高考数学 特色题型汇编：计数原理原理与概率统计解答题-独立性检验（原卷及答案）（新高考地区专用）

计数原理原理与概率统计解答题——独立性检验

I.为了调查高一年级选科意愿，某学校随机抽取该校100名高一学生进行调查，拟选

报物理和历史的人数统计如下表：

物理(人)历史(人)

男505

女2520

(1)能否有99%的把提认为选科与性别有关？

(2)若用样本频率作为概率的估计值，在该校高一学生中任选3人，记J为三人中选物理

的人数，求自的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k'}0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小

于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一

级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三

级果.已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验,得到如下统计表格：

直径小于70毫米直径不小于70毫米合计

着色度低于90%101525

着色度不低于90%156075

合计2575100

(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和

色泽达标有关；

(2)该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取

3个，求抽到二级果个数X的概率分布列和数学期望.

附：

0.0500.0250.010

3.8415.0246.635

n^ad-bcy

2其中"=a+b+c+d.

K(a+b)(c+d)(4+c)(Z>+d)'

3.国家对待疫情的态度和采取的举措令人敬佩，展示了负责任大国的担当，其中疫情

防控的措施之一为：要求与新冠肺炎确诊患者的密切接触者集中医学观察14天，在医

学观察期结束后发现密切接触者中60岁以上的老年人感染病毒的比例较大.对某市200

个不同年龄段的结束医学观察的密切接触者样本进行感染病毒情况统计，得到下面的列

联表：

年龄/人数感染病毒未感染病毒

60岁以上3060

60岁及60岁以下2090

(1)是否有95%的把握认为密切接触者感染病毒与年龄有关；

(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染病毒的频率估计概率，现从某市所有结束医

学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染病毒人数统计，求其中至少有3人感染病

毒的概率；

(3)某市现有一个中风险小区，政府决定对小区内所有住户进行排查，在排查期间，发现

一户4口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行

“核酸”检测，每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为

“感染高危家庭”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为，(0<〃<1)且相互独立，该

家庭至少检测了3名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为，(〃)，当。=勿时,

/(P)最大，求机的值.

n^ad-bcY

附：Z2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

p(9次)0.10.050.010

2.7063.8416.635

4.2021年8月国务院印发《全民健身计戈U2021-2025》，《计划》中提出了各方面的

主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健

身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身

社会氛围等.在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜伽馆

在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查.

愿意不愿意合计

男性252550

女性401050

合计6535100

(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式''与性

别有关？

n(ad-bc)2

(a+b)(c++c)(b+d)

2

P(k>x0)0.1000.0500.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

(2)为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全

市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽

样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加.市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴,

补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元.求补贴金额的分布列及数学期望(四

舍五入精确到元)

5.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市

某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据:

年度2018201920202021

年度序号X1234

不戴头盔人数)125010501000900

(1)请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号x之间的回归直线方程y=bx+a,并

估算该路口2022年不戴头盔的人数；

(2)交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与

事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有

关？

不戴头盔就头盔

伤亡73

不伤亡1327

参考公式：7-------=-------,a=y-bx

fx：-而2£（七-寸

/=1/=1

P（K2..k）0.100.050.025（）.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

n(ad-bc)2

K2其中n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(6+")

6.已知某区A、B两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9:11,该区教育局为

了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在A、8两校初•一年级在校学生中共抽取

了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直

做作业时间/小时

(1)在抽取的100名学生中，A、8两所学校各抽取的人数是多少？

(2)该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值

作代表)和做作业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数

值；

(3)另据调查，这100人中做作业时间超过3小时的人中的20人来自A中学，根据已知条

件填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为“做作业时间超过3小时”

与“学校”有关?

做作业时间超过3小时做作业时间不超过3小时合计

A校

8校

合计

附表:

P(K2>k)0.100.050.0250.010().001

k2.7063.8415.0246.63510.828

〃(ad-be)'

附：K2=

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

7.某校举行青年教师视导活动，对48位青年教师的备课本进行了检查，相关数据如下

表:

等第

性别合计

良好优秀

男教师a1018

女教师1020

合计3048

"(ad-beY

附：Z2(其中n=a+b+c+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

尸(/工)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(1)是否有90%的把握认为备课本是否优秀与性别有关？

(2)从48本备课本中不放回的抽取两次，每次抽取一本，求第一次取到女教师备课本的

条件下，第二次取到优秀备课本的概率.

8.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机性.因其独有

的新鲜性，刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱.已知M系列盲盒共有12

个款式，为调查”系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向00前、00后人群各随机发放了

50份问卷，并全部收回.经统计，有45%的人未购买该系列育盒，在这些未购买者当

中，00后占§.

⑴请根据以上信息填表，并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关?

00前00后总计

购买

未购买

总计100

n^ad-bcy

(〃+b)(c+d)(4+c)(b+d)'

2

P(K>k0)0.100.050.0100.001

2.7063.8416.63510.828

(2)一批盲盒中，每个盲盒随机装有一个款式，甲同学己经买到3个不同款，乙、丙同学

分别已经买到小个不同款，已知三个同学各自新购买一个盲盒，且相互之间无影响，他

们同时买到各自的不同款的概率为

①求m；

②设X表示三个同学中各买到自己不同款的总人数，求X的分布列和数学期望.

9.某实验室为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物实验，根据100个有放

回简单随机样本的数据，得到如下列联表：

疾病5

药物A合计

未患病患病

未服用251540

服用501060

合计7525100

(1)依据a=0.05的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性；

(2)现在实验室计划进行临床试验，对4名志愿者进行用药且每位志愿者的用药互不影响.

根据服用药物A的动物实验数据用频率来估算概率，记X为用药后成功预防疾病8的人

数，求X的分布列及期望.

附：八______"3—儿丫_______

(4+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.005

Xa2.7066.6357.879

10.2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟

志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，中央广播总台面向全球进行现场直播.此次

授课活动采取天地对话方式进行，由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、

水油分离实验、太空抛物实验,介绍与展示空间科学实施，皆在传播普及空间科学知识，

激发广大青年不断追寻"科学梦''实现"航天梦''的热情.某校组织在校中学生观看学习

“天宫课堂”，并对其中500名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等

高条形图，其中被调查的男女学生比例为3：2.

匚

有飞天

宇航梦

D

无飞天

宇航梦

宇航梦宇航梦

（1）求，小〃的值（结果用分数表示）;

（2）完成以下表格，并根据表格数据判断能否有97.5%的把握认为学生性别和有飞天宇航

梦有关？

有飞天宇航梦无飞天宇航梦合计

男

女

合计

（3）在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人.若从这5人中

随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望.

附表：

尸（公之玲）0.1500.1000.0500.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

n^ad—hey

K2=n=a+b+c+d.

(a+/?)(c+J)(a+c)(i>+J)'

11.2021年9月，教育部印发《关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作

的意见》中指出：中小学生各项身体素质有所改善，大学生整体下降.某高校为提高学

生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼运，结合“微信运动”APP每日统计运动情况,

对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与

者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下：

(1)完善2x2列联表并说明：能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为获得“运动达人”

称号与性别有关？

(2)从全校运动“参与者”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取3人参加特训，将男生

人数记为X,求X的分布列与期望EX.

12.社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅

读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35

岁以上）更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取40名顾客进行调查，得到了如下列联

表：

年长者年轻人总计

喜欢阅读电子书1620

喜欢阅读纸质书8

总计40

（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄

有关；

（2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7

人中随机抽取4人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望.

附：K2=-——'其中”=a+h+c+d.

^a+b）（c+d）［a+c）（b+d）

产国宝）0.100.050.0100.005

k(>2.7063.8416.6357.879

13.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良

好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），

同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选

与缁叫的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程

到的人患有该疾病”

1P(月IA)

度的一项度量指标，记该指标为R.

P(A8)P[A|B)

(i)证明:R=

P(A\B)P(A\B)

(ii)利用该调查数据，给出尸(A|B),P(A|由的估计值，并利用(i)的结果给出R

的估计值.

附"(以一@

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>/C)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

14.2022年春季，新一轮新冠疫情在全国范围内蔓延开来，严重影响了国家的经济发

展和人民的正常生活.某城市为打赢这场疫情防控阻击战，政府投入大量人力物力，党

员干部冲锋在前坚守岗位，普通群众配合政策居家隔离.在全市人民的共同努力下，该

城市以最快的速度实现复工复产，人民生活回到了正常轨道.疫情的出现让人们认识到

身体健康的重要性，健身达人刘映宏带动了一股年轻人的健身热潮，人们纷纷争做“刘

班宏男孩“、“刘阱宏女孩”.但是对于中老年人来说，步行是最简单有效的运动方式.某研

究团队统计了该地区1000位居民的日行步数，得到如下表格；

日行步数(单位：千)[0,2]。，4](4用(6用(8,10](10,12](12,14]

人数206017020030020050

(1)为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8千为标准进行分层抽样,

从上述1000位居民中抽取200人，得到如下2x2列联表，请将下表补充完整，并根据

下表判断是否有95%的把握认为日行步数与居民年龄有关：

日行步数48千日行步数＞8千总计

40岁以上100

40岁以下（含40岁）50

总计200

（2）以这1000位居民日行步数超过8千的频率，来代替该地区每位居民日行步数超过8

千的概率，且每位居民日行步数是否超过8千相互独立，若该团队随机调查20位居民，

设其中恰有x位居民日行步数超过8千的概率是P,求当x取多少时最大？（不必求

此时的P值）

附:

P(K2>k^0.050.0250.010

k。3.8415.0246.635

其中〃=a+b+c+d.

(a+匕)(c+d)(“+c)(b+")'

15.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕.吉祥物“冰墩墩”以其

可爱的外形迅速火爆出圈，其周边产品更是销售火热，甚至达到“一墩难求”的现象.某购

物网站为了解人们购买“冰墩墩”的意愿，随机对90个用户（其中男30人，女60人）

进行问卷调查，得到如下列联表和条形图：

没有购买意愿有购买意愿

有购买没有购

合计

意愿买意愿

男

女

合计

如果从这90人中任意抽取1人，抽到“有购买意愿”的概率为1.

(1)完成上述2x2列联表，并回答是否有95%的把握认为“购买意愿''与“性别”有关？

(2)若以这90个用户的样本的概率估计总体的概率，现再从该购物网站所有用户中，采

用随机抽样的方法每次抽取1名用户，抽取4次，记被抽取的4名用户对“冰墩墩”有购

买意愿的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的，写出X的分布列，并求期望和方

差.

n(ad-be)2

参考公式：K2=其中〃=a+Z>+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

临界值表:

p-k。)0.100.050.0100.0050.001

即2.7063.8416.6357.87910.828

16.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气

污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消

费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某车企随机

调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况

如下表：

单位：人

(1)根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性

别有关；

(2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年

3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的

辆数为X,求X的分布列及数学期望.

17.致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞

赛”活动.并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表.规定：

成绩在［80,100］内，为成绩优秀.

成绩[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数510152520205

(1)根据以上数据完成2x2列联表,并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有

关；

优秀非优秀合计

男10

女35

合计

(2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案:

规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为。(每次抽奖互不影响，且。

的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率)，中奖1次学分加5分，中奖2次学分

加10分.若学生甲成绩在［80,100］内，请列出其本次读书活动额外获得学分数X的分

布列并求其数学期望.

n^ad-bcy

参考公式：K~=---------------------，n=a+h+c+d・

(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

附表:

2

P(K>kn)0.1500.1000.0500.0100.005

k。2.0722.7063.8416.6357.879

18.某初中为了了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识考试.

对参加考试的男生、女生各随机抽查40人，根据考试成绩，得到如下列联表:

方4:女生合计

考试成绩合格302050

考试成绩不合格102030

合计404080

⑴根据上面的列联表，判断能否有95%的把握认为考试成绩是否合格与性别有关;

(2)在考试成绩不合格的30人中按性别利用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人

中随机抽取3人，记这3人中男生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

n(ad-be)2

附-其中〃=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+4)

P(X22k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

19.某种疾病可分为A,B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某

地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍,

男性患A型疾病的人数占男性患者的。，女性患A型疾病的人数占女性患者的!.

63

(1)若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为，所患疾病的类型，与，性

别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？

(2)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗,

每人每个周期接种3次，每次接种费用为加(加＞0)元.该团队研发的疫苗每次接种后产

生抗体的概率为如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终

2

止试验，否则进入第二个周期.若p=§,试验人数为1000人，试估计该试验用于接种

疫苗的总费用.

n^ad-bc)~

K2=

(a+〃)(c+d)(4+c)(Z?+d)

0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

20.为研究某种疫苗A的效果，现对100名志愿者进行了实验，得到如下数据:

未感染病毒B感染病毒B合计

接种疫苗A401050

未接种疫苗A203050

合计6040100

(1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析疫苗A是否有效？

(2)现从接种疫苗A的50名志愿者中按分层随机抽样方法(各层按比例分配)取出10

人，再从这10人中随机抽取3人，求这3人中感染病毒8的人数X的分布列和数学期

望.

参考公式：/J""；/"、"—M>其中〃=a+6+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[b+d)

参考数据：P(/2>10.828)=0.001

21.在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学

生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查

者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情

况.某调查中心为了调查中学生在考试中有无作弊现象，随机选取150名男学生和150

名女学生进行问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生？②你是否在考

试中有作弊现象.调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有3

个红球，3个黑球(除颜色外完全相同)的袋子中随机摸取两个球，摸到同色两球的学

生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题.第二个环节：填写

问卷(问卷中不含问题，只有“是”与“否”).己知统计问卷中有70张答案为“是”.

(1)根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计中学生在考试中有作弊现象的概率;

(2)据核实，以上的300名学生中有20名学生在考试中有作弊现象，其中男生15人，女

生5人，试判断是否有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.

_n(ad-be)2

参考公式和数据如下:2

(〃+b)(c+d)(a+<?)(/?+d)

2

P(K>ka)0.150.100.050.0250.005

k°2.0722.7063.8415.0247.879

22.2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技

创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x,y之间的五组数据如下表：

X12345

y911142620

其中，x（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，y（单位：百万元）是科技

创新和市场开发后的收益.

（1）求相关系数厂的大小（精确到0.01）,并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技

创新和市场开发的总投入x的线性相关程度；

（2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如

下表：

满意不满意总计

男451055

女252045

总计7030100

是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？

（3）对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消

费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4

人中选择“满意”的人数为X,求X的分布列及数学期望.

参考公式：①，y”二;

V/=11=1

n(ad-bc)~

②K?=其中n=a+h+c+d.

(a+O)(c+d)(〃+c)(，+d)

临界值表:

咐次)0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

参考数据：7485^22.

23.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气

污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消

费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某车企调查

了近期购车的200位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：

购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计

男性8020100

女性6535100

总计14555200

(1)根据表中数据，判断能否有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；

(2)已知该车企有5种款式不同的汽车,每种款式的汽车均有新能源和传统燃油两种类型

各1辆.假设某单位从这10辆汽车中随机购买4辆汽车，设其中款式相同的汽车的对数

为€，求g的分布列与数学期望.

n/I9n(ad-hcY,

附：K~=-----------------------------，〃=Q+/?+c+d.

(Q+/?)(c+d)(Q+c)优+d)

P(KWk。)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

24.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层

抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本

数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区

间为：[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].

(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；

(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；

(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机

上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”•在样本数据中，有25名学生不近

视.请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2x2列联表，并判断是否有95%的把

握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关

近视不近视合计

长时间使用手机

不长时间使用手机15

合计25

_n(ad-bc)2

(a+b)(c+1)e+c)(/?+d)

().10.050.0100.005

k<>2.7063.8416.6357.879

0.150

0.125

0.100

0.075

0.025

25.“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一

股学习热潮.该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有

力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事

创业的“加油站某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人(男性、

女性各200人)，记录了他们2021年年底的积分情况，并将数据整理如下：

积

分2000-30003001-40004001~50005001~6000>6000

性（分）（分）（分）（分）（分）

别

男

8060302010

性

女

2060100200

性

(1)己知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的

2x2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；

优秀员工非优秀员工总计

男性

女性

总计

(2)以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3

人中属于“非优秀员工”的人数为X,求X的分布列与数学期望.

n^ad-bc\

附：K2=

P(Kbk°)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

26.某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响，用A,8两个品牌的相

机各拍摄了一张照片，然后随机调查了200个人，让他们从中选出自己认为更好的一张

照片.这200个人被分成两组，其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.

称为“盲测组”；另一组则被告知相关信息，称为“对照组”.调查结果统计如下：

选择4品牌相机拍摄的照片选择8品牌相机拍摄的照片

盲测组6634

对照组4456

(1)分别求盲测组和对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率;

(2)判断是否有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响.

n(ad-be)2

附：K2，其中九=a+6+c+4.

(a+b)(c++c)(b+d)

P(KL%)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

27.武汉热干面既是中国四大名面之一，也是湖北武汉最出名的小吃之一.某热干面店

铺连续10天的销售情况如下(单位：份)：

天数12345678910

套餐一12010014014012070150120110130

套餐二809090605090708090100

(1)分别求套餐一、套餐二的均值、方差，并判断两种套餐销售的稳定情况；

(2)假定在连续10天中每位顾客只购买了一份，根据图表内容填写下列2x2列联表，并

据此判断能否有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关？

顾客套餐套餐一套餐二合计

男顾客400

女顾客500

合计

w(ad-bcj

(a+b)(a+c)(Z?+d)(c+d)

P(K2>k.)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

28.为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓

球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中

女生对乒乓球运动有兴趣的占80%,而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣.

(1)完成2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有

关”？

有兴趣没兴趣合计

男

女

合计

(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单

循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学,

每场积分规则如下：比赛中以2:0取胜的同学积3分，负的同学积0分：以2:1取胜的

同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小

2

强同学取胜的概率为P=q,记小强同学所得积分为X,求X的分布列和期望.

附表:

2

P(K>k0)0.500.400.250.1500.1000.050

ko0.4550.7801.3232.0722.7063.841

参考公式：K2=---------"叱一"。----------Qi=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

29.近日，中华人民共和国应急管理部公布了《高层民用建筑消防安全规定》.其中提

到：在公共门厅等地停放电动车或充电，拒不改正的个人，最高可处以1000元罚款.为

了研究知晓规定是否与年龄有关,某市随机抽取125名市民进行抽样调查，得到如下2x2

列联表：

知晓不知晓总计

年龄460163450

年龄＞6096675

总计25100125

(1)根据以上统计数据，是否有99%的把握认为知晓规定与年龄有关？

(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从本地所有市民中，采用随机抽样的方法抽取

4位市民，记被抽取的4位市民中知晓规定的人数为X,求X的分布列及数学期望

n(ad-be)2

参考公式：尸=其中n=a+h+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

p#>kJ0.1()0.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

30.某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查结果如下：回

答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”

人数的，3；在回答“不满意'’的人中，"非上班族'’占I;

(1)请根据以上数据填写下面2x2列联表，并依据小概率值a=0.001的独立性检验，分

析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族存关联？

满意不满意合计

上班族

非上班族

合计

(2)为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查.规定：

抽样的次数不超过〃(〃eNj,若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随

机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到"时,

抽样结束.

(i)若〃=5,写出X$的分布列和数学期望；

(ii)请写出的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明X”的数学期望的

实际意义.

附:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be)2

参考公式：/=其中"=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

31.某市为积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对抗疫

进行了深入的宣传，帮助全体市民深入了解新型冠状病毒，增强战胜疫情的信心.为了

检验大家对新型冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的问卷调查，随机抽

取了年龄在18〜99岁之间的200人进行调查，把年龄在［18,65］和［66,99］内的人分别称

为“青年人”和“中老年人”.经统计，“青年人'’和“中老年人”的人数之比为2：3,其中“青

年人''中有50%的人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解

全面和了解不全面的人数之比是2：1.

(1)根据已知条件，完成下面的2x2列联表，并根据统计结果判断是否有95%的把握认为

“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识.

(2)用频率估计概率从该市18〜99岁市民中随机抽取3位市民，记抽出的市民对防控相

关知识了解全面的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

附表及公式:K=(,+次+次+0i，其中〃=

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

32.某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间

的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：

购买金额[750,

[0,150)[150,300)[300,450)[450,600)[600,750)

（元）900]

人数101520152010

（1）根据以上数据完成2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于600

元与性别有关.

不少于600元少于600元合计

男40

女18

合计

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中

奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的

频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元.若游客甲计划购买

800元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.

n(ad-be)2

附：参考公式和数据：Y=,n=a+h+c+d.