2024年湖南省长沙市中考数学三模冲刺训练试卷　

精品试卷·第2页（共2页）2024年湖南省长沙市中考数学三模冲刺训练试卷（附答案）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.2024的倒数是（

）A． B．2024 C． D．2.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3.下列运算正确的是（

）A． B． C． D．4.从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（

）A． B． C． D．5.某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（

）A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，96.如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．8.如图．AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（

）A．130° B．124° C．114° D．100°如图，点在双曲线（，k是常数）位于第一象限的图象上，轴，B为垂足，，则k的值是（

）A．1 B．2 C．4 D．810.如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（

）A．9 B．12 C．15 D．18二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.因式分解：=．12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝．13.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为．14.如图，已知的直径为10，弦，于点E，则的值为．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．18.先化简，再求值：，其中．19.如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，．当AB，BC转动到，时，求点C到直线AE的距离．（精确到0．1cm，参考数据：，，）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：①此次调查一共随机抽取了________名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角________度；若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．21.如图，在平行四边形中，分别平分、，分别交、于点E、F．求证：；若，，求四边形的面积．22.某商场计划购进、两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：类型/价格进价（元/盏）售价（元/盏）型6090型80120(1)若商场预计进货款为6500元，则这两种台灯各购进多少盏？(2)若商场规定型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．

求证：为的切线；延长与的延长线交于点D，求证：；若，求阴影部分的面积．24.【问题发现】如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为；【拓展延伸】如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；【归纳应用】在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长．25.如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．请直接写出点，，的坐标；点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：一、选择题1.A．2.C．3.C．4.C．5.B6.B．7.B．8.B．9．D10.C．二、填空题11.2（x+3）（x﹣3）12.．13.．14.．15.-6.16.8．三、解答题17.解：．18.解：，当时，原式．19.解：如图所示：过点作垂足为过点作垂足为过点作垂足为∴四边形是矩形，在中，在中，即∴点C到直线AE的距离为20.（1）解：（1）①；②组人数，补全的条形统计图如图所示：③；（2）解：；（3）解：画树状图如下：从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种，因此，（恰好抽中甲、乙两人）．21.（1）证明：∵四边形是平行四边形∴，，∵分别平分，∴，，∴，∴；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，，过点A作，垂足为M，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形AECF是平行四边形，∴．22.（1）解：设型台灯购进盏，则型台灯购进盏，由题意，得，解得x=75则型台灯购进盏．答：型台灯购进75盏，则型台灯购进25盏；（2）∵型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍，∴，解得，设总利润为元，由题意，得，∵，∴随的增大而减小，∵为整数，∴，∴元．∴型灯购进34盏，型灯购进66盏时获利最多，此时利润为3660元．（1）证明：∵是的切线，∴如图所示，连接

在与中，∴∵为上的一点．∴是的切线；（2）∵是的切线；∴，∴∴（3）解：∵，∴，∵∴，∴∴，∴24.解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，即，∴，∴，故答案为：相等；（2）成立，理由：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴∠；（3）当点D在线段上时，如图2，由（2）知，，∴，∴，∴．当点D在线段的延长线上时，如图3，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∠BAD＝∠CAE，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．综上可知，的长为2或6．25.（1）解：令，则，解得，，∴，，令，则，∴；（2）解：过P作轴交BC于Q，如下图．设直线BC为，将、代入得，解得，∴直线BC为，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线