2024年高考数学第一轮复习 平面向量（解析版）

平面向量

【考点预测】

一、向量的基本概念

1、向量概念

既有大小又有方向的量叫向量，一般用°,b,e来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,

如（其中A为起点，B为终点）.

注：谈到向量必须说明其方向与大小.

向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作忖或加、减、数乘.

2、零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量

零向量：长度为零的向量，记为0,其方向是不确定的.

单位向量：模为1个单位长度的向量.当忖20时，向量士£是与向量a共线（平行）的单位向量.

回

相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为a=

平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移

到同一条直线上.

规定零向量与任何向量a平行（共线），即0//。.

注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几

何中平行不可以重合；③d//Z7,b//c,不一定有a//c,因为6可能为0.

二、向量的线性运算

1、向量的加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量a,b,在平面内任取一点A,作=BC=b,

则向量AC叫做向量a与b的和（或和向量），即。+6=AB+8C=AC.

向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量AC=“+8.

2、向量的减法

（1）相反向量.

与。长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a.

（2）向量的减法.

向量。与6的相反向量的和叫做向量。与b的差或差向量，即a-b=a+（-b）.

向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，OA=a,=6则向量=.

(1)实数入与向量£的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：Aa,它的长度和方向规定

如下：

①w卜风w

②当儿＞0时，2a的方向与a的方向相同；当次0时，Xa的方向与a的方向相反；当;1=0时，2a=0方

向不确定；a=0时，2。=0方向不确定.

(2)向量数乘运算的运算律.

设a、6为任意向量，4、〃为任意实数，则2("a)=；(2+〃)a=；A(a+b)=Aa+Ab.

三、平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果。=/L6(2eR),则a//6；反之，如果a//6且人/0,则一定存在唯一的实数彳，使”=肪.

2、平面向量基本定理

如果4和e；是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a,都存在唯一的一对

实数4,4,使得。=4q+%e；,我们把不共线向量e；,e；叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为

｛弓勺｝+^e2叫做向量&关于基底｛q©｝的分解式.

3、三点共线定理

平面内三点A,B,C共线的充要条件是：存在实数尢〃，使OC=XQ4+〃O8,其中4+〃=1,O为

平面内一点.

四、平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向

量基本定理可知，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数使4=羽•+力，我们把有序实数对(x,y)

叫做向量。的坐标，记作。=(x,y).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量(x,y).对应,向量。4.对应"点A(x,y).

(3)设a=(占,%),b=(x2,y2),则a+6=(%+%,%+%)，a-b=(xl-x2,-y2),即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若q=(x,y),2为实数，则;=即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相

应坐标.

(4)设A(无1,%),B(%,%)，则=%-%)，即一个向量的坐标等于该向量的

有向线段的终点的坐标减去始点坐标.

五、向量的平行

设a=(项,％),b=(x2,y2).allb的充要条件是元=。•除了坐标表示占%=0外，下面两种

表达也经常使用：当6h0时，可表示为。=26；

当3％-工训力0时，可表示为土=且，即对应坐标成比例.

々为

六、平面向量的数量积

(1)已知两个非零向量a和6,作\s\up6(()OA?=a,\s\up6(()OB?=b,NAOB=e(0＜e4万)叫作向量a

与b的夹角.记作并规定＜。,6＞40,万］.如果。与b的夹角是就称。与b垂直，记为。_L6.

(2)问Wcos〈a,力叫作a与6的数量积，记作a•b,即＜2-6=同网85〈°,6〉.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量。与b垂直的充要条件是。♦b=0.

两个非零向量〃与b平行的充要条件是〃力=±同忖.

七、平面向量数量积的几何意义

数量积。•〃等于〃的长度I与〃在〃方向上的射影|Z?|cos8的乘积.即〃・b=|a\\b|cos0.(〃在。方

向上的射影IZ?|cos。=彳昌〃在〃方向上的射影|41cos夕=1^).

HW

八、平面向量数量积满足的运算律

(1)a-b=b,a(交换律)；

(2)—•/=Da=a•(4)(2为实数);

(3)(a+b)♦c=a-c+b-c(分配律)。

数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律(〃・0)・cW4・S・c),不可约分a・Z?=a-c=>b=c.

九、平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a=&,%),6=(x2,y2)=>〃•/?=%々+%必由此得到

(1)若a=(x,y\a=|«|2=x2+y?或|a|=y/x2+y2；

(2)设4士,%),2(尤2,%),则A,3两点间距离IAB1=J(--4)+(%-%)2

(3)设。=(再,%))=(工2，%),6是。与人的夹角，则cos6=/,.三+｝：2,

E+yj收+1

【典例例题】

例1.(2023•江苏南京•南京市秦淮中学校考模拟预测)下列说法中正确的是()

A.单位向量都相等

B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量。/，必有|a+b|4|a|+|b|

D.若满足|a|>|加且a与6同向，则心石

【答案】C

【解析】依题意，

对于A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；

对于B,平行向量就是共线向量，故错误；

对于C,若同向共线，|a+b|=|a|+|b|,

若反向共线，|a+勿<|a|+|b|,

若a力不共线，根据向量加法的三角形法则及

两边之和大于第三边知1。+〃<1。1+161.

综上可知对于任意向量。力，必有|a+b|V|a|+g|,故正确；

对于D,两个向量不能比较大小，故错误.

故选：C.

例2.(2023•辽宁沈阳•高二学业考试)如图，。是AB上靠近B的四等分点，E是AC上靠近A的四等分点,

歹是£>£■的中点，设=AC=b-贝1AF=（）

44448888

【答案】C

【解析】因为。是A3上靠近B的四等分点，E是AC上靠近A的四等分点，尸是DE的中点，

2224248888

故选：C.

例3.（2023秋・浙江杭州•高三浙江省桐庐中学期末）已知向量a=（T,2）,b=（3,m）,若a与6共线，则〃?=（）

A.—6B.—C.-D.6

33

【答案】A

【解析】因为。与b共线，所以占为-=-1X7"2X3=0,"2=-6.

故选:A.

例4.（2023秋・湖南益阳•高三统考期末）如图所示的矩形ABCD中，E,F满足BE=EC,CF=2FD,G为EF

的中点，若AG=/IAB+〃AO,贝厂”的值为（）

【答案】A

【解析】连接AE,A尸，

由题可知AE=AB+BE=A5+L8C=A8+LAD,AF=A£)+£>F=A£>+Lr)C=lAB+AD,

2233

又因为G为石厂的中点，所以AG=；(AE+AE),

所以心为1(4曲,3呵\丁2吟3肛

231

所以X==所以〃/=/.

故选：A.

例5.(2023秋•山西太原•高三统考阶段练习)在矩形ABCD中,48=26,40=2,点后满足20石=3"7,则

AEBD=（）

A.-14B.14C.—16D.—14A/3

【答案】A

【解析】解:由题不妨以A为坐标原点,AB,A。方向分别为羽，轴建立如图所示直角坐标系,

则A（0,0）,B（2小,0）,C（2/,2）,£＞（0,2）,

所以DC=（2g,0）,20=卜26,2）,

因为2OE=3OC,

设E（x,y）,

解得网362),

所以AE=@/,2),

所以AE•3D=(34,2){-2省,2)=-14.

故选:A

例6.(2023.安徽马鞍山.统考一模)已知平面向量。=(1,3),力=(-2,4),则a在b上的投影向量为()

A.(1,-2)

C.(1,3)

【答案】B

【解析】由题知,a=(1,3),&=(-2,4),

所以Qb=-2+12=10,仰=J4+16=2岔,

设°与。夹角为凡

所以。在6上的投影向量是同cos[j（=骨毛号-=-，"

故选：B.

例7.（2023秋・浙江丽水•高三浙江省丽水中学校联考期末）已知向量|a|=2,|们=1,|a+6|=若，则,-可=

（）

A.45B.76C."D.2A/2

【答案】C

【解析】因为向量|a|=2,|b|=1,|a+6|=6,

所以a2+6?=3，解得a-6=-l，

所以|a—6|=J/+Z?2—2a2=击,

故选：C

例8.（2023秋•山西太原•高三统考期末）已知|a|=|b|=l,|a-b|=VL则向量a与6的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】\a-b\=43

=>（〃_/?）=a2-2a-b+b2=\a^-2（2•/;+|&|=3

01—2a・Z?+l=3

rr1

=>〃•"=——

2

所以=T

所以向量a与b的夹角为120。

故选：C

例9.（2023春・江苏南京•高三南京师大附中校考开学考试）已知向量a,6的夹角的余弦值为:，

(a-3b)±(a+3b),同=1,则(a-b)5=()

A.-4

【答案】C

【解析】由题意不妨设a=（x,y）,6=（1,0）,

贝!]a+3b=(x+3,y),a-3b=(x-3,y),

由(a—36)_L(a+36),可得(a—36)?a+b3=)x2+y2-=9,^x2+y2=9,

7?T7-i§，解得％=2,

所以（〃一匕）乃=。。_网=2_1=1.

故选：C.

例10.（2023秋・河北石家庄•高三统考期末）ABC中，点”是8C的中点，点N为A5上一点，AM与CN

4

父于点，S.AD=-AM,AN=XAB^\^=（）.

A.-B.-C.-D.-

3456

【答案】A

【解析】因为点M是BC的中点，所以AM=gAB+；AC,

4"11'22S

t^AD=-AM=--AB+-AC\=-AB+-AC,则A3AO—AC,

55122J552

^AN=AAB=-AAD-AAC,

2

因为N,£>,C三点共线，所以存在m（m片-1）使得ND=mDC，

即AT>—A7V=〃?（AC-A£））,贝!]TW=（1+7〃）AD-mAC,

所以了5_力=1+根一%=1,解得：2=^2.

故选：A

例11.（2023•全国•高三专题练习）在平行四边形ABCD中，分别为上的点，且

AM=2MB,AN=ND,连接AC,与肋V交于点P,若AP=XAC，则几的值为.

【答案】|

【解析】在YABC。中，不共线，因为AM=2MB,AN=A©,

DC

N/

AMB

贝l］有AP=AAC=A(AB+AD)=2(-AM+ZAN)=—AM+2AAN,

又P,M,N三点共线，于是得一+22=1,解得X=三，

27

所以九的值为

故答案为：y

例12.(2023秋•河北保定•高三统考期末)已知向量。=(1,1),人=(1,0),c=Xa+6,〈a,6〉=〈b,c〉，则

4=.

【答案】

【解析】因为向量a=(l,l),b=(l,0),c=Aa+b,

所以c=(4+l㈤,因为〈〃,力=〈b,c〉，

a-b_b-c1_2+11

所以有卜雨H'|c|+7xllx^(l+l)2+/l25，

故答案为：-;

例13.(2023秋•江西萍乡•高三统考期末)在平面直角坐标系中，向量a,方满足a=(1,1),24+36=(-1,5),则

ab=__________

【答案】0

【解析】因为。=(1,1),2々+38=(-1,5),所以36=(-1,5)-(2,2)=(-3,3),

所以)=(-1,1),所以a./?=-lxl+lxl=0.

故答案为：0

【技能提升训练】

一、单选题

1.(2023•河南•高三安阳一中校联考阶段练习)在平行四边形ABCD中，点E,尸分别在边CD,BC上,DE=EC,

、rUUUUUU1U1,

CF=2BF,设AE="，AF=n»则AC二()

3.1n1I3

AA.B.—nrr—n

4224

c3।44-3

C.—rttv—nD.—nrr—n

5555

【答案】D

【解析】由题意，AE^AD+DE^-AB+AD,AF=AB+-AD,

23

设xAE+yAF=^+y\AB+[x+^\AD=AD+AB=AC,

4

x-\—=1,x——,

5,AC=W

由对应系数相等得3...<

X1355

-+y=i,

215

故选：D.

....田LUUUUUU

2.(2023•广东茂名・统考一模)在_ABC中,AB=c^AC=/?，右点两足=，贝IAM二)

12215221

A.-b+-cB.-b——cC.-c——bD.-b+-

33333333

【答案】A

uuiruunuuiruuniuunuuni,uunuuniuunouun1r2r

【解析】由题意可得：AM=AB+BM^AB+-BC=AB+-{AC-AB]x=-AC+-AB=-b+-c.

33、>3333

故选：A.

3.(2023秋糊北武汉•高二校联考期末)已知向量。=(1,1,0)力=(-1,0,-2),且履+6与2a"互相平行，则

上的值()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【解析】•.响量。=(1,1,0),&=(-1,0,-2),

ka+b=(k,k,0)+(-1,0,-2)=(k-l,k,-2),2a—6=(2,2,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2),

ka+b^2a-b互相平行，

“-1k-9

二号=H，解得左一2.

故选：C.

4.(2023秋・山东滨州•高三统考期末)在四边形ABCD中,A5〃CD,AB=4CD,点E在线段CB上，且

CE=AB=a,AD=bAE=()

51,c51,c131,r131,

A.—ciH—bB.—QH—hC.—ciH—bD.—an—b

824216484

【答案】c

【解析】解:由题知,AB〃CD,AB=4CD,画出示意图如下：

DC

因为CE=3EB,AB=a,AD=b,

所以AE=AB+BE

=AB+-BC

4

=AB+^BA+AD+DC

311

=-AB+-AD+-DC

444

311

=-AB+-AD+—AB

4416

131

=-AB+-AD

164

二旦+4.

164

故选:C

5.（2023秋・内蒙古阿拉善盟•高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知向量，=（8,-2）/=（人1）,若

则实数小的值是（）

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】A

f8=Am

【解析】由4=助，得1c,,

解得〃2=T.

故选：A.

6.（2023・广东•高三统考学业考试）已知向量°,万不共线，若A8=a+26，BC=-3a+1b,CD=4a-5b,

则（）

A.A,B,C三点共线B.A,B,。三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

【答案】B

【解析】对于A,因为AB=a+2b，BC=Sb，

若A,B,C三点共线，则存在实数力使得=

f1=-32

则已力，无解，所以A,B,C三点不共线，故A错误；

2=/X

对于B,•?AD=AB+BC+CD=a+2b-3a+yb+4a-5b=2a+4b，

：.AD=2（a+2b）=2AB,又；A是公共点，/.A,B,。三点共线，

故B正确；

对于C,因为AB=a+26,BC=-3a+1b,所以AC=-2a+96,

若A,C,。三点共线，则存在实数人使得4。=彳。£）,又CD=4a-5b，

（-2=42

所以°「，无解，所以4C,。三点不共线，故C错误；

[9=-DZ

对于D,若3,C,。三点共线，则存在实数几使得BC=48，

[一3=42

又2C=-3a+76，CD=4a-5b，所以J一，无解，

[/=—JA

所以3,C,。三点不共线，故D错误；

故选：B.

7.（2023春・河南洛阳・高三栾川县第一高级中学校考开学考试）已知A3是。。的直径，C,。是半圆弧A8

则BC=()

nr

B.-a-b

22

rir

C.a+-bD.a--b

22

【答案】A

【解析】AB是。的直径，C,。是半圆弧AS上的两个三等分点,

1uiiur1uu'1ruunuuniiuurir

：.CD//AB^.CD=-AB,:.DC=-BA=-a,BC=BD+DC=b+-a.

2222

故选：A.

8.（2023春洞北•高三统考学业考试）已知平行四边形ABC。中，AB=（1,2）,C（5,3）,则点。的坐标为（）

A.（2,-1）B.（T-1）C.（4,1）D.（6,5）

【答案】C

【解析】设点。的坐标为（x,y）,则AB=DC，即（1,2）=（5—x,3-y）,解得『二：，即。（4,1）.

故选：C.

9.（2023春•河南洛阳•高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量二=（见2）%=（1,1）.若|:+力|/|+山,

则实数机=()

A.2B.-2C.gD.--

22

【答案】A

【解析】解析：根据题意，向量；=(兀2)》=(U),则；+2=(机+1,3),

Yr______Y____r—

贝|,|=\Jm2+2m+10,|a|=Vm2+4,|b|=\/2.

若Ia+A|=|a|+1b|,则有+2m+10=J疗+4+A/2，

两边平方得到加+2=应.,再平方得到m2-4m+4=0,

解得m=2.

故选：A.

10.(2023秋・浙江嘉兴•高三统考期末)已知向量。=(-1,2))=(租,1),若〃+2)与2〃-力平行,则实数加二(：

A.--B.--C.-D.-

2222

【答案】B

【解析】已知向量£=(-1,2),6=(”?,1),

a+26=(—l,2)+2("z,l)=(2;“—1,4),2a—6=2(—1,2)—=(—；"—2,3),

由a+2匕与2a-b平行，有3(2〃7-1)=4(-〃7-2),解得加=_g.

故选：B

11.(2023秋•广西南宁•高三南宁二中校考期末)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且不〃八则2a+b=

()

A.(-2,T)B.(0,0)

C.(-1,-2)D.(1,2)

【答案】B

【解析】由于@〃b，所以1*〃2=2*(-2),7〃=-4,6=(-2,-4),

所以2a+6=(2,4)+(-2T)=(0,0).

故选：B

12.(2023秋洞南郑州•高三校联考期末)已知向量力=«」)，〃=(-2f,l),若|2时4:4病+/,则〃=(.

A.0B.1C.—D.g

22

【答案】D

【解析】依题意，2m—n=(2f,2)—(―2z,l)=(4?,1),

由|2m—n|2=4m2+n2,贝!J16/+1=4(/+1)+4/+1,

所以产=j

故选：D.

13.（2023.内蒙古赤峰统考模拟预测）已知向量。，。的夹角为120。，|司=4,M=2,则向量方在向量。方

向上的投影为（）

A.4B.-2C.73D.-1

【答案】D

【解析】向量〃在向量d方向上的投影为问cos',6）,

忖=2,cos（a,6）=cosl20=-g,

则向量6在向量d方向上的投影为Wcos（a,b）=T,

故选：D.

14.（2023・全国•高三专题练习）已知向量a=（4,-2宕），6=（1,6），则向量》在向量a方向上的投影是（）

A.-瓜B.—1C.1D.A/6

【答案】B

【解析】向量B在向量a方向上的投影是必=4一注苗=7.

\a\V16+20

故选：B

ITIT

15.（2023・全国•高三专题练习）若』=（2,-力），/7=(2sin-,2cos-),下列正确的是()

66

A.b//（a-b）B.b-L(a—b)

C.d在b方向上的投影是-;D.

(a+b)_L(a-b)

【答案】C

【解析】由已知三=（2,-b=（l,君）,

所以。_6=仅,一豆）_小@=（1「2⑹，a+b=Q-⑹+（1,⑹=（3,0）,

因为lx（-2g）_gxlw0,所以6,0一6不平行，A错，

因为卜1+4*卜26）/0,所以b,a-b不垂直，B错,

II/\_a-Z?_2xl-^xV3_1

因为a在6方向上的投影为网8$8"=可=//=-],c对,

因为卜3+卜26卜0力0,所以a+6,a-6不垂直，D错,

故选：c.

16.（2023春・山东济南•高三统考开学考试）已知向量.，6满足忖=恸=1,卜+26卜百，则向量入方的

夹角为（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】C

［解析］|a+2Z?|=|a|+4忖+4|a|-|z?|cos6）=3,

即5+4cos6»=3,则cos6=-1,0<6»<180,.-,6»=120.

2

故选：C.

17.（2023春•河北•高三统考学业考试）已知向量.，》满足卜|=1,恸=2,a-b=16网,则忸-,等于

（）

A.2四B.#7C.y/15D.275

【答案】A

【解析］由。_6=（后3）得k-

两边平方得a—2a-b+b=5—2a・b=5,a,b=0，

所以囚-目=J（2q_b）=-4a-b+b=V4+4=242.

故选：A

18.（2023•河南•高三安阳一中校联考阶段练习）已知向量a,b的夹角为,，且同=6，忖=1,则,+2〃=

()

A.1B.V3C.2D.V13

【答案】A

【解析】•+2b|=J(a+2l)=y/a2+4a-b+4b2=^3+4x^3x1xcos-^+4xI2=1.

故答案为：A.

19.(2023春浙江•高三开学考试)若向量4,b满足|a|=0,|=2,a,(a-6),则d与6的夹角为()

【答案】A

【解析】因为a_L(a-6),

所以0=4，(a-6)=q2-am=2-|o||z?|cos(«,&\=2-2y/2cos(a,b

得cos〈cig=,又,

所以,@=

故选：A.

20.（2023春・江苏常州•高三校联考开学考试）已知两个单位向量满足侬-力乂2。-可，则〃与人的夹

角的余弦值为（）

42「24

A.——B.——C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】因为（2b-叫，所以（2A-〃）（2〃-。）=0,

一一「-4

即4〃•。-2b2—2Q2+〃.。=0,〃."=《，

a-b4

所以"=丽=歹

故选：D.

21.（2023•全国•唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形ABCD中,A8=2,cos/A40=g,E是

边BC的中点，尸是8上靠近。的三等分点，若AE.8F=8,则,4=（）

【答案】A

1TT

【解析】解:由题知COSNBAD=5,所以/及1。=1,

乙J

记,4=m，因为=2,且ABCD为平行四边形，

所以AE.8F=（AB+3E〉（BC+CF）

=^AB+^AD^-^AD-^AB^

9I|21I.|21

=AB-AD--\AB\+-|AD|--ABAD

=||AB|.|AD|COSZBAD-||AB|2+||AD|2

2m8m2_

=-一一+——=8,

332

解得:m=-g(舍)或m=4.

故选:A

22.(2023秋•山东烟台•高三山东省烟台第一中学校考期末)若平面向量〃与6的夹角为60,a=(2,0),|加=1,

则|；+2%|等于().

A.y/3B.2A/3C.4D.12

【答案】B

【解析】因为平面向量a与Z?的夹角为60,a=(2,0)f\b\=\,

所以卜卜血?+°，=2,tz•&=|tz|•|^|cos0R2x1xcos60=1,

所以卜+20=a+2b)=+4q•b+47=94+4x1+4=2石.

故选：B.

23.(2023・湖南邵阳•统考一模)设向量工，b满足,一0=4,a-b=l，贝巾+人|=()

A.2B.2』C.3D.2&

【答案】D

【解析】因为k+4=a2+2a-b+b2,\a~^\=a2-2a-b+b2,

以上两式相减可得，4a0=卜+匕『-卜

所以,+“=卜一"+4a力=16+4=20,

即卜+可=2君,

故选：D.

24.(2023春・河南洛阳•高三洛阳市第八中学校考开学考试)已知向量。=(1,1),6=(1,-2),c=(x,-l),若

c_L(a+26),则了=()

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】D

【解析】因为向量Z=(U),^=(1,-2),所以£+2]=(3,-3),

因为c_L(a+2b),所以c.(a+2))=3x+(-l)x(-3)=0,可得x=-l,

故选：D.

25.(2023秋呐蒙古包头•高三统考期末)已知AB=(4,2),AC=(l,r)(r>0),|BC|=A/13,则()

A.-8B.-16C.8D.16

【答案】A

【解析】由已知BC=AC-AB=（lJ）-（4,2）=（-3j—2）,又卜c|=历，

.■，7（-3）2+（?-2）2=^3,

;j=4或/=0（舍去，/>0）

-3C=（4,2）•（-3,2）=-12+4=-8

故选：A.

二、多选题

26.（2023秋・辽宁营口•高一校联考期末）设°,6是两个非零向量，则下列描述错误的有（）

A.若卜+目=卜卜恸，则存在实数X>0,使得°=26.

B.若a_Lb，则,+，=卜-0.

C.若卜+0=k|+恸，则a,万反向.

D.若〃〃人则a,Z?一定同向

【答案】ACD

【解析】对于选项A：当|a+b卜卜卜恸，由向量加法的意义知°,b方向相反且,RW，

则存在实数几<。，使得a=26,故选项A错误；

对于选项B：当._16,则以°,6为邻边的平行四边形为矩形，且B+W和卜-匕|是这个矩形的两条对角线

长，

则k+0=卜-目，故选项B正确；

对于选项C：当卜+。|=卜|+忖，由向量加法的意义知a,方方向相同，故选项C错误；

对于选项D：当〃〃匕时，则〃，人同向或反向，故选项D错误；

综上所述：选项ACD错误，

故选：ACD.

27.（2023秋•辽宁辽阳•高三统考期末）已知向量〃=（2,加-1）/=（九1）,则下列结论正确的是（）

A.若〃〃人则用=2B.若相=2,则〃〃匕

C.若〃_Lb，则加=；D.若根=；,则〃_LZ?

【答案】BCD

【解析】由〃〃Z7,得2-机（加一1）=0,即m2-m-2=0,解得机=2或根=一1,则A错误，B正确；由a_L匕，

得2m+加一1=0,解得m=；,则C,D正确.

故选：BCD.

三、填空题

28.(2023秋•江苏苏州•高二常熟中学校考期末)若。=(1,-1,衣)，则与向量.反方向的单位向量的坐标为

【答案】

【解析】«=(1,-1,V2),

则与向量a反方向的单位向量的坐标为-；，；，

££_曰

故答案为:

5'5'V)

29.(2023・高一课时练习)设向量＞、b满足且忖=2而若c为b在a方向上的投影向量，并满

足C=%Q，则几=•

【答案】7

【解析】因为C为)在a方向上的投影向量，c=4a，

a，b

所以-；-r=Aci又卜,»=且忖=2恸，

W

a\-\b\cos(a,b1

所以X=

H2I"4

故答案为；—.

4

30.(2023・高三课时练习)已知点4(2,-1),5(-1,3),则血的坐标是

【答案】(-3,4)

【解析】点4(2,-1),3(-1,3),则AB=(-l,3)-(2,-D=(-3,4),

所以AB的坐标是(-3,4).

故答案为：(-3,4)

31.(2023春・全国•高三校联考开学考试)已知向量m=(-1+%2-。)，〃=(3-〃,4+1),若(m+n)〃m,则

实数a=.

【答案】I

4

【解析】向量质=(一1+。,2-a),n=(3-a,4+a),则伽+3=(2,6),而(加+〃)//加，

贝I]有6(-1+。)=2(2-。)，解得a=，

4

所以实数。=4.

故答案为：y

4

32.(2023•全国•校联考模拟预测)已知向量£=(-4,—3),6=(-2,机-1),若(a+2b)，。，则加=.

【答案】三47

6

【解析】因为a=(Y,-3),6=(-2,Mi-l),

所以a+力=(T,-3)+(-4,2〃z-2)=(-8,2m-5),

因为(a+2b)_La,

所以(。+26)。=32-6根+15=0,解得机=?

47

故答案为：—

6

33.(2023秋・海南•高三统考期末)已知正方形A3CD的边长为2,边AD,8的中点分别为E,F,则

EF-[EA+AB^=.

【答案】1

【解析】

以A为原点，AB,AD方向分别为X轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,

则4(0,0),3(2,0),£(0,1),/(1,2),

EF=(1,1),£4=(O,-l),AB=(2,0),£A+AB=(0,-l)+(2,0)=(2,-l),

EF(£A+AB)=lx2+lx(-l)=l.

故答案为：L

34.(2023秋・江西•高三校联考期末)已知向量AB=(%,2),AC=(1,3),BD=(+2),若8,C,D三点

共线，则机=.

【答案】-1

【解析】因为向量AB=(加2),AC=(1,3),则BC=AC-AB=(1-/1),而9=(<-2),

又8,C,。三点共线，则有8C//8。，因此-2(1-加)=-4,解得机=-1,

所以租=-1.

故答案为：-1

35.(2023秋•山东荷泽・高三统考期末)已知向量£=(-2,1),b=(lj),若-6),则/的值为.

【答案】±2

【解析】因为向量£=(-2,1),b=(l,t),

所以a+6=(—1,1+t),a—6=(-3,1—1),

又因为(£+可_1_0询,

所以(a+6).(a-6)=0,即-1x(—3)+(l+f)x(lT)=0,

解得f=±2.

故答案为：±2.

36.(2023・高三课时练习)已知向量；=(2,1),/?=(%,3),且°〃人则x的值为.

【答案】6

【解析】因为°=(2,1),6=(x,3),且a〃b，

所以2x3=lxx,即％=6.

故答案为：6.

37.(2023秋・河南南阳•高三统考期末)已知向量。=(4,-2⑹=则向量〃在向量。方向上的投影是

【答案】-1

【解析】解:由题知a=(4,-2君君)，

方在向量♦方向上的投影为：

°/14，-2码.(1,司__6_1

LI―J16+20—6―

故答案为:-1

38.（2023秋・福建龙岩•高三校联考期末）已知忖=3,卜卜5且,,9=45,则0在6上的投影向量为

【答案】事

【解析】因为同=3,忖=5且«@=45,

1-1火b”eb372,

则a在b上的投影向量为|a|cos45j^=3x—x-=—Z,,

故答案为:评

39.(2023・高三课时练习)已知向量a、b、c满足卜|=2,忖=2夜，卜|=2退，且〃+6+C=0,贝°

a-b+b-c+a-c=•

【答案】-12

【解析】因为向量a、b>c满足"=2,忖=2A/^,卜|二，且Q+b+c=o，

则有(a+Z?+c)2=a+Z?+c+2(a・Z?+Z7・c+a・c)=0,

所以a2+Z?-c+a%=_L[22+(20)2+(2V5)2]=_12.

2

故答案为：-12

IUW1IIuuuuum

40.(2023・高三课时练习)在J1BC中，已知口耳=4,|Aq=l,SAABC=3,则ARAC的值为

【答案】±2

【解析】S"c=1|AB|-|AC|sinA=V3=1x4xlxsinA

sinA=,又Ae(0,7u),cosA=+—,

AB-AC=|AB|-|AC|cosA=4xlx^±1^=±2.

故答案为：±2.

41.(2023秋・山东东营•高三东营市第一中学校考期末)已知非零向量九〃满足根=(T,b),m-(m-n)=5,

n±(m+n),贝！J九〃的夹角为•

■心》.2兀

【答案】y

【解析】设向量加,"的夹角为。.

由已知可得，同=J(_l)2+(南=2,

在irirrirITrITrui

加以