人教A版2019高中数学选择性必修第二册 导数的概念及其意义 讲义（解析版）

导数的概念及其意义

【人教A版2019】

・模块一导数的概念

・模块二导数的几何意义

・模块三课后作业

导数的概念

1.瞬时速度

（1）平均速度

设物体的运动规律是s=s（r）,则物体在到曲+A;这段时间内的平均速度为丸='。丁七'♦.

（2）瞬时速度

①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

②一般地，当无限趋近于0时，器无限趋近于某个常数口我们就说当趋近于0时，器的极限

A

是v,这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度尸lim卓=lims（.+?—s"。）.

△ioAIOAt

2.函数的平均变化率

函数平均变化率的定义

对于函数产加），设自变量尤从X。变化到Xo+Ax,相应地，函数值y就从黄羽）变化到/（xo+△尤）.这时，尤

的变化量为A无，y的变化量为Ay寸x°+Ax）-/（x。）.我们把比值?，即卓=二1+.）一/二。）叫做函数

y=/（x）从X。至b0+A尤的平均变化率.

考点剖析

【考点1瞬时速度、平均速度】

【例1.1］（2023下•辽宁沈阳•高二校考阶段练习）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心

相对于水面的高度/?（单位m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系/i（t）=一4.9产+4.8t+11.该运

动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（）

A.10.9B.-0.1C.6D.-5

【解题思路】对函数求导，将t=1代入导函数求瞬时速度即可.

【解答过程】由题设"（t）=-9.81+4.8,则〃（1）=一9.8+4.8=-5,

所以运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为一5.

故选：D.

【例1.2］（2023下•贵州•高二校联考阶段练习）球的体积V（单位：cm3）与半径R（单位：cm）的关系为

1/=：TTR3,贝|jR=3cm时体积关于半径的瞬时变化率为（）

A.9IIB.18irC.27nD.36n

【解题思路】根据导数的物理定义，对函数求导代入R=3cm即可求解；

【解答过程】由^=六尺3,得：广二风解，

所以R=3cm时体积关于半径的瞬时变化率为，，=4TCx32=36n;

故选：D.

【变式1.1X2023下•山东枣庄•高二校考阶段练习）一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=/+23

设其在te［2,3］内的平均速度为巧，在t=3时的瞬时速度为畛，则也=（）

V2

A.-B.-C.-D.-

6877

【解题思路】根据平均变化率和瞬时变化率的定义，可分别计算求得％=7,%=8即可得出结果.

【解答过程】根据平均速度定义可知，

在t£［2,3］内的平均速度为%=^=32+2X：72X2=7；

在t=3时的瞬时速度为"2=lim（3理r+2x（3把0-32-2x3=1而（8+At）=8;

At-*0AtAJO

所以也=1

v28

故选：B.

【变式1.2］（2023.高二单元测试）某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移（单

位：m）关于时间（单位：s）的函数为s«）=—y一4户+20/+15,则丁⑴的实际意义为（）

A.汽车刹车后1s内的位移

B.汽车刹车后1s内的平均速度

C.汽车刹车后1s时的瞬时速度

D.汽车刹车后1s时的位移

【解题思路】根据导数的物理意义判断.

【解答过程】解：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.

故选：C.

【考点2平均变化率】

【例2.1］（2023下•北京房山•高二统考期末）函数/。）=2工+1在［-1,2］上的平均变化率是（）

21777

A.—B.-C.-D.—

22612

【解题思路】根据平均变化率概念直接计算即可.

【解答过程】由题意得平均变化率为喑舁=互=二=g

故选：C.

【例2.21（2023下•江西九江•高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的

函数图象如图.记该车在时间段内,5，心工］，L/J上的平均速度的大小分别为瓦，酝用而

则平均速度最小的是（）

【解题思路】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合

图形即可求解.

【解答过程】由题意知，汽车在时间［。,以，心工］，电,切，必㈢上的平均速度的大小分别为瓦，乐可，

设，

设路程y与时间t的函数关系为y=/（t）,

则无=即为经过点（口）（幻）,《2厅92））的直线的斜率心，

同理无为经过点«2，/«2）），（功）«3））的直线的斜率的，

可为经过点«3/«3）），&，/0））的直线的斜率/

场为经过点&f（2）,（Q,/«4））的直线的斜率题，如图，

o

由图可知，自最小，即,最小.

故选：C.

【变式2.1］（2023下•江西新余•高二统考期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月

球表面1800m处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约

1800m/s降为零.12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记探测器与月球表面距离的平均变化率为u,

相对月球纵向速度的平均变化率为a,则（）

A.u=|m/s,a=|m/s2B.v=|ni/s,a=—|m/s2

C.v——jm/s,a=—|m/s2D.v=—jm/s,a=|m/s2

【解题思路】根据已知条件，结合平均变化率的计算公式，即可求解.

【解答过程】探测器与月球表面的距离逐渐减小,

则"黑=一2，

探测器的速度逐渐减小,

则af-|m/s2,

故选：C.

【变式2.2］（2022下.北京•高二校考期中）为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血

管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f（t）.甲、乙两人服用该

药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示.

<c(ingmL)

甲

0JnA)

给出下列四个结论:

①在匕时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同;

②在t2时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③在［t2/3］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

④在©52］,［6打］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.①③④C.②③D.①③

【解题思路】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切

线的斜率，平均变化率是再结合图象，逐一判断选项即可.

【解答过程】解：对于①，在tl时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正确；

对于②，在t2时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的厂(12)不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的

瞬时变化率不相同，即②错误；

对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在卜2,匕］内，血管中药物浓度的平均变化率均为处止皿，即

13T2

③正确；

对于④，在山，和住2,匕］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为“-)和‘⑺力⑵,

12Tl13T2

显然不相同，即④错误.

故正确的只有①③；

故选：D.

【考点3利用导数的定义解题】

【例3.1］(2023下•河北廊坊•高二校联考开学考试)函数f(x)在R上可导，若尸(2)=3,则

、

lim/-(-2--+--3-A---x-)---/-(-2--A--x--)=(/)

Ax->0AX

A.12B.9C.6D.3

【解题思路】根据题意，由导数的定义，代入计算，即可得到结果.

【解答过程】limf(2+3Ax)-f(2-A支)=4Xlim"2+3Ax)-f(2-Ax)=，⑵=12

△%70AXAX^O4AXY

故选：A.

【例3.2】(2022下.江西赣州.高二校联考期中)设/(%)存在导函数且满足点印」⑴力=Ax)=一1,则曲线

y=f(久)上的点(1)(1))处的切线的斜率为()

A.-1B.-2C.1D.2

【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解.

【解答过程】解：因为“%)存在导函数且满足limf⑴士3)=了=-1,

JAx-^O2AxAl%i->m0l-(l-2Ax)

所以尸(1)=-1,即曲线y=/(x)上的点处的切线的斜率为—1,

故选：A.

【变式3.1】(2023下•河南驻马店•高二统考期末)定义在R上的函数y=/(久)在区间[2,2+△%](△%>0)内

的平均变化率为署=(A%)?+2Ax+1,其中=/(2+-/⑵，则函数/(久)在x=2处的导数尸⑵=

()

A.-1B.1C.3D.9

【解题思路】利用导数的定义可求得尸(2)的值.

【解答过程】由导数的定义可得广⑵=京续卫黑*=Jim[(A%)2+2A%+1]=1,

故选：B.

【变式3.2](2023・高二课时练习)定义1•2•3••…n=n!,已知函数/(%)=%(%-1)(%-2)…式-2020)

在(一1,+8)内的导函数为广(%),广(2019)的值为()

A.2019!B.-2019!C.2020!D.-2020!

【解题思路】利用导数的定义公式尸Oo)=/更1°3乎鱼2可知，r(2019)-Jim/(2019+^~/(2019),即

可解出.

【解答过程】因为/'(2019+Ax)=(2019+4x)(2018+Ax)-(1+4x)Jx(-l+4x),

“2019+墨一"2°⑼=(2019+4x)(2018+Zlx)•••(1+4x)(-l+4x),

所以/''(2019)=lim"2019+油~八2°19)=Hm[(2019+4x)(2018+Ax)-(1+4x)(-l+4%)]=-2019!

Zlx->0Ax-^0

故选：B.

1.函数在某点处的导数的几何意义

(1)切线的定义

在曲线y=/(尤)上任取一点P(尤小))，如果当点P(x段))沿着曲线y=/(x)无限趋近于点八平次判))时，害峨

无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P°T(T是直线品7上的一点)称为曲线y寸尤)在点八处

的切线.

(2)函数在某点处的导数的几何意义

函数y=A尤)在x=x。处的导数/(X。)就是切线八7的斜率腌，即腌={£晨=/(工°).这就

是导数的几何意义.相应地，切线方程为y戈/)=/('°)(六"°).

考点剖析

【考点4求曲线切线的斜率(倾斜角)】

【例4.1](2023•全国•高三专题练习)函数/O)=婷—3乂+1在点P(l,—1)处切线的斜率为()

A.-1B.-3C.1D.0

【解题思路】利用导数的几何意义即可得.

【解答过程】由于f'(无)=3x2-3,所以尸(1)=3—3=0.

故选：D.

【例4.2](2023下•山东荷泽•高二统考期末)如图，函数y=/0)的图象在点P(l,yo)处的切线是1，则/(D+

/⑴=()

A.1B.2C.0D.-1

【解题思路】根据函数图象中的数据求出切线Z的方程，从而可求出点P的纵坐标，则可得/(I),求出直线

的斜率可得尸(1)的值，从而可得答案.

【解答过程】由图象可得切线过点(2,0),(0,2),所以切线[的方程为|+：=1,即y=2-x,

所以切线的斜率为一1,所以尸(1)=-1

因为点PQ,小)在切线上，所以=2—与=2-1=1,所以/(I)=1,

所以八1)+/(1)=1-1=0,

故选：C.

【变式4.1](2023下•安徽宿州•高二校考阶段练习)已知函数y=/(£)可导，且妈/。+黑力。=1,则曲

线y=f(x)在点(1)(1))处的切线倾斜角为()

A.45°B.60°C.120°D.135°

【解题思路】根据导数的定义和几何意义可知曲线y=/(x)在(1,/(D)处的切线斜率，结合斜率的定义即可

求解.

【解答过程】由lim⑴=1,可得尸(1)=1,

Ax-oAX

则曲线y=/(久)在(1J(l))处的切线斜率为1,

由tan。=1(。为倾斜角)，3E[0°,180°),可得。=45。.

故选：A.

【变式4.2](2023下•安徽•高三校联考开学考试)若直线y=a久-1是曲线f(x)=x+Inx在某点处的切线，

则实数a=()

A.-1B.1C.2D.3

【解题思路】设切点，求导数利用已知建立方程组解出即可.

【解答过程】设切点为4(小,也，

由/(x)—x+Inx,

得/(%)=1+3

则((m)=1+'=a①，

由题意得：=a2;l,

联立①可得，fn=m=1,

Ia=2

故选：C.

【考点5求在曲线上一点的切线方程、过一点的曲线方程】

【例5.11(2023•陕西咸阳•校考模拟预测)已知函数人久)=2一1，则曲线y=/(久)在点处的切

线方程为()

A.ex+y+1=0B.ex—y+l=0

C.ex+y-1=0D.ex—y—1=0

【解题思路】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.

【解答过程】由久久)=2一1，得/⑺=一±，

所以尸(-1)=一e,又f(一l)=e-L

故曲线y=/(%)在点(一1,/(一1))处的切线的方程为y-(e-1)=-e(x+1),即ex+y+1=0.

故选：A.

【例5.2](2022.四川广安.广安二中校考二模)函数/(©=/心过点(o,o)的切线方程为()

A.y=0B.ex+y=0C.丫=0或％+6丫=0口.丫=0或6%+)/=0

【解题思路】设切点(m,ni2eM),利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过(0,0)代入求参数

m,即可得切线方程.

【解答过程】由题设/''(%)=(2x+x2)e*,若切点为(m,nt?e771),则/(m)=(2zn+巾?"吃

所以切线方程为y—m2em=(2m+m2)em(x-m),又切线过(0,0),

则病e771=(2+rn)m2em,可得m=0或m=—1,

当m=0时，切线为y=0；当m=-1时，切线为ey—1=—(x+1),整理得x+ey=0.

故选：C.

【变式5.1](2022•全国.模拟预测)己知函数人%)=—j+3x,则过点(―3,—9)可作曲线y=/(x)的切线

的条数为()

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】设切点为(a,-a3+3a),根据导数的几何意义求得在切点(a,-3a)处的切线方程，再将

(—3,—9)代入，求得a的值，即可得解.

【解答过程】解：因为/⑺=-X3+3x,所以((%)=-3x2+3,

设切点为(a,―〃+3a),

所以在切点(a,—+3a)处的切线方程为y=-3(a2—l)(x—a)—a3+3a,

又(一3,-9)在切线上，所以一9=-3(a2-1)(-3-a)-a3+3a,

即—9—3(CJ2—1),(3+a)-a，+3a,

整理得2a3+9a2=0,解得的=。或a2=—

所以过点(-3,-9)可作曲线y=/(x)的切线的条数为2.

故选：C.

【变式5.21(2023上•广东揭阳•高三统考期中)设a6R,函数/(x)=/一2a/+(a+3次的导函数为广⑺,

若尸(久)是偶函数，则曲线y=/(久)在原点处的切线方程为()

A.y=3%B.y=-2xC.y=-3xD.y=2x

【解题思路】对函数求导，利用偶函数性质求得a=0,再根据导数的几何意义求切线方程.

【解答过程】由题设尸(%)=3x2-2ax+(a+3)是偶函数，

3(—x)2—2a(—x)+(a+3)=3x2-2ax+(a+3),

解得a=0,

・・.k=r(o)=3,

曲线y=/(%)在原点处的切线方程为y=3x.

故选：A.

【考点6函数图象与导函数的关系】

【例6.1](2023下•高二课时练习)函数y=/(%)的图象如图所示，它的导函数为y=r(%),下列导数值

排序正确的是()

~o\_1~2_3~X

A./XI)>一⑵>/(3)>0B.尸⑴<一(2)</(3)<0

C.0</(1)<尸(2)<尸(3)D.尸⑴>。”)>0>尸(3)

【解题思路】利用导数的几何意义以及切线斜率的变化可得出结论.

【解答过程】由图象可知，函数y=f(x)在[0,+8)上单调递增，所以当x20时，/(%)>0,

即尸⑴>0,r(2)>0,((3)>0,

又因为曲线在点(x,f(x))处切线的斜率随着%的增大而减小，即y=f0)在点(x"(x))处切线的斜率随着x的

增大而减小，

故;(1)>((2)>((3)>。

故选：A.

【例6.2](2022•全国•高二专题练习)已知函数f(x)满足在(久J>0,尸出)<0,则在与和右附近符合条

件的/(%)的图象大致是()

【解题思路】根据导函数的几何意义分析求解即可.

【解答过程】由尸(%1)>0,/"(%2)<0,可知f(x)的图象在勺处切线的斜率为正，在型处切线的斜率为负，

选项A：f(x)的图象在尤1和右处切线的斜率都为负；

选项B：f(x)的图象在的处切线的斜率为负，在久2处切线的斜率为正;

选项C:f(x)的图象在/处切线的斜率为零，在刀2处切线的斜率为正;

选项D:/(比)的图象在X1处切线的斜率为正，在不处切线的斜率为负;

故选：D.

【变式6.1](2023下•安徽滁州•高二校考阶段练习)函数y=/(久)的图象如图所示，/(久)是函数/(%)的导

函数，则下列大小关系正确的是()

A.2尸(4)<f(4)一f(2)<2/(2)

B.2广(2)</(4)1/(2)<2尸(4)

C.2/(4)<2/(2)<八4)一八2)

D./(4)一/(2)<2尸(4)<2/(2)

【解题思路】由函数图象及导函数几何意义得到尸(2)〈空警<尸(4),得到答案.

4—2

【解答过程】由图象可知/(%)在(0,+8)上单调递增，的<fcAB<k2,

故尸(2)<弋平<(⑷,即2尸(2)</(4)-/(2)<2/(4).

4-Z

故选：B.

【变式6.2】（2023下•山东•高二校联考阶段练习）已知函数f（x）的导函数为尸（久），月（x）,/2（x）,73（久）的图象

如图所示，贝!］（）

A.——A>/2（。）>f'3（A

B.广式a）>尸3（a）>广2（a）

C.-2（a）>尸式。）>:3（。）

D./1（a）>尸］（a）>f7（a）

【解题思路】直接根据导数的几何意义得到答案.

【解答过程】尸式矶/乂G/）①）分别表示在％时，对应切线的斜率，

根据图象知广式。）>尸2（切>/7（a）.

故选：A.

模块三1课后作业

1.（2023下•湖北黄冈•高二校联考期中）已知质点M在平面上作变速直线运动，且位移S（单位：m）与

时间，（单位：s）之间的关系可用函数：S=ln（t+1）+2/+1表示，则该质点M在t=2s时的瞬时速度

为（）

A.—m/sB.9+ln3m/s

C.—m/sD.4+21n3m/s

【解题思路】先对函数求导，然后把t=2代入即可求解.

【解答过程】因为S=In（t+1）+2t2+1,

所以及=」-+43

令t=2,得瞬时速度为（+8=§m/s.

故选：A.

2.（2023上•北京・高二清华附中校考期中）已知函数“乃=ln（x+l）,则/（I）,号，号的大小关系为（）

A.f⑴＜号＜等B.与〈/⑴（号

c.号＜与＜/⑴D..⑴(号

【解题思路】画出函数fO)=ln(x+l)的图象，观察(x,/0))与(0,0)连线的斜率即得.

【解答过程】作出函数〃式)=ln(x+l)的图象，如图所示.

由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着x的增大而减小.

由1＜2＜3,得3＞但＞如，即胆〉®＞®,

1-02-03-0123

故选：C.

3.(2022下•河北承德•高二校联考阶段练习)已知/(久)是定义在R上的可导函数,若妈o"38[(3+Ax)=4,

则尸(3)=()

A.0B.-2C.1D.--

2

【解题思路】对条件变形，利用导数的定义求解出到数值.

【解答过程］因为limf(3-Ax)V(3+Ax)=1,所以］im"3-Ax)-f(3)+f(3)-f(3+Ax),

△%T0AXAX^O

/(3—A%)/(3)f(3+3-1(3)

—limlim=—2/⑶=4

-△x^O-Ax△%T0△x

故尸(3)=-2.

故选：B.

4.(2023下・江苏苏州•高二校联考期中)函数/(%)的图象如图所示，/'(%)为函数/(%)的导函数，下列排序

正确的是()

A.f(a+1)—/(a)<f\a)<f\a+1)

B.f\a+1)<fr(a)<f{a+1)—/(a)

C.f'(a+1)<f(a+1)-/(a)<f'(,a)

D.f'(a)<f(.a+1)—/(a)<f'{a+1)

【解题思路】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断.

【解答过程】因为r(a)、f'(a+1)分别是函数f(久)在x=a、x=a+1处的切线斜率，

由图可知/(a+1)</(a)<0,

又/(a+1)-/(a)==尸&),xe(a,a+1),

(a十J-a0

所以/'(a+1)<y(a+1)-/(a)

故选：C.

5.(2023下•福建漳州•高二校考阶段练习)设/(乃为可导函数，且当~0时，f⑴妾3--1，则曲线

y=/(x)在点处的切线斜率为()

A.2B.-1C.1D.-2

【解题思路】由导数的定义及导数的几何意义即可求解.

【解答过程】解：由导数的几何意义，点处的切线斜率为f(1),

因为&C—0时，/⑴-"13tT,

所以尸(1)=lim"A"1")=2lim,⑴力-泡=-2,

所以在点(I"⑴)处的切线斜率为-2,

故选：D.

6.(2023下•福建•高二校联考期中)若一射线OP从。4处开始，绕。点匀速逆时针旋转(到OB处为止)，

所扫过的图形内部的面积S是时间t的函数，SQ)的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是()

BB

/P

C.°AD.OA

【解题思路】逐个分析扫过部分的面积增速的快慢即得.

【解答过程】因为0P是匀速旋转，

选项A,OP扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢,

不合题意；

选项B,0P扫过的;圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意；

选项C,。尸扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢,

不合题意；

选项D,OP扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D符

合.

故选：D.

7.（2023上•四川南充•高三校考阶段练习）过函数/（久）=}--/图象上一动点作函数图象的切线，则切

线的倾斜角的取值范围是（）

A•［喝U&刃B.

C•图陪力D.阿喏同

【解题思路】利用导数求得切线的斜率的范围，进而求得倾斜角的范围.

【解答过程】依题意，/（%）=|x3-x2,则尸（久）=%2-2%=（%-I）2-1>-1,

即切线的斜率的取值范围是［-1,+8）,

所以倾斜角的取值范围是［o,fU旨7T）.

故选：B.

8.（2023下•山东东营•高二统考期末）已知a为实数，函数f（x）=3x3+2ax2+（2+a）x的导函数为广（x）,

且尸（久）是偶函数，则曲线y=/（久）在点（1）（1））处的切线方程为（）

A.11%—y—6=0B.9%+y—6=0

C.5x-lly+2=0D.6x+5y-11=0

【解题思路】由偶函数的定义确定参数Q的值，再根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.

【解答过程】因为/(%)=9%2+4a%+2+。是偶函数，

所以((一％)=9x2—^ax+2+a=9x2+4ax+2+a=尸(%),

所以a=0,故之(%)=9x2+2,/(%)=3x3+2x,

所以f(l)=5,/(I)=11,

故曲线y=/(%)在点(L/(l))处的切线方程为y-5=11(%-1),

即11%—y—6=0.

故选：A.

9.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=In%与g(%)的图象关于直线y=%对称，直线/与g(%),h(%)=ex+1-

1的图象均相切，贝心的倾斜角为()

A.-B.-C.-D.—

6434

【解题思路】根据/(x)=Inx与g(x)的图象关于直线y=乂对称，得到g(x)=眇，设直线呜函数。(久)=眇的

图象的切点坐标为(/,e%),与函数/i(£)=ex+1-1的图象的切点坐标为(犯,即2+1—1),由斜率相等得到

X1=x2+1,然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.

【解答过程】解：因为函数f(x)=Inx与g(x)的图象关于直线y=x对称，

所以f(x)=Inx与g(x)互为反函数，所以g(%)=e*,

则g'(x)=e*.由h(x)=e*+i—1,得“(x)=e8+i,

设直线I与函数g(x)=眇的图象的切点坐标为(xi，e%),

与函数h(x)=ex+1-1的图象的切点坐标为(亚,a2+1-1),

则直线I的斜率k=e%=眇2+1,故jq=&+1,

显然看丰%，故k=----1e1=~=1,

2%2一%1—1

所以直线Z的倾斜角为:，

4

故选：B.

10.(2023•全国•模拟预测)若过点P(zn,0)与曲线f(x)=称相切的直线只有2条，则机的取值范围是()

A.(—co,4-00)B.(-00,-3)U(1,+oo)

C.(—1,3)D.(—8,—1)u(3,+8)

【解题思路】求得f'(X)=-W，求得切线PQ方程产+(1-巾”+1=0,结合题意，转化为方程/+(1-

m)t+l=0有2个不等实根，根据二次函数的性质，即可求解.

【解答过程】设过点P(/n,0)的直线与曲线f(x)=签相切于点Q(t,空)，

£+1_

由f(x)=攀，可得尸(久)=一・，所以切线PQ的斜率k=一(=三0，

整理得产+(1-m)t+1=0,

因为切线有2条，所以切点有2个，即方程产+(1-m)t+l=0有2个不等实根，

则4=(1-m)2—4>0,解得m>3或m<-1,

所以ni的取值范围是(一8,-1)u(3,+8).

故选：D.

11.(2023・全国•高二随堂练习)已知函数y=/国)=一2久+1.

(1)当尤从1变为2时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？

(2)当尤从-1变为1时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？

(3)该函数变化的快慢有何特点？求该函数在x=L久=3处的瞬时变化率.

【解题思路】根据函数的平均变化率计算即可解决(1)(2),由瞬时变化率的定义求(3).

【解答过程】(1)Ay=/(2)-/(I)=—2,?=三=—2,

故函数值y改变了-2,此时该函数的平均变化率是-2.

(2)Ay==-4,^=^-=-2,

‘八'八"Ax1-(-1)

函数值y改变了-4,此时该函数的平均变化率是-2.

(3)这个函数的变化是均匀，变化率为定值.

Vlim"x+Ax)-f(x)=lim卫=—2,

△%T0AXAX^OAX

.••故函数的瞬时变化率为定值-2,

该函数在x=1,x=3处的瞬时变化率都为—2.

12.(2022.高二课时练习)如图，A,B,C,D,E,F,G为函数y=/(©图象上的点.在哪些点处，曲线

的切线斜率为0?在哪些点处，切线的斜率为正？在哪些点处，切线的斜率为负？在哪一点处，切线的斜率

最大？在哪一点处，切线的斜率最小？

【解题思路】根据导数的定义以及函数的图象判断即可.

【解答过程】解：根据导数的定义结合图象可知，

在E,尸处曲线的切线的斜率是0,

在4,B,C处曲线的切线的斜率是正，

在D,G处的曲线的切线的斜率是负，

在B处的切线的斜率最大，在。处的切线的斜率最小.

13.