专题2.14勾股定理与数学思想问题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题2.14勾股定理与数学思想问题（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•朝阳区校级期中）△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（）A．3 B．5 C．3 D．3或5【分析】先分析得出AC为斜边，AB为直角边，所以BC用勾股定理可求．【解析】∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，∴BC=AC2故选：A．2．（2020秋•青田县期末）直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）A．13 B．119 C．13或119 D．13或12【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析．一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边，根据勾股定理可得出结论．【解析】当12是直角边时，斜边长=52+12当12是斜边时，斜边长＝12．故它的斜边长为13或12．故选：D．3．（2020春•单县校级期中）丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．4米 B．8米 C．10米 D．12米【分析】据题意设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得绳子的长，即旗杆的高．【解析】设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．根据题意得：x2+62＝（x+2）2，解得x＝8．故旗杆的高为8米．故选：B．4．（2020秋•乐亭县期末）若实数m、n满足|m﹣3|+n-4=0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．以上都不对【分析】根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理计算得到答案．【解析】∵|m﹣3|+n-4=0，∴m﹣3＝0且n﹣4＝0，则m＝3，n＝4，当4是直角边时，斜边长=32+4当4是斜边时，另一条直角边=42-综上，第三条边长为5或7，故选：C．5．（2021春•黄冈月考）在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对【分析】先构造出树倒下的示意图，判断出四边形ABGF是矩形，得出FG＝6，BG＝9，再用勾股定理求出EG＝19，进而求出EF大约为1.64米，最后根据实际判断即可得出结论．【解析】如图由题意画出大树倒下的示意图，大树从点B刮断，绕点B倒下，树梢的轨迹为CQ，根据题意得，AB＝6，BC＝10，AF＝9，过点F作AB的平行线交CQ于D，E（D在E上面），∴BE＝BC＝10，∠F＝90°，过点B作BG⊥DF于G，∴∠BGF＝90°，∵∠A＝90°，∴∠A＝∠F＝∠BGF＝90°，∴四边形ABGF是矩形，∴FG＝AB＝6，BG＝AG＝9，在Rt△BGF中，根据勾股定理得，EG=BE2∴EF＝FG﹣EG＝6-19≈6﹣4.36＝1.64米，而房屋一般高度为2.8到3米，∴1.64＜2.8，即：大树倒下时肯定能砸到张大爷的房屋，故选：C．6．（2018春•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在边BC上，以AD为腰作等腰直角三角形，使∠DAE＝90°，AD＝AE．若点D由点B运动到BC中点停止，则点E运动的路程为（）A．1 B．2 C．π2 D．2【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，可以得到BD＝CE，则点E运动的路程就是BD的长，然后根据∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，可以得到斜边BC的中线的长度，从而可以得到点E运动的路程．【解析】∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∵△ABC是等腰直角三角形，BC＝2，∴斜边BC上的中线的长是1，∴点D由点B运动到BC中点停止，则点E运动的路程为1，故选：A．7．（2016春•云梦县期末）有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．不确定【分析】此题要分两种情况进行讨论：；①当3和4为直角边时；②当4为斜边时，再分别利用勾股定理进行计算即可．【解答】解；①当3和4为直角边时，第三边长为32+42②当4为斜边时，第三边长为：42-3故选：C．8．（2020秋•罗湖区期中）如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（）A．10米 B．15米 C．16米 D．17米【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即攀岩墙的高．【解析】如图：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC＝8米，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，∴AB＝15．∴攀岩墙的高15米．故选：B．9．（2019秋•新泰市期末）如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是（）kmA．4 B．5 C．6 D．20【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【解析】设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由题意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4km．所以，EB的长是4km．故选：A．10．（2021春•盂县月考）已知两条线段长分别为3、4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是（）A．5 B．7 C．5或7 D．不能确定【分析】由于“两边长分别为3cm和4cm，要使这个三角形是直角三角形”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．【解析】当第三条线段为直角边时，4cm为斜边，根据勾股定理得第三边长为42-3当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得第三边长为42+32故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•当涂县期末）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是13或119．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解析】设第三边为x，（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：52+122＝x2，∴x＝13；（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：52+x2＝122，∴x=119；∴第三边的长为13或119．故答案为：13或119．12．（2019春•碑林区校级期末）为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为180cm．【分析】将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC的长可求出，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度．【解析】将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可，在Rt△ABC中，∵AB＝36，BC=1084=27cm∴AC2＝AB2+BC2＝362+272，∴AC＝45cm，∴应裁剪油纸的最短＝45×4＝180（cm）．故答案为：180．13．（2021•宜兴市模拟）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为4.5米．【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．【解析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠COG＝∠OAF，在△AOF与△OCG中，∠AFO=∠OGC∴△AOF≌△OCG（AAS），∴OG＝AF＝BD＝4米，设AO＝x米，在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，解得x＝8.5．则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．故答案为：4.5．14．（2021春•海珠区月考）如图，李明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为12m．【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解析】设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．在Rt△ABC中，∵AB2+BC2＝AC2，∴x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，∴AB＝12（m）．∴旗杆的高12m．故答案是：12．15．（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为（x﹣6.8）2+x2＝102．【分析】设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，依题意得：AB2+BC2＝AC2,即（x﹣6.8）2+x2＝102．故答案为：（x﹣6.8）2+x2＝102．16．（2020秋•广陵区校级期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为12尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解析】依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．17．（2020秋•沈河区校级期中）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为877km．【分析】直接利用勾股定理得出AN的长，再利用勾股定理得出NP的长．【解析】连接MP，根据题意可得：MP＝NP，则在Rt△MNA中，MN2＝AM2+AN2，则42＝32+AN2，解得：AN=7，设NP＝x，则AP=7-x，则在Rt△MPA中，MP2＝AM2+AP2，x2＝32+（7-x）2，解得：x=877故答案为：877km．18．（2021春•朝阳区校级期中）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，列方程是102+（x﹣1）2＝x2．【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．【解析】如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故答案为：102+（x﹣1）2＝x2．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，求斜边AB上的高．【分析】根据勾股定理求得斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求得斜边上的高的长．【解析】设斜边AB上的高为CD，在Rt△ABC中，直角边AC＝9，BC＝12，∴AB=AC2+B∴S△ABC=12AC•BC=12AB•即AC•BC＝AB•CD，∴CD=AC⋅BCAB=∴斜边AB上的高CD=365．20．（2018秋•南开区校级期中）如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离AB为300米，又与公路车站（D点）的距离AD为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使CA＝CD，求商店与车站之间的距离CD的长．【分析】根据题意利用勾股定理易得BD长，再表示出线段CD，CB的长，根据直角三角形BCD的各边利用勾股定理即可求得商店与车站之间的距离．【解析】∵AB⊥l于B，AB＝300m，AD＝500m．∴BD=AD2-AB2设CD＝x米，则CB＝（400﹣x）米，x2＝（400﹣x）2+3002，x2＝160000+x2﹣800x+3002，800x＝250000，x＝312.5m．答：商店与车站之间的距离为312.5米．21．（2010秋•通江县期末）如图，在一棵树的10米高B处有三只猴子，第一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处，第二只猴子直接从B处跃到A处，第三只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，假设其中两只猴子所经过的距离相等．（1）求第二只猴子经过的直线距离；（2）求这棵树的高度．【分析】（1）直接利用勾股定理求得线段BA的长即可；（2）由题意知AD+DB＝BC+CA，设BD＝x，则AD＝30﹣x，且在直角△ACD中，CD2+CA2＝AD2，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝10+x．【解析】（1）由题意知：在Rt△ABC中，BC＝10米，AC＝20米，由勾股定理得：BA=BC2+AC故第二只猴子经过的直线距离是105米；（2）由题意知AD+DB＝BC+CA，且CA＝20米，BC＝10米，设BD＝x，则AD＝30﹣x，∵在Rt△ACD中：CD2+CA2＝AD2，即（30﹣x）2＝（10+x）2+202，解得x＝5米，故树高为CD＝10+x＝15米．答：树高为15米．22．（2018春•武昌区期中）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得：（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建立在离A站多少km处？②若E站到C、D站的距离之和最短，则E站应建立在离A站多少km处？（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题：正数a、b满足条件a+b＝5，且s=a2+16+b2+9，则s【分析】（1）①根据C、D两村到E站的距离相等，利用对称性即可求出E站离A站的距离；②根据E站到C、D站的距离之和最短，利用两点之间线段最短即可求出E站离A站的距离；（2）受（1）小题第②问启发，根据正数a、b满足条件a+b＝5，且s=a2+16+b【解析】（1）①设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，在Rt△DAE中，DE2＝DA2+AE2＝225+x2在Rt△CBE中，CE2＝BE2+BC2＝（25﹣x）2+100，∵DE2＝CE2，∴x＝10，∴AE＝10km．答：E站应建立在离A站10km处；②“将军饮马”问题，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′，即E′站到C、D站的距离之和最短，过点D′作D′F⊥CB的延长线于点F，则∠F＝90°，D′F＝AB＝25，CF＝CB+BF＝CB+AD′＝CB+AD＝25，∴D′F＝CF，∴CD′=252+25E′C+E′D的最小值即为CD′，此时∠BCE′＝45°，∴∠AE′D′＝∠CE′B＝45°，∴∠AD′E′＝∠ADE′＝45°，∴AE′＝AD＝15km．答：E站应建立在离A站15km处；（2）同（1）②的方法：s=a2+16则s表示点（a，0）到（0，4）和（5，3）距离之和的最小值，∴s的最小值=52+故答案为：74．23．（2020秋•吴江区期中）某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是4.8；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积公式解答即可；（2）根据等腰三角形的性质分四种情况解答即可．【解析】（1）∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∵62+82＝102，∴AB2＝BC2+AC2，∴△