立体几何测试卷-2021年高考一轮复习（解析版）

2021年高考一轮复习立体几何专题测试卷（精选）

一、单选题（共60分，每题5分）

1.点P在正方体A5CD-A耳的侧面及边界上运动，并保持若正方体边长为1,

则PC的取值范围是（）

D.[1,2]

【答案】A

【解析】解：Pc侧面C。2G及其边界上运动，BPLA.C,

由三垂线定理得4。1平面BDC],可得动点P的轨迹为线段C,D,

正方体边长为1,可得点C到线段CD的距离为4=乎，则|CP|e[d,CG]=]#,l]

故选：A-

2.一个正方体的展开如图所示，点3,C,。为原正方体的顶点，点A为原正方体一条棱的中点，那么

在原来的正方体中，直线CD与A5所成角的余弦值为（）

BMC,更

D.----D

.To--f

【答案】D

DAF

还原正方体，如图所示，设AD=1，

则=石,A/=LBE=2虚,AE=3,

CD与A3所成角等于BE与AB所成角，

5+8-9J10

•••余弦值为cosZABE=管L=—,故选D.

2xV5x2V210

3.在正方体ABCD-ABIGR中，下列结论错误的是（）

--2

A.GM+AR+A4）0=344

B.AC-（A4—4人）=0

___uuu

C.向量AD1与的夹角是120

D.正方体ABCD—4片加。的体积为|AB-AVAD|

【答案】D

【解析】正方体ABCD-4耳GA如图，

由正方体的性质得AA+A2+A4=AA+AD+DC=AC，

222

AC=|AC|=3|AI5I|=3A#2,故A正确；

AlBl-AlA=ABi,由AB1，5C,AB}1A,B可得AB}1平面A}BC,

则所以AB/AC=O即AC.（A4—AA）=O,故B正确;

.uuu

由正方体性质可得A。"ABC-易知△BQA为等边三角形，所以NA3G=60,所以向量叫与^6的

夹角是120，故C正确;

因为AB，"，所以|AB-AVAD|=0,故D错误.

故选：D.

4.如图，在正方体ABC。—A4G。中,P为的中点，则24c在该正方体各个面上的正投影（实

线部分）可能是（

A.①④B.①②C.②③

【答案】A

【解析】从上下方向上看，△必C的投影为①图所示的情况;

从左右方向上看，△B4C的投影为④图所示的情况;

从前后方向上看，AB4c的投影为④图所示的情况;

故选A.

5.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体

上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过

38,则该塔形中正方体的个数至少是（)

B.5个C.6个D.7个

【答案】B

【解析】设有〃个正方体构成，其表面积由两部分组成:

（1）俯视图、表面只有一个正方形，其边长为2.

（2）侧面则由4〃个正方形构成，且各层（从下往上看）正方形面积构成一个首项为4,公比为1的等比数列。

.•.表面积为：4+4+4x4+4x—+4x+...+4x〉38,

求解不等式可得n的最小值为5.

本题选择B选项.

6.a,£是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（）

A.平面a内有两条直线a,6都与平面£平行，那么。

B.平面a内有无数条直线平行于平面£,那么a//p

C.若直线a与平面a和平面£都平行，那么a〃£

D.平面a内所有的直线都与平面£平行，那么a//0

【答案】D

【解析】对于A，a与6可能相交或平行，错；对于B,a与尸可能相交或平行，错；对于C,

a与尸可能相交或平行，错；D符合面面平行的定义，正确，选D.

7.在三棱锥P—A5C中，已知24=/3=4。，/BAC=NPAC,点D,E分别为棱BC,PC的中

点，则下列结论正确的是（）

A.直线DEL直线ADB.直线直线上4

C.直线DEL直线ABD,直线直线AC

【答案】D

【解析】由题意，如图所示，因为B4=A5=AC,ZBAC=/PAC,

：.APAC=ABAC,得PC=5C,取05中点G,连接AG,CG,

则PBLCG,PB±AG,

又「AGCG=G,...平面C4G,则PSLAC,

E分别为棱BC,PC的中点，

:.DE/IPB，则。ELAC.

故选D.

c

8.已知平面a，平面6，交于直线/,且直线aua,直线6匚万，则下列命题错误的是（）

A.若a〃b,则a/〃或6///

B.若。则a，/且

C.若直线。力都不平行直线/,则直线。必不平行直线6

D.若直线都不垂直直线/,则直线a必不垂直直线6

【答案】B

【解析】选项A：因为平面aL平面夕,交于直线/,aua,所以。a尸，而a/力,bu。,所以a〃。,

又平面a,平面万，交于直线/,aua,所以aI,同理匕/〃，故本命题是真命题；

选项B：由;_L],如果bI,也可以保证a_L/,故本选项是假命题；

选项C:本命题的逆否命题是：若直线。平行直线〃，则直线6至少有一个平行直线/,所以可以由选项A,

判断本选项是真命题；

选项D:假设直线。必不垂直直线6不成立，则有;/，方，因为直线。力都不垂直直线/,所以存在过。上一

点A的直线c,c_U,根据面面垂直的性质定理可知，c_L〃，而6<=尸，所以c_LA,而;acc=A,

。，cue所以有〃，1，平面戊，平面尸，交于直线/,所以有这与已知直线都不垂直直线/相

矛盾，故假设不成立，本命题为真命题，故本题选B.

9.以下四个命题中，正确的是（）

A.若。。:,加+^^^^^^台三点共线

23

B.若｛a,乩4为空间的一个基底，则｛a+b为+e,（f+a｝构成空间的另一个基底

C.（。乃卜卜卜卜也卜卜

D.AABC为直角三角形的充要条件是ABAC=0

【答案】B

【解析】因为。。=4。4+工。3中工+'wl,所以RA,3三点不一定共线，

2323

因为｛a,A,c｝为空间的一个基底，所以a/,d不在同一个平面，因此a+/?,/?+c,c+a也不在同一个平面,

从而｛a+儿Z?+d,c+a｝构成空间的另一个基底,

因为（a旬C=,/卜|=同一瓦卜.3（。力，，所以（<2-&）c|=|<2|-|Z?|-|c不恒成立，

因为AABC为直角三角形时A角不一定为直角，即ABAC=O不一定成立，所以D错误，

综上选B.

10.如图，设尸是正方形ABCD所在平面外一点，且。平面A6CD,则平面上45与平面PBC、平面

上4。所在平面的位置关系是（）

A.平面上43与平面？BC、平面上4£）都垂直

B.它们两两垂直

C.平面Q4B与平面垂直，与平面不垂直

D.平面A45与平面PBC、平面QAD都不垂直

【答案】A

【解析】：平面ABC。，BCu平面ABCD,24,5c.

又•.•BCLAB,PAAB=A,3CL平面B4B.

:BCu平面PBC,平面P5C，平面B4B.

ADAPA,ADAAB,PAIABA,AD_L平面.

;短匚平面可），,平面E4DJ_平面MB.

由已知易得平面P5C与平面E4D不垂直，故选A.

11.在平面中，与正方形A3CD的每条边所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为Y2.将此结论类比

2

到空间中，得到的结论为:在空间中，与正方体ABC。-44GA的每条棱所成角都相等的直线与A5所成

角的余弦值为（）

A^2gy/3^6

•D•L•u•

2323

【答案】B

【解析】设正方体A3CD—A4GD1的棱长为。，

与正方体ABC。-44GA的每条棱所成角都相等的直线为其体对角线所在直线,

求此直线与A3所成角的余弦值即求的余弦值,

可知=BQ=及。,AC】=6a，

有cosNGAB=i+3,-2“2=走，

2伍3

故此直线与AB所成角的余弦值为B.

3

故选：B.

12.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的

距离.平面夕，（3,7两两互相垂直，点Aea,点A到，,7的距离都是3,点P是a上的动点，满足P到

£的距离是点尸到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到/的距离的最小值为（）

A.VsB.3—2A/3C6—A/3D.3—y/3

【答案】D

【解析】由A(3,3,0),并设析(x,y,0),则点尸到面7的距离为|yI，点到到月的距离是|xI，

22

由题意得：|x|=2j(x-3)2+(y—3>+(0—0)2化简得：4(y-3)=-3x+24x-36

求得:(y—3)2<3,所以|y|的最小值为3—6

二、填空题(共20分，每题5分)

13.如图，在下列四个正方体中，A、3为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四个正

方体中，直线A5与平面MNQ平行的是.

【解析】要证明直线A3与平面MNQ平行，需要证明直线A3与平面"NQ内的一条直线平行，

①：平面MNQ中无法找到与直线A3平行的直线，所以①错误；

②：由正方体性质可知又A3不在平面MNQ内，所以可以证得直线A5与平面MNQ平行;

③：由正方体性质可知MQ〃A5,又AB不在平面MNQ内，所以可以证得直线A5与平面〃NQ平行;

@：由正方体性质可知N。//AB,又A8不在平面MNQ内，所以可以证得直线A5与平面"NQ平行,

综上所述，答案为②③④.

14.图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半

径之和为.

【答案】土诙.

2

【解析】如图（2）,作出正方体的体对角面，易知球心。i和。2在AC上，

过点。1，。2分别作A。，2C的垂线，垂足分别为区F.

设球。i的半径为r,球。2的半径为R,

由AB=1,AC—乖>>得AOl=V3r,O2C=\f3R，

/T3_/T

r+7?+^/3（r+R）=y/3,R+r=——=------.

V3+12

故答案为：土2叵

2

15.正方体ABCDA用G。的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥ABCD的体积小于9

的概率为.

【答案】-

2

【解析】解：正方体ABCD—A4G。的棱长为1，

•••正方体的体积V=lxlxl=l.

当四棱锥人-ABCD的体积小于工时，设它的高为/z，

6

贝lj1xl2x/2<!,解之得

362

则点M在到平面ABCD的距离等于-的截面以下时，四棱锥M-ABCD的体积小于

26

求得使得四棱锥河-ABCD的体积小于工的长方体的体积『=1x1x[=1

622

1vfI

四棱锥M—ABCD的体积小于石的概率尸="=/.

故答案为：一.

2

DiCi

16.已知空间向量句=（2x+l,3羽0）,b=（l,y,y-3）,（其中x、ycR）,如果存在实数X,使得。=劝

成立，则1+y=.

【答案】2

2%+1=4x——1

【解析】«=（2x+l,3x,0）,/?=（l,y,y-3）,且。=财，所以＜3x=Xy,解得＜y=3,

0=X（y-3）A=—1

因此，x+y=2.

故答案为：2.

三、解答题

17.（10分）如图，ABCDEE是由两个全等的菱形ABEF和CDEE组成的空间图形，AB=2,ZBAF

=ZECD=60°.

（1）求证：BD±DC；

（2）如果二面角8—EF—O的平面角为60。，求直线5£）与平面BCE所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）巫

7

【解析】（1）取所的中点G,连接BG、DG,在菱形ABEF中,

•••ZBAE=60,AB所是正三角形，:.EFLBG,

同理在菱形。＞石尸，可证EF_LDG,ER_L平面3DG,.,.石户_1_跳＞,

又：CD!/EF,，CD±BD.

（2）由（1）知，N3GD就是二面角5—即一。的平面角，即NBGD=60°,

又BG=GD=6,所以A50G是正三角形，故有BD=6，

如图，取。G的中点。，连接80,则BOLOG,又由（1）得即，50,

3L

所以，50,平面CDFE,且30=—,又BDLCD,在直角ABDC中，BC=J7,

=工皿义近=是,所以人=2包

3427

故直线BD与平面BCE所成角正弦值为—=2互

BD7

18.（12分）如图，在正方体A6CD—中，点石，尸分别在棱CG，AB±,且满足CE=2石

AF=2FB.

（1）证明：平面ADEJ_平面ARE；

（2）若AB=3,求平面AGP截正方体MCD-44GA所得截面的面积・

【答案】（1）见详解；（2）为”.

16

【解析】（1）在8月取使得5"=2MBi，连AM,ME,

,/正方体AC；,.".CQ//BB1,CCl-BBI,CE—2EC1,

BXM=EQ,四边形GEMBI是平行四边形，

:.B[G〃ME,・ByC}//AD.-.ME//AD,

共面，平面ADE即为平面ADEM,

?

4£＞_1_平面朋454尸＜=平面441515,4£）_1_47,

在比&44尸中，tanZ^FA=,

,,/…，BM2

在Rt/SABM中，tanZABM=——=-,

AB3

7F

tanZABMxtanAA^FA=1,NABM+Z^FA=—,

:.\FLAM,ADAMAD^A,

加0,4£）＜=平面40"£,，A^FJ■平面ADME,

AEu平面A2F,.•.平面ARF_L平面ADME,

即平面ADE_L平面ADJF；

(2)在BC取N,CN=2NB,连FN,CN,

AF=2FB,:.AC//FN

正方体AC],，//AC,:.AG/1FN,

.•・A，G，N,尸四点共面，平面AGE截正方

体ABCD-44GA所得截面为梯形AGNF,

3/2

AB=3,4G=3且,FN=当,

AF=CN=2,4尸=NG=旧，

过歹做尸G，4G于G,AG=¥,

。171903忘+万五_9屈

截面24216

二平面AQF截正方体ABCD-A.B^D,所得截面的面积为返.

16

19.（12分）如图，在正方体ABC。—AB'CD'中，。是AA'BD的中心，E,尸分别是线段4C',C'。上

的动点，且A'E=/IAC'，。丁=(1一2)03(2eH).

(I)若直线OE|平面BCD,求实数4的值；

(II)若2正方体A5CD—AB'C'D'的棱长为2,求平面5石户和平面A5D所成二面角的余弦值.

2

【答案】(I)2=-；(II)

333

【解析】试题分析：(I)取3。的中点V，连C'M，由直线OE||平面BC'。可证得OECM,根据

A'pA'n22

平行线分线段成比例定理可得丁。=——=2,即A'E=-4C',得到X=—；(II)建立空间直角坐标

A'COM33

系，求出平面5历的法向量A=(3,1,1)、平面A3。的法向量相=(1,1,1),利用向量的夹角求解即可.

试题解析：

(I)取5。的中点V，

,/。是正AA'BD的中心

A'r)

.•.点。在AM上，且——=2,

0M

连C'M，

,/0E平面BCD,平面AMC'c平面BCD=CM,

：.OECM

.A'E402

*'A'C~OM~'

2

/.A'E=-A'C,

3

・72

3

(II)当；I=工时，点E,歹分别是A'C,CD的中点，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A—孙z,

2

则A(0,0,0),3(2,0,0),D(0,2,0),E(l,l,2),F(l,2,1).

设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),

n-BE=(%,y,z)•(-1,1,2)=-%+y+2z=0

n-BF=(%,y,z)•(-1,2,1)=-j;+2y+z=0

x=3z

得4，令z=l，得"=(3,1,1).

U=z

同理可得平面A5D的一个法向量为m=(1,1,1)

m-n5_5后

：.COS<m-n>=1-7-r—r

旧义6-33

由图形知，平面5昉和平面A'BD所成二面角为锐角,

平面5砂和平面A5D所成二面角的余弦值为名画.

33

20.(12分)已知空间向量Q=(sina,-l,cosa),b=(l,2cosa,l),a-b=—,ae(0,—)

(1)求sin2。及sina,cosa的值;

(2)设函数/(x)=5cos(2x—a)+cos2x(xeK),求/'(x)的最小正周期及/(x)取得最大值时x的值。

2443

【答案】(1)sin2cr=—,sincr=j,cos«=|(2)〃x)的最小正周期T=加"x)取得最大值时

冗

x=k7r+—,(k

【解析】(1)Va-Z?=|

,・smo-coso=《①

/.1-2csm•acosa=——I

25

24

sin2a=——②

25

43

联立①，②解得：sin。=1,coso二二

(2)/(x)=5cos(2x-or)+cos2x

=5COS2XCOS6Z+5sin2Asina+cos2x

=3cos2x+4sin2x+cos2x

=4(sin2x+cos2x)

=4点sin[2x+?J,/（%）的最小正周期T=».

当2x+£=2新+胃时""心=4"

冗

此时九二左》+—,（左eZ）

8

21.（12分）（请用空间向量求解）己知正四棱柱ABC。—A4GA中，AB=1，AA]=3,E,歹分别

是棱AA「CC]上的点，且满足AE=2EA-CF=2FC-

（1）求异面直线EC-DB1所成角的余弦值；

（2）求面EB°i与面FAD所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）晅；（2）之叵.

1110

（1）在正四棱柱ABCD—A]B]C]D]中，平面ABCD,底面ABCD是正方形,

所以AD,DC,DD[两两垂直，

以A为原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

又因AB=1,AA]=3,E,F分别是棱AA-CC1上的点,

且满足AE=2EA],CF=2FC\,

所以D(O,o,0),E(l,o,2),C/0,1,3),B(1,1,3),A(l,o,0),F(0,l,2),B/1,1,3),

所以EQ=(—1,1,1),DB]=(1,1,3),

设异面直线EC「DB1所成角为,

所以cosO=|cos(ECl,DB.)|=匚甲+3=叵,

1111V3VT7T79ii

所以异面直线EC1,DB]所成角的余弦值为叵.

11

⑵EC】=(-l,l,l),EB1=(O,l,l),DA=(l,O,O),DF=(O,l,2),

设平面EBgi的一个法向量为n1=(x”yi，zj,

EB.±n,f力+4=0

则〈.,，所以Xi+%+Zi=。，令Z1=1,

EC]_L叫L

所以n]=(0,—I』)，

平面FAD的一个法向量为％=(x2,y2,z2),

x

DA±nf2=°、

则9，所以＜y2+2z2=0,令Z2=l,所以%=(zO,—2,1),

DF±n2