2023-2024学年贵州省习水县一中高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2023-2024学年贵州省习水县一中高一数学第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．正方体中，异面直线与BC所成角的大小为（）A． B． C． D．2．已知圆的方程为，则圆心坐标为（）A． B． C． D．3．已知点，则向量（）A． B． C． D．4．在中，，，角的平分线，则长为()A． B． C． D．5．已知点，,直线的方程为，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（）A． B． C． D．6．以点和为直径两端点的圆的方程是（）A． B．C． D．7．若展开式中的系数为-20，则等于（）A．-1 B． C．-2 D．8．某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：已知对呈线性相关关系，且回归方程为，工作人员不慎将表格中的第一个数据遗失，该数据为（）A．28 B．30 C．32 D．359．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（）A． B． C． D．10．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线所成角的大小为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米12．在数列中，若，（），则________13．已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为____.14．已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则_______________.15．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.16．如图，圆锥形容器的高为圆锥内水面的高为，且，若将圆锥形容器倒置，水面高为，则等于__________．（用含有的代数式表示）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在正方体中.（1）求证：；（2）是中点时，求直线与面所成角.18．如图，函数，其中的图象与y轴交于点．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求使的x的集合．19．在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．20．化简：（1）；（2）.21．在中，三个内角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求，的值.（其中）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用异面直线与BC所成角的的定义，平移直线，即可得答案．【详解】在正方体中，易得．异面直线与垂直，即所成的角为.故选：D．【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.2、C【解析】试题分析：的方程变形为，圆心为考点：圆的方程3、D【解析】

利用终点的坐标减去起点的坐标，即可得到向量的坐标．【详解】∵点，，∴向量，，.故选：D．【点睛】本题考查向量的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题.4、B【解析】

在中利用正弦定理可求，从而可求，再根据内角和为可得，从而得到为等腰三角形，故可求的长.【详解】在中，由正弦定理有即，所以，因为，故，故，所以，故，为等腰三角形，故.故选B.【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．5、A【解析】

直线过定点，利用直线的斜率公式分别计算出直线，和的斜率，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．【详解】解：直线整理为即可知道直线过定点，作出直线和点对应的图象如图：，，，，，要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，或即直线的斜率的取值范围是，故选．【点睛】本题考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，属于基础题．6、A【解析】

可根据已知点直接求圆心和半径.【详解】点和的中点是圆心，圆心坐标是，点和间的距离是直径，，即，圆的方程是.故选A.【点睛】本题考查了圆的标准方程的求法，属于基础题型.7、A【解析】由，可得将选项中的数值代入验证可得，符合题意，故选A.8、B【解析】

由回归方程经过样本中心点，求得样本平均数后代入回归方程即可求得第一组的数值.【详解】设第一组数据为，则，，根据回归方程经过样本中心点，代入回归方程，可得，解得，故选：B.【点睛】本题考查了回归方程的性质及简单应用，属于基础题.9、B【解析】

先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，所以，因此.故选B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.10、C【解析】

根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解.【详解】如图所示：在正方体中，，所以直线所成角，由正方体的性质，知，所以.故选：C【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2000【解析】

由题意得，温度下降了，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.【详解】由题意得，这座山的高度为：米故答案为：2000【点睛】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.12、【解析】

由题意，得到数列表示首项为1，公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，数列中，满足，（），即（），所以数列表示首项为1，公差为2的等差数列，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，合理利用数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13、-1【解析】

，，，由经过向量运算得，知点在以为圆心，1为半径的圆上，这样，只要最小，就可化简．【详解】如图，，则，设是中点，则，∵，∴，即，，记，则点在以为圆心，1为半径的圆上，记，，注意到，因此当与反向时，最小，∴．∴最小值为-1．故答案为-1．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知得出点轨迹(让表示的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有最小时，才可能最小．从而得到解题方法．14、5【解析】

试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即，为等比数列时，-2为等比中项，即，所以.考点：等差，等比数列的性质15、【解析】

试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b,C=120,，则由余弦定理，c=a+b-2abcosC，,三边长为6,10,14，,b=a+c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB,cosB=，sinB=可知S==.考点：本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用．点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解．巧设变量a-4,a,a+4会简化运算．16、【解析】

根据水的体积不变，列出方程，解出的值，即可得到答案.【详解】设圆锥形容器的底面面积为，则未倒置前液面的面积为，所以水的体积为，设倒置后液面面积为，则，所以，所以水的体积为，所以，解得.【点睛】本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的体积的计算与应用，其中解答中熟练应用圆锥的结构特征，利用体积公式准确运算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）连接，证明平面，进而可得出；（2）连接、、，设，过点在平面内作，垂足为点，连接，设，则角和均为直线与平面所成的角，从而可得出，即可求出所求角.【详解】（1）如下图所示，连接，在正方体中，平面，平面，，四边形为正方形，，，平面，平面，；（2）连接、、，设，过点在平面内作，垂足为点，设，设正方体的棱长为，在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，，平面，平面，在平面内，，，，，则、、、四点共面，为的中点，，且，平面，平面，，由勾股定理得，连接，设，则直线与面所成角为，则，，由连比定理得，则，因此，直线与面所成角为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、（1）,（2），,（3）【解析】

（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；（3）由，求解不等式即可得解.【详解】解：（1）因为函数图象过点，所以，即．因为，所以．（2）由（1）得，所以当，，即，时，是增函数，故的单调递增区间为，．（3）由，得，所以，，即，，所以时，x的集合为．【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.19、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，结合正弦定理可得：，很明显角C为锐角，故，故.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20、（1）（2）【解析】

（1）中可将“1”转化成，即可求解；（2）结合诱导公式化简，再结合和角公式化简【详解】（1）（2）【点睛】本题考查三角函数的化简求值，合理运用公式化简，熟悉基本的和差角公式和诱导公式是解题关键，属于中档题21、（1）；（2）4，6【解析】

（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的值，即可确定出的度数；（2）根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式，记作①，把的度数代入求出的值,记作②,然后利用余弦定理表示出，把及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相应的值代入，开方求出的值,由②③可知与为一个一元二次方程的两个解,求出方程的解,根据大于，可得出，的值.【详解】（1）已知等式，利