福建省福州市六校2023-2024学年高二年级上册期末联考数学试题 附答案

2023-2024学年第一学期高二年段期末六校联考

数学试卷

（满分：150分，完卷时间：120分钟）

命题校：马尾第一中学

班级__________座号姓名准考证号.

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目

要求.）

1.在等比数列｛%｝中，若d=16%，则4=（）

A.32B.16C.8D.4

2.已知函数/（X）在我上可导，且满足!吧[⑵—/（2+&）=1,则函数y=/（x）在点（2,1）处的切线的方

Ax->0

程为（）

A.y=%—1B,y=-x-lC.y=x+3D,y=-x+3

3.已知在四面体A5CD中，分别是的中点，设AB=dAC=b,AD=c,则〃N=（）

-Z?+d）D.--d--

4.过点P（0,l）的直线/与圆E:（x—1-+俨=4相交于两点，则弦长的最小值是（）

A.2B.2V2C.273D.4

5.已知A（2,-3）、3（2,l）,若直线/经过点P（0,-1）,且与线段A5有交点，贝U/的斜率的取值范围为

（）

A.（—8,—2]D[2,+OO）B.[-2,2]C.（-oo,-l]o[l,+oo）D.[-l,l]

22

6.己知椭圆c：二+以=l（a〉。〉0）的左、右焦点分别为耳，鸟,A为。上位于第一象限的一点，AK与y轴

ab

交于点.若则的离心率为（）

B^FXAF2=ZAF2B=60C

A.立B.正C.宜1D正

3254

--3-1--2

7.如图，ABCD—EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足AP=—AB+—AD+—AE,则

423

尸点到直线A3的距离为（）

8.如图，过抛物线V=2px（0〉O）的焦点下的直线与抛物线交于两点，与其准线/交于点。（点6位

于AC之间）且B=于点。且|AZ）|=4,则Q同等于（）

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分.）

9.已知正方体ABC。—4片。12,棱长为1,瓦厂分别为棱A3,CG的中点，则（）

A.直线A。1与直线所共面

B.\E1AF

C.直线AXE与直线BF的所成角为60

D.三棱锥q-ADF的体积为g

10.已知递减的等差数列｛4｝的前〃项和为S〃,S6=S8,贝U（）

A.%〉0B.S13<0

C.515<0D.S?最大

11.已知两点A（—2,0）,3（2,0）,若直线上存在点P，使得俨曰―仍用=2,则称该直线为“点定差直线”，下

列直线中，是“点定差直线”的有（）

A.y=x+1B.y=3x+l

C.y=2x+4D.y=V2x+3

22

12.设双曲线c：5-二=l（a〉0力〉0）的左、右焦点分别为耳，鸟，点P在C的右支上，且不与C的顶点

ab

重合，则下列命题中正确的是（）

3

A.若a=3,b=2,则。的两条渐近线的方程是y=±/%

B.若点尸的坐标为（2,4J2）,则C的离心率大于3

c.若P耳，PB，则.耳2工的面积等于/

D.若C为等轴双曲线，且伊耳|=2归引，贝Ucos/耳时=—w

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知圆C:（x—2）2+（y—2）2=8—m.若圆C与圆。：（x+l）2+（y+2）2=l外切，则加的值为

14.设数列｛4｝的前〃项和为S1.己知四=1,a.=35“+1,"eN*,数列｛4｝的通项公式.

15.已知。为单位向量.6=（1,0,0）若卜—扬|=1,则a在6上的投影向量为.

16.数列｛4?｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,.-，称为斐波那契数列（Fibonaccisequence）,该数列是由十三世纪意

大利数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.在数学

上，斐波那契数列可表述为6=4=1，4=&T+%-2（九.3,"eN*）.设该数列的前〃项和为S„,记

。2023=根，则‘2021=•（用机表示）

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）已知数列｛。“｝满足色=1,加z0+i=2（〃+1）。“，设=—.

n

（1）求1\也力3；

(2)判断数列抄/是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛%｝的通项公式.

18.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面A3CD,四边形A5CD是菱形,

AC=2,BD=2y/3,£是PB的中点.

(1)求证：AC±DE-,

(2)已知二面角A—必一。的余弦值为"，求EC与平面所成角的正弦值.

5

19.(12分)已知.ABC为锐角三角形，且cosA+sinB=g(sinA+cosR)

7T

(1)若C=_,求A

3

(2)已知点。在边AC上，且AD=8D=2，求CD的取值范围.

20.(12分)如图，已知A、&C是抛物线I；:炉=y上的三个点，且直线。4、。3分别与抛物线「2：/=4%

相切，尸为抛物线口的焦点.

(1)若点C的横坐标为反，用/表示线段CR的长；

(2)若C4LCB,求点C的坐标；

21.(12分)已知等差数列｛%｝满足：。2+4,%，。6成等差数列，%，%，%成等比数列.

(1)求｛4｝的通项公式：

(2)在数列｛4｝的每相邻两项为与心间插入2,个3«=1,2,3,),使它们和原数列｛4｝的项构成一个新

数列也｝,数列也｝的前〃项和记为S“，求4及%33.

22.（12分）已知椭圆C:二■+/=1（。〉6〉0）过点（0,1）,离心率为孝.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线y=Mx+l）（左W0）与椭圆交于两点，过A8作直线/：X=—2的垂线，垂足分别为MN,

点G为线段肱V的中点，厂为椭圆C的左焦点.求证：四边形AGNF为梯形.

参考答案

1.【分析】由等比数列的性质得，6=g-。4=16。2,从而可求.

【解答】解：等比数列｛4｝中，由等比数列的性质得，状=g-。4=16。2,则。4=16.

故选：B.

2【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的定义即可得到答案.

【详解】由题意，

r(2)=-i

故选D.

3.【答案】D

【分析】结合图像，利用空间向量的线性运算即可得到结果.

【详解】连接AM，如图，

因为A6=a,AC=dA。=c,M,N分别是8CA£>的中点，

所以

MN=MA+AN=-AM+-AD=--(AB+AC]+-AD

22、'2

=AB——AC+—AD=——a——b+—c=—(-a—b+c).

2222222、>

故选：D.

4【答案】B

5.【答案】D

【解析】

【分析】作出图形，数形结合可得出直线/的斜率的取值范围.

【详解】过点尸作PC,A3,垂足为点C,如图所示：

y：

设直线/交线段AB于点“，设直线/的斜率为左，

□1__1+3__1+1

且kpA———I，kpR——］，

PA0-2PB2-0

当点M在从点A运动到点C（不包括点C）时，直线/的倾斜角逐渐增大,

此时一1=k“＜上＜0；

当点M在从点C运动到点3时，直线/的倾斜角逐渐增大，此时0〈左〈即B=L

综上所述，直线/的斜率的取值范围是［-1』］.

故选：D.

6.A【解析】解析：如图，由/44工=44月8=60。，得.A工3为等边三角形，结合对称性及椭圆的定

义，得|40=忸闾=忸耳|=|4用=毛，则B为期的中点，从而为一耳AB的中位线，OB//AF,,

所以A7NE为，所以闺阊=J§|A阊，即2c=2旦，则e=£=Y3,故选：A.

3a3

7.【答案】C

【解析】

【分析】以A为坐标原点，A8,A0,AE所在直线分别为羽y,z轴建立空间直角坐标系，计算出和AP

的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.

【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为羽y,z轴建立空间直角坐标系，

X

则AB=(l,O,O),AD=(O,l,O),AE=(O,O,l),

3.1-2

因为AP=—AB+—AD+—AE,所以AP=

-4231^1)

312

a=AP-,u=

423

3123

a2M2=—xl+—xO+—xO=—

4234

所以点P到AB的距离d=Jd2-(o-M)2=J—--=-

、V144166

故选：C.

8.【答案】A

【解析】

Q

【分析】由题可得体。|=3|4。|,然后结合条件可得p=g,即求.

【详解】设于点E，准线/交x轴于点G,

则网=|所,又CB=3BF，

:.\BC\=3\BE\,\CF\=3\GF\,又于点D且|AZ)|=4,

:.BE//AD，

|AC|=\AD\+\CF\=|A£>|+3|GF|=3\AD\,即3°=2|AD|=2x4,

」。司等于;

故选：A

9.【答案】BD

【解析】

【分析】如图，以D为原点,以。A所在直线分别为羽"Z建立空间直角坐标系，对于A，利用

面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B，通过计算4E-AF进行判断，对于C,利用向量的夹角公

=

式求解，对于D，禾ll用^Ct-ADF%-CQF求解.

【详解】如图，以。为原点，以D4,所在直线分别为羽＞,z建立空间直角坐标系，则

O(O,O,O),A(LO,O),5(I,I,O),C(O,I,O)Q(O,O/)，A(LO』)，4(U』)，G(0,1,1),

叫,°L，

对于A，假设直线A2与直线跖共面，因为平面〃平面。平面AEfRc平面

A54A=AE，平面DCGQC平面ABB^=D1F,

所以AE〃

因为AE〃GQ，所以G2〃0Z，矛盾，所以直线AQ与直线所不共面，所以A错误;

对于B，因为4E=1o,g,—1：AE=1—

11

所以4£・A尸=0+]—/=0,所以所以尸，所以B正确，

对于C,设直线AE与直线3厂的所成角为6,因为4石=[0,3，-1),5/=[一1,0,3；

1

21

所以cos9=cos(A,E,BF)2——w一,

\A,E\\BF\52'

所以9w60，所以C错误,

对于D，因为AO,平面。CGQ，

所以匕『4DF=K-CQF=§S.CQF,4£)=§*5*5*1><1=历，所以D正确，

故选：BD.

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】由"=$8可得/+%=0，由等差数列｛4｝为递减数列，所以。8<0<%，所以当时

4〉0,〃28时可<0,根据等差数列的求和公式和性质，逐项分析判断即可.

【详解】由56=58可得58-56=4+%=0，

由等差数列｛4｝为递减数列，

所以。8<0<%，故A正确；

又、3=号空*13=13%>0,故B错误；

S15=%X15=15a8<0，故C正确；

由等差数列｛4｝为递减数列，所且。8<。<%，

所以当1<〃<7时4〉0,

”上8时％<0,所以S7最大，故。正确

故选：ACD

11.【答案】AD

【解析】

2

【分析】先求出P点的轨迹方程为/-乙=1的右支，结合双曲线的渐近线斜率与选项中直线斜率进行比

3

较，得到有无交点，进而求出答案.

【详解】因为|己4|—归a=2<|4用，故P点的轨迹方程为双曲线的右支，其中a=l,c=2,则

〃2=。2—。2=4—1=3,所以双曲线为12一4_=1（》〉0）,渐近线方程为>=±抬羽>=》+1的斜率为

i<6

2

故与必一三~=1（》〉0）有交点，A正确；

y=3x+l的斜率3〉也，且与丁轴交点为（0,1）,故与必一三_=1（%〉0）无交点，B错误;

y=2x+4的斜率2〉G，且与丁轴交点为（。，4）,故与必—g=l（x〉0）无交点，C错误;

>=缶+3的斜率应（石，故与V—三_=1（%〉0）有交点，。正确.

故选：AD

12.BC【解析】当。=3,b=2时，双曲线的渐近钱的斜率左=±2=±g,A错误，因为点。（2,4拒）在C

上，则。―m=1'得：=9+8>8'所以e=Jl+t>3,8正确：因为伊片|—归阊=2匹若

则『+|闾闺闾公22即

PFXLPF2,|PEp2=2=2,ip（|p^|_|p77|）+2|pf；|.|p77|=4c,

22

4a+2|P^|-|P^|=4c,得卢国归局=21—02）=2/,所以s々%=曰心卜忸闾=/,0正确z

若C为等轴双曲线,则a*从而闺等|=2c=2缶.若|尸司=2|尸闾,则|尸闾=2a,|尸制=4/在

耳P工中，由余弦定理，得cos/耳。鸟」「娟；归,Tf局=16片+4片—81=2,。错误，故选

12

2|Pf；|-PF2\2x4ax2a4

BC.

13.【答案】-8

【解析】

【分析】利用两圆相外切列方程即可求解.

【详解】圆。：。—2）2+（）；—2）2=8—m的圆心为（2,2）,半径八=，8—fn,圆。：（x+lp+（y+21=1的

圆心为（―L—2）,半径2=1.

因为圆C与圆。外切，所以|。。|=4+弓,

所以J(2+1y+(2+2)2=j8—m+1，解得：m=-8.

故答案为：-8

14.【详解】⑴因〃eN*,a,+i=3S,+l,则当〃22时,4=35“闻+1,

两式相减得：«„+1-=3«„,即。“+1=4%，而％=Lg=3S］+1=4,g=4q,

则数列｛4｝是以1为首项，4为公比的等比数列，

所以数列｛«„｝的通项公式是4=4"TeN*）.

15.【答案】［4,0,0；

【解析】

a-b

【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据a在b上的投影向量的模的公式［｝求出答案即可.

【详解】由题可知：1—缶|=J（a—折）2=｛（a.—2怎必+（疡1=J1+2—2而0=1

-a-bA/2

即a2=注，则a在上的投影向量的模为何=丁

2码2

故答案为：

16.W-1【解析】由q=%+*，得。〃+2=%+%，即a”=a”+2—4+i（〃eN）所以

5=%+。2+%++。2021=（%-。2）+（。4-%）+（%—4）++（。2023一。2022）=%023-g=加一1・

17.【答案】⑴伪=1也=2也=4；⑵也｝是首项为I,公比为2的等比数列.理由见解析；⑶

a“=〃2T.

【分析】（1）由条件可得4+1=25+1）4

n

将〃=1代入得，％=4〃i，而4=1,所以，%=4.

将〃=2代入得，。3=3。2，所以，。3=12.

从而4=1也=2也=4;

（2）｛2｝是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得也=即d+1=22，又伪=1,

n+1n

所以｛2｝是首项为1,公比为2的等比数列；

（3）由（2）可得组=々=1X2"T=2”T,

n

所以4=〃2T.

18.【答案】（1）证明见解析；

（2）逮1.

5

【解析】

【分析】（1）由菱形及线面垂直的性质可得PDLACBOLAC,再根据线面垂直的判定、性质即可证结

论.

（2）构建空间直角坐标系，没PD=t,结合已知确定相关点坐标，进而求面P8Q、面Q钻的法向量，结

合已知二面角的余弦值求出参数f,再根据空间向量夹角的坐标表示求EC与平面B钻所成角的正弦值.

【小问1详解】

由PD_L平面ABCD,ACu平面ABCD,则P£）J_AC,

又ABC。是菱形，则BDLAC,又BDcPD=D，

所以AC，平面PBD,。石u平面PBD

所以ACLOE.

【小问2详解】

分别以。4。3,0E为羽y,z轴正方向建立空间直角坐标系，

设PD=t,则A（L0,0）,5（0,6,O）,C（-1,O,O）,E[O,O,£|,P（O,-6,。，

由（1）知：平面PBD的法向量为q=（1,0,0）,

/、n?.AB=-x+6y=0

令面PAS的法向量为%=（x,y,z）,则〈,令y=l,可得

n2-AP=-x—\J3y-\-tz=0

可得r=2折则P（0,-后2码,

设EC与平面P钻所成的角为6,又£。=（一1,0,—6）,叼=（6,1,1卜

2A/3_V15

所以sin6=cos（EC,〃2）

2近一5

19.【解析】（1）由（：054+51118=/（5104+（：053）,得工cosA—且sinA=^cos5—^siaB,

'72222

所以cos〔Y1=cov+i?

Lf、tC4兀CG兀LL…兀4兀571兀c兀2兀

因为0<A<一,0<3<一，所以一<A+一<一,—<B+—<一，

22336663

TTTTTT

所以A+—=3+—,即3=A+—,

366

JTTTTT7T

又A+B+C=7i,C=—,所以A+A+—+—=兀，解得A=—.

3634

TTTT

（2）因为40=60=2,所以N7）A4=/A，由（1）知/A3C=A+—,可得/CBD=一,

66

CDBD

在,5CD中，由正弦定理得---------=

sin/CBDsinC

所以CD=sin/C3。BD二工,

sinCsinC

在/ABC中，sinC=sin（A+3）=sin[2A+1）,

又0<4<1,5=4+1£0,],0=兀—4—5=：—24£0,1，所以/<A<巴，

2663

所以乌<2A+4〈型，所以:<sin（2A+m[<l,

2662I6）

故CD的取值范围为（1,2）.

（2）C（-l,l）

【分析】（1）求出抛物线匕的准线方程，利用抛物线定义将CR的长度转化成点C到准线的距离即可;

（2）设与直线C4:y—%）,根据直线直线C4、CB分别与抛物线「2：/=4%相切,

2

可将直线与抛物线方程联立得到判别式为0,进而得出kCA,kCBx0k-%左+1=0的两根，结合韦达定理与

C4,CB可得左GAB=一=T即可求解；

%

【详解】（1）设。（七,%），且在抛物线上，故满足％=后

,厂为抛物线的焦点，抛物线的准线为/:y=—

•••线段CF的长等于点C到准线I的距离，即|CF|=%+；=x；+：.

（2）设C（5,%）,显然直线CA,CB的斜率存在且不为0,设直线C4:y—%=左（1-%），..6分

2

联立It',='"一%）,化简得：ky-4y+4yo-4kxo=O,

IX=4%

直线C4与抛物线口：/=4x相切，，A=42—4左（4%—4G）=0,即//一为左+1=。①

又直线C4、Cfi均与抛物线心：V=©相切，

,,1

kCA,kCB为方程①的两根，且有kCAkCB=一,

xo

CA±CB,kCAkCB=-=-1,解得x0=-l,

xo

将x°=T代入y=/得：%=1，故C的坐标为（-U）.

21.【答案】（1）%=2〃+1；

（2）伪=3,邑033=6189.

【解析】

【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的前〃项和公式进行求解即可.

【小问1详解】

设等差数列的公差为d,

因为%+4,%,%成等差数列，

所以有2i?5=%+W+4=>2（4+4d）=/+5d+q+d+4=><7=2,

因为。4,%,%2成等比数列，

所以由2=%%2n(%+6x2)=(%+3x2)(%+llx2)n%=3,

所以a”=3+