2024年九年级中考数学复习直线型瓜豆模型讲义

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。引例1：如图，三角形ABC是等腰直线三角形且AC＝，D为斜边AB上一个动点，连接CD，以点C为旋转中心将CD绕点C逆时针旋转90度，得到三角形CDE。（1）动点E的运动轨迹长_______________；（2）EC的最小值为__________________；（3）EC＋EA的最小值为____________。引例2：如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，Q(6，0)，P点是轴上任意一点，将PA绕着点P逆时针旋转90度，得到线段PB，连接BQ，则BQ的最小值是____________。引例3：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，BC＝2，P为AC边上的动点，以BP为边向上作等边三角形QPB，则点Q的运动路线长度为___________。引例4：如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，P为轴上的动点，连接AP，将AP绕着点A顺时针旋转60度，得到线段AQ，则OQ的最小值为_____________。例1：如图，已知AB＝，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当动点D由点A运动到点C时，则动点E运动的轨迹长______________。思考：EA＋EB的最小值______________。【变式练习1】：如图，已知AB＝2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的一动点，以BD为一边向右下方作以∠E为直角的等腰Rt△BDE，当动点D由点A运动到点C时，则动点E运动的轨迹长__________________。【变式练习2】：如图，已知AB＝2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的一动点，以BD为一边向右下方作以∠BDE为直角的等腰Rt△BDE，当动点D由点A运动到点C时，求动点E运动的轨迹长________________。【变式练习3】：如图，已知AB＝2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的一动点，以BD为一边向右下方作正方形BDEF，当动点D由点A运动到点C时，则动点F运动的轨迹长_______________。【变式练习4】：如图，已知AB＝2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的一动点，以BD为一边向右下方作等腰△BDE，且顶角∠BDE＝120°，当动点D由点A运动到点C时，则动点E运动的轨迹长_______________。例2：在平面直角坐标系中，点A、B分别在轴和轴上，已知点A(0，4)，以AB为直角边在AB左侧作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．（1）当点B在轴正半轴上，且AB＝8时，求C点坐标；（2）当点B在轴上运动时，连接OC，则AC＋OC的最小值及此时B点坐标。【变式练习5】：如图，在平面直角坐标系中，A(﹣3，0)，点B是轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在轴上运动时，OP的最小值为_______________。例3：如图，矩形ABCD，点E为BC上定点，BC＝2AB＝4BE＝4，点F为射线BA上一动点，连接EF，将EF绕点E顺时针旋转90°，点F落点为点G，则CG的最小值为＝__________。【变式练习6】：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧。下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2。其中正确结论的序号为（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【变式练习7】：如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点（含A、C端点），连接BD，以BD为边向上作等边△DBE，连接CE.随着点D从点C运动到点A的过程中，点E经过的路径长为

_________；线段CE长度的取值范围为________________；若点F是BC的中点，则EB＋EF的最小值是_______________。【变式练习8】：已知A(−2，0)，B(0，2)，P是轴上动点，将B绕P点顺时针旋转90o，得到点C，则AC＋CP的最小值是________________。课后专项训练1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ。则CQ的最小值是（

）A： B：1 C： D：2、如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点．且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将△BEF绕着点E顺时针旋转45o到△HEG的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接FG和CG，则CG的最小值为（

）．

A． B．3 C．1＋ D．3、如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形对角线BD所在直线上的一个动点，连接AE，以AE为斜边作等腰直角三角形AEF（点A、E、F按逆时针排序），则CF长的最小值为（）

A． B．2 C．4 D．4、如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥轴于点M，交直线＝－于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________。5、如图，在平面直角坐标系中，A(－3，0)，点B是轴正半轴上一动点，点C、D在正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在轴上运动时，则OP的最小值为_____________。6．如图，正方形ABCD的边长为4，∠BCM＝30o，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45o得到BF，则线段DF长度的最小值等于（）

A．4－4 B．2－2 C．2－2 D．2－7．如图，已知∠MON＝30o，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连接CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90度得到CE，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值为__________。

8．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90o，∠BAC＝30o，BC＝2，AB＝4，AC＝2，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C顺时针旋转60o得到线段CE，连接ED、BE，则BE最小值为_____________。9．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为边BC上一动点，将点A绕点E顺时针旋转90o得到点F，则DF的最小值为_________。10．如图，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(－1，0)，点C为轴上一动点，以AC为边向下作Rt△ACD，使得∠ADC＝90o，∠ACD＝30o，连接线段BD，则线段BD的最小值为____.11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接、，则△的周长的最小值是________________．12．（1）回归教材：教材北师大版七年级下册P44，如图1所示，点P是直线外一点，PO⊥，点O是垂足，点A、B、C在直线上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中______．（2）小试牛刀：如图2所示，Rt△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝．则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为______．（3）尝试应用：