2023-2024学年湖北部分重点中学数学高一下期末统考试题含解析

2023-2024学年湖北部分重点中学数学高一下期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，，则()A． B． C． D．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9 B．10 C．12 D．134．如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（）cm．A．12 B．13 C．14 D．155．已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象，可由函数的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位6．在等差数列中，若，则的值为()A．15 B．21 C．24 D．187．下列函数中，在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．8．在等比数列中，若，则的值为（）A． B． C． D．9．函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A．B．C．D．10．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（）A．20 B．40 C．60 D．100二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．12．已知，，，若，则__________．13．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第行从右至左的第3个数为___________．14．设，其中，则的值为________.15．已知三点、、共线，则a=_______.16．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某校为创建“绿色校园”，在校园内种植树木，有A、B、C三种树木可供选择，已知这三种树木6年内的生长规律如下：A树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.1米，以后每年比上一年多长高0.2米；B树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.04米，以后每年生长的高度是上一年生长高度的2倍；C树木：树木的高度（单位：米）与生长年限（单位：年，）满足如下函数：（表示种植前树木的高度，取）．（1）若要求6年内树木的高度超过5米，你会选择哪种树木？为什么？（2）若选C树木，从种植起的6年内，第几年内生长最快？18．已知常数且，在数列中，首项，是其前项和，且，.（1）设，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）设，，证明数列是等差数列，并求出的通项公式；（3）若当且仅当时，数列取到最小值，求的取值范围．19．已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，当时，比较和的大小．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．

（1）求角A的值；

（2）若,，求△ABC的面积S．21．已知公差的等差数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：是数列中的项；（3）若正整数满足如下条件：存在正整数，使得数列，，为递增的等比数列，求的值所构成的集合.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用集合的补集的定义求出的补集；利用子集的定义判断出．【详解】解：，，，，故选：．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系．2、D【解析】

用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得．【详解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用．3、D【解析】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=1．考点：分层抽样方法4、B【解析】

将三棱柱的侧面展开，得到棱柱的侧面展开图，利用矩形的对角线长，即可求解．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开两次，得到棱柱的侧面展开图，如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值，由已知求得的长等于，宽等于，由勾股定理得，故选B．【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征，以及棱柱的侧面展开图的应用，着重考查了空间想象能力，以及转化思想的应用，属于基础题．5、B【解析】

根据图象可知，根据周期为知，过点求得，函数解析式，比较解析式，根据图像变换规律即可求解.【详解】由在一个周期内的图象可得,，解得，图象过点，代入解析式得，因为，所以，故，因为，将函数图象上点的横坐标变为原来的得，再向右平移个单位得的图象，故选B.【点睛】本题主要考查了由部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.6、D【解析】

利用等差数列的性质，将等式全部化为的形式，再计算。【详解】因为，且，则，所以．故选D【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题。7、A【解析】

判断每个函数在上的单调性即可.【详解】解：在上单调递增，，和在上都是单调递减.故选：A.【点睛】考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性.8、B【解析】

根据等比数列的性质：若，则.【详解】等比数列中，，，故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，此题也可用通项公式求解.9、D【解析】

根据图象可得最小正周期，求得；利用零点和的符号可确定的取值；令，解不等式即可求得单调递减区间.【详解】由图象可知：又，，由图象可知的一个可能的取值为令，，解得：，即的单调递减区间为：，本题正确选项：【点睛】本题考查利用图象求解余弦型函数的解析式、余弦型函数单调区间的求解问题；关键是能够灵活应用整体对应的方式来求解解析式和单调区间，属于常考题型.10、B【解析】

求出丙层所占的比例，然后求出丙层中抽取的个体数【详解】因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，所以丙层所占的比例为，所以应从丙层中抽取的个体数为，故本题选B.【点睛】本题考查了分层抽样中某一层抽取的个体数的问题，考查了数学运算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.【解析】

将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.12、-3【解析】由可知，解得，13、【解析】

由题可以先算出第行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可.【详解】由图得,第行有个数,故前行一共有个数,即第行最后一个数为,故第行从右至左的第3个数为.【点睛】本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.14、【解析】

由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出的值．【详解】，所以，因为，故．【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用．15、【解析】

由三点、、共线，则有，再利用向量共线的坐标运算即可得解.【详解】解：由、、，则,,又三点、、共线，则，则，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题.16、－1【解析】

分n为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案．【详解】若n为偶数，则an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），偶数项为首项为a2＝﹣5，公差为﹣4的等差数列；若n为奇数，则an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，奇数项为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．∴a1+a2+a3+…+a1＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）1．故答案为：1．【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）选择C；（2）第4或第5年.【解析】

（1）根据已知求出三种树木六年末的高度，判断得解；（2）设为第年内树木生长的高度，先求出，设，则，．再利用分析函数的单调性，分析函数的图像得解.【详解】（1）由题意可知，A、B、C三种树木随着时间的增加，高度也在增加，6年末：A树木的高度为（米）：B树木的高度为（米）：C树木的高度为（米），所以选择C树木．（2）设为第年内树木生长的高度，则，所以，，．设，则，．令，因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以当时，取得最小值，从而取得最大值，此时，解得，因为，，故的可能值为3或4，又，，即．因此，种植后第4或第5年内该树木生长最快．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列求和，考查函数的图像和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.18、（1）证明见解析，；（2）证明见解析，；（3）.【解析】

（1）令，求出的值，再令，由，得出，将两式相减得，再利用等比数列的定义证明为常数，可得出数列为等比数列，并确定等比数列的首项和公比，可求出；（2）由题意得出，再利用等差数列的定义证明出数列为等差数列，确定等差数列的首项和公差，可求出数列的通项公式；（3）求出数列的通项公式，由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，再利用参变量分离法可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，有，即，；当时，由，可得，将上述两式相减得，，，且，所以，数列是以，以为公比的等比数列，；（2）由（1）知，，由等差数列的定义得，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，因此，；（3）由（2）知，，，由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，由，得，得在时恒成立，由于数列在时单调递减，则，此时，；由，得，得在时恒成立，由于数列在时单调递减，则，此时，.综上所述：实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题.19、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；（2）由（1）得，利用等差数列的求和公式可得；（3）分别求得和，作差比较即可得到大小关系．【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，化简得①．由，得，得②．由①②解得：，，则．则数列的通项公式为．（2）由（1）得，①当时，，；②当且时，，两式作差得：有：有：有：得由上知．（3）由（1）得由，由（2）得当时，，令．则．由，有，得，故单调递增．又由，故，可得．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，也考查了错位相减法求数列的和，分类讨论思想和作差比较大小的问题，属于中档题．20、（1）（1）【解析】试题分析：（1）由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式、诱导公式化简可得，结合，可求，进而可求的值；（1）由已知及余弦定理，平方和公式可求的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.试题解析：（1）在△ABC中，∵acosC+ccosA=1bcosA，∴sinAcosC+sinCcosA=1sinBcosA，

∴sin（A+C）=sinB=1sinBcosA，∵sinB≠0，∴，可得：

（1）∵，，∴b1+c1=bc+4，可得：（b+c）1=3bc+4=10，可得：bc=1．∴．21、(1)；(2)证明见解析；(3)见解析【解析】

(1)根据等差数列性质,结合求得等再求的通项公式.

(2)先求出,再证明满足的通项公式.