甘肃省武威市2023-2024学年高二年级下册第一次月考 数学 含解析

2023-2024高二第二学期第一次月考试卷

数学试题

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上

作答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章〜第二章2.3.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在空间四边形OABC中，0A+AB+8C等于（）

AOAB.ABC.OCD.AC

2.设/(%)=以3+X,若/'(—1)=4,贝()

A.1B.-2C.3D.-1

3.空间直角坐标系中，点P（l,2,3）关于工。平面的对称点是（）

A.(-1,-2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(-1,2,3)

4.已知函数〃%）在x=%处的导数为3,则lim()

-2Ax

32

A.3B.—C.6D.—

23

31

5.。为空间任意一点，若OP=—OA+—Q3+/OC,若A、B、C、尸四点共面，贝旷=

48

A.1D.

4

6.函数图象连续的函数y=/（x）在区间句上（）

A.一定存在极小值B.一定存在极大值C.一定存在最大值D.极小值一定比极大值

小

7.已知a=（2,3,l）,6=（1，-2,-2）,则。在6上的投影向量为（）

22

A.2bB.-2bC.—bD.

8.已知函数/（%）=工+3,8（%）=只0%+口，若X/玉w[Le],使得/（xj=g（±），则实数

〃的取值范围是（）

17~|

A.5-e,-^B.[5—0,3]

C（5—e,3）D.^5—e,—

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/（工）=12-5%+7）1,则函数/（%）在下列区间上单调递增的有（）

A.（-oo,l）B.（1,2）C.（2,+oo）D.（l,+oo）

10.已知空间向量a=（—3,—1,2）1=（3,3,1）,则下列说法正确的是（）

A.（3a+2。）〃a

B.a_L（5a+7b）

C.q与〃夹角的余弦值为—封1皈

133

D.若i=（3,7,7）,则a,Z?,c共面

Y

11.已知函数〃x）=-则下列说法正确的是（）

A./（%）极值点为

B.7（%）的最小值为

C.八%）有两个零点

D.直线y=之是曲线y=/（x）的一条切线

ee

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间，（单位：min）的函数关系可近似表

示为y=«,则在f=4min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min.

13已知,卜33=（l,2,-2）,a-/?=2,贝!||2a-b|=.

14.己知函数/（x）=e"—0―%,若/（/+。+/（3，）＜0成立，则实数,的取值范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.如图，在边长为4的正方体ABC。—中，E，F,G分别是42，DD-的中点.以

A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

（1）写出g,G，E,F,G五点的坐标；

（2）求GG，（4E+5F）.

16.已知函数/（"=三+加+陵+。在点P（0,—2）处的切线斜率为一1,且在％=1处取得极值.

（D求函数八％）的解析式；

（2）当1,2］时，求函数了（%）的最值.

17.如图，在半径为4m的四分之一圆（。为圆心）铝皮上截取一块矩形材料0ABC,其中点8在圆弧

上，点A,C在两半径上，现将此矩形铝皮O42C卷成一个以A8为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁

和拼接损耗），设矩形的边长AB=xm,圆柱的体积为Vm3.

(1)求出体积V关于X的函数关系式，并指出定义域；

(2)当尤为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？

18.已知函数〃x)=a(e*-1)-3片0).

(1)若0=1,证明：〃x)20：

⑵若V%e(O,+8),X2G(O,+8)(%WX2)，都有求实数。的取值范围.

19.己知函数/(x)=gx2

+a(lnx-x)(aeR).

(1)若/(X)恰有两个极值点，求实数〃的取值范围;

(2)若/(%)两个极值点分别为百,马,证明:/(%)+/伍)<81112—12.

2023〜2024第二学期第一次月考试卷

局一数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上

作答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章2.3.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在空间四边形OABC中，O4+A5+8C等于()

A.OAB.ABC.OCD.AC

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.

【详解】OA+AB+BC^OB+BC=OC

故选：C

2.设/(尤)=砥3+%,若则a=()

A.1B.-2C.3D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数值直接构造方程求解即可.

【详解】f(x)=3ax2+l,.-./,(-l)=3a+l=4,解得：a=l.

故选：A.

3.空间直角坐标系中，点P。,2,3)关于工。平面的对称点是()

A.(-1,-2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(-1,2,3)

【答案】B

【解析】

【分析】根据对称的性质即可求解.

【详解】点P(l,2,3)关于xOz平面的对称点是(1,-2,3),

故选：B

4.已知函数/'(%)在x=x()处的导数为3,则轲，宙+笠^=()

32

A.3B.—C.6D.—

23

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件及函数在l=%0导数的定义即可求解.

【详解】因为函数“力在X=玉)处的导数为3,

所以/'5)=lim/5+3-/5)=§,

V7AxfOAx

所以lim—--------———―=­,lim---------———―=—x3=­•

-02Ax2-oAx22

故选：B.

3-1

5.。为空间任意一点，若。。=—。4+—O3+/OC,若A、B、C、P四点共面，则/=()

48

,111

A.1B.—C.—D.一

284

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出/的值.

【详解】空间向量共面基本定理的推论：OP=xOA+yOB+zOC,且A、B、C不共线,

若A、B、C、尸四点共面，贝ijx+y+z=l,

31

因。为空间任意一点，若OP=—。4+—O3+/OC,且A、B、C、P四点共面，

48

311

所以，—।---\-t=1,解得t=—.

488

故选：C.

6.函数图象连续的函数y=/(x)在区间可上()

A.一定存在极小值B.一定存在极大值C.一定存在最大值D.极小值一定比极大值小

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数最值和极值的定义即可得解.

【详解】由函数的最值与极值的概念可知y=/(%)在[a,b]上一定存在最大值.

故选：C.

7.已知a=(2,3,l),Z;=(l,-2,-2),则。在6上的投影向量为()

2.2

A.2bB.-2bC.—bD.一个b

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解.

2)_2_6_2_2

[详解]]^=12+(-2)2+(-2)2=-9-=~3'

ya-byb2

故a在匕上的投影向量为।；=T.

W3

故选：D

8.已知函数/(%)=工+3,8(%)=如女+a，若X/玉上2使得/(石)=8(%)，则实数。

的取值范围是()

二17~|

A.5-e,-^B.[5—e,3]

C(5-e,3)D.[5—e])

【答案】B

【解析】

【分析】由题意“X)的值域包含于g(x)的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区

间端点满足的不等式列式求解即可.

【详解】r(x)=l—3=^^,xe[l,4],4/，(x)>0,解得2Vx<4,

JCJC

令/'(x)<0,解得l<x<2,所以/(x)。,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，

17

又/⑴=5,7•⑵=3"(4)=]，所以“力的值域为[3,5].

当xe[l,e]时，g,(x)=lnx+l>0,所以g(x)在[l,e]上单调递增，

又g(l)=a,g(e)=e+a,所以g(x)的值域为[a,e+a],

又V%却e[l,e],使得/(%)=g(42)，所以解得5-e<a<3,

即实数。的取值范围是[5-e,3].

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数5x+7)e*,则函数〃九)在下列区间上单调递增的有()

A.B,(1,2)C.(2,+c»)D.(l,4^o)

【答案】AC

【解析】

【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案.

【详解】因为/(%)的定义域为R，

/'(%)=(X?-5x+7+2尤一5)e*=(左？-3x+2)e*=(尤一l)(x-2)e”,

令力。得：*>2或%<1,

所以"工)在区间(—8,1),(2,+8)上单调递增.

故选：AC.

10.已知空间向量a=(—3,-1,2)1=(3,3,1),则下列说法正确的是()

A.+2b]//a

B.a_L(5〃+7b)

c.。与〃夹角的余弦值为—三叵

133

D.若。=(3,7,7),则仇右共面

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可判断ABD；根据空间向量数量积的定义计算即可判断C.

【详解】A：3a+2b=3x(-3,-1,2)+2x(3,3,1)=(-3,3,8),又a=(—3,—1,2),故A错误;

B：5a+7Z>=5x(-3,-1,2)+7x(3,3,1)=(6,16,17),则(5a+7b)-a=0,故B正确；

C：因为a=(-3,-1,2)1=(3,3,1),所以同=,9+1+4=旧,6=J'9+9+1=M，

/j\—9—3+25,266n-r*,

所以cos=—1=—=-------，故C正确；

'/ExM133

D：因为d=(3,7,7)=2a+3Z>,故D正确.

故选：BCD.

11.已知函数/(x)=-g,则下列说法正确的是()

A.7(%)的极值点为g]

B."%)的最小值为一：

C.有两个零点

D.直线y=—之是曲线y=/(x)的一条切线

e-e

【答案】BD

【解析】

【分析】利用导数与函数的极值(最值)的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断C；

利用导数的几何意义求得了(%)在x=2处的切线方程，从而得以判断.

【详解】因为〃力=一下，所以「(力=工；，

ee

令r(x)＜o,得尤＜1；令用勾＞0,得龙〉i；

所以了(%)在(-8,1)上单调递减；在(1,+8)上单调递增；

所以了(%)在X=1处取得唯一极小值，也是了(九)的最小值，

所以了(%)的极值点为x=l,/(x)mn-/(1)=---故A错误，B正确；

e

因为/⑼=0"⑴=—1＜0,结合“X)在(f,l)上的单调性，可知x=0是“X)在』)上的唯

e

—^零点；

当%＞1时，e，＞0恒成立，故〃司=-己＜0恒成立，所以了(%)在。,收)上没有零点；

综上：“X)只有一个零点，故C错误；

71

因为〃2)=-/，—,

所以“可在尤=2处的切线方程为y+E=±(x—2),即y=±x—且，故D正确.

e~eee

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间，(单位：min)的函数关系可近似表示

为y=〃，则在/=4min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为mm/min.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】将函数y=JF关于，求导，再将r=4代入上式的导函数，即可求解.

1

【详解】因为y=/«)=〃=Q,

所以尸(。=同=/,

1.11

r⑷=—x42=—,

v724

故在，=4min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为'mm/min.

4

故答案为：一.

4

13.已知W=3,〃=(l,2,-2),a$=2,贝”2。一。|=.

【答案】行

【解析】

【分析】根据悭―0=,4心4a/+,2结合数量积与模长的公式求解即可.

【详解】由卜|=3,恸=jF+22+(—2y=3,

有12a—-4a-/?+|z?|=^36-8+9=A/37.

故答案为：国

14.已知函数/(x)=e、—er—x,若/欠+。+/(3。<0成立，则实数r的取值范围为

【答案】(-4,0)

【解析】

【分析】由函数解析式可知函数八%)是奇函数，利用导数可判断函数八％)在R上单调递增，利用函数单

调性可知/(/+?)+/(3?)<0等价于t-+t<-3t>解出不等式即可求得实数t的取值范围.

【详解】由题得函数的定义域为R,

因为/(—£)=—e*+x=—/(x),所以函数是奇函数.

又/(耳=]+一一122，7丁7-1=1>0恒成立，所以函数在R上单调递增；

不等式f(t2+z)+/(3z)<0等价于/(r+.)<―/(3r)=/(-3r),

所以即产+由<0,解得-4<0.

所以实数f的取值范围为(-4,0).

故答案为：(T,。)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.如图，在边长为4的正方体ABC。—A4c12中，E,F,G分别是4D，DD「CD的中点.以

A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

z,、

____E_____D

I,一

(1)写出耳，G，E,F,G五点的坐标；

(2)求qG.(B]E+B/).

【答案】(1)4(4,0,4),q(4,4,4),E(0,2,4),F(0,4,2),G(2,4,0)

(2)24

【解析】

【分析】(1)根据点的位置写出各点的坐标；

⑵先求向量gG，4E，4E的坐标，再结合向量的坐标运算公式求解.

【小问1详解】

由题可知,4(4,0,4),q(4,4,4),石(0,2,4),尸(0,4,2),G(2,4,0)

【小问2详解】

由(1)可知，C,G=(-2,0,-4),年月=(-4,2,0),与#=(-4,4,-2)

则4石+4/=(—8,6,-2),

则。©―(丹石+男尸)=—2x(—8)+0x6+(—4)x(—2)=24.

16.己知函数/(X)=9+依2+陵+。在点p(O,_2)处的切线斜率为_i,且在x=l处取得极值.

(1)求函数7(%)的解析式；

(2)当九目-1,2]时，求函数〃力的最值.

【答案】(1)/(X)=X3-X2-X-2；

(2)/(x),=-3,/(%)=0.

"\/min"\/max

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；

(2)利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.

【小问1详解】

因为/(%)=三+or2+bx+c,

所以/,(x)=3x2+2ax+b,

由题意可知，/(O)=-2,/f(O)=-l,=

/(0)=。=-2

所以,尸(。)=6=_1，解得a=—l,b=-l,c=-2,

广⑴=3+2a+6=0

所以函数八％)的解析式为“可=/-f-x-2,经检验适合题意，

所以/'(x)=/-f-X-2；

【小问2详解】

由(1)知/“(X)=3x?—2x—l=(3x+l)(x—1),

令/''(x)=0，则(3x+l)(x-l)=0,解得x=-；,或%=1,

当xe-1,—；；口,2］时，制x)>0；当时，f'(x)<0；

所以在-L-和［1,2］上单调递增，在-上单调递减，

当；时，"％)取的极大值为—：+:—2=—若，

当％=1时，/(%)取得极小值/(1)=13-12-1-2=-3,

又/(—1)=(—1)3-(—1)2—(—1)—2=-3,/⑵=23—22—2—2=0,

所以《)皿=一3,小)飒=0・

17.如图，在半径为41n的四分之一圆(。为圆心)铝皮上截取一块矩形材料。4BC,其中点B在圆弧上,

点A,C在两半径上，现将此矩形铝皮OA8C卷成一个以A8为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼

接损耗)，设矩形的边长A5=xm,圆柱的体积为Vnf.

OA

（1）求出体积V关于尤的函数关系式，并指出定义域；

（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？

【答案】⑴V=1613,定义域为何0<%<4｝；

（2）当％=拽m时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是丝叵m3

39兀

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理及圆的周长公式，结合圆柱的体积公式即可求解；

（2）根据（1）的结论及导数法求函数的最值的步骤即可求解

【小问1详解】

在Rt..Q4B中，

因为A3=x，所以Q4=J16—%2，

设圆柱的底面半径为r,贝UJ16—%?=2兀3，即16-必=4712r2,

所以丫=兀八="三t,定义域为｛x[0<x<4｝

47r

【小问2详解】

由（1）得丫=兀产％——,0<x<4,

47r

2（力=16-3江,

「471

令V'（九）=0,则16—3-=o,解得％=拽，

4兀3

当0<x<殍时，叫％）>0,当警<》<4时，V'（x）<0,

所以V(x)在10,拳J上单调递增,在［卷一,4)上单调递减.

厂64G64出

当％=上口m时，圆柱形罐子的体积丫最大，最大体积是，［4石］—飞鼠_326皿?

33J-4TI~971

18.已知函数/'(x)=a(e"—1)—'(。w0).

(1)若a=l,证明：f(x)＞o;

⑵若才^«0,转)