广东省梅州市2024年高考考前模拟数学试题含解析

广东省梅州市2024年高考考前模拟数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2.已知点（a8）在募函数/■（无）=O-l）x"的图象上，设a=力=/（ln乃）,c=/（〃），则（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

2222HZ

3.已知a>b>0,椭圆G的方程二+1=1,双曲线G的方程为==C和C,的离心率之积为组，则

a~b-a-b-'2

C2的渐近线方程为（）

A.x±V2y=0B.sf2x+y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

4.已知i是虚数单位，则-「=（）

u，♦口

A.-j+1CB.卜:匚C.j+jCD.j-jE

的图象大致是（）

6.已知COS(2019»+O)=9则sin(5-2a)=()

77

A.-D.

99

2

7.已知尸1，歹2是双曲线C：0—y2=i（〃>0）的两个焦点，过点耳且垂直于X轴的直线与C相交于A,B两点,

a

若|则4”用的内切圆的半径为（）

A.-B.且C.

333D・子

8.若/（九）是定义域为R的奇函数，且/（x+2）=—/（耳,则

A./（X）的值域为RB.为周期函数，且6为其一个周期

C./（尤）的图像关于％=2对称D.函数/（九）的零点有无穷多个

9.在空间直角坐标系。-孙z中，四面体。钻C各顶点坐标分别为:

0(0,0,0),4(0,0,2),唱"0,0；《0,：百,0

假设蚂蚁窝在。点，一只蚂蚁从。点出发，需要在AB,AC±

分别任意选择一点留下信息，然后再返回。点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（）

A.2A/2B.^11-721C.75+721D.273

22

10.已知双曲线C:0-当=1（。>0,6>0）,。为坐标原点，片、居为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，F.GLOG,

ab

且后lOGRG^I，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.丫=土叵xB.y=土®x

C.y=+xD.y=+42x

-22

11.在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向

外的最大突出（图中CD）有15CM,跨接了6个坐位的宽度（A5）,每个座位宽度为43cm,估计弯管的长度，下面的

结果中最接近真实值的是（）

A.250cmB.260cmC.295cmD.305cm

\,1,

2+logix,—<x<l

12.已知函数/(x)=28，若/(a)=/3)(a<b),则质的最小值为()

2x,l<x<2

参考数据：In2土0.69,1/2合0.48

A.-B.变C.log,百D.—

242

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线——丁=1（。〉0）的一条渐近线方程为x+y=o,则。=.

14.已知数列｛为｝的前〃项和为S“，S“=2（a“+1）,则满足S“二-126的正整数”的值为.

15.已知半径为R的圆周上有一定点4,在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长介于R与6氏之间

的概率为.

16.已知集合A=｛%+1,（机一1）2,%2一3%+3｝,若IwA,贝!|/”2020=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1*

17.（12分）已知数列的前〃项和为S“，且满足a“=aS,,+15eN）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若d=log2%,%且数列｛g｝前几项和为I,求T”的取值范围.

Dn"n+1

18.(12分)如图，在三棱柱ABC-4131G中，AiA_L平面ABC,NAC5=90。，AC=C5=GC=1,M,N分别是AB,

AC的中点.

(1)求证：直线MN,平面AC&；

(2)求点G到平面BiMC的距离.

19.(12分)已知等差数列｛。“｝的前〃项和为S,,,胡=86+1,公差d>0,5、S-九成等比数列，数列也｝

满足log2b“=(a“-l)10g2Vx.

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式；

(2)已知%求数列｛%+2｝的前〃项和7；.

anan+l

20.(12分)某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行

一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按上个人一组进行随机分组，把从每组上个人抽来的

血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这左个人的血只需检验一次(这时认为每

个人的血化验1次)；否则，若呈阳性，则需对这左个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组上个人的血总共需要

.........k,

化验上+1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为P,且这些人之间的试验反应相互独立.

(1)设方案②中，某组上个人的每个人的血化验次数为X,求X的分布列；

(2)设。=0］，试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比

方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)

21.(12分)如图在四边形ABC。中，BA=5BC=2,石为AC中点，BE二叵.

2

cD

7

(1)求AC；

jr

(2)若。=§,求AACD面积的最大值.

221

22.(10分)已知椭圆。：1+a=1(。〉6〉0)的离心率为5，尸是椭圆C的一个焦点，点用(0,2),直线4尸的斜

率为1.

(1)求椭圆C的方程；

(1)若过点"的直线/与椭圆C交于A,3两点，线段的中点为N,是否存在直线/使得|/皿|=2|〃'|?若存

在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据函数奇偶性，可排除D；求得/'(九)及/〃(x),由导函数符号可判断/(%)在R上单调递增，即可排除AC选项.

【详解】

无3

函数/(%)=—+sinx

易知为奇函数，故排除D.

丫2JT

又广⑺=t+cosx,易知当xe0,-时，/(%)>0；

又当时，/"(%)=--sin%>1-sin%>0,

故/'(%)在(夕+8上单调递增,所以产(力>广

综上，xe[0,T8)时，/'(x)>0,即/(x)单调递增.

又/(九)为奇函数，所以/(%)在R上单调递增，故排除A,C.

故选：B

【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.

2、B

【解析】

先利用暴函数的定义求出机的值，得到幕函数解析式为/(x)=x3,在R上单调递增，再利用幕函数/(%)的单调性,

即可得到用儿c的大小关系.

【详解】

由塞函数的定义可知，m-l=l9.\m=2,

・,•点(2,8)在塞函数/(x)=B上，

.・.2〃=8,.•・〃=3,

工幕函数解析式为/(a)=x3,在R上单调递增，

m2

■:一=一,l<lnn<3f〃=3,

n3

m

:.一<ln7i<n,

n

:・aVb〈c,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了幕函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.

3、A

【解析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合C]和C,的离心率之积为走，即可得a*的关系，进而得双曲线的离心率

2

方程.

【详解】

2222

椭圆G的方程++斗=1，双曲线G的方程为。—==1，

abab

则椭圆离心率G='"2一"，双曲线的离心率e,=

aa

由G和。2的离心率之积为—，

一2

gn7«2-b2yja2+b26

叩/电二---------x--------------二—，

aa2

解得2=±也,

a2

所以渐近线方程为y=±«2x，

2

化简可得％±岳=0,

故选：A.

【点睛】

本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.

4、D

【解析】

利用复数的运算法则即可化简得出结果

【详解】

2*1：：_-：(/*Z)ZU-Zi)__

-+(/+.=("二)=__一

一r二；

—1I'«r•、，、；I

故选二

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

5、A

【解析】

根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.

【详解】

当尤＞1时，/(x)=ln(x-—),

X-

由y=-',丁=%在(L+8)递增，

x

所以/=X—L在(1,+8)递增

X

又y=ln%是增函数，

所以/(x)=ln(x-工)在。，+8)递增，故排除B、C

X

当尤<1时/(x)=ew,若无40,1),则G«0,»)

所以/=COSK在(0,1)递减，而>=1是增函数

所以在(0,1)递减，所以A正确，D错误

故选：A

【点睛】

本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，

减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.

6^C

【解析】

7T

利用诱导公式得cos(2019»+a)=-cosa,sin(-—2cr)=cos2«,再利用倍角公式，即可得答案.

2

【详解】

由cos(2019乃+a)=~~~可得cos(%+a)=cosa=~~，

sin(--2a)=cos2a=2cos2tz-l=2x—-1=——.

299

故选：C.

【点睛】

本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时

注意三角函数的符号.

7、B

【解析】

设左焦点瓦的坐标，由A3的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形A3尸2

的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.

【详解】

2b2f—

由双曲线的方程可设左焦点与(-c,0)，由题意可得AB=—=42,

a

由b=1,可得a=V2，

所以双曲线的方程为：—-y2=l

2-

所以耳(―6,0),耳(右,0),

所以S.苞山鸟

三角形A3尸2的周长为C=AB+9=AB+(2a+肺)+(2a+)=4a+2AB=4行+2夜=6夜

设内切圆的半径为r,所以三角形的面积S=--CT=--6V2T=3A/2F,

22

所以3^2r=\/6，

解得厂=1,

3

故选：B

【点睛】

本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角

形的面积可得半径的应用，属于中档题.

8、D

【解析】

运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.

【详解】

/(九)是定义域为R的奇函数，则/(T)=一/(幻，/(。)=0,

又/(x+2)=—/(x),/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

即是以4为周期的函数，于(4k)=/(0)=0(左eZ),

所以函数/(%)的零点有无穷多个；

因为J(x+2)=—/(%),/[(%+1)+1]=/(-%),令/=l+x,则/«+1)=/(1—0，

即于(x+l)=/(l-x),所以/(尤)的图象关于x=1对称，

由题意无法求出/(%)的值域，

所以本题答案为D.

【点睛】

本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.

9、C

【解析】

将四面体Q钻C沿着。4劈开，展开后最短路径就是△AOO'的边OO',在中，利用余弦定理即可求解.

【详解】

将四面体Q43C沿着。4劈开，展开后如下图所示：

A

最短路径就是“0。的边OO'.

易求得Z.OAB=ZO'AC=30°,

由AO=2,08=26知=

33

AC=-V3,BC=y/OB2+OC2=-76

33

AB?+AC?-BC?

=>cosABAC=

2AB-AC

16168

X1ZI3_2

=044=4

2x—产x-

V3V3

由余弦定理知00'2=AO2+AO'2-2AO-AO'-cosZOAO'

其中AO=AO'=2,cosZOAO'=cos(60°+ABAC)=3~^

；•OO'1=5+同nOO'=75+721

故选：c

【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

10、D

【解析】

根据gGJ_OG,先确定出Gg,G。的长度，然后利用双曲线定义将Jd|OG|=|GKI转化为“,瓦c的关系式，化简

b一

后可得到一的值，即可求渐近线方程.

a

【详解】

如图所示：

又因为布|OG|=|G4|,所以#|OG|=|G冗所以#|OG卜,八+8耳，

所以6,G『=,尸2+8司2,所以6a2=加+402+也*2。*85（180°—/6鸟片），

所以6a②=62+4c2+26x2cx1—2],所以尸=2/,2=应，

所以渐近线方程为＞=±缶.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.

11、B

【解析】

A8为弯管，为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧A5所在圆的半径为小从而可得弧所对的圆心角，再利

用弧长公式即可求解.

【详解】

如图所示，A3为弯管，A3为6个座位的宽度,

D

0

贝(IAB=6x43=258cm

CD—15cm

设弧AB所在圆的半径为广，则

r2=(r-CD)2+AC2

=(r-15)2+1292

解得r«562cm

129

sinNA。。=——土0.23

562

可以近似地认为sinxQX,即NAODaO.23

于是ZAOBx0.46，A8长~562x0.46«258.5

所以260cm是最接近的，其中选项A的长度比A3还小，不可能，

7T

因此只能选B,260或者由cosxx0.97,sin2x«0.45=>2x<—

6

兀

所以弧长<562x—土294.

6

故选：B

【点睛】

本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.

12、A

【解析】

首先“X)的单调性，由此判断出々<“<1,由/3=/3)求得。,。的关系式.利用导数求得1。82"的最小值，由

l<b<2

此求得。匕的最小值.

【详解】

2+log,x,—<x<1「］、

由于函数/(x)=28，所以/(%)在上递减，在［1,2］上递增.由于/(a)=/(b)(a<b),

oJ

2r,l<x<2

/，］=2+现，=5,八2)=22=4,令2+1陶x=4,解得工」，所以片”\且2+log〃=2\化简

⑻〃242

得log2〃=2-2",log2ab=log2a+log2b=2-^+log2b,构造函数g(x)=2-2,，

g'(x)=—2工ln2+^—=匕匚”送.构造函数Mx)=1—x.2*」n22(1<xW2),

h(x)=-(1+%ln2)-2X-In22<0,所以/z(九)在区间(1,2］上递减，m/?(l)=l-21n22®1-2x0.48=0.04>0,

/i(2)=l-81n22®1-8x0.48=-2.84<0,所以存在飞e(l,2),使我［)=0.所以g(x)在(1,%)上大于零,在

(九o,2)上小于零.所以g(x)在区间(1,%)上递增，在区间(%,2)上递减.而g(l)=0,g⑵=2—22+log22=—1,所

以g(x)在区间(1,2］上的最小值为—1,也即log?"的最小值为-1,所以"的最小值为2T=

本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数。的值.

【详解】

双曲线1一/=1(。〉0)的渐近线方程为2±3；=0,

由于该双曲线的一条渐近线方程为x+y=o,.•.,=1,解得4=1.

a

故答案为：1.

【点睛】

本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.

14、6

【解析】

已知S“=2(4+1),利用a.=S,—S,i=2a“—2a“T，求出｛4｝通项，然后即可求解

【详解】

•/Sn=2(%+1),•,.当〃=1时，H=2(%+1),二％=-2；当〃22时，4=S“—S,i=2an-2an_t,：.an=2a„_1,

故数列｛4｝是首项为2公比为2的等比数列，.•.4=-2".又S“=2(%+1)=-126,.•.%=-64,2"=—64,

•*.n=6.

【点睛】

本题考查通项求解问题，属于基础题

1

15、-

3

【解析】

在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,

其中满足条件AB弦长介于R与岛之间的弧长为1・2血，

则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P=；2%;；

2TIR3

故答案为：—.

16、1

【解析】

leA分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.

【详解】

依题意，分别令〃z+l=l,(m—1)"=1,nr—3m+3=l>

由集合的互异性，解得机=1,则加2。2。=1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)4=2"⑵Tne川

【解析】

(1)由q=：Si+l,可求见,然后由”..2时，-可得。“=2a“_i，根据等比数列的通项可求

1111

(2)由d=log,a“=log22"=〃，而q,=力—=二~-=-------利用裂项相消法可求

【详解】

(1)当〃=1时，q=g，+1,解得q=2,

当九.2时'*=2+1…①

an=；S,,+1…②

②—①得an-,即=2。“_1,

二数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数歹!],

an=2"；

⑵bn=log2an=log2T=n

1_1_1_1

bnbn+ln{n+1)nn+1

11

.+-------

"22334nn+1

.,分5).

【点睛】

本题考查递推公式4=%-与-1(九.2)在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数

与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

18、(1)证明见解析.(2)走

3

【解析】

(1)连接AG,5G,结合中位线定理可证MN〃BG,再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证

BCi±BiC,即可求证直线MN_L平面ACBu

(2)作交于点尸，通过等体积法，设G到平面51cM的距离为人则有工=结合

几何关系即可求解

【详解】

(1)证明：连接AG,BCi,则NGACi且N为AG的中点；

是A5的中点.

所以：MN/ZBCu

；AiA_L平面ABC,ACu平面ABC,

：.AiA±AC,

在三棱柱ABC-A151cl中，AA1//CC,

.\AC±CCi,

VZACB=90°,BCQCCi=C,3Cu平面BBCCCCiC^pffiBB1C1C,

.\AC_L平面BBiCiC,BCu平面BBiCiC,

：.AC±BCu又MN〃BC\

：.AC±MN,

,：CB=CiC=l,

二四边形BBiGC正方形，

：.BCi±BiC,：.MN±BiC,

而ACn3iC=C,且ACu平面AC31,C31U平面AC31,

，MN_L平面AC3i,

(2)作MPLBC交于点P,设G到平面&CM的距离为Zz,

因为MP=—2,S4Bcj=—2,

所以RCCS9MP-

rz'1V1-Dj℃[3D|B℃C]C129

因为CM=91,BiC=O；

2

BiM=场所以

2

MC-h=^SBiCiC-MP,解得心日

所以点a，到平面与“c的距离为B

3

【点睛】

本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距

离常用体积转化来求，属于中档题

1/1A]—xn

19、(1)%=2n-l，b“=xM(x>0)；(2)7；,=-1---.

212n+lJ1-x

【解析】

⑴根据｛4｝是等差数列，第=8q+1,5、枭、小成等比数列，列两个方程即可求出q,d,从而求得a“，代

入化简即可求得/；(2)化简c“后求和为裂项相消求和，｛6+2｝分组求和即可，注意讨论公比是否为1.

【详解】

（1）由题意知H=%,S4=4^+6d,He=16q+120d,

由S；=S「S|6得

（4%+6J）2=%（16%+120（i）,

解得d=2q>0.

又a；=(4+力=8%+1,得9a；=8q+l,

解得q=1或q=—〈(舍).

:.d=2,an=2zz-l.

n

又log2bn=(2n-2)log24x=log2x^(x>0),

二么=—(x>0).

°=1=1J,1______

°，"a“a”+i(2«-l)(2n+l)212〃一12H+1J

①当x=l时，

7；=(q+c2++c„)+(Z?j++2)

/1

-1-+n.

22n+\

②当xwl时,

］、l-xn

+------

2〃+1,1-X

【点睛】

此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.

20、(1)分布列见解析；(2)406.

【解析】

(1)计算左个人的血混合后呈阴性反应的概率为呈阳性反应的概率为1-/,得到分布列.

(2)计算E(X)=!-■+：!,代入数据计算比较大小得到答案.

k

【详解】

(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为4,则q=l-P.

所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为qk,呈阳性反应的概率为l-qk.

依题意可知X=,，1+-,所以X的分布列为：

kk

1

Xi+-

kk

pqkI"

(2)方案②中.

结合(1)知每个人的平均化验次数为：E(X)=；-d+[l+!\(l—/+1

k\kJ'7k

1

左=2时，E(X)=——0.992+1=0.69,此时1000人需要化验的总次数为690次，

11

左=3时，E(X)=--0.93+1^0.6043,此时1000人需要化验的总次数为604次，

3

左=4时，E(X)=--0.94+1=0.5939,此时1000人需要化验的次数总为594次，

4

即左=2时化验次数最多，左=3时次数居中，左=4时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次,

故在这三种分组情况下，相比方案①，

当k=4时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.

【点睛】

本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

21、(1)1；(2)&

4

【解析】

(1)AE=x,在ASCE和AABE中分别运用余弦定理可表示出COS/5C4,运用算两次的思想即可求得x,进而求

出AC；

(2)在AADC中，根据余弦定理和基本不等式，可求得CD-AOW1,再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性,

求出AABC的面积的最大值.

【详解】

(1)由题设=则AC=2x