高中数学椭圆综合测试题(难度较大含答案)

椭圆测试题(命题人：朱老师)

姓名

一、选择题:〔本大题共12小题，每题5分，共60分)

题号12345678910n12得分

答案

2

1.离心率为一，长轴长为6的椭圆的标准方程是(

3

9559

36202036

2.动点P到两个定点耳4,0).F2(4,0)的距离之和为8,那么P点的轨迹为〔)

A.椭圆B.线段48C.直线耳鸟D.不能确定

3.椭圆的标准方程一+上=1,那么椭圆的焦点坐标为〔〕

10

A.(±710,0)B.(0,±V10)C.(o,±3)D.(±3,0)

22

4.椭圆上+乙=1上一点P到椭圆的一焦点的距离为3,那么P到另一焦点的距离是1)

59

A.2\^5-3B.2C.3D.6

22

5.如果工+»—=1表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数a的取值范围为〔)

a〃+2

A.(-2,+OO)B.(-2,-1)U(2,-HX)C.(-O),—1)U(2,+<»)D.任意实数R

6.关于曲线的对称性的论述正确的选项是()

A.方程/+孙+y2=0的曲线关于X轴对称

B.方程x23+y3=0的曲线关于Y轴对称

C.方程V-孙+/=10的曲线关于原点对称

D.方程V_y3=8的曲线关于原点对称

2222

7.方程—啜+12=]1a>b>0,k>0且kW1)与方程--+—1[a>b>0)表本的椭圆1〕.

kakbab

A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴；D.有相同的顶点.

8(12)椭圆C：W+《=l(a>6>0)的离心率为正，过右焦点P且斜率为左(心>0)的直线与。相交

ab2

于A、5两点.假设A/=3/3,那么女二()

[A)11B)V2(C)73⑴)2

9假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是()

4321

A.一B.-C.—D.一

5555

22

10假设点。和点尸分别为椭圆土+匕=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，那么。尸.歹尸的

43

最大值为（）

A.2B.3C.6D.8

22

11椭圆？y+a=l（a>b>0）的右焦点为R其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在点尸满足线

段AP的垂直平分线过点「那么椭圆离心率的取值范围是（）

511

S）[0,---]（3）[0,—]〔C〕[V2—1,1）（Z））[—,1〕

222

12假设直线y=x+b与曲线y=3-"7二巨有公共点，那么b的取值范围是（）

A.[l-20,1+20]B.[l-V2,3]

C.[-1,1+2A/2]D.[l-2后,3]

二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）

13假设一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是

22

14椭圆工+乙=1上一点P与椭圆两焦点打,尸2的连线的夹角为直角，那么小△尸西尸2的面积为.

4924

15F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且忸目=2|

那么C的离心率为,

22

16椭圆。：三+丁=1的两焦点为耳,8,点尸（%,%）满足0（申+/<1,那么|尸耳|+尸"|的取值范围

为。一"

三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

22

17.（12分）点M在椭圆上+匕=1上，MP’垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P,并且M为线段PP

259

的中点，求P点的轨迹方程

18.（12分）椭圆工+工=1（0<m<45）的焦点分别是耳和F2,椭圆的离心率e=好过中心0作直线与

45m3

椭圆交于A,B两点，。为原点，假设,的面积是20,求：（1）根的值[2）直线AB的方程

22

19112分）设耳，鸟分别为椭圆。：二+多=1（。>人>°）的左、右焦点，过E的直线/与椭圆C相交

ab

于A,8两点，直线/的倾斜角为60,耳到直线/的距离为2月.

[I）求椭圆C的焦距；

〔II）如果求椭圆C的方程.

22

20〔12分）设椭圆C：j+1=l（a〉人〉0）的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点，

ab

直线1的倾斜角为60°,AF=2FB.

(I)求椭圆c的离心率；

(II)如果|AB|="，求椭圆C的方程.

4

21112分)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A1)关于原点0对称，P是动点，且直线AP与BP

的斜率之积等于-工.

3

(I)求动点P的轨迹方程；

(II)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得4PAB与△PMN的面积相等？假设

存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由。

22〔14分)椭圆二+£=1(a>b>0)的离心率e=Y3,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

a2b-2

(I)求椭圆的方程；

[II)设直线1与椭圆相交于不同的两点A、B,点A的坐标为(-a,0).

⑴假设|AB|=警，求直线1的倾斜角；

[ii)假设点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上，且宓•丽=4.求y0的值.

椭圆参考答案

1.选择题：

题号123456789101112

答案BBCCBCABBCDD

8【命题意图】本试题主要考察，腌圆的怕匕质与第二定义.

【解析】设直线1为椭圆的有准线，Jy离心率，过A,B分别作AAi，BBi垂直于1,Ai，B为垂足，过

|AA卜旦!=凹-7=』|AA|=2M

B作BE垂直于AAI与E,由第二定义得，।e1Je，由-山"=，用，得111e

cosZ.BAE=-----=—~~r=—=-^-,sinAE=tanZ.BAE=-x/2

...|AB|4|BF|2e33

即k=：W,应选B.

9

10【解析】由题意，FJI,0),设点P(%,%),那么有号一+1-=1,解得为2=3(1—号一)，

因为EP=（Xo+L%），O尸=（%，为），所以。尸•EP=Xo（/+l）+%

3（l-^-）=^-+x+3,2,

OP-FP=x0（x0+l）+0此二次函数对应的抛物线的对称轴为/=-因为

22

-2<x0<2,所以当天=2时，OP•尸产取得最大值1+2+3=6,选C。

【命题意图】此题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值

等，考查了同学们对根底知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

11解析：由题意，椭圆上存在点尸，使得线段A尸的垂直平分线过点尸，

即F点到P点与A点的距离相等

一।a

而1M=—c

C

IPF\£\_a—c,a-\-c]

于是—£[a-ca~\~c\

c}

即ac—dW/Wac+c2

cic—cVa—c

ci—cVcic+c

-<1

—>—

a2

又(0,1)

故e£

答案：D

12（2010湖北文数）9.假设直线y=x+）与曲线y=3—14无一f有公共点,那么b的取值范围是

A.[1—2-\/2,1+2,\/2]B.[l-V2,3]

C.[-1,1+2V2]D.[1-2V2,3]

二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）

13假设一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是

14椭圆二+2-=1上一点尸与椭圆两焦点尸1,凡的连线的夹角为直角，那么放△尸打尸2的面积为.

4924

15（2010全国卷1文数）（16）F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于

UULUUL

点D,且BF=2FD,那么C的离心率为,

—【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程

与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形

结合思想、方程思想,此题凸显解析几何的特点：“数

研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题

的捷径.

【解析1]如图,

UUUUL

作DD}±y轴于点Di,那么由BF=2FD,得

=2,所以।加a।。/ka0,

|DDJ|BD|3122

a2a&2

即％»=汇，由椭圆的第二定义得|ED|=e（幺—王）=。一工

2c22a

又由|5尸|=2|ED|,得a=2a—些，ne=^

a3

【解析2】设椭圆方程为第一标准形式^+^=1,设。（9,%），F分BD所成的比为2,

0+2x?33b+2%3y-b30-bg,代入

=---------=>——x——c\y——**%===

1+22c2c1+2222

维+驾=1,"=旦

4a24〃3

16（2010湖北文数）15.椭圆c:5+y2=l的两焦点为耳，工，点尸（七,为）满足0<£+解<1,那么

IPF1|+P8|的取值范围为

…[2,2后），0

【答案】Lr

【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时（131+^1）2=2,

当p在椭圆顶点处时，取到（IWI+EDa为

（夜-1）+（夜+1）=20，故范围为［2,2夜）,因为（尤。,%）在椭圆2+'」的内部，那么直线

——-+y,%=1

2'上的点［x,y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为。个.

二.填空题：

13。142415昱16D2码,。

53

三.解答题：

17.解：设p点的坐标为M%，y），加点的坐标为（%,%），由题意可知

rX=XQI=X

1〉A22

Iy=2y（）］、，》①因为点加在椭圆工+匕=i上，所以有

IL>。=万259

222222

||+/=1②，把①代入②得|^+玄=1,所以p点的轨迹是焦点在y轴上，标准方程为‘玄=1

的椭圆.

18.1?：（1］由e=$=且，。=回=3百，得c=5,

a3

所以祖=廿=。2—。2=45—25=20

⑵根据题意SABB=S尸型=2。，设B（x,y）,那么S*2B=；・|G&烟，出司=2c=10,

22

所以y=±4,把丫=±4代入椭圆的方程土+匕=1,得x=±3,所以8点的坐标为（±3,±4）,所以直

■4520

44

线AB的方程为y=或y=-］%

19（2010辽宁文数）［20）〔本小题总分值12分）

22

设耳，工分别为椭圆C：0+2=1（。>>>0）的左、右焦点，过工的直线/与椭圆C相交于4,8

ab

两点，直线/的倾斜角为60,K到直线/的距离为2g.

（I〕求椭圆C的焦距；

〔II〕如果4玛=2耳3,求椭圆C的方程.

解：〔I〕设焦距为2c,由可得写到直线/的距离gc=2石，故c=2.

所以椭圆C的焦距为4.

(n)设A4,%),B®,%)，由题意知“<0,%〉0,直线I的方程为y=73(x-2).

?=圆-2),

联立y2得(3。2+/)丁2+4•2〉一3/=0.

ab’

-回2(2+2幻-其2Q_2a)

解得％=-—，%=-—•

3d+b3ct+b

因为”=2月氏所以—％=2%.

扬2Q+2a)-g/Q-2a)

3a2+b2-3a2+b2'

得a=3.而a?—Z??=4,所以6=#).

故椭圆C的方程为三+乙=1.

95

20（2010辽宁理数）（20）（本小题总分值12分）

22

设椭圆C：=+2T=l（a〉6〉0）的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点，直线1

ab'

的倾斜角为60。,4尸=2E6.

（III）求椭圆C的离心率；

（IV）如果|AB|="，求椭圆C的方程.

4

解：

设4>1，%）,3（々，%），由题意知％<o，y2>o.

[I)直线1的方程为y=6(x—c),其中"J?—/.

A/3(X-C),

2得(3/+/)；2+2.20—3/=0

联立《X2v)

1/+F=1

加-亚2（0+2。）一技2（。一2。）

解得必二一3/万'％=3滔两

因为Ab=2EB,所以—％=2%.

6b2(c+2a)-A/3/72(c-2tz)

------------=2•--------------

3a2+b23a2+b2

c2

得离心率e=—=—.……6分

a3

(II)因为|阴=「|昆-仆所以;1,霍/4

由£=2得6=正/所以得a=3,b=#).

a3344

椭圆C的方程为三+乙=1.……12分

95

21(2010北京理数)(19)〔本小题共14分)

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点0对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积

等于T

(I)求动点P的轨迹方程；

(II)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点此N,问：是否存在点P使得4PAB与△PMN的面积相等？假设

存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由。

(I)解：因为点B与A(-1,1)关于原点。对称，所以点5得坐标为(1,-1).

设点尸的坐标为(x,y)

由题意得竺1.2±1=—」

x+1x-13

化简得犬+3/=4(xw±l).

故动点P的轨迹方程为炉+3/=4(%*±1)

(II)解法一：设点尸的坐标为(毛,为)，点N得坐标分别为(3,y”),(3,%).

那么直线AP的方程为y—1=23(％+1),直线的方程为y+l=2二(x—1)

XQ+1XQ_1

令x=3得y“=4%+x；―3,^=2y0-x+3

x0+1x0-1

于是尸MN得面积

又直线AB的方程为尤+y=0,|Afi|=242,

点P到直线AB的距离d=员尊J.

于是的面积

当SpAB=Sp“N时，得1.+%1="°+六产丁。）2

1%-1|

又1%+为I/O，

所以（3—%）2=|/2—1|,解得|%=；。

，，733

因为％2+3为2=4,所以%=±毛—

故存在点尸使得一K钻与PMN的面积相等，此时点尸的坐标为（|,土半）.

解法二：假设存在点尸使得_R钻与，PMN的面积相等，设点P的坐标为（为,为）

那么!|PA|-|PB\sinZAPB=-\PM|.|PN\sinZMPN.

22

因为sinNAP5=sinNM/W,

所以“吧

IPM|\PB\

所以l.+ll=|3一x°|

13-x01Ix-11

22

即（3-x0）=|x0-l|,解得/=；

因为%/+3%2=4,所以％=±

故存在点PS使得_PAB与.PMN的面积相等，此时点P的坐标为（1,+-

22（2010天津文数）〔21）〔本小题总分值14分）

椭圆W+W=l[a>b>0）的离心率0=走，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

a2b12

（I）求椭圆的方程；

[II）设直线1与椭圆相交于不同的两点A、B,点A的坐标为1-a,0）.

⑴假设|AB|=殍，求直线1的倾斜角；

Ui）假设点Q（0,y。）在线段AB的垂直平分线上，且QA・QB=4.求y°的值.

【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜

角、平面向量等根底知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与

运算能力.总分值14分.

[I）解：由e=£=且，得3a2=4。2.再由°2=片—尸，解得a=2b.

a2

由题意可知!x2ax2b=4,即ab=2.

2

瓦

解方程组1a-2得a=2,b=l.

ab=2,

2

所以椭圆的方程为土+产=1.

4'

（H）（i）解：由（I）可知点A的坐标是1-2,0）.设点B的坐标为（X],%）