小学四年级寒假奥数班讲义

小学四年级奥数

目录

第一讲图形的计数（一〕

第二讲图形的计数（二）

第三讲速算与巧算（一〕

第四讲速算与巧算（二）

第五讲和差倍问题

第六讲复原问题

第七讲年龄问题

第八讲盈亏问题

第九讲最正确方案

第十讲平均数问题

第十一讲长方形、正方形的周长和面积

第十二讲综合测试

第一讲图形的计数（一）

知识点回忆

1.弄清图形中所包含的根本图形，图形的特征和变化规律。

2.从各图中所包含根本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和。

3.被分成几个局部的图形，可以先从各局部的根本图形出发，数出所含图形的个数，再求

各局部的总和，做到不重复、不遗漏，正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同

学们思维的有序性和良好的学习习惯。

二.典型例题

例1.数出下面图中有多少条线段。

思路导航：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。

从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有

2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CDo因此，图中共有3+2+1=6条线段。

数线段的规律：线段上有n个点（包括两个端点），n个点把这条线段共分成线段总数为：

1+2+3+…+（n-l）o

解：这条线段有4个点，所以线段的总和为1+2+3=6［条〕

答：图中的线段有6条。

练一练：数出以下图中有多少条线段。

⑵

例2.数出下面图中有多少个角。

思路导航：在/AOB内有三条角分线0C1、0C2、0C3,NAOB被这三条角分线分成4个根本角，那么/

AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个根本角，其次是包含有2个根本角组成的角有3个〔即NA0C2、

ZC10C3,ZC20BL然后是包含有3个根本角组成的角有2个〔即/A0C3、ZC10B）,最后是包含有4

个根本角组成的角有1个〔即NAOB）,所以/AOB内总共有角：4+3+2+1=10（个〕

数角的规律：数角的方法和数线段的方法类似，图中共有几条射线组成假设干个角，角的

总个数为1+2+3+…+（n-1）o

解：图中有5条射线，所以角的个数为：

1+2+3+4=10（个）

答：共有10个角。

练一练：数出以下图中有多少个角。

例3.数一数图中共有多少个三角形?

思路导航：要数有多少个三角形，先看在AAGH中，在GH上有3个分点，分成根本小三角

形有4个.所以在aAGH中共有三角形4+3+2+1=10（个〕.在AAMN与AABC中，三角形有同

样的个数，所以在AABC中三角形个数总共：

14+3+2+1〕X2=30〔个）.

解：在4ABC中共有三角形是：

14+3+2+1〕X3=10X3=30（个）

答：在AABC中共有线段60条，共有三角形30个。

练一练：数出以下图中有多少个三角形。

三.稳固提高

（一）填空题。

1.以下图形各有几条线段

（）条（）条（）条

2.一条直线上共有50个点，可以数出（）条线段.

3.（1）数角。（2）数三角形。⑵数三角形。

（）（〕

［二〕简答题.

1.数一数以下图中共有多少个角？

5.数一数共有多少个三角形？

四.选做题

数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？

第二讲图形的计数（二）

例4.数一数以下图中有多少个长方形？

思路导航：图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的

每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6X3=18个

长方形。

数长方形可以用下面的公式：

长边上的线段X短边上的线段=长方形的个数

解：共有长方形：

（3+2+1〕X〔2+1）=6X3=18（个）

答：共有长方形18个。

练一练：数出以下图中有多少个长方形。

例5.数一数，以下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形〕

思路导航：图中边长为1个长度单位的正方形有3X3=9个，边长为2个长

度单位的正方形有2X2=4个,边长为3个长度单位的正方形有1X1=1个。

所以图中的正方形总数为:1+4+9=14个。

经进一步分析可以发现，由相同的nXn个小方格组成的几行几列

的正方形其中所含的正方形总数为：IX1+2X2+…+nXn。

解：正方形总数为：1X1+2X2+3X3=14（个）

答：共有正方形14个。

练一练：数出以下各图中有多少个正方形。

例6.数一数以下图中有多少个正方形？1其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方

思路导航：边长是1一一一个长度单位的正方形有3X2=6个，边长是2个长

度单位的正方形有2I_I_I_IX1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。

经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成

n等份（长和宽的每一份都是相等的〕那么正方形的总数为：mn+（m-l）（n-l）+（m-2）（n

一2）H1-（m■—n+l）n.

练一练：数一数以下各图中分别有多少个正方形。

四.稳固提高

〔一〕填空题。

1.数一数以下图有（〕个长方形.

2.以下图共有（）个平行四边形.

（二）简答题（每题10分）

1.图共有几个正方形？

2.数一数以下各图中分别有多少个正方形。

四.选做题

以下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？

第三讲速算与巧算(一〕

知识点回忆

1.在加、减、乘、除四那么运算中，要想算得快，算得准，其实有些“小窍门〃，首先要

观察算式和数字的特点和规律，然后再选择适宜的巧算方法，运用数的组成与分解，运用

定律以及和、差、积、商的变化规律，把按常规较复杂的运算转化为比拟简便、迅速的计

算。

2.力口、减法的巧算方法有：配对求和法、凑整法、分组法、借来法和加减法的运算性质、

运算定律等；

3.常用的运算定律和运算性质用字母表示为：

加法交换律：a+b=b+a

力口法结合律：a+b+c=a+(b+c)

减法的性质：a-b-c=a-(b+c)

a-(b-c)=a-b+c

4.速算与巧算是计算中的一个重要组成局部，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我

们的计算能力和思维能力。

二.经典例题

例1.用巧算的方法计算以下各式。

①29+299+2999+29999

②30-29+28-27+26-25+…+4-3+2T

③638-(456-62)

思路导航：第①小题计算中运用凑整的方法计算比拟简便；第②小题可以将相邻两个数看

成一组，进行分组分解法来计算比拟简便；第③小题根据减法的性质去括号，再移位凑

整。

解：①29+299+2999+29999

=30+300+3000+30000-4

=33326

②30-29+28-27+26-25+…+4-3+2T

=(30-29〕X(30・2〕

=15

③638-(456-62)

=638-456+62

=(638+62)-456

=700-456

=244

练一练：用巧算的方法计算以下各式。

①53+874+47-174+63②543-(138-57)-362

③2345+1256-3056T45@627-(185+127)

例2.计算199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18

思路导航：通过观察我们可以运用分组凑整法，十个加数可以分成五组，每组第一个加数

补1,第二个加数补2都可以凑整。

解：199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18

=200000X2+20000X2+2000X2+200X2+20X2-3X5

=400000+40000+4000+400+40-15

=444440-15

=444425

练一练：用巧算的方法计算以下各式。

①19+199+1999+19999②999998+99997+9996+995+94

三.稳固提高

1.347+362+453+3382.2345+6789+7655+3211

3.9979+994+1274.1371-289-371

5.846-163+11546.1643+296+72+4357+128

7.48+326+52-17+2748.1756-(756+498〕

9.368+(134—68)10.2663-874-1126+337

四.选做题。

1.534+467-334-267+1112.1839-〔56—161)

3.15873-346-873-6544.2380-(167+380)-333

5.218+573-136+182-64-736.127+125+126+123+129+122

7.112+111-110-109+108+107-106-105+104+103-102-101+100+99-98-97

第四讲速算与巧算(二)

知识点回忆

乘、除法的巧算方法有：凑整法、分组分解法、巧妙变形法、乘除法的运算定律和性质，

以及商的变化规律，积的不变性质等。

常用的运算定律和运算性质用字母表示为：

除法的性质：a+b+c=a4-(bXc)a4-(b4-c)=a4-bXc

乘法交换律：aXb=bXa

乘法结合律：(aXb)Xc=aX(bXc)

乘法分配律：(a+b)Xc=aXc+bXc(a-b)Xc=aXc-bXc

积不变性质：aXb=(a4-c)X(bXc)=(aXc)X(b4-c)

商不变性质：a+b=(a4-c)4-(b4-c)=(aXc)4-(bXc)

二.经典例题

例1.计算以下各式。

①375X480+6250X48

②72004-254-36

③16X125

④23004-25

思路导航：第①小题是根据积的不变规律进行转化，变成能应用乘法分配律，计算起来比

拟简便；第②小题根据在连除中交换除数的位置商不变的性质来解题；第③小题因为125

乘8得1000,运用分解法将16按照16=2X8分解；第④小题，根据商的不变性质，将被

除数和除数同时扩大4倍，把除数变成整百的数来计算。

解：①375X480+6250X48

=375X480+625X480

=480X(375+625)

=480X1000

=480000

②72004-254-36

=72004-364-25

=2004-25

=8

③16X125

=2X(8X125)

=2X1000

=2000

④23004-25

=〔2300X4)4-[25X4)

=92004-100

=92

练一练：用巧算的方法计算以下各式。

①369X123T23X9-360X123②125X32X250

③98004-254-49④1999+999X999

例2.计算1+(2+3〕4-(34-4)4-[4+5[4-(5+6)4-[64-7)4-(7+8〕

思路导航：通过观察我们发现括号里的除法算式不能得到一个整数的商，所以我们要根据

a4-(b+c)=a+bXc这一性质去掉括号进行计算，当一个数扩大假设千倍，同时又缩小

相同的倍数时结果不变。

解：1+[2+3)4-(3+4)4-[4+5)4-15+6)4-[64-7)4-(7+8)

=14-2X34-3X44-4X54-5X64-6X74-7X8

=14-2X8

=4

练zi-一练idr:

计算9+[9+8)4-(84-7)4-(7+6〕4-(6+5)4-(5+4)4-(44-3)

三.稳固提高

用巧算的方法计算以下各式。

1.@75X16②31X8X125③2023X125

2.①199X245②1001X134③67X54+67+45X67

3.①199+99X99②21X380+38X790③123X235-24X235+235

4.①2800+25+4②562X397+(281X397〕③7000+(1404-50)

5.2023X2006+2007X2005-2007X2006-2023X2005

四.选做题

计算55555X666667+44445X666666-155555

第五讲和差倍问题

一.知识点回忆

1.“和差问题〃是大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。

和差问题根本公式：1和+差）+2=大数

[和-差）+2=小数

小数+差=大数（或者：大数-差=小数〕

和-小数=大数（或者：和-大数=小数〕

2.“和倍问题〃是大小两个数的和与它们的倍数关系，求这两个数。

和倍问题根本公式：和+1倍数+1]=小数

大数=和-小数（或者：大数=小数X倍数）

3.“差倍问题〃就是两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差倍问题根本公式：差・〔倍数=小数

二.经典例题

例1.一个学校四年级共有学生400名，其中男生比女生多40名，四年级男女生共有多

少人？

分析：女生：!------------------1多40人

一“一.r4oo人

男生：1------------------1-------1

从图中可以看出男生人数是较大的数，要比女生多40人，即男生与女生的人数差是40,

且男生女生一共有400名。所以我们有较大的数（男生数）=（两数之和+两数之差）4-2,

较小的数（女生人数）=（两数和-两数之差）・2

解：男生：（400+40〕4-2=220（人）

女生:（400-40）4-2=180（人）

答：男生有220人，女生有180人。

练一练：

希望小学四年级有学生42人，其中女生比男生少2人，那么这个班级男女生共有多少人？

例2.甲桶装有汽油是乙桶的三倍，甲桶又倒入20升，乙桶又倒入80升，这时乙桶汽油比

甲桶多20升，求原来甲、乙两桶汽油各多少升？

分析：20升

甲桶：

多20升1-------1--------1--------L--------J

乙桶：‘-------L-------------------------；----------

80升、---------------y-------------------------------------1

从图可以发现，如果乙桶只倒入40升，那么甲、乙两桶汽油同样多，这说明原来

甲桶比乙桶多80-20-20=40（升）汽油,且甲桶汽油是乙桶的3倍,那么甲桶比乙桶汽

油多两倍，这样就找到了2倍数对应量是40升，可以求出乙桶汽油（1倍数）。

解:乙桶原来汽油：（80-20-20）+（3-1）=20（升）

甲桶原来汽油：20X3=60（升）

答：甲桶原来有汽油60升，

乙桶原来有汽油20升。

练一练：

A桶装油470千克，B桶装油190千克，从A桶倒多少千克油给B桶才能使A桶油是B桶的

2倍？

例3.甲、乙、丙三个数的和是183,乙比丙的2倍少4,甲比丙的3倍多7,求甲、乙、丙

三个数各是多少？

1倍数

分析：（~人~]

丙数：1--------1少4

乙数：।1--------1-------田183

2倍<---------I

丙数：III_________F1>

3倍<y

我们发现甲、乙两个航B是以丙为标准的,所以丙就是1倍数，乙比丙的2倍

少4,即：乙=丙*2-4；甲是丙的3倍多7,即：甲=丙乂3+7；丙数为丙XI,且甲、

乙、丙三数之和为183,所以丙X3+7+丙X2-4+丙=183,从而丙的（3+2+1）倍对

应为183+4-7o

解：丙数=（183+4-7）4-（3+2+1）=30

乙数=30X2-4=56

甲数=30X3+7=97

答：甲数是97,乙数是56,丙数是30。

例4.哥哥与弟弟没人都有一些铅笔，如果哥哥给弟弟1支，两人就一样多，如果弟弟

给哥哥1支，哥哥就是弟弟的5倍，哥哥和弟弟原来各有多少支铅笔？

分析：此题是两次转化的差倍应用题，根据“哥哥给弟弟1支，两人同样多〃，说明

哥哥比弟弟多1+1=2（支）；根据“弟弟给哥哥一支，哥哥就是弟弟的5倍〃，我

们可先知弟弟给哥哥一支，那哥哥比弟弟一共要2+1+1=4（支），且此时哥哥是弟

弟的五倍，即：哥哥比弟弟多4倍。

解：弟弟的支数：1+1+1+1〕+（5-1）+1=2［支〕

哥哥的支数：2+2=4（支〕

答：哥哥有4支铅笔，弟弟有2支铅笔。

练一练：

两个书架原来共有图书300本，当第一个书架借走30本，第二个书架又购进40本后，第

一个书架比第二个书架少20本，原来两个书架各有多少本？

四.稳固提高

1.长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？

2.丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁的语

文和数学各得了多少分？

3.师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加

工零件多少个？

4.实验小学共有学生956人，男生比女生2倍少4人.问：实验小学男学生和女学生各有多

少人？

5.甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多

少本？

6.有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根

长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

五.选做题

1.有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8千克水到大桶，那么大桶中水是小桶的3倍,

求原来大桶有水多少千克？

2.光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

3.小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多.小

勇家养的白兔和黑兔各多少只？

第六讲复原问题

知识点回忆

有些问题，当顺着题目条件的表达去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改

变思考顺序，从问题表达的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加

的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做

复原法或逆推法，用复原法解题的问题叫做复原问题。

1.从最后得数出发，采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。

2.原题加的用减，原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。

3.根据原题的表达顺序，在下面列出数量关系式，再用逆运算的方法得出原数。

二.经典例题

例1.有一个数，把它加上37,再乘以18,减去323,得到的结果用23去除，商是16,余数

是11.这个数是多少？

分析：我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能先算出哪个数呢？

加上37乘以18减去323除以23

?________►?________►?_________a?________南16余H

解：我们采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。原题加的用减，原题减的用

力口，原题是乘的用除，原题是除的用乘。

从后面数第一个问号：16X23+11=368+11=379

从后面数第二个问号：379+323=702

从后面数第三个问号：702+18=39

从后面数第四个问号即所求的数：39-37=2

答：这个数是2.

练一练：一个数扩大3倍，再增加70,然后减少50,得80.这个数是多少？

例2.四年级的四个班共有学生168人，到了第二学期，学校把班级学生作如下调整：把

四班的3名学生调到三班，三班的6名学生调到二班，二班又调6名学生到一班，一班再

调2名学生到四班，这时四个班的学生同样多，求四个班原来各有学生多少人？

分析：知道四个班最后学生一样多，且四个班的总人数是168,那么可求出四个班最后学生

人数：168+4=42

四班调到三班3名：减少3名

四班的人数

也班从一班调案2夕;.增加2

三班从四班调来3名：增加3

三班的人数名

二班调到一班6幺.减小6夕;

二班从三班调来6名：增加6

二班的人数4名

二班调到一班6名：减少6名

三班：42-3+6=45（人）

二班：42-6+6=42（人）

一班：42-6+2=38（人）

答：一班原有学生38人，二班原有学生42人，三班原有学生45人，四班原有学生43人。

练一练：三个小朋友共有贺年卡75张，如果甲给乙4张，乙又给丙3张，那么三个人的贺年

卡刚好相等，求甲、乙、丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？

例3.一根铁丝，第一次用去它的一半少一米，第二次用去剩下的一半多1米，最后剩5米,

求这根铁丝原有多长？

分析：

第一次第二次5米

，------人----------V—

1米口米

、总数的一年剩卞的一半

----

?*i

从上图分析可知：

剩下的一半：5+1=6（米〕

那第一次用完一共剩下：6X2=12〔米）

总数的一半：12-1=11［米）

总长：11X2=22〔米）

即:［（5+1）X2T］12=22（米）

答：这根铁丝原来长22米。

练一练：篮子里有鸡蛋，第一天拿走一半多两个，第二天拿走余下的一半多4个，这时刚好

拿完，求篮子里原来有多少个鸡蛋？

四.稳固提高

1.某数加上11,减去12,乘以13,除以14,其结果等于26,这个数是多少？

2.某数加上6,乘以6,减去6,其结果等于36,求这个数。

3.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4,再减去6之后，乘以10,恰好是100。问：小乐

爷爷今年多少岁？

4.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多7吨，还剩4

吨。问：粮库里原有面粉多少吨？

5.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时

筐里只剩下一个梨。这筐梨共值&80元，那么每个梨值多少钱？

6.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这

时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？

五.选做题

1.甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有

相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？

2.一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去

15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？

第七讲年龄问题

知识点回忆

1.两个人的年龄差总是不变的。

2.两个人的年龄随着时间、年份的变化而增加（减少）同一个自然数。

3.两个人年龄的倍数关系随着年龄的变化而变化，一般是随着年龄的增加倍数关系反而变

小。

4.年龄问题一般可以转化为和倍、差倍、和差问题解答。

大年龄=（两人年龄和+两人年龄差〕4-2

小年龄=（两人年龄和-两人年龄差）4-2

知道今年大小年龄各是多少

几年前，大年龄是小年龄的几倍

年数=小年龄一两人的年龄差+［倍数

几年后，大年龄是小年龄的几倍

年数=两人年龄差+（倍数-小年龄

二.经典例题

例1.儿子今年16岁，父亲今年48岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的9倍?

分析：要抓住父亲与儿子年龄差不变，以此来解决问题。

即:16-(48-16)+(9-1)=121年)答：12年前父亲的年龄是儿子的9倍。

练一练：父亲今年47岁，儿子21岁，多少年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍?

例2.5年前，爷爷的年龄比孙子大60岁，今年祖孙年龄和是100岁，求爷爷今年是多少

岁？

分析：5年前爷爷年龄比孙子大60,即年龄差是60岁，

那5年后的今年，祖孙的年龄差：60岁年龄1

今年祖孙的年龄和是100岁，oO0b差不变哦

那么爷爷今年的年龄：

（100+60）4-2=80（岁）〈[大年龄二（年龄和+年龄差）4-2

答：爷爷今年80岁。T

练一练：

现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年后，父子共58岁，父子现在各多少岁？

例3.今年爷爷78岁，三个孙子分别是27岁、23岁、16岁，那么多少年后，爷爷的年龄

等于三个孙子年龄之和？

分析：每过一年，三个孙子分别增长1岁，三个孙子的年龄和就增长了3岁，而爷爷的年

龄只增长1岁，所以，每过一年爷爷的年龄和三个孙子年龄和的差就减少2岁。

今年爷爷和三个孙子年龄和的差是：78-（27+23+16]=12〔岁）；

124-（3-1）=6（年）

所以，6年后，爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和。

三.稳固提高

1.父亲今年比儿子大30岁，3年后，父亲的年龄是儿子的4倍，儿子今年几岁？

2.3年前，父亲与儿子的年龄和是49岁，现在父亲的年龄是儿子的4倍，父子今年各是多

少岁？

3.6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后，母子的年龄和是78岁，问母亲今年多少岁？

4.小明与小强三年后的年龄之和是27岁，小明比小强大3岁，问小明和小强今年各多少

岁？

四.选做题

今年妈妈和儿子的年龄和是34岁，妈妈比儿子大28岁，那么今年妈妈和儿子各多少岁？

第八讲盈亏问题

一.知识点回归

盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程

这种盈亏现象。键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类：“一盈一

亏"、"两盈”"两亏〃。

盈亏问题的根本关系式：

（盈+亏）+两次分得之差=人数或单位数

（盈一盈）十两次分得之差=人数或单位数

（亏-亏）+两次分得之差=人数或单位数

二.经典例题

例1.四年级的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒那么少6粒，问：

有多少位同学分多少粒糖果？

分析：由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比拟两种分配方案，第一种没人分

4粒就多9粒,，第二种每人分5粒那么少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），

相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为15+1=15（位），糖果的粒数为：

4x15+9=69（粒〕。

练一练：

某校同学排队上操.如果每行站9人，那么多37人；如果每行站12人，那么少20人.一共

有多少学生？

例2.老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃那么

多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？

分析：老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏综合是9-2=7（个），

两次分配之差是（个）有盈亏问题公式得，有小猴子：7+1=7（只），老猴子有

7x10+9=79（个）桃子。

练一练：

在桥上用绳子测桥离水面的高度。假设把绳子对折垂到水面，那么余8米；假设把绳子三

折垂到水面，那么余2米。问：桥有多高？绳子有多长？

例3.四⑴班给三好学生1奖练习本，如果每人奖5本,那么差9本，如果每人奖3本，那

么差1本,这个班有多少名三好学生?要奖练习本？

分析:这是两次分配方案都是亏的盈亏问题，解题的根本思路是：（大亏-小亏）;两次分得

之差=人数，三好学生数和练习本数是不变的，但两次每人奖的本数发生了变化，结果相差

9-1=8（本），所以三好学生：84-[5-3）=4（人]，练习本：5X4-9=11（本）

三.稳固提高

1.某中学安排学生宿舍，每间住6人，那么有34人没有床位，每间住7人，那么多出4

间宿舍，那么有多少宿舍？多少学生？

2.幼儿园老师给小朋友发小红花，每人发4朵，那么剩下20朵，每人发5朵，那么剩下

5朵，那么有多少小朋友？分多少小红花？

3.在桥上用绳子测桥离水面的高度。假设把绳子对折垂到水面，那么余5米；假设把绳子

三折垂到水面，那么余4米。问：桥有多高？绳子有多长？

4.明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就

多出了4元.那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？

5.实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；如果每辆车多

坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？

四.选做题

1.妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，那么多出4

个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，那么缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全

家共有多少人？

2.王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车

600米，就可以比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？

第九讲最正确方案

一.知识点回归

在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做

到用的时间最少，效果最正确。这类问题在数学中称为统筹问题。统筹方法是生活和生产

中合理安排工作的一种科学方法。我们的学习、生活都离不开时间，要完成一件事，如果

我们能够合理安排，选择最正确方案，往往会收到事半功倍的效果。

应用统筹方法解决实际问题，一般要做好三项调查：

1.要做哪些工作；

2.每项工作需要多少时间：

3.弄清所做事情的程序，即先做什么，后做什么，哪些工作可以同时做，从而根据题

意选择最正确方案。

二.经典例题

例题L用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟〔规定正反面各需要1

分钟〕。问煎3个饼至少需要多少分钟？

思路导航：先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个

取出，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个

翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎3个饼至少需要3分钟。

练一练：

用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个

大饼，最少要用几分钟？

例题2.妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需

要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？

思路导航：经验说明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能

烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以

同时进行。

根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗

茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。

练一练：

在早晨起床后的1小时内，小萱要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语

30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听播送30分钟。最少需要多少分钟？

例题3.五（1〕班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明

打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校

医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？

思路导航:校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在

卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4

分钟,赵明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。

练一练：

甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供给点打热水。热水龙头只

有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？

例题4.用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长

方形的面积最大是多少？

思路导航:根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18+2=9厘米。显然，当长与

宽的差越小，围成的长方形的面积越大。又长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5

厘米，宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大：5X4=20平方厘米。

练一练：

用长26厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面

积最大是多少？

三.稳固提高

1.妈妈早上起来要完成如下几件事：洗水壶1分钟，电水壶烧开水要12分钟，擦桌椅要

6分钟，把水灌入水瓶要2分钟，去买油条要10分钟，煮牛奶要8分钟，妈妈怎样安排才

能使所用时间最短？

2.星期天，只有王师傅1人在中药柜值班，现在有ABCDEFG7人排队等候抓药，王师傅估

算一下这7个人时间分别是11分4分5分10分9分8分6分，请问王师傅应该如何安排

这7个人抓药的先后顺序，才能使大家等候的总时间尽量短？

3.一个长方形的周长是40厘米，要求长和宽都是整厘米数，围成长方形面积最大是多少

平方厘米？

4..用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙

3个大饼，最少要用几分钟

四.选做题

1.烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小丽

用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？

2.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外

语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听播送30分钟。最少需要多少分钟？

第十讲平均数问题

一.知识点回忆

1.平均数问题就是把几个不相等的数，在总量不变的情况下，通过移多补少，使它们成为

相等的几份数，求其中一份数。

2.解答平均数问题必须注意两点：第一，总数量与总份数之间必须互相对应；第二，必须

明确总数量和总份数各是由几个局部合并而成的。

3.解答平均数问题的根本数量关系式是：

总数量+总份数=平均数

平均数X总份数=总数量

总数量+平均数=总份数

二.经典例题

例1.在一次登山比赛中，小刚上山时每分走40米，18分到达山顶。然后按原路下山，12

分钟到达了山底，问小刚上、下山平均每分钟走多少米？

分析：这是一道典型的求均数问题。求平均每分钟走了多少米，那我们根据解决平均数问

题的方法：总数+总份数=平均数。可知要先求出一共走了多少米即总数量和一共走了多长

时间即总份数，这样就可以求出每分钟走了多少米即平均数。

解：总数+总份数=平均数

(40X18X2)4-(18+12)=48(米〕

答：小刚上、下山平均每分钟走48米。

练一练：

一辆小汽车从甲城开往乙城，速度是60千米/时，12小时到达乙城，又顺原路返回甲城，

速度为40千米/时，求这辆小汽车往返的平均速度？

例2.期末考试结束了，小辉去班主任那了解他的考试成绩，班主任告诉他，语文、数学的

总分是190分，语文、英语的总分是185分，数学、英语的总分是189分，请你帮助算一

算，小辉三科的平均成绩是多少？

分析：根据“总成绩+总份数=平均成绩〃来解答，这里的总成绩可以求出6科的成绩，也

就是190+185+189的和，这里有2倍的语文、2倍的数学、2倍的英语成绩，除以2后就得

三科的总分，再除以3就是他的=平均成绩。

解：(190+185+189)4-24-3=94(分〕

答：他三科的平均成绩是94分。

练一练：

某班有40名学生，期中数学考试，有两名同学因故缺考，这时班级平均分为89分，缺考

的同学补考各得99分，这个班期中考试平均分是多少分？

例3.有七个数排成一列，它们的平均数是14,前四个数的平均数是13,后四个数的平均

数是15,你知道第四个数是多少吗？

分析：根据“平均数X总份数=总数量〃来解答，前四个数，后四个数一共是8个数，中间

（第四个数）这个数计算了两次，所以它们的和一定比七个数的总数多，多出的数就是第

四个数。

解：（13X4+15X4）T4X7=14

答：第四个数是14。

练一练：

有五个数排成一列，它们的平均数是46,前三个数的平均数是38,后三个数的平均数是

50,你知道第三个数是多少吗？

三.稳固提高

1.10位同学在一次考试中，最高得分是95分，最低得分是75分，总平均分是81分，去

掉最高分和最低分，其余8位同学的平均分是多少？

2.明明家共有5个人，如果不算明明，其余4个人平均体重是56千克。当明明参加后，全

家人的平均体重减少了2.6千克。明明的体重是多少千克？

3.一辆汽车从A地到B地，前3小时每小时行90千米，后2小时由于道路原因，每小时少

行5千米。汽车从A地到B地的平均速度是多少？

4.四（1）班学生中，9岁的有15人，10岁的有17人，H岁的人18人。四（1）班的平

均年龄是多少？

5.李师傅前4天平均每天加工30个零件，改良技术后，第五天加工零件55个，李师傅5

天中平均每天加工多少零件？

四.选做题

1.李冰期中考试语文、英语、自然的平均成绩是76分，数学成绩公布后，他的平均成绩

提高了3分。李冰的数学成绩是多少分？

2.五年级同学进行达标抽测，10名同学的跳高成绩（单位：厘米）分别是99,100,110,

97,96,95,88,90,92,93。求他们跳高的平均成绩。

第十一讲长方形、正方形的周长和面积

一.知识点回忆

解答有关“图形的周长、面积〃问题时，应注意以下几点:

1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；

2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关

系明朗化。

3.根本公式：长方形的周长=（长+宽）X2

正方形的周长=边长X4

长方形的面积=长乂宽

正方形的面积=边长X边长

二.经典例题

例题1.以下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占

地面积。

思路导航：根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米。而宽是4米,

那么长是（16—4）+2=6米，占地面积是6X4=24平方米。

解：（16—4）+2=6（米）

6X4=24（平方米］I-------

答：它的占地面积为24平方米。燧14米

练一练：I____

右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一■个长方形

养鸡场，求养鸡场的占地面积。

例题2.街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如

果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？

思路导航：把水泥路分成四个同样大小的长方形（如以下图）。

因此，一个长方形的面积是12+4=3平方米。因为水泥路宽1

米，所以小长方形的长是3+1=3米。从图中可以看出正方形花坛

的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3—1=2米。中间花坛的面积是2X

2=4平方米。

解：124-4=3（平方米）

34-1=3（米〕

3-1=2（米〕

2X2=4（平方米）