全部解之和为—J+：+J+1=*

4Z4Z

故选：C.

当2k<2%+1<2/c+l(/cEZ)时，可得％=—7，%=4，当2k+l<2x+l<2/c+2(fcEZ)时，

4L

可得％=px=1,可求方程[2久+1]+[%]=4%的全部解之和.

4

本题考查高斯函数的运用，考查运算求解力量，属中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：对2选项，由统计图可知2010年到2024年每年新生儿数量都远远超过1400万，

只有2024,2024,2024三年每年新生儿数量略低于1400万，

故可看出2010至2024年每年新生儿数量的平均数高于1400万，2选项正确；

对B选项，13X=3.25,••.第一四分位数为从小到大排列的第4个数据，

由图可知从小到大排列的第4个数据为第2024年的新生儿数量,该数量大于1400万，B选项错误；

对C选项，由图可知2015至2024年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，选项正确；

对D选项，由图可知2010至2016年每年新生儿数量比较集中于平均数，

而2016至2024年每年新生儿数量相对平均数比较分散，

2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2024年每年新生儿数量的方差，。选项错误.

故选：AC.

依据统计图，平均数的概念，四分位数的概念，方差的概念，即可分别求解.

本题考查对统计图的数据的分析，平均数的概念，四分位数的概念，方差的概念，属基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：由图可知，2=1,最小正周期7=4x(居—9=兀，即选项A正确；

由7=4,知3=字=2=2,

0)T71

由于/©)=1，所以Sin(2X*+0)=1,所以g+9=2/C7T+5，kEZ,即0=2忆加+*,kEZ,

又一]＜0＜去所以w=S，/(x)=sin(2x+^),

对于选项B,当xe[—%勺时，2X+如T，的,

所以sin(2%+g)E[—噂,1]，即3错误；

对于选项C,将函数/(久)的图象向右平移工个单位长度，得到90)=sin[2(久-工)+*=s讥2久的

图象，即C正确；

对于选项，将函数/(久)的图象上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin(x+

今的图象，

由于当％=等寸，y=sin/+.)=s讥兀=0,即£＞正确.

故选：ACD.

先依据y=As讥(3%+0)中4,3,9的几何意义，求得f(%)的解析式，再结合正弦函数的图象与

性质，函数图象的变换，逐一分析选项，即可.

本题考查三角函数的图象与性质，理解y=4s出(3X+g)中43,9的几何意义，娴熟把握正弦

函数的图象与性质，函数图象的变换法则是解题的关键，考查规律推理力量和运算力量，属于中

档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于人由题意可得AOQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|,

・•・Q在。F上的投影为。F的中点，.•.向量评在加上的投影向量为，而，故A正确；

对于B：若AOQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为45。，.•]=1，••・a=6,二。为等轴双曲

线，故B正确；

对于C：若tan/OQF=—设4OQF=2a,二=解得tana=3或tana=—家舍去)，

设渐近线y=&久的倾斜角为口，可得tcmS=，，；.'=＜，二a=3b,

CL5CLO

.・.a2=9b2,...a2=9(c2—a2),.•・10a2=9c2,故。错误；

a3

设直线QF的方程为y=，(％—c)，与渐近线y=—的交点坐标为QG，—5),

若丽=4而,则丽=、前,设QSb九)，(根-C,八)=2(一，,一生，

9cbe

Am=10?71=-10a，

Q在双曲线上，.鉴1100a2_1,=1，=i,

••~Z27T~~15aza2

uu

C的渐近线方程为丫=±3久，即x±2y=0,故。正确.

故选：ABD.

由题意可得AOQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可推断4由已知可得渐近线的倾斜角为45。,

可推断B；设NOQF=2a,解得tema=3,可得：=可求离心率,推断C；设Q(m,n),可得m=转

n=一盖，利用点Q在双曲线上，可求C的渐近线方程推断D.

本题考查双曲线的性质，考查运算求解力量，属中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：由题意得”=n，e~k=m=-,

n

1

n<2m,n<2x1<n<a,

n

对于A：n+m=n+n+；在［1,鱼)上单调递增，

•••n+m=n+-<V2+-L=故A正确；

n"22

n—m=n—n—，在［1,四)上单调递增，

n—m=n--<V2--}==或，故B正确；

nV22

由九一根一1V苧-1，•••n<m+1,

nn>(m+l)m+1,故C错误；

由丫=警，得y'=号竺，

当％E(l,e)时，y'>0,y=等在(l,e)上单调递增，

•••等<*'-lnnm+1<ln(m+l)n,nm+1<(m+l)n,故D正确.

故选：ABD.

由已知可得租=-,1<n<V2,依据每个选项的条件逐项计算可推断每个选项的正确性.

n

本题考查函数的性质，考查利用函数的单调性比较数的大小，属中档题.

13.【答案】-60

3-112

【解析】解：(x-2y+l)，的开放式中含/y项为C“5-3,C3l(-2y)=C5-C3•(-2)xy=

—60x2y,

故答案为：—60.

依据二项式定理逐步开放，分析即可.

本题考查了二项式定理，属于基础题.

14.【答案】g

【解析】解：依据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占10%,则含1个二等品零

件的包数占90%,

3

在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件,若抽取的4个零件都是一等品，其概率B=-5-

1

-

在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件,若抽取的4个零件都是一等品，其概率P2=3-

则小张打算选购该企业产品的概率P=^x|+^x|=g；

故答案为：||.

依据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占90%,进而由对立大事和互斥大事的概率公式计算

可得答案.

本题考查相互独立大事和互斥大事概率的计算，留意分析大事之间的关系，属于基础题.

15.【答案】y=-2x-l

【解析】解：对f(x)=ln(x+1)-31+2,求导可得/''(X)=击一3eL

(n=ln(m+1)-3em+2

设切点为(m,九)，则|几-1_1___3?加，

m+1

则n=2-3(m+l)em,所以ln(m+1)+3mem=0,

又g(m)=ln(m+1)+3nlem在(-1,+8)上单调递增，且g(0)=0,

所以m=0,则n=一1,即切点坐标为(0,-1),

所以切线的斜率为-2,

由斜截式可得，切线方程为y=-2x-1.

故答案为：y=-2x-l.

设切点坐标为(m,ri),由导数的几何意义建立关于n的方程组，消去n可得ln(m+1)+3mem=

0,结合函数g(m)=ln(?n+1)+的单调性，可得根的值，进而得到切点坐标，由此求得切

线方程.

本题考查导数的几何意义，考查运算求解力量，属于基础题.

16.【答案】5等

【解析】解：设力P=X,

AB,AC,”两两垂直，VP=V16+12,

114x

：.^VP-AH=^VA-AP,•••AH=J16+02'

由已知可得AC1平面匕48,•••AC1AH,

HC=+

716+x2

vVHVAH,AHdAC=A,・•・U"1平面

•・・HCu平面/HC,VHLHC,

2

jrTT/TZ16X

AVH=16-――7，

\16+x2

22

c117TT”/1VH+HCl

/SVHCu/XUHxHC-x--5f

三棱锥A-UC尸的外接球的半径为丁，则(27)2=AP2+AC2+AV2=g^+4+16=詈，

.2148

...47r—--^-7T,

故答案为：5；工?加

设4P=x,可求UP,AH,HC,进而可得SA°HC=2XVHXHCwgx吟贮=5,进而可求三

棱锥4-UCP的外接球的半径，可求表面积.

本题考查求空间几何的外接的表面积，考查运算求解力量，属中档题.

17.【答案】解：(1)由题意，设等比数列｛斯｝的公比为q(q>0),

3a1，的，5a2成等差数列，

*",2a3=3al+5a2，SP2CI-£—3al+5。］^,

,・•的〉0,2q2=3+5q,

整理，得2q2—5q—3=0,

解得q=-舍去)，或q=3,

又TS4+5=5%,

+5=5-a「32,

1-3

解得=1,

•••an=1•3n-1=3n-1,nEN*.

(2)由(1)可得，bn=an-log3an+1

=3"T-log33n

=n-3n-1,

n

Tn=瓦+历+…+i>n=i,30+2,3,+3•32+•1•+n•31，

3〃=1•31+2・32+…+(n-1).3或1+n-3n,

两式相减，

可得-2&=1+31+32+-+3"-1-n-3n,

1-371

=.*—

【解析】(1)先设等比数列｛即｝的公比为q(q>0),再依据等比数列的定义及等差中项的性质列出

关于公比q的方程，解出q的值，进一步依据S4+5=5a3代入计算出首项的的值，即可计算出数

列｛%J的通项公式；

(2)先依据第(1)题的结果计算出数列｛%｝的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前几项和勒.

本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和问题.考查了方程思想，转化与化

归思想，等差中项的性质应用，等比数列求和公式的运用，以及规律推理力量和数学运算力量，

属中档题.

18.【答案】证明：(1)c-2bcosA=b,

由正弦定理可得，sinC—2sinBcosA=sinB,

•••A+8+C=兀,

•••sin(i4+8)=sinC,

•••sin(/+B)—2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB—2sinBcosA=sinB,

・•.sin(i4-B)=sinB,

・・・△ABC为锐角三角形，

TTTT

AE(0,-),BE(0,-),

y=sinx在(-,1)上单调递增,

：.A-B=B,即4=2B；

(2)解：•••A=2B,

.•.在△ABD中，^ABC=乙BAD,

由正弦定理可得，*482

sin(7r—2B)sin2Bf

1

■■-AD=AB=^

・•,SUBD=XADXs讥B=，X2x焉xsinB=tanB,

・；△ABC为锐角三角形，

仅<Y

J0<2B<,解得,<8<条

I0<7T-3B<

*'•tanBG,1)，

••.A4BD面积的取值范围为(弓,1).

【解析】(1)依据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换，即可求证；

(2)依据已知条件，结合正弦定理，推得4D=BD=焉，再结合三角形的面积公式，以及角B的

取值范围，即可求解.

本题主要考查解三角形，考查转化力量，属于中档题.

19.【答案】解：(l)Logistic非线性回归模型丫=1TM7拟合效果更好.

从散点图看，散点更均匀地分布在该模型拟合曲线四周，从残差图看，

该模型下的残差更均匀地集中在以残差为0的直线为对称轴的水平带状区域内.

(2)将V=屋，F两边取对数得Ing-l)=a-bt,

则i=濯啜一砚r)=溪卫=_O.2O8,°一0208,

£当(女-£)665。-U.ZU。

a=w—(—/?)•t——1.608+0.208x10.5=0.576,

•••y关于t的阅历回归方程为y=i+e»576-。2。丈

当t=22时，体长y=1+eo.576-o.2osx22=1+e-4~12.88mm.

【解析】(1)由函数的几何性质可得性回归模型y=1T3拟合效果更好.

(2)将y=在端两边取坟对数得Ing-l)=a-bt,进而可求回归方程，从而可猜测第22天时仔

鱼的体长.

本题考查依据散点图选择回归模型，考查回归方程的求法，属中档题.

20.【答案】(1)证明：取BC的中点E,连接VE,DE,

由于aUBC为等边三角形，所以UELBC,

又力BCD为菱形，AB=2,^BAD=60°,所以DE1BC,

由于UECDE=E,VE,DEu平面PDE,

所以BC1平面UDE,

由于UDu平面UDE,所以BC1UD.

(2)解:由(1)知，VE1BC,DE1BC,

所以NUED为二面角A—BC—P的平面角，即ZVED=60°,

又VE=DE=V3，所以△UDE是边长为国的等边三角形，

过点了作U。IDE于点。，则上。=|,且。为DE的中点，

由(1)知，BC_L平面KDE,

由于BCu平面ABCD,所以平面UDE_L平面ABCD,

又平面UDEn平面ABCD=DE,VO1DE,VOu平面KDE,

所以V。1平面4BCD,即点了到平面4BCD的距禺为V。=

所以乙4=7V。2+。矛="。2+4。2+。。2=](1)2+22+怎)2=木,

设点4到平面UBC的距离为d,

1-111

由于以—BC=Vv_ABC>所以”.弗C.="0.^AB-BCsinl200,

即屋2.遮=.2.2.半解得d",

zz乙

,3L

设直线匕4与平面UBC所成角为氏则$讥°=4=/_=%,

VAV714

故直线匕4与平面UBC所成角的正弦值为

14

【解析】（1）取BC的中点E,连接UE,DE,可证UEIBC,DE1BC,从而知BCJ_平面UDE,再

由线面垂直的性质定理，得证；

（2）过点U作V。1DE于点。，可证平面UDE1平面2BCD,从而知点了到平面4BCD的距离为UO,

利用勾股定理求得U4再利用等体积法，求得点4到平面UBC的距离d,设直线匕4与平面UBC所

成角为凡由sin。=白，得解.

本题考查立体几何的综合应用，娴熟把握线面垂直的判定定理与性质定理，二面角的定义，等体

积法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证力量和运算力量，属于中档题.

21.【答案】解：（1）设PQ,y）,由题意可得昌方=年，

v\PF\=J（x_V2）2+y2，・•・-V2）2+y2=争%—2四|,

两边平方整理得。+[=1，

42

故点P的轨迹C的方程为贮+g=1；

42

（2）设直线1的方程为y=kx+1（|<fc<2）,

，第2y2

联立疝+万=1,消去y并整理得（1+2k2）/+4kx-2=0,

y=kx+1

4k2

设力（久1，%），8（%2，>2），贝丘1+久2=—无程，勺“2=一某石，

791>1

又力+先=旗久1+久2）+2=总，可得线段4B的中点坐标为（一念，高）,

2k+12k+12k+1

••・线段AB中垂线的方程为y—舟=—£（X+就）,

k

令y=0,可得N（一^有,0）,

对于直线丫=攵％+1,令y=0,可得M（—：,0）,

K

k，l

・••MIA舟一做2/+1)'

又|=Vl+/c2|%1_%2I=Vl+/c2•(：8=5.釜,

就)2+2k2+l

2k、8右k2+2

.网=2/cI8.+2=2j8(fc.2+1)+品6—14,

"\MN\十

1+V2K

令"1+1E[4,5],则y=8t+:—14,

7y=8t+7-14在e,5］上单调递增,

t4

「2V52V170,痂IABI匚「4754V170-.

・••yer［亏，-?T’故西G［三，=］•

二拨的取值范围为背,手］.

22

【解析】(1)设P("),由题意可得J(x-V2)+y=争久-2a|，整理可得点P的轨迹。的方程；

(2)设直线I的方程为y=+W2),联立方程组求得|4B|,\MN\,从而可得揣的取值范

围.

本题考查了椭圆的简洁几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、两点间的距离公式等学问，

属中档题.

22.【答案】解：(D，(x)=acosx-1--~Z2,

0+1)

由于0为/'(x)的一个极值点，

所以尸(0)=a—2=0,解得a=2.

(2)证明：①当一1<x&0时，f'(x)<2-1-1=0,

所以/(久)在(-1,0)上单调递减，

所以对任意Xe(-1,0］,有〃久)>f(0)=1,

此时函数〃久)无零点，

7r2

当0<x<5时，/(x)=-2sinx+——3,

L(x+1)

尸⑺在(0片)上单调递减,