（苏教版2019必修第二册）高一数学讲练结合 平面与平面的位置关系

13.2.4平面与平面的位置关系

【考点梳理】

考点一平面与平面平行的判定定理

文字语如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平

行，那么这两个平面平行

aua,bua,'

符号语

ar\b=A,>=cr"

au/3,bnp,

图形语

1口

考点二两个平面平行的性质定理

文字语两个平面平行，如果另一个平面与这两个平

面相交，那么两条交线壬立

符号语

aHy—a,BC\v-b^anb

图形语

-

/

考点三二面角的概念

1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.

2.相关概念：

(1)这条直线叫做二面角的棱；

(2)两个半平面叫做二面角的直

3.画法：

平卧式直立式

4.记法：二面角a—/—6或二面角a—>4去一6或二面角尸一/—Q或二面角P—AB—Q.

5.二面角的平面角：(1)若有□OU；□O/Ac.a,OBcjS；QOAUl,OBJl,则二面角a

一/一。的平面角是二108

(2)二面角的平面角a的取值范围是0注娼180。.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

考点四平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的定义

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平

面互相垂直.

⑵画法：

(3)记作：OLjg.

2.平面与平面垂直的判定定理

文字语如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这

两个平面垂直

符号语

/□a,lu

图形语p~

//

考点五平面与平面垂直的性质定理

文字语两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这

两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直

符号语

a匚B，aua,a匚/=a匚6

百

图形语

三/

【题型归纳】

题型一：平面与平面平行的判定定理的应用

1.已知加，〃为两条不同的直线，%夕为两个不同的平面，则下列说法正确的是()

A.若机//〃，"ua,则B.若W7〃a,”ua,则,w〃”

C.若帆ua,nu",mUn,则a〃PD.若a//〃，加ua,则加//?

2.如图，四边形48co是矩形，ED^^ABCD,平面A8CO,8C=3,DE=CD=2FB=2.

(1)证明：平面4DE〃平面8CF；

(2)求三棱锥B-CF£»的体积.

3.如图，在正方体AB8-ABCQ中，E、尸分别为。口、CC,的中点，AC与即交于点0.

求证：

(1)CE//FD1；

(2)平面AEC〃平面BFR.

题型二：面面平行证明线线、线面平行

4.给出下列命题：口机ua,nca,mllp,”〃£oa〃/；

□alip,mua,nu0=mlln•

□alip,lua=I//(3.

□a内的任一直线都平行于力=。〃夕.

其中正确的命题是()

A.□□B.□□C.□□D.□□

5.如图，已知点P是平行四边形4BCD所在平面外一点，分别是4&PC的中

(1)求证：VM/平面P4。；

(2)在上确定一个点Q,使平面MA/Q〃平面PAD.

6.如图，在四棱锥尸-A3CD中，底面ABC。为平行四边形，。，M分别为8D,PC的中点.

设平面皿＞与平面PBC的交线为I.

(1)求证：。“〃平面PAD;

(2)求证：BCHI；

(3)在棱PC上是否存在点N(异于点C),使得8N//平面PAO?若存在，求出器的值;

若不存在，说明理由.

题型三、平面与平面垂直的判定

7.如图，在平行六面体/BCD-ABQQ,中,AAi=AB,4氏口氏6.求证:

(1)AB□平面ABiC；

(2)平面八88出7口平面4BC.

8.如图，在四棱锥P-M8中，△PAB是等边三角形，C8,平面的，AD//BC^

PB=BC=2AD=2,尸为PC中点.

(1)求证：小〃平面PA8;

(2)求证：平面仞尸1•平面PBC；

(3)求直线A8与平面叨。所成角的正弦值.

9.如图甲，直角梯形A8CO中，AB±AD,AD//BC,尸为的中点，E在BC上，且所//AB,

现沿斯把四边形8/五折起得到空间几何体，如图乙.在图乙中求证:

(D平面皿^/平面区/；

(2)平面ABC,平面8CE.

题型四、平面与平面垂直的性质定理

10.如图，在四棱锥P/BCD中，底面4BCD是矩形，平面PCD□平面ABCD

求证：AD□平面尸CD.

11.如图，三棱锥2-ABC中，平面PACL平面ABC,NABC=',点。，E在线段AC上,

且4)=0E=EC=2,"=PC=4,点尸在线段力8上，豆EFHCB.求证：AB_L平面户/七

12.如图1,在直角梯形幺BCD中，AB//CD,ABLAD,且48=AD==1.现以A力为一

边向形外作正方形然后沿边AD将正方形4)所翻折，使平面ADE尸与平面4?8垂

直，M为a的中点，如图2.

EMDC

(1)求证：AM〃平面BEC；

(2)求证：8C_L平面切瓦

题型五、二面角的求法

13.如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC,ABAC=90°,则二面角8-AC-P的平面角

是()

A.90°B.60°C.45°D.30°

14.如图，在三棱锥S—ABC中，SC□平面八8C,点尸、M分别是SC和S8的中点,

设尸M=4C=1,\JACB=90°,直线4M与直线SC所成的角为60°.

(1)求证：平面恤尸□平面SAC.

(2)求二面角M-MC—8的平面角的正切值；

15.如图，在三棱锥尸一ABC中，PAQAB,PAUAC,ABUBC,PA=AB=BC=2,D为

线段AC的中点，E为线段PC上一点.

⑴求证：平面BDE□平面B4C；

(2)求二面角P—BC—A的平面角的大小.

题型六、二面角的大小的应用

16.如图，把两个完全相同的直三角尺Me,SAC斜边重合，沿其斜边sc折叠形成一个

120°的二面角，其中SA=S5=2,且4?=百，则空间四边形SABC外接球的表面积为()

C.3nD.20万

17.如图，在四棱锥中，SA_L平面A8C3中，四边形4BCD是正方形，点E在棱

SD上，DE=2SE.

(1)证明：CD1AE；

(2)若正方形ABCD的边长为1,二面角E-AC-。的大小为45。，求四棱锥的体

积.

18.如图，已知三棱锥P-ABC,底面.ABC是等腰三角形，ZABC=120°,是等边三

角形，。为线段AC上一点，AC=3AD,二面角P-M-£＞的大小为120。.

⑴求证：ABLPD-

(2)求直线PC与平面以8所成角的正弦值.

【双基达标】

一、单选题

19.已知m,〃是两条不同的直线，a,6是两个不重合的平面，给定下列四个命题,

其中的真命题是()

口若n\Ja,贝ijmlZor；口若川口。，n\Ja,则mEim□若nQa,则/77口〃；

口若mUa,nU/3,orDjS,贝i」mElm

A.口和口B.口和口

C.口和口D.口和口

20.平面。与平面/平行的条件可以是（）

A.a内有无穷多条直线与夕平行B.直线4〃a,

C.直线aua,直线。u.,且a〃氏b//aD.。内的任何直线都与夕平行

21.设%⑸，是互不重合的平面，m,〃是互不重合的直线，给出下面四个说法：

□若a_Ly,PX.Y,贝lJa_L#；

□若“_La,mVp,则a//；

二若mlla,nLa,贝

□若a_L4,aP=m,n±m,则

其中所有错误说法的序号是（）

A.□□B.□□C.□□□D.□□□

22.已知平面a与平面夕交于直线/,且直线用叫直线丘处且直线“，心/不重合,

则下列命题错误的是（）

A.若口■>■尸，alZ7,且匕与/不垂直，贝!

B.若仁■*■尸，hri,则

C.若。J,bYl,且“与/不平行，则a”

D.若a_L/,h±l,贝lja_l■尸

23.已知m,〃是两条不同的直线，/£，，是三个不同的平面，有下列说法：

匚诺僧〃a,〃_La,贝口若加〃/〃?〃〃，贝lj”〃a

□若a_Ly,a〃£,贝lJp_L/；口若加〃a,”〃a,贝

其中所有正确说法的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

24.设%夕，?为不重合的平面，m,〃为不重合的直线，则其中正确命题的序号为

()

口a_Ly,13Vy,则a/R；\JmVa,n±j3,fn±n,则a_L£；

□a1/?,aB=n,m±n,则，〃_L夕；[]a_Ly,/717,a0=m,则"Uy

A.□□B.□□C.口口D.□□

25.给出下列三个命题：

口垂直于同一直线的两个平面互相平行；

□若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

口若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2

C.3D.0

26.设〃?，〃是两条不同的直线，出£，/是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）

A.若'"ua,ntla,贝ljm〃”

B.若。，八尸，7,则a//£

C.若a//仇工a,则机_Ly

D.若a4=〃,〃?〃〃,则向/a,〃?//£

27.如图，在四棱锥P—4BCD中，E,F,G分别是PC,PD,BC的中点，DC//AB,

求证：平面B4B//平面EFG.

28.如图，矩形ABCD，梯形或户C,BE//CF,ZBCF=90°,A。=6,AB=\,CF=3,EF=2.

D

（1）证明：所_L平面A8F；

（2）求二面角。-EF-C的余弦值.

【高分突破】

一：单选题

29.设m,n是不同的直线，。，夕是不同的平面，下列命题中正确的是

A.若m//a,nI/3,m//n,贝ija//力

B.若m//a,n工0,m//n,则a_L/?

C.若m//a,nA.0,mtn,则a//〃

D.若m//a,鹿1则a_L〃

30.如图，已知六棱锥2-他8叮的底面是正六边形，如，平面4"处=2”，则下列结论

正确的是

A.PB1.AD

B.平面PAB±平面P8C

C.直线BC□平面PAE

D.直线尸。与平面A8C所成的角为45°

31.已知俄、〃是不重合的直线,a、夕是不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A.若mua,n//a,贝lj加〃”B.若血/。，加/£,则a〃夕

C.若a[M=",mlln,则〃M/£D.若机_Le,ml/3,则a///?

32.已知为两条不同的直线，。，夕为两个不同的平面，给出下列命题：

□若“J_a,mLfi,则a//4；口若加//a,〃?//£,贝lJa//£；□若"J_a,mlip,贝lJa_L"；□

若血/夕，〃//夕，all/3,则m//〃.其中正确的命题是

A.□□B.□□C.□□D.□□

33.设加，〃是不同的直线，«,P,7是三个不同的平面，有以下四个命题：

二若机J_a,w_L£,a〃/，则加〃”；

口若dy=m,ftr=n,mlln,则夕//夕；

□若，_La,yVp,则a///7.

□若a/R,pily,m±a,则〃Uy；其中正确命题的序号是（）

A.□□B.□□C.□□D.□□

34.如图，在正方体4B8-A3CQ中，刊,乂/＞分别为。6,3仁“1的中点，则下列命题中错

误的是（）

A.MNHAD、

B.PM与AA是异面直线

C.平面ABQ//平面MNP

D.MN〃平面诏自

35.下列命题正确的是（）

A,一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行

D.如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

二、多选题（共。分）

36.已知or,6是空间中两个不同的平面，rn,〃是空间中两条不同的直线，则给出的

下列说法中，正确的是（）

A.若加J_a,nla,则血/”B.若mHa,mB,则。//夕

C.若aJ■/，m///，贝D,若aU/3,m>a,则加_1_夕

37.设m,〃是两条不同的直线，a,。是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若mna,nDa,则man

B.若mM,mQa,则"口。

C.若万口①nD/3,则m,〃是异面直线

D.若。口6,mna,n\J（3,则m□a或m,"是异面直线

38.如图，在四棱锥P-AB8中，底面A8CD为菱形，NDA8=60。，侧面尸4）为正三角形,

且平面平面ABC。，则下列说法正确的是（）

A.在棱上存在点“，使45_L平面

B.异面直线仞与依所成的角为90°

C.二面角P-8C-A的大小为45°

D.8"平面E4C

39.已知a,夕是两个不同的平面，用，〃，/是三条不同的直线，则下列命题中正确的

是（）

A.若nla,贝ljm二"

B.若a_L£,机ua,nu/3,贝

C.若aB=l,m\Ja,机口/，则加□/

D.若aP=l,帆ua,"山,贝!

40.已知外月是空间两个不同的平面，也“是空间两条不同的直线，则给出的下列说法

中正确的是（）

A.mlla,ntIp,且m〃“，则cr/RB.mlla,nil。，且，〃J_〃，则

C.mVa,n1.）3,且加〃〃，则a//#D.mLa,nk[i,且机_L〃，则aJ■月

41.如图，平面四边形/ABCD中，E,尸分别是AD,BD的中点，AB=AD=CD=2,BD=2近,

NBDC=90。，将△•£）沿对角线BD折起至VA8D,使平面A砒），平面88,贝！J四面体488

中，下列结论正确的是（）

B.异面直线CD与AB所成的角为90。

C.异面直线EF与"C所成的角为60。

D.直线4c与平面BCD所成角为30。

三、填空题（共。分）

42.如图，在四棱锥P-A3C。中，PA_L底面A8C。且底面各边都相等，M是PC上一点，当

点M满足时，平面"3。一平面尸8（只要填写一个你认为正确的条件即

可）

43.已知两条不同的直线〃J〃，两个不重合的平面a,B,给出下面五个命题:

ZmHn,mLa=>nl.a；

□a///7,mua,nu/3=m/1n；

一mHn,m//a=>n//a；

□in//L)3.

□a///?,m//n,m_La=>〃_L/?.

其中正确命题的序号是.（将所有正确命题的序号都填在横线上）

44.如图，在三棱锥P—ABC内，侧面PAC_L底面力BC,^ZPAC=90°,PA=\,AB=2,贝！JPS=

45.设/、加、〃为三条不同的直线，a、/3、7为三个不同的平面，则

二若机a,nip,则。〃尸；

□若机_La,mn,nP,贝iJaJ■尸；

匚若机J_a,n0,aVP,贝

□若a/=/,ma,mP,贝！J，〃/；

口若aP-m,ay=n,I,/In,贝lj/_La.

以上命题正确的有

46.已知见”是两条不同的直线，见夕是两个不同的平面，给出下列命题：

□若a_L/7,a尸=机,〃_!_〃?，贝!]〃_La或〃，/；

口若aB=m,n/la、n/10,则〃//加；

□若用不垂直于平面a,则，〃不可能垂直于。内的无数条直线；

□若切〃?，则血/〃.

其中正确的是.（填上所有正确的序号）

47.在二面角。一/一分中，A&l,Bel,AC^a,BDu/3,且AC，/,BDLI,若=AC=BD=2,

二面角a-/"的余弦值为:，则8=.

四、解答题（共。分）

48.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，点M在AD上，且

AM=^AD,将一AED.DCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P,如图所示2.

⑴试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明;

⑵求二面角M—EF—D的余弦值.

49.如图，在三棱柱ABC-A4G中，BB]=AB『AB=BC,。为AC的中点，4BJ.BQ,ZBjBC=90°,

（1）求证：平面4网A，平面ABC；

(2)求直线3与平面A8B0所成的角.

50.如图，在矩形ABCD中，AB=0,BC=2,E为BC的中点，把口ABE和□COE分别沿

折起，使点8与点C重合于点P.

(1)求证：PE_L平面PAD；

(2)求二面角P-AD-£的大小.

51.已知正方体4BCD-4&Cid,。为底面AAGA的中心.求证:

(1)平面八%。〃平面CiBD；

(2)AO|C

52.如图所示，AC为圆的直径，ZPCA=45°,PAL圆所在的平面，8为圆周上与点4,C

均不重合的点，AS_LPC于s,AN1PB于N.

B

(1)求证：平面MS，平面P8C；

(2)设直线尸8与平面PAC所成角为明当。变化时，求sin®的取值范围.

53.已知四棱锥P-A38的底面是矩形，面A8C£>,PA=AD=2,AB=2垃.

(1)作WP3于M,ANLPC于N,求证：PC_L平面AAW；

(2)求二面角。-PC-A的正切值.

54.如图，在四棱柱A3。-MGR中，点”是线段初上的一个动点，E,尸分别是BC,

CM的中点.

(1)求证：跖//平面B”出；

(2)设G为棱8上的一点，问：当G在什么位置时，平面GEF〃平面8。力蜴？

55.如图，四棱锥P-A88的底面ABC。为正方形，尸4,底面ABC。，E、尸分别是AC、P3的

中I占八、、・

(1)求证：EF//平面PCZ)；

(2)求证：平面PBZU平面PAC.

56.在棱长为"的正方体A38-AECD中，E是BC的中点.

(D求直线='C与。E所成角的余弦值；

(2)求二面角？-a-A的正弦值.

57.如图，在四棱锥尸-他8中，PA_L底面底面A8C。为直角梯形，AB/ICD，AB工AD,

且CD=2AB.

(1)若钻=4),直线PB与CZ)所成的角为45。，求二面角P-CD-8的大小；

(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面仍力，平面ABCD,并说明理

由.

【答案详解】

1.D

【解析】

【分析】

利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解

【详解】

选项A：有可能出现〃-a的情况；

选项B：机和〃有可能异面；

选项C：。和夕有可能相交；

选项D：由a/R,，"ua,得直线"，和平面夕没有公共点，所以初〃，

故选：D

2.(1)证明见解析

(2)1

【解析】

【分析】

(1)由E£>_L平面ABC。，尸8,平面A8C£>,得到尸3〃£D,利用线面平行的判定定理得到身"

平面4)£,8C//平面ADE,然后利用面面平行的判定定理证明；

(2)由尸5,平面ABC。，得到点尸到平面88的距离，然后利用%求解.

(1)

证明：■平面ABC。，尸8_£平面468,

.'.FB//ED,

又二。七u平面“2平面AC凡

.•.M〃平面

在矩形ABC。中，BC//AD,且45u平面ADE,8Ca平面

.1BC〃平面

又BCcFB=B,

□平面">E〃平面BCF.

(2)

F8JL平面ABC。，

口点尸到平面88的距离为m=1,

口四边形ABC。是矩形，BC=3,CD=2,

SBCD=-x3x2=3,

VB-CFD=匕yc”=§SECO.FB=gx3X1=1.

3.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)证明出四边形CERF为平行四边形，可证得结论成立；

(2)证明出0E〃平面CE//平面/R,利用面面平行的判定定理可证得结论成立.

⑴

证明：在正方体ABCD-ABCQ中，CCL且cq=DR,

因为E、尸分别为DR、CG的中点，贝IJC尸//RE且CF=RE,

所以，四边形CERF为平行四边形，则CE//FR.

(2)

证明：因为四边形A8C。为正方形，ACBD=O,则。为利的中点,

因为E为。。的中点，则OE//BR,

OEU平面8FR,BRu平面8FR,所以，。七〃平面8他，

因为CE//FR,CEZ平面BFR,FRu平面8对，所以，CE//平面BFR,

因为OEcCE=E,因此，平面ACE//平面8FR.

4.C

【解析】

【分析】

利用面面平行的判定定理可判断口；举特例可判断口；利用面面平行的性质可判断口；

利用面面平行的判定定理可判断口即可作答.

【详解】

因mua,"ua,mllp,n//p,而直线m与〃不一定相交，由面面平行的判定定理知，口

错；

长方体ABCD-ABCQ的二相对面A8CD与面A8CQ分别视为平面a,P,显然有&〃出

ABua，ARu夕,而AB与AR是异面直线，口错;

因a%,lua,由平面与平面平行的性质知〃啰成立，□正确；

因a内的任一直线都平行于夕，则在平面。内必然存在两条相交直线都平行于平面夕，

于是有a%,□正确，

所以正确的命题是

故选：C

5.(1)证明见解析；(2)当。在总的中点时，平面MNQ〃平面尸4).

【解析】

【分析】

(1)取心中点Q,连接MQ,NQ,利用面面平行的判定定理证明平面MNQ//平面总，即

可证明MV//平面PAD；

（2）假设第一问的。即为所求，再利用面面平行进行证明.

【详解】

（1）证明：取户8中点。，连接MQ,NQ,

KN分别是AS,PC的中点，

:.NQ//BC

AD//BC,：.NQ//AD,

又NQu面"，4）u面PAD,

□N。〃面尸皿

同理可证：M2〃面「A”

又NQu面MNQ,MQi面MNQ,NQMQ=Q,

平面MNQ//平面PAD,

MVu平面MNQ,

.■.加//平面PA。

（2）解：假设第一问的。即为所求

Q在心的中点，

分别是A&PC的中点，。为尸8的中点

：.MQ//PA,^NQ//AD

则MQ〃平面PAD,NQ〃平面尸位）

且MQcMQ=Q

所以平面MN。//平面尸A£）.

所以第一问的。点即为所求，当。在尸8的中点时，平面MNQ〃平面尸4）.

【点睛】

（1）立体几何中位置关系的证明一般用判定定理；

（2）存在性问题的证明：先假设存在，在进行证明.如果存在，可以证明；如果推出矛

盾，则不存在.

6.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）连接AC,易知。为AC的中点，进而得AP//OM,再结合线面平行的判定定理即可

证明；

（2）由题知比7/平面皿＞,进而根据线面平行的性质定理即可证明BC///；

（3））假设在棱PC上存在点N（异于点C）,使得8N//平面尸4）,进而在平面"C中，过

点N作阳的平行线EN,交。C于E,故平面BEN//平面PAD,进而得3E//AD,另一方面，

在平行四边形中，BE与AD不平行，矛盾，故不存在.

【详解】

解：（1）证明：连接AC,因为底面ABC。为平行四边形，。为BO的中点，

所以。为AC的中点，因为M为PC的中点，

所以在△APC中，AP//OM,

因为OMz平面针u平面尸4D,

所以QM//平面「AD

M

（2）因为底面AB。为平行四边形，

所以AD//8C,

因为ADu平面PA。，8C<Z平面PAD,

所以8C〃平面PAD,

因为平面PA。与平面PBC的交线为/,BCu平面PBC,

所以BC/〃

（3）假设在棱PC上存在点N（异于点C）,使得BN//平面PAD,

在平面PDC中，过点N作叨的平行线EN,交DC于E,

因为硒0平面PAD,PDu平面PA£>,所以EN//平面PAD,

因为ENcBN=N,所以平面BEN//平面PAD,

因为BEu平面8EN,所以3E〃平面PAO,

又因为8£u平面A8CD,平面A8CD平面皿=AD,所以班:/MD

另一方面，在平行四边形加8中，跖与AD不平行，矛盾，

所以在棱PC上不存在点N（异于点C）,使得8N〃平面PAD.

N

7.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由力8口4%结合线面平行判定定理证明即可；

(2)证明力氏□平面再由A氏□平面得出平面□平面48c.

⑴

在平行六面体4BCD-4BQQ7中，ABQAiB^

因为平面4B7C,A1B1平面48心，所以＞4B.平面4BC.

(2)

在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，

四边形4834为平行四边形.

又因为447=48,所以四边形488,4为菱形，因此人巴口48

因为48/匚BiCi,BCQBiCu所以487口8。.

因为A7BnBC=B,方7BLI平面，78C,BC□平面AiBC,所以八87□平面418c.

因为力氏□平面ABBiAu所以平面48氏4□平面AiBC.

8.(1)证明见解析

(2)证明见解析

⑶亨

【解析】

【分析】

(1)利用三角形的中位线定理平行四边形的判定，再结合及线面平行的判定定理即可

证明；

(2)利用等腰三角形的三线合一得出及线面垂直得进而证明面

ADF,

再利用面面垂直的判定定理即可证明；

(3)根据等体积法%一0=匕四,,求出点G到平面CDF的距离为〃，再利用线面角的定

义即可求解.

(1)

取尸5中点连FH,A”.如图所示

□尸为PC中点，E]FH幺gsC

又AD*BC,□FHEAD.

口四边形，为平行四边形.

QFD//AH.

又尸。(Z面4"匚面43尸，口田〃平面43.

(2)

匚ADFH为平行四边形，EJA、D、F、H共面.

口△4尸B为正三角形，，为中点，口尸口，/1//.

又BC，面皿，FH//BC.

口/7/_L面％B,□FH±PB.

且PHAH=HPBADF.

又P3u面尸8C,□面P8C，面仞F.

(3)

取BC中点G,连DG,FG.

则£)G〃A8,且G£)=AB=2.

□直线AB与面PCD所成角即为DG与面PDC所成角.

又FG〃PB,DG//AB,DGcFG=G,ABcPB=B.

二面PAB〃面。尸G,且C3,面P4B,E]CG，面DFG.

设G到平面CDF的距离为GO,由等积法％_由=@由

SM~.CG_；X1XGX1

_V2

□^ACDf-GO=15ADre-CG,QGO=

,

^△CDF一2

2

设。G与面PC。所成角为ZGDO.

72

贝口9。=空工"

DG24

所以直线相与平面加C所成角的正弦值为半.

4

9.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）证明出AF〃平面BCE,DF〃平面BCE,利用面面垂直的判定定理可证得结论成立;

（2）证明出现」平面BCE,可得出平面8CE,利用面面垂直的判定定理可证得结

论成立.

（1）

证明：翻折前，AD//BC,翻折后，则有AF//BE,DF//CE,

因为"a平面BCE,BEu平面8CE,r.A尸〃平面3CE,

因为DFU平面BCE,CEu平面8CE,OF//平面BCE,

因为=尸，因止匕，平面相）「〃平面83.

（2）

证明：翻折前，在梯形A8c。中，ABLAD,AD/IBC,则A8_LBC,

EFHAB,贝lj£F_LBC,

翻折后，对应地，EFLBE,EFLCE,因为BEcCE=E,所以，97平面BCE,

EFUAB,贝！JA8JL平面8CE,

ABu平面ABC,因此，平面ABCJL平面BCE.

10.证明见解析

【解析】

【分析】

利用面面垂直的性质定理证明.

【详解】

证明：在矩形八8CD中，ADuCD,

又□平面尸8□平面488,平面七。八平面488=。。，八。□平面A8C。,

根据面面垂直的性质定理得：□平面PCD.

11.证明见解析.

【解析】

【分析】

由等腰三角形的性质证明PE二4c.然后证明出PEMB,ABUEF,利用线面垂直的判

定定理证明直线□平面PEF.

【详解】

由Z)E=EC,PO=PC知，E为等腰口尸DC中DC边的中点，PEHAC.

又平面B4C□平面ABC,平面BACn平面ABC=AC,且PEu平面PAC,PEHAC,

所以PE□平面ABC,AffijPEuAB.

因为4BC=],EF//BC,^ABQEF,

从而48与平面PEF内两条相交直线PE,EF都垂直，

所以阳□平面PEE

12.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)利用三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判

定定理进行证明即可；

(2)根据面面垂直的性质定理，结合勾股的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即

可

【详解】

证明：取EC中点N,连结MN,BN.

在中，M,N分别为匹,EC的中点,

所以MN//CD,且MN=ga).

由已知AB//C。，AB=；CD,所以MN〃A8,且MN=A8,

因此四边形MM%是平行四边形，所以有5N//AM,

又因为3Nu平面8EC,且四0平面8EC,所以AM//平面8EC；

(2)证明：在正方形仞E尸中，EDLAD.

又因为平面4组尸，平面4BCD中，且平面ADEF平面ABCD=4),

所以。E,平面/ABC。，又5Cu平面4BCD,所以EZUBC.

在直角梯形4BCD中，AB=AD^CD=\,可得BC=啦.

在△BCD中，BD=BC=&CD=2,所以+8C?=C£>?.

所以BgBC,BDcDE=D,BD,£(Eu平面8DE,

BC_L平面BDE.

13.A

【解析】

【分析】

由PAL平面A8C可得以J_他，PArAC,再由/BAC=90。，故ZfiAP为所求二面角.

【详解】

解：H_L平面ABC,A3i平面A8C,ACu平面A6C,

：.PA1.AB,PAVAC,

因为/班C=90°,所以A3,AC,

.••/B”为二面角3-AC-P的平面角，

NB4P=90°,

二面角8-AC-P为直二面角.

故选：A.

14.(1)证明见解析

⑵当

【解析】

【分析】

(1)由已知可证BC□平面SAC,又尸A化BC,则□面SAC,从而可证平面MAPH

平面SAC；

(2)由AC□平面SBC,可得1MCB为二面角M—AC-B的平面角,过点M作MNUCB

于N点，连接AN,则必例/\/=60°,由勾股定理可得AN=&，在RLM中，可得MN=',

从而在Rt/XCMW中，即可求解二面角例一/AC—8的平面角的正切值.

⑴

证明：DSC□平面ABC,nSCQBC,

又□□ACB=90。，UACUBC,又八CSC=C,

匚8C□平面SAC,

又□尸，例是SC、SB的中点，

□尸MDBC,□尸M□面S八C,又PMu平面妙

匚平面尸□平面SAC；

(2)

解:DSC□平面ABC,DSCD^C,XACDBC,BCSC=C,

□AC□平面SBC,

nACnCM,ACUCB,从而DMCB为二面角例一AC—8的平面角，

□直线4M与直线尸C所成的角为60。，

□过点例作M/VEJCB于N点，连接入M

贝皿4例/\/=60。，在□C/W中，由勾股定理可得沥=夜,

在RJ/1AW中，MN=———=也.昱=旦,

tan/AMN33

近

在RS™中，tan/MCN="LZ=®

CN13

15.(1)见解析

(2)J

【解析】

【分析】

(1)由线面垂直的判定定理可得附，平面A8C,从而可得以，双),证明瓦〃AC,再根

据线面垂直的判定定理可得平面PAC,再根据面面垂直的判定定理即可得证；

(2)由线面垂直的性质可得PAL3C,再根据线面垂直的判定定理可得BCJ_平面卓

则有8C_LP3,从而可得NPBA即为二面角Q—BC-/4的平面角，从而可得出答案.

(1)

证明：因为E4MB,PAQAC,ABr>AC=A,

所以PA,平面A8C,

又因Qu平面ABC,所以以_LQ,

因为。为线段4C的中点，AB=BC,

所以血〃AC,

又PAAC=A,所以平面PAC,

又因为3Du平面BDE,

所以平面BDE□平面PAC；

(2)

解：由(1)得PA_L平面A3C,

又8Cu平面A3C,所以以_LBC,

因为/ABDBC,PAAB=A,

所以8CL平面PAB,

因为P3u平面如，所以

所以NPBA即为二面角P-BC-A的平面角，

在RfPAB中，PA=AB=2,

所以tan/PBA=l,所以NP8A{,

即二面角P-BC-A的平面角的大小为？

16.B

【解析】

【分析】

过点8作3ZUSC于，连接以，证得4D4为二面角3-SC-A的平面角，进而求出SC的长

度，然后取SC的中点。，证得。为空间四边形SABC外接球的球心，从而可知SC为球直径，

从而结合球的表面积的公式即可求出结果.

【详解】

s

过点3作必，SC于，连接04,由于心A5BC和朋ASAC全等，所以4)，SC,AD=BD,所

以4n4为二面角5-SC-A的平面角，即ZBZM=120,在△A3。中，结合余弦定理得

AB2=BD-+AD2-2BD-AD-cosZBDA,即3=-2B。-,因此3=38£>2,因为比>>0,

所以双>=1,

在必△SQ中，sin/BSD=；,从而N8S£>=*,在W/XSBC中，cosZBSD=^-=—,又因为S8=2,

262SC

所以5C=殍，取SC的中点。，连接。民。4,由于SC是用ZXSBC和&ASAC的斜边，所以

OB=OA=OS=OC,故。为空间四边形皿C外接球的球心，SC为球直径，所以空间四边形

SMC外接球的半径为苧，所以空间四边形S说外接球的表面积为4"(¥j=等，

故选：B.

17.(1)证明见解析;

⑵3

【解析】

【分析】

⑴利用给定条件证得8,平面SAD即可推理作答.

(2)作出二面角E-AC-。的平面角，求出SA的长即可借助锥体体积公式计算作答.

⑴

在四棱锥S-M8中，四边形ABCD是正方形，贝|J8_LAD,

又S4J_平面ABC。，C£>u平面ABCD,即8_1_必，而仞S4=A,AD,S4u平面SAD,

于是得CD_L平面&W,又AEu平面SW,

所以CZ)，AE.

⑵

在平面SAD内过点£作硒//SA交/AD于点N,如图，而S4_L平面ABC。，则EN_L平面ABC。,

ACu平面ABC。，则ENLAC,过点A/作MN,AC,垂足为点M,连接日W,

因ENcMN=N,EN,MNu平面EMN,因此AC_L平面EMN,又£Mu平面EMN,贝！JAC_L£M,

EMu平面以C,MVu平面AC。，平面EAC平面ACD=HC,贝!J/EMN是二面角E-AC-D的

平面角，即NEMV=45。，

1155

而OE=2SE,而EN//SA,贝！jAN=qAZ)=w，又NNAM=45,则有MN=^AN=注，

3326

由EN1平面4BCD,肱Vu平面ABCD得ENLMZV,于是得EN=MN=注，

6

而SA=?EN曰华=当正方形ABCD的面积为1,因此，四棱锥S3Q的体积为

2264

_I.V2_V2

VvS-ABCD《"以彳二五，

所以四棱锥S38的体积是冬,

18.(1)证明见解析

⑵位

''26

【解析】

【分析】

(1)根据等腰三角形的性质、余弦定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；

(2)根据二面角的定义、线面角的定义，结合余弦定理进行求解即可.

⑴

取AB中点0,连接P0,DO.

因为△P4?为等边三角形，所以POLA3.

设他=1,因为言45。为等腰三角形，且NA6C=120。，所以

AC=^1+1-2x1x1x(-1)

，AD=T，

在AABD中，ABAC=30°,由余弦定理得:

B•D=J1[,―H--1---2cx1,x—3x—石=—£,

V3323

所以=故Z)O，A3.因为尸O£>O=O,PO,Z)Ou平面PDO,所以加，平面叨0,从而

AB.LPD.

(2)

在以上取点E,使AE=：AP,连接即，则即//收，

所以直线PC与平面叩所成角等于直线中与平面尸他所成角，

由(1)平面叨。，得平面PDOL平面过。作DFLPO于F,则"JL平面PAB,连

接EF,则ZDEF为直线红>与平面网所成的角.

又由(1)知二面角p-钻-。的平面角为"8=120。，所以“O尸=60。，

设AB=1,贝“AO邛，=OD=^AD=^-,PO~,

所以在P8中，余弦定理得：

在△皿）中求得，cosZPAD=P—A£>2~pp2=—,

2PAAD8

在二A3E中，余弦定理得：

DE=J岸—2x旦上更=姮,又DF=DOsin/DOF=；

V9933864

所以,山/°所嗯=塞=誓.

~6~

即直线PC与平面网所成角的正弦值为坐.

26

19.B

【解析】

【分析】

由直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.

【详解】

□中，直线m垂直于平面a内的一条直线〃，则直线m与平面a不一定垂直，所以口

不是真命题；

□是直线与平面垂直的定义的应用，所以□是真命题；

口是直线与平面垂直的性质定理，所以□是真命题；

□中，分别在两个平行平面a,。内的直线〃平行或异面，所以□不是真命题.

故选：B.

20.D

【解析】

【分析】

由题意利用平面与平面平行的判定和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结

论.

【详解】

解：当a内有无穷多条直线与夕平行时，。与A可能平行，也可能相交，故A错误.

当直线尸时，。与万可能平行也可能相交，故B错误.

当直线aua,直线bu",且a/R,blla,如果〃都平行明夕的交线时满足条件，但

是a与夕相交，故C错误.

当a内的任何直线都与夕平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故D

正确；

故选：D.

21.C

【解析】

【分析】

口利用平面与平面的位置关系判断；□利用线面垂直的性质定理判断；□利用直线与直

线的位置关系判断；口利用面面垂直的性质定理判断.

【详解】

□若a”，则a/R或。，/相交，故错误；

□若mX.p,则可得a//，故正确；

二若〃7〃c,nLa,贝！故错误；

□若a_L尸，aP=m,n±m,当"ua时，nA.P,故错误.

故选：C

22.D

【解析】

【分析】

根据面面垂直、线线垂直的有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】

依题意。2=/,直线“ua,直线bu尸，且直线“，b,/不重合，

对于A选项，…,alh,且匕与/不垂直，

设cu夕,cJ_/,则"c相交，根据面面垂直的性质定理可知c_La,所以

由于江娟,。相交，所以a",所以.所以A选项正确.

对于B选项，a、［),b±l,根据面面垂直的性质定理可知"c,所以"a,所以B选项

正确.

对于C选项，alb,bri,且a与/不平行，则相交，所以b_Ltz,由于人＜=夕，所以a”,

所以C选项正确.

对于D选项，a^l,b±l,a与A不一定垂直，所以D选项错误.

故选：D

23.B

【解析】

【分析】

由线面平行与垂直的性质可判断口；由线面平行与线面位置关系可判断口；由面面垂直

的判定口；由线面平行与线线位置关系可判断口

【详解】

\jm//a,nla,由线面平行与线面垂直的性质可知，故□正确；

Qm//a,m//n,则可能是"ua,故匚错误；

UaLy,a//p,则由面面垂直的判定可知?,故□正确；

二若加〃a,〃〃a,则〃?，”可能是异面，故□错误;

正确说法的个数为2,

故选：B

24.C

【解析】

【分析】

对于口，a与夕相交或平行；对于口，由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得a，6；

对于□，川与夕相交、平行或mu/；对于口，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理

得机_Ly.

【详解】

对于口，2,贝心与夕相交或平行，故□错误；

对于口，祖JLa,mVn,则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得,故口

正确；

对于口，«'/?=«,mVn,贝！与月相交、平行或机u/,故□错误；

对于口，a”,PM,则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得，”，乙故

□正确.

故选：C

25.B

【解析】

【分析】

根据线面，面面的关系可判断得选项.

【详解】

解：垂直于同一直线的两个平面互相平行故□为真命题；

需要一个平面内有的两条相交直线与另一个平面都平行，这两个平面才相互平行，故口

为假命题；

由线面垂直的定义：一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直

于这个平面.故□为真命题，

故真命题的个数是2个，

故选：B.

26.C

【解析】

【分析】

根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

对于A选项，若机ua,nUa,则加〃〃或异面，故A选项错误；

对于B选项，若则。〃尸或相交，故B选项错误；

对于C选项，由尸，力〃7得a//y,所以当m_La时，机”，故C选项正确；

对于D选项，若M夕=","〃〃且机＜za,机＜Z尸时，m!la,ml10,故D选项错误；

故选：C

27.证明见解析

【解析】

【分析】

根据面面平行的判定定理进行证明.

【详解】

由于E，F分别是PC。的中点，

所以£尸是三角形PC。的中位线，

所以EF//DC,

由于。C//AB,所以EF//AB,

由于EFg平面/VLB,A8i平面a

所以£尸〃平面

由于E，G分别是PCBC的中点，

所以EG是三角形PBC的中位线，

所以EG//P8,

由于EGu平面抬B,P3u平面的，

所以EG//平面尸9.

由于稗EG=E,

所以平面闩犯//平面EFG.

28.(1)证明见解析(2)膂

【解析】

【分析】

(1)由条件可得加，所，取过点尸作中//BC交8E于点“，连接肝，可证)，所，从而可

证明结论.

(2)由平面ABC"平面BEFC结合面面垂直的性质可得平面BEFC,过C作

CMD交E尸的延长线于例，连接。例，可得“MC为二面角£>-EF-C的平面角，然后

求解三角形得答案.

【详解】

⑴□平面A8C。，平面BEFC,平面ABCO平面8EFC=BC,ABYBC,

口AB,平面BEFC,EFu平面BEFC,所以ABJL所

取过点/作切//BC交8E于点“，则F//_L3E且

所以HE=JE尸_尸”2故3E=4

连接防，由条件可得CF=3,BC=6,所以防=VE百赤=盾=26

所以8炉=8产+EU