2023-2024学年甘肃省兰州市市区片高一数学第二学期期末检测试题含解析

2023-2024学年甘肃省兰州市市区片高一数学第二学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则制作该手工制品表面积为（）A． B． C． D．2．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”3．函数的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．54．设，则（）A． B． C． D．5．在中，内角所对的边分别是．已知，，，则A． B． C． D．6．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是A．B．C．D．7．已知数列共有项，满足，且对任意、，有仍是该数列的某一项，现给出下列个命题：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合中共有个元素．则其中真命题的个数是（）A． B． C． D．8．一个多面体的三视图如图所示．设在其直观图中，M为AB的中点，则几何体的体积为（）A． B． C． D．9．数列只有5项，分别是3，5，7，9，11，的一个通项公式为（）A． B． C． D．10．函数的最小正周期是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等差数列的公差为，且，其前项和为，若满足，，成等比数列，且，则______，______.12．已知数列满足且，则____________．13．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则的面积是__________．14．数列满足，则________.15．数列满足：（且为常数），，当时，则数列的前项的和为________.16．在数列中，，，若，则的前项和取得最大值时的值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设，，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.18．已知是等差数列，设数列的前n项和为，且，，又，.（1）求和的通项公式；（2）令，求的前n项和.19．设函数，其中，.（1）设，若函数的图象的一条对称轴为直线，求的值；（2）若将的图象向左平移个单位，或者向右平移个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的和的值；（3）设，，已知函数在区间上的所有零点依次为，且，，求的值.20．已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列，的通项公式；（Ⅲ）设=++…+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．已知公差为正数的等差数列，，且成等比数列.（1）求；（2）若，求数列的前项的和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

由三视图可知，得到该几何体是由两个圆锥组成的组合体，根据几何体的表面积公式，即可求解.【详解】由三视图可知，该几何体是由两个圆锥组成的组合体，其中圆锥的底面半径为3，高为4，所以几何体的表面为.选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.2、D【解析】

写出所有等可能事件，求出事件“至少有一个黑球”的概率为，事件“都是红球”的概率为，两事件的概率和为，从而得到两事件对立.【详解】记两个黑球为，两个红球为，则任取两球的所有等可能结果为：，记事件A为“至少有一个黑球”，事件为：“都是红球”，则，因为，所以事件与事件互为对立事件.【点睛】本题考查古典概型和对立事件的判断，利用两事件的概率和为1是判断对立事件的常用方法.3、D【解析】

由可求得所处的范围，进而得到函数最大值.【详解】的最大值为故选：【点睛】本题考查函数最值的求解，关键是明确余弦型函数的值域，属于基础题.4、D【解析】

由得，再计算即可.【详解】，，所以故选D【点睛】本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题．5、B【解析】

由已知三边，利用余弦定理可得，结合，为锐角，可得，利用三角形内角和定理即可求的值．【详解】在中，，，，由余弦定理可得：，，故为锐角，可得，，故选．【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．6、C【解析】

试题分析：如图所示：曲线即（x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+2，b=1-2当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1结合图象可得≤b≤3故答案为C7、D【解析】

对任意的、，有仍是该数列的某一项，可得出是该数列中的项，由于，可得，即，以此类推即可判断出结论.【详解】对任意、，有仍是该数列的某一项，,当时，则，必有，即，而或.若，则，而、、，舍去；若，此时，，同理可得.可得数列为：、、、、.综上可得：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合，该集合中共有个元素.因此，（1）（2）（3）（4）都正确.故选：D.【点睛】本题考查有关数列命题真假的判断，涉及数列的新定义，考查推理能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.8、D【解析】

利用棱柱的体积减去两个棱锥的体积，求解即可.【详解】由题意可知几何体C−MEF的体积：VADF−BCE−VF−AMCD−VE−MBC=.故选：D.【点睛】本题考查简单空间图形的三视图及体积计算，根据三视图求得几何体的棱长及关系，利用几何体体积公式即可求解，考查运算能力和空间想象能力，属于基础题.9、B【解析】

根据题意，得到数列为等差数列，通过首项和公差，得到通项.【详解】因为数列只有5项，分别是3，5，7，9，11，所以是以为首项，为公差的等差数列，.故选：B.【点睛】本题考查求等差数列的通项，属于简单题.10、C【解析】

根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解．【详解】由角函数的周期公式，可得函数的周期，又由绝对值的周期减半，即为最小正周期为，故选C．【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】

由，可求出，再由，，成等比数列，可建立关系式，求出，进而求出即可.【详解】由，可知，即，又，，成等比数列，所以，则，即，解得或，因为，所以，，所以.故答案为：2；.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等差数列前项和的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.12、【解析】

由题得为等差数列，得，则可求【详解】由题：为等差数列且首项为2，则，所以．故答案为：2550【点睛】本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题13、【解析】,所以点平面区域是底面内以为圆心，以1为半径的外面区域,则的面积是14、【解析】

根据题意可求得和的等式相加，求得，进而推出，判断出数列是以6为周期的数列，进而根据求出答案。【详解】将以上两式相加得数列是以6为周期的数列，故【点睛】对于递推式的使用，我们可以尝试让取或，又得一个递推式，将两个递推式相加或者相减来找规律，本题是一道中等难度题目。15、【解析】

直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和.【详解】数列满足：（且为常数），，当时，则，所以（常数），故，所以数列的前项为首项为，公差为的等差数列.从项开始，由于，所以奇数项为、偶数项为，所以，故答案为：【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.16、【解析】

解法一：利用数列的递推公式，化简得，得到数列为等差数列，求得数列的通项公式，得到，，得出所以，，，，进而得到结论；解法二：化简得，令，求得，进而求得，再由，解得或，即可得到结论．【详解】解法一：因为①所以②，①②，得即，所以数列为等差数列．在①中，取，得即，又，则，所以．因此，所以，，，所以，又，所以时，取得最大值．解法二：由，得，令，则，则，即，代入得，取，得，解得，又，则，故所以，于是．由，得，解得或，又因为，，所以时，取得最大值．【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)【解析】

（1）由向量加法的坐标运算可得：，再由向量平行的坐标运算即可得解.（2）由向量垂直的坐标运算即可得解.【详解】解：（1），，，，，故，所以.（2），，，所以.【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算、向量平行和垂直的坐标运算，属基础题.18、（1），（2）【解析】

（1）运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式可得，是等差数列，运用等差数列的通项公式可得首项和公差，可得所求通项公式；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和.【详解】（1）当时，；当时，，且相减可得：故：是公差为d的等差数列，，即为：.（2），前n项和：两式相减可得：化简可得：【点睛】本题考查了数列综合问题，考查了等差等比数列的通项公式，项和转化，乘公比错位相减等知识点，属于较难题.19、（1）；（2），；（3）【解析】

（1）根据对称轴对应三角函数最值以及计算的值；（2）根据条件列出等式求解和的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值.【详解】（1），因为是一条对称轴，对应最值；又因为，所以，所以，则；（2）由条件知：，可得，则，又因为，所以，则，故有：，当为奇数时，令，所以，当为偶数时，令，所以，当时，，又因为，所以；（3）分别作出（部分图像）与图象如下：因为，故共有个；记对称轴为，据图有：，，，，，则，令，则，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内有交点，所以，则.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.20、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1【解析】

（Ⅰ）由已知得，即，由2b1=a1+a2=25，得b1=，由a22=b1b2，得b2=18，∴{}是以为首项，为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，因为，，成等比数列所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化为，即f（n）=恒成立，当a–1＞0即a＞1时，不合题意；当a–1=0即a=1时，满足题意；当a–1＜0即a＜1时，f（n）