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文档简介
2023-2024学年湖北部分重点中学数学高一下期末统考试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.若,,则()A. B. C. D.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a﹣b=ccosB﹣ccosA,则△ABC的形状为()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=()A.9 B.10 C.12 D.134.如图,已知正三棱柱的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为()cm.A.12 B.13 C.14 D.155.已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象,可由函数的图象怎样变换而来(纵坐标不变)()A.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位6.在等差数列中,若,则的值为()A.15 B.21 C.24 D.187.下列函数中,在区间上单调递增的是()A. B. C. D.8.在等比数列中,若,则的值为()A. B. C. D.9.函数的部分图象如图所示,则的单调递减区间为A.B.C.D.10.将一个总体分为甲、乙、丙三层,其个体数之比为,若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本,则应从丙层中抽取的个体数为()A.20 B.40 C.60 D.100二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥;③l⊥.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________.12.已知,,,若,则__________.13.如图,将全体正整数排成一个三角形数阵,按照这样的排列规律,第行从右至左的第3个数为___________.14.设,其中,则的值为________.15.已知三点、、共线,则a=_______.16.已知函数f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=_______三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.某校为创建“绿色校园”,在校园内种植树木,有A、B、C三种树木可供选择,已知这三种树木6年内的生长规律如下:A树木:种植前树木高0.84米,第一年能长高0.1米,以后每年比上一年多长高0.2米;B树木:种植前树木高0.84米,第一年能长高0.04米,以后每年生长的高度是上一年生长高度的2倍;C树木:树木的高度(单位:米)与生长年限(单位:年,)满足如下函数:(表示种植前树木的高度,取).(1)若要求6年内树木的高度超过5米,你会选择哪种树木?为什么?(2)若选C树木,从种植起的6年内,第几年内生长最快?18.已知常数且,在数列中,首项,是其前项和,且,.(1)设,,证明数列是等比数列,并求出的通项公式;(2)设,,证明数列是等差数列,并求出的通项公式;(3)若当且仅当时,数列取到最小值,求的取值范围.19.已知等差数列的前项和为,,.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和;(3)在(2)的条件下,当时,比较和的大小.20.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+ccosA=2bcosA.
(1)求角A的值;
(2)若,,求△ABC的面积S.21.已知公差的等差数列的前项和为,且满足,.(1)求数列的通项公式;(2)求证:是数列中的项;(3)若正整数满足如下条件:存在正整数,使得数列,,为递增的等比数列,求的值所构成的集合.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】
利用集合的补集的定义求出的补集;利用子集的定义判断出.【详解】解:,,,,故选:.【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集;利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系.2、D【解析】
用正弦定理化边为角,再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得.【详解】∵a﹣b=ccosB﹣ccosA,∴,∴,∴,∴或,∴或,故选:D.【点睛】本题考查正弦定理,考查三角形形状的判断.解题关键是诱导公式的应用.3、D【解析】试题分析::∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120,80,60,∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6:4:3,丙车间生产产品所占的比例,因为样本中丙车间生产产品有3件,占总产品的,所以样本容量n=3÷=1.考点:分层抽样方法4、B【解析】
将三棱柱的侧面展开,得到棱柱的侧面展开图,利用矩形的对角线长,即可求解.【详解】将正三棱柱沿侧棱展开两次,得到棱柱的侧面展开图,如图所示,在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值,由已知求得的长等于,宽等于,由勾股定理得,故选B.【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征,以及棱柱的侧面展开图的应用,着重考查了空间想象能力,以及转化思想的应用,属于基础题.5、B【解析】
根据图象可知,根据周期为知,过点求得,函数解析式,比较解析式,根据图像变换规律即可求解.【详解】由在一个周期内的图象可得,,解得,图象过点,代入解析式得,因为,所以,故,因为,将函数图象上点的横坐标变为原来的得,再向右平移个单位得的图象,故选B.【点睛】本题主要考查了由部分图像求解析式,图象变换规律,属于中档题.6、D【解析】
利用等差数列的性质,将等式全部化为的形式,再计算。【详解】因为,且,则,所以.故选D【点睛】本题考查等差数列的性质,属于基础题。7、A【解析】
判断每个函数在上的单调性即可.【详解】解:在上单调递增,,和在上都是单调递减.故选:A.【点睛】考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性.8、B【解析】
根据等比数列的性质:若,则.【详解】等比数列中,,,故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质,此题也可用通项公式求解.9、D【解析】
根据图象可得最小正周期,求得;利用零点和的符号可确定的取值;令,解不等式即可求得单调递减区间.【详解】由图象可知:又,,由图象可知的一个可能的取值为令,,解得:,即的单调递减区间为:,本题正确选项:【点睛】本题考查利用图象求解余弦型函数的解析式、余弦型函数单调区间的求解问题;关键是能够灵活应用整体对应的方式来求解解析式和单调区间,属于常考题型.10、B【解析】
求出丙层所占的比例,然后求出丙层中抽取的个体数【详解】因为甲、乙、丙三层,其个体数之比为,所以丙层所占的比例为,所以应从丙层中抽取的个体数为,故本题选B.【点睛】本题考查了分层抽样中某一层抽取的个体数的问题,考查了数学运算能力.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、如果l⊥α,m∥α,则l⊥m或如果l⊥α,l⊥m,则m∥α.【解析】
将所给论断,分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果l⊥α,m∥α,则l⊥m.正确;(2)如果l⊥α,l⊥m,则m∥α.正确;(3)如果l⊥m,m∥α,则l⊥α.不正确,有可能l与α斜交、l∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.12、-3【解析】由可知,解得,13、【解析】
由题可以先算出第行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可.【详解】由图得,第行有个数,故前行一共有个数,即第行最后一个数为,故第行从右至左的第3个数为.【点睛】本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.14、【解析】
由两角差的正弦公式以及诱导公式,即可求出的值.【详解】,所以,因为,故.【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用.15、【解析】
由三点、、共线,则有,再利用向量共线的坐标运算即可得解.【详解】解:由、、,则,,又三点、、共线,则,则,解得:,故答案为:.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算,属基础题.16、-1【解析】
分n为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列,然后利用分组求和得答案.【详解】若n为偶数,则an=f(n)+f(n+1)=n2﹣(n+1)2=﹣(2n+1),偶数项为首项为a2=﹣5,公差为﹣4的等差数列;若n为奇数,则an=f(n)+f(n+1)=﹣n2+(n+1)2=2n+1,奇数项为首项为a1=3,公差为4的等差数列.∴a1+a2+a3+…+a1=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a1)1.故答案为:1.【点睛】本题考查数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了等差数列前n项和的求法,是中档题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)选择C;(2)第4或第5年.【解析】
(1)根据已知求出三种树木六年末的高度,判断得解;(2)设为第年内树木生长的高度,先求出,设,则,.再利用分析函数的单调性,分析函数的图像得解.【详解】(1)由题意可知,A、B、C三种树木随着时间的增加,高度也在增加,6年末:A树木的高度为(米):B树木的高度为(米):C树木的高度为(米),所以选择C树木.(2)设为第年内树木生长的高度,则,所以,,.设,则,.令,因为在区间上是减函数,在区间上是增函数,所以当时,取得最小值,从而取得最大值,此时,解得,因为,,故的可能值为3或4,又,,即.因此,种植后第4或第5年内该树木生长最快.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列求和,考查函数的图像和性质的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于难题.18、(1)证明见解析,;(2)证明见解析,;(3).【解析】
(1)令,求出的值,再令,由,得出,将两式相减得,再利用等比数列的定义证明为常数,可得出数列为等比数列,并确定等比数列的首项和公比,可求出;(2)由题意得出,再利用等差数列的定义证明出数列为等差数列,确定等差数列的首项和公差,可求出数列的通项公式;(3)求出数列的通项公式,由数列在时取最小值,可得出当时,,当时,,再利用参变量分离法可得出实数的取值范围.【详解】(1)当时,有,即,;当时,由,可得,将上述两式相减得,,,且,所以,数列是以,以为公比的等比数列,;(2)由(1)知,,由等差数列的定义得,且,所以,数列是以为首项,以为公差的等差数列,因此,;(3)由(2)知,,,由数列在时取最小值,可得出当时,,当时,,由,得,得在时恒成立,由于数列在时单调递减,则,此时,;由,得,得在时恒成立,由于数列在时单调递减,则,此时,.综上所述:实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列,证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明,同时也考查数列最值问题,需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题,利用参变量分离法可简化计算,考查化归与转化思想和运算求解能力,综合性较强,属于难题.19、(1);(2);(3)【解析】
(1)设等差数列的公差为,利用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,进而得到通项公式;(2)由(1)得,利用等差数列的求和公式可得;(3)分别求得和,作差比较即可得到大小关系.【详解】(1)设等差数列的公差为,由,得,化简得①.由,得,得②.由①②解得:,,则.则数列的通项公式为.(2)由(1)得,①当时,,;②当且时,,两式作差得:有:有:有:得由上知.(3)由(1)得由,由(2)得当时,,令.则.由,有,得,故单调递增.又由,故,可得.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,也考查了错位相减法求数列的和,分类讨论思想和作差比较大小的问题,属于中档题.20、(1)(1)【解析】试题分析:(1)由已知利用正弦定理,两角和的正弦公式、诱导公式化简可得,结合,可求,进而可求的值;(1)由已知及余弦定理,平方和公式可求的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解.试题解析:(1)在△ABC中,∵acosC+ccosA=1bcosA,∴sinAcosC+sinCcosA=1sinBcosA,
∴sin(A+C)=sinB=1sinBcosA,∵sinB≠0,∴,可得:
(1)∵,,∴b1+c1=bc+4,可得:(b+c)1=3bc+4=10,可得:bc=1.∴.21、(1);(2)证明见解析;(3)见解析【解析】
(1)根据等差数列性质,结合求得等再求的通项公式.
(2)先求出,再证明满足的通项公式.
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