广东省广州市2022年高三年级下册第五次调研考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等差数列｛4｝中，若S”为前〃项和，2%=%+12,则几的值是()

A.156B.124C.136D.180

a,a>b11

2.定义沙,,已知函数/(x)=------^―>=--------—♦则函数£(%)=/(%)区g(x)的最小值

b,a<b2-sin-x2-cos-x

为()

24

A.-B.1C.-D.2

33

3.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马

大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果

它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”

的一个程序框图.若输入〃的值为10,则输出i的值为()

A.5B.6C.7D.8

/(m)+/(n-2)>0

4.已知奇函数/（x）是R上的减函数，若满足不等式组/（机-〃-1）20，则2根—”的最小值为（）

/(m)<0

A.C.0D.4

xx

5.设ep2.71828…为自然对数的底数，函数“力=e-e--l9若〃Q)=1,则/(—〃)=()

A.-1B.1C.3D.-3

6.已知集合A={x|y=lg(4-x2)},B={y|y=3x,x>0}时,AAB=()

A.{x|x>-2}B.{x|l<x<2}C.{x|l<x<2}D.0

x+yV4

则y的取值范围是（）

7.点尸（x,y）为不等式组y<x所表示的平面区域上的动点,

x—2

y>0

A.一1][1,+°°)C.(—2,1)D.[—2,1]

2\^<0

8.已知函数()

log3x,x>0

变1

A.B.-C.-log32D.log32

22

9.为了力口强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加4B、C三个贫

困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（)

A.24B.36C.48D.64

10.已知集合'=｛尤|一14工＜5｝小=卜|国＜2｝,则MN=（)

A.[x\-l<x<2}B.{%|-2<%<5}C.{x|-l<%<5}D.x10<x<2}

11.已知a=logi213,8=log1314,则的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

12.执行如图所示的程序框图，当输出的S=2时，则输入的S的值为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

..1-

13.已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量满足|。|=|切=1,且。为=5,c=1=(〃/—〃)，存

在a,b,对于任意的实数以“，不等式|a-c|+|。-d|»T,则实数T的取值范围是.

14.若直线区-y-%+2=。与直线x+6—2左—3=0交于点P,则。尸长度的最大值为

1

15.若］。(一工2)办=g,贝!I。=

0

⑹已知X'y满足约束条件；二一二则二=二-二的最小值为一

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设函数/(x)=<zx(2+cosx)-sinx,/'(x)是函数/(x)的导数.

(1)若。=1,证明/(X)在区间［-gqj上没有零点;

(2)在xe(O,+s)上/(x)>0恒成立，求。的取值范围.

18.(12分)已知数列｛4｝的前〃项和为S",且满足［=—l,a“〉0(”22),S“9〃-1篦,各项均为正

6

数的等比数列也｝满足4=2力3=%

(1)求数列｛4｝,｛%｝的通项公式；

（2）若c“=；a」b",求数列｛c“｝的前〃项和T“

19.（12分）如图，四棱锥尸-A5CD中，侧面？A3为等腰直角三角形，3C，平面

PAB,PA=PB,AB=BC=2,AD=BD=45.

（1）求证：PA，平面「5C；

（2）求直线PC与平面R4D所成的角的正弦值.

20.（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采

用并联安装，再与一级过滤器串联安装.

,__________.级过滤器

「缴过滤器,）/-

1----------1一级过滤…器；

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要

更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用

过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为

此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤

器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.

表1：一级滤芯更换频数分布表

一级滤芯更换的个数89

频数6040

图2：二级滤芯更换频数条形图

以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率

代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；

（2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；

（3）记私〃分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若加+〃=19,且加e｛8,9｝,

以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定7篦，〃的值.

21.（12分）已知等差数列｛4｝中，%=5,%=14,数列出｝的前〃项和邑=22一1.

（1）求册也;

（2）若c”=（-D"a”+%求｛ca｝的前”项和却

22.（10分）如图，在四棱柱A3CD-4瓦£。中，底面ABC。为菱形，AB^CBX.

（1）证明：平面BO,耳，平面ABCD；

（2）若NZMB=60。，ADB】B是等边三角形,求二面角A-5。-G的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

因为%+q1=249=〃]]+12,可得%=12,根据等差数列前〃项和，即可求得答案.

【详解】

%+41-2a9-au+12,

%=12,

S13=^ty-^=13«7=13x12=156.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了求等差数列前几项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前〃项和公式，考查了分析能力和计

算能力，属于基础题.

2.A

【解析】

根据分段函数的定义得F(x)>/(x),F(x)>g(x),则2F(x)>/(x)+g(x)，再根据基本不等式构造出相应的所需的

形式，可求得函数的最小值.

【详解】

依题意得网光)》/(尤)，F(x)>g(x),则2b(x)之/(x)+g(x),

1111199

f(x)+g(x)=-----•~2---1---------2--=-(--------—+---------)[(2-sin%)+(2-cosx)]

2-sinx2-cosx32—sin?x2-cos2%

1c2-cos2x2—sin2%1小cp-cos2x2-sin2%)4(当且仅当2-cos2x_2-sit?x即

=—(2+--------厂+--------)>-(2+2.

32-sin2x2-cos2x3'/2-sin2%2-cos2%32-sin2x2-cos2x

242

sin2x=cos2x=~时“=”成立.此时,了(犬)-二g(%)=1•.•2方(元)之耳，・••方(元)的最小值为屋

故选:A.

【点睛】

本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2F(x)N/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，属

于中档题.

3.B

【解析】

根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.

【详解】

输入〃=10,〃=1不成立，”是偶数成立，则〃=©=5,z=0+1=1；

2

〃=1不成立，”是偶数不成立，贝！J〃=3x5+l=16,z=l+l=2；

m16

〃=1不成立，〃是偶数成立，则〃=—=8o,“■=2+1=3

2

E8

〃二1不成立，〃是偶数成立，贝！）〃=一=44,z=3+l=4；

2

4

〃=1不成立，〃是偶数成立，则〃=—=2,,=4+1=5；

2

e21

几=1不成立，”是偶数成立，则〃=—=1,,=5+1=6；

2

”=1成立，跳出循环，输出i的值为6.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.

4.B

【解析】

根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

m<2-n

奇函数/（九）是R上的减函数，则/⑼=0,m-n-l<Q,画出可行域和目标函数，

m>Q

z=2m-n,即〃=2m—z,z表示直线与y轴截距的相反数，

根据平移得到：当直线过点（0,2）,即机=0.〃=2时，z=2机—〃有最小值为-2.

故选：B.

-2Z1^\3

；J\

//-2、

，/，/，

【点睛】

本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.

5.D

【解析】

利用/(a)与/(—a)的关系，求得的值.

【详解】

依题意/(a)=e"——1=1,e"—e-〃=2,

所以/(—a)=ea—ea—1=—(ea—ea)—1=—2—1=—3

故选：D

【点睛】

本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.

6.B

【解析】试题分析：由集合A中的函数二二二」一二，，得到.一二•：“：；，解得：-二u二，二.•.集合

□—《刁,由集合B中的函数口=10.口＞4,得到口＞」，.•.集合二=(D|0＞；］,贝！I

二「二二｛二二V二,故选B.

考点：交集及其运算.

7.B

【解析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z的几何意义即可得到结论.

【详解】

x+y„4

不等式组为工作出可行域如图：4(4,0),3(2,2),0(0,0),

y..0

z=T的几何意义是动点尸(x,y)到0(2,-2)的斜率，由图象可知QA的斜率为1,QO的斜率为：-1,

x-2

则江2的取值范围是：(-%+8).

x-2

本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键.

8.A

【解析】

根据分段函数解析式，先求得了¥的值,

【详解】

故选：A

【点睛】

本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.

9.B

【解析】

根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1,二是2:2:1,然后各自全排列，再求和.

【详解】

当按照3:1:1进行分配时，则有C；团=18种不同的方案;

当按照2:2:1进行分配，则有C；蜀=18种不同的方案.

故共有36种不同的派遣方案，

故选：B.

【点睛】

本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.

10.A

【解析】

考虑既属于〃又属于N的集合，即得.

【详解】

N=[x\-2<x<2^,:.MryN={x\-l<x<2}.

故选：A

【点睛】

本题考查集合的交运算，属于基础题.

11.D

【解析】

由指数函数的图像与性质易得b最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a和c的大小关

系，进而得解.

【详解】

13

根据指数函数的图像与性质可知0<6=("<],

U3J

由对数函数的图像与性质可知。=log"13>1,c=logl314>L所以b最小；

而由对数换底公式化简可得a-c=log1213-log1314

Igl3_lgl4

lgl2lgl3

Ig213-lgl2-lgl4

Igl2-lgl3

2

由基本不等式可知lgl2,lgl4V1(lgl2+lgl4)

,代入上式可得

,lg213--(Igl2+lgl4)

域13-©2y14>[

Igl24gl3Igl2-lgl3

/1V

lg213-lgl68

_____12J

Igl2-lgl3

riwiA

Igl3+-lgl68-lgl3—lgl68

Igl2-lgl3

Igl2-lgl3

所以a>c,

综上可知a>c>Z>,

故选：D.

【点睛】

本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.

12.B

【解析】

1313

若输入S=—2,则执行循环得S=；次=2;S=7,左=3；S=—2,左=4;S=；次=5;S=7次=6;

3232

S=—2次=7;S=—1/=8;S=3三次=9;结束循环，输出S=3‘，与题意输出的S=2矛盾；

322

若输入S=—1,则执行循环得S=工次=2;S=2,左=3;S=—1,左=4;S=，K=5;S=2,Z:=6;

22

S=-1/=7;S=工次=8;S=2,左=9;结束循环，输出S=2,符合题意；

2

1212

若输入S=——,则执行循环得S=—/=2;S=3,左=3;S=——/=4;S=—/=5;S=3,攵=6;

2323

12

S=——/=7;S=—/=8;S=3#=9;结束循环，输出S=3,与题意输出的S=2矛盾；

23

若输入S=工，则执行循环得S=2,左=2;S=—1次=3;S=』/=4;S=2#=5;S=—1#=6;

22

S=!水=7;S=2,左=8;S=—1,左=9;结束循环，输出S=—1,与题意输出的S=2矛盾；

2

综上选B.

、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

由题意可设a=(1，O),b=(g,与,由向量的坐标运算，以及恒成立思想可设m=1,|a-c|+|6-d|的最小值即为

点(；，f)到直线x+y=l的距离d,求得d,可得T不大于d.

【详解】

-，1

解：|a|=|〃1=1,且。•/?二],

、：(15

可设。=(1,0),b=—,

I227

c=9d=(〃,1—〃),

可得Ia—c|+1b—d|=J(1—+(1—m#+[[n—g]>

可得C,d的终点均在直线x+y=l上，

由于加,“为任意实数，可得m=1时，|a-c|+|。-d|的最小值即为点，当j到直线x+y=l的距离d,

,13—1

可得22

a-----------7=-------=----------------

应4

对于任意的实数加，“，不等式|a-c|+|6-d|2T,可得TV通一衣,

瓜-3

故答案为:

-4~

【点睛】

本题主要考查向量的模的求法，以及两点的距离的运用，考查直线方程的运用，以及点到直线的距离，考查运算能力,

属于中档题.

14.272+1

【解析】

根据题意可知，直线/-y-左+2=0与直线为+6一2左—3=0分另U过定点，且这两条直线互相垂直，由此可知，其交

点尸在以AB为直径的圆上，结合图形求出线段0P的最大值即可.

【详解】

由题可知,直线依一y_k+2=0可化为％(x_l)+2_y=0,

所以其过定点A(l,2),

直线无+@—2左一3=0可化为％—3+左(y-2)=0,

所以其过定点5(3,2)，且满足左•1+(―1)•左=0,

所以直线依一,一七+2=。与直线％+外一2左一3=0互相垂直,

其交点P在以A6为直径的圆上，作图如下：

结合图形可知，线段OP的最大值为|。。|+1,

因为C为线段A3的中点，

所以由中点坐标公式可得。(2,2),

所以线段OP的最大值为2血+1.

故答案为：20+1

【点睛】

本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定

义得到交点P在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.

15.2

【解析】

直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出。的值.

【详解】

解：若，（a-尤2）15fc=g,贝!][办-卜卜=_|,

即o-g=g，所以a=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,

属于基础题.

16.§

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再由_表示直线在y轴上的截距最大即可得解.

【详解】

-5

x,y满足约束条件.，画出可行域如图所示.目标函数------，即

,□+口一

IJC+/N。

平移直线—-—-•4一U_J-，截距最大时即为所求.

।_点4（,）,

I二一二-7=05~1

z在点A处有最小值：z=2,

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)1,+co

【解析】

(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出了'(X),再由函数/'(X)的导数可知,

函数/(X)在［-别上单调递增，在。弓上单调递减，而尸子〉O,r|>0,可知/'(幻>0在区间

上恒成立，即/(X)在区间上多3上没有零点；

cinVcinV

(2)由题意可将/(%)>0转化为以-一吧，>0,构造函数方(幻=以-一吧'

2+cosx2+cosx

利用导数讨论研究其在X£(0,+8)上的单调性，由4nhi>。，即可求出。的取值范围.

【详解】

(1)若a=l,贝!|/(x)=x(2+cosX)—sinx,/f(x)=2-xsinx,

设/z(x)=fr(x)=2-xsinx,贝！|"(%)=-sinx-xcosx,/z'(0)=0,

"(一X)=sin%+%cosX=一〃(%),故函数"(九)是奇函数.

当时，sinx>0,xcosx>0,这时〃(x)<0,

又函数〃'(x)是奇函数，所以当xe'go］时，〃(x)>0.

综上，当xe［go］时，函数/'(x)单调递增；当xe,⑤时，函数/'(x)单调递减.

故/'(幻>0在区间卜会上恒成立，所以/‘(X)在区间上没有零点.

/sinx।

(2)/(x)=(2+cosx)ax---------,由cos%£[—1,1],所以2+cos%>0恒成立,

I2+cosx)L」

升「/、八esinx八5〜、sinx

右/(x)>。，贝!)办---------->0,F(x)=ax-------------,

2+cosx2+cosx

2cosx+l_23(1n21

(2+cosx)2+cosx(2+cosx)(2+cosx3J3

故当a2工时，尸'(幻三0,又/(0)=0,所以当尤>0时，F(%)>0,满足题意;

3

(n\n1

当时，有/［耳)=5义。一5<0,与条件矛盾，舍去；

当0<a<g时，令g(x)=sinx—3依，则g'(x)=cosx-3a,

又3a<1,故g'(x)=cosx—3a=0在区间(0,+co)上有无穷多个零点，

设最小的零点为X1,

则当xe(O,xJ时，g'(x)>0,因此g(x)在(0,石)上单调递增.

g(%)>g(o)=o,所以sinx>3ax.

▼口"/八\…sinxsinx加sinx八一行,“力工

于是，当X£(0,芯)时，-------->----->ax9得依----------<0,与条件矛盾.

故。的取值范围是；，+°0)

【点睛】

本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和

放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题.

n

18.(1)=3/2-4；bn=2(2)1=(3"—7).2"+7

【解析】

(1)由S,,=9〃—1化为=6S“+9〃+1,利用数列的通项公式和前“项和的关系，得到｛4｝是首项为1,

6

公差为3的等差数列求解.

(2)由(1)得到cn=(3〃—4)•2"T,再利用错位相减法求解.

【详解】

(1)S”=—9〃T可以化为=6s.+9〃+1,

6

2

.­.an=6S„_1+9(«-l)+l,

-'-an+i-a,^=6an+9(n>2),

・'•=(%+3)»

又Q〃》2时，an>0

，4+i=4+3（〃22）

二数列｛?｝从％开始成等差数列，

；q=,代入S=----------

n"6

得。2=2,a2—ax—3

.・・｛4｝是首项为1,公差为3的等差数列，

an=3咒一4,

-4=%=2也=%=8,d=2".

（2）由⑴得C"=（3〃—4>2"T,

7；=-1-2°+2-21+?--+（3«-4）-2"-1,

27；,^-1-^-22-22+?+（n-）•”,

，两式相减得

-7；,=-1+3（21+22+?--+2"-1）-（3H-4）-2",

=-1+6（2"1—1）—（3“—4）•2",

:.Tn=（3〃-7）2+7.

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式和前〃项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19.（1）见解析（2）显

9

【解析】

（1）根据3cL平面？/山，利用线面垂直的定义可得5CLK4,再由根据线面垂直的判定定理即可证

出.

（2）取A5的中点。，连接0P,。。，以。为坐标原点，。。,。8,。？分别为％%2正半轴建立空间直角坐标系

O-孙z,求出平面R4D的一个法向量，利用空间向量法即可求解.

【详解】

⑴因为3C，平面上4u平面R45,

所以

由AR4B为等腰直角三角形，

所以

又PBcBC=B,故PA_L平面

（2）取A3的中点。，连接。P。。，

因为PA=PB,AD=BD,

所以P0J_AB,O0，AB,

因为3CL平面R45,

所以平面ABCD,

所以PO_L平面ABCD,PO1OD,

如图，以。为坐标原点，ORO&OP分别为羽％z正半轴建立空间直角坐标系o-孙z,

则40=50=尸0=1，DO=y/AD--AO2=2,

又BCLAB,。。，PA,

所以OD//BC且。。=BC,于是

P（0,0,l）,A（0,-l,0）,D（2,0,0）,C（2,l,0）

PC=（2,l,-l）,AP=（0,l,l）,AD=（2,l,0）,

设平面QAD的法向量为“=（九,y,z）,贝！I

n-AP=y+z=O

<

n-AD=2x+y=Q

令x=1得平面PAD的一个法向量n=（1,-2,2）

设直线尸C与平面B4D所成的角为。,

PC.nV6

则sma=cos(PC,n

|PC|.|M|V6.3

【点睛】

本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.

52

20.(1)0.024；(2)分布列见解析，EX=—；(3)m=8,n=ll

【解析】

(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过

滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条

形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,再由乘法原理可

求出概率；

(2)由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,

而X的可能取值为8,9,10,11,12,然后求出概率，可得到X的分布列及数学期望；

(3)由m+〃=19,且加e{8,9},可知若加=8,则〃=11,或若机=9,则〃=10,再分别计算两种情况下的所

需总费用的期望值比较大小即可.

【详解】

(1)由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过滤

器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数

恰好为16”为事件A,

因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,所以

P(A)=0.6x0,2x0,2=0.024.

(2)由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,由题意X的可能取

值为8,9,10,11,12,

从而p(X=8)=0.2x0.2=0.04,P(X=9)=2x0,2x0.4=0.16,

P(X=10)=2x0.2x0.4+0.4x0,4=0.32,P(X=H)=2x0.4x0.4=0.32,

P（X=12）=0.4x0.4=0.16.

所以X的分布列为

X89101112

P0.040.160.320.320.16

£X=8x0.04+9x0.16+10x0.32+11x0.32+12x0.16=10.4（个）.

或用分数表示也可以为

X89101112

14884

P

2525252525

EX=8x—+9x—+10x—+llx—+12x—=—（个）.

25252525255

（3）解法一：记y表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）

因为根+〃=19,且me{8,9},

1°若加=8,则〃=11,

EYX=160x8+400x0.4+80x11+200x0.16=2352（元）；

2。若m=9,贝1I〃=10,

=160x9+80x10+200x0.32+400x0.16=2368（元）.

因为EX<EE，故选择方案：机=8,“=11.

解法二：记分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）

1°若加=8,则〃=n,

〃，的分布列为

712801680

P0.60.4

48801080

P0.840.16

该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为

E/7I+=1280x0.6+1680x0.4+880x0.84+1080x0.16=2352（元）；

2°若加=9,贝!1〃=10,

的分布列为

80010001200

P0.520.320.16

+%=160x9+800x0.52+1000x0.32+1200x0.16=2368(元).

因为Eq+E《＜E%+E&2

所以选择方案：加=8,〃=11.

【点睛】

此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.

3

2"+士〃一1,〃为偶数

4=2'i；(2)4=2

21.(1)an=3n-l,

2"—n—,〃为奇数

22

【解析】

=a,+d=5fa.=2,、

（1）由条件得出方程组一心。，可求得｛4｝的通项，当“22时，可得

%=q+4d=14[d=3

b"=2b“_i，当〃=1时，3=4=24-1,,得出也｝是以1为首项，2为公比的等比数列，可求得也｝的通项；

（2）由⑴可知，c“=（—l）"（3〃—l）+2"T,分"为偶数和"为奇数分别求得.

【详解】

%=q+d=5