2023-2024学年四川省安宁河联盟高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2四川省安宁河联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗已知则.故选：D.2.已知为共线向量，且，则（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗共线，则，得，故.故选：C.3.已知，是第四象限角，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，则，是第四象限角，，．故选：D．4.的内角，，的对边分别为，已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，由正弦定理得又，则，化简得.故选：D.5.已知向量非零向量满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在方向上投影向量为.故选：B.6.的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度〖答案〗C〖解析〗函数的部分图象，可得，，，则，又，，则，故，对A：向右平移个单位长度，得到，故A错误；对B：向右平移个单位长度，得到，故B错误；对C：向左平移个单位长度，得到，故C正确；对D：向左平移个单位长度，得到，故D错误.故选：C．7.筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车按逆时针方向做一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位：），则下列说法正确的是（）①时，盛水筒P到水面的距离为；②与时，盛水筒P到水面的距离相等；③经过，盛水筒P共8次经过筒车最高点；④记与盛水筒P相邻盛水筒为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为．A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④〖答案〗A〖解析〗依题意作图如下：以水车的轴心为原点建立直角坐标系如图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，当刚露出水面时，与轴的夹角是，相邻盛水桶之间的夹角是，当旋转时，旋转了，旋转到点，此时点到水面的距离为，所以①正确；②当时，旋转了周，即，此时的位置是点，与轴正半轴的夹角是，当时，旋转了，即点，与轴正半轴的夹角也是，点与点到水面的距离相等，所以②正确；③经过，则水车转过了个周期，所以盛水桶共9次经过最高点，故③错误；④设在的上方，与轴负方向的夹角为，，则与轴负方向的夹角为，相邻两筒到水面的距离差为：，其中，，当时取最大值为，故④错误.故选：A．8.如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为所以因为三点共线，所以即，又因，所以，且为不共线的非零向量，所以，解得，所以，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9.下列计算中正确的是（）A. B.C D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A：原式，故A正确；对于B：原式，故B正确；对于C：原式，故C正确；对于D：原式，故D错误.故选：ABC.10.已知函数，则下列结论中正确有（）A.函数〖解析〗式化简后为：B.的对称轴为，C.的对称中心为，D.的单调递增区间为，〖答案〗AD〖解析〗，A正确；对于B，令，则，对称轴为，故B错误；对于C，令，，可得对称中心为，故C错误；对于D，令，则，单调递增区间为，故D正确．故选：AD．11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（）A.B.C.在上的投影向量为D.若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，对于A，，故A错误；对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍，可得，故B正确；对于C，在上的投影向量为，故C正确；对于D，设的夹角为则，其中表示在上的投影，易知，延长DC交AB延长线于Q，当P在线段DC上运动，投影最大，易知为等腰直角三角形，且，则在中，，在等腰三角形中，则，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若，则实数的值为___________．〖答案〗〖解析〗若，则，得.故〖答案〗为：.13.在中，已知，当时，的面积为___________．〖答案〗〖解析〗设中，角所对的边分别为，因为，则，当时，，故的面积为.故〖答案〗为：.14.已知，则___________．〖答案〗〖解析〗设则.故〖答案〗为：．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知，且与的夹角为，求：（1）求的值；（2）求向量与的夹角的余弦值．解：（1）由平面向量数量积的定义得，故的值为.（2）设向量与的夹角为，，又，，故向量与的夹角的余弦值为.16.已知函数，若相邻两条对称轴的距离为.（1）求的〖解析〗式；（2）在中，，求的面积.解：（1），因为的相邻两条对称轴的距离为，，故的〖解析〗式为.（2）由题意知：，所以，，由余弦定理，可得，解得，.17.如图、在四边形中，，分别为，的中点．（1）求证：；（2）若，，向量，的夹角为，，求．解：（1）证明：，分别为，的中点，，，，①，②①②得：，．（2），，，，向量，的夹角为，，．18.锐角的内角的对边分别为，已知（1）求角的值；（2）若求面积的取值范围．解：（1）及正弦定理，，，，，即又，.（2）在中，由正弦定理定理，可得，是锐角三角形，，解得，由，得，所以，于是有，故面积的取值范围为.19.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，矩形区域为停车场，其余部分建成绿地，已知扇形的半径为2（百米），圆心角分别为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上（如图2所示）；（1）若按方案一来进行修建，求停车场面积的最大值；（2）修建停车场的一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？解：（1）连接OE，设，，由条件知，，，，在中，，得，知，，因为，所以当时，矩形面积的最大值为平方百米.（2）如图，根据对称性转化为求中心角度为的扇形内接矩形面积最大值，连接OD，设，，由条件知，，，，在中，，得，知，，因为，所以时，圆心角为扇形中截面积最大值为平方百米；，因为方案一内接矩形面积更大，最大值为，故方案一更优．四川省安宁河联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗已知则.故选：D.2.已知为共线向量，且，则（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗共线，则，得，故.故选：C.3.已知，是第四象限角，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，则，是第四象限角，，．故选：D．4.的内角，，的对边分别为，已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，由正弦定理得又，则，化简得.故选：D.5.已知向量非零向量满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在方向上投影向量为.故选：B.6.的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度〖答案〗C〖解析〗函数的部分图象，可得，，，则，又，，则，故，对A：向右平移个单位长度，得到，故A错误；对B：向右平移个单位长度，得到，故B错误；对C：向左平移个单位长度，得到，故C正确；对D：向左平移个单位长度，得到，故D错误.故选：C．7.筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车按逆时针方向做一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位：），则下列说法正确的是（）①时，盛水筒P到水面的距离为；②与时，盛水筒P到水面的距离相等；③经过，盛水筒P共8次经过筒车最高点；④记与盛水筒P相邻盛水筒为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为．A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④〖答案〗A〖解析〗依题意作图如下：以水车的轴心为原点建立直角坐标系如图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，当刚露出水面时，与轴的夹角是，相邻盛水桶之间的夹角是，当旋转时，旋转了，旋转到点，此时点到水面的距离为，所以①正确；②当时，旋转了周，即，此时的位置是点，与轴正半轴的夹角是，当时，旋转了，即点，与轴正半轴的夹角也是，点与点到水面的距离相等，所以②正确；③经过，则水车转过了个周期，所以盛水桶共9次经过最高点，故③错误；④设在的上方，与轴负方向的夹角为，，则与轴负方向的夹角为，相邻两筒到水面的距离差为：，其中，，当时取最大值为，故④错误.故选：A．8.如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为所以因为三点共线，所以即，又因，所以，且为不共线的非零向量，所以，解得，所以，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9.下列计算中正确的是（）A. B.C D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A：原式，故A正确；对于B：原式，故B正确；对于C：原式，故C正确；对于D：原式，故D错误.故选：ABC.10.已知函数，则下列结论中正确有（）A.函数〖解析〗式化简后为：B.的对称轴为，C.的对称中心为，D.的单调递增区间为，〖答案〗AD〖解析〗，A正确；对于B，令，则，对称轴为，故B错误；对于C，令，，可得对称中心为，故C错误；对于D，令，则，单调递增区间为，故D正确．故选：AD．11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（）A.B.C.在上的投影向量为D.若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，对于A，，故A错误；对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍，可得，故B正确；对于C，在上的投影向量为，故C正确；对于D，设的夹角为则，其中表示在上的投影，易知，延长DC交AB延长线于Q，当P在线段DC上运动，投影最大，易知为等腰直角三角形，且，则在中，，在等腰三角形中，则，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若，则实数的值为___________．〖答案〗〖解析〗若，则，得.故〖答案〗为：.13.在中，已知，当时，的面积为___________．〖答案〗〖解析〗设中，角所对的边分别为，因为，则，当时，，故的面积为.故〖答案〗为：.14.已知，则___________．〖答案〗〖解析〗设则.故〖答案〗为：．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知，且与的夹角为，求：（1）求的值；（2）求向量与的夹角的余弦值．解：（1）由平面向量数量积的定义得，故的值为.（2）设向量与的夹角为，，又，，故向量与的夹角的余弦值为.16.已知函数，若相邻两条对称轴的距离为.（1）求的〖解析〗式；（2）在中，，求的面积.解：（1），因为的相邻两条对称轴的距离为，，故的〖解析〗式为.（2）由题意知：，所以，，由余弦定理，可得，解得，.17.如图、在四边形中，，分别为，的中点．（