四川省巴中市2021年高三年级下册一诊（一模）考试 数学（理）

巴中市普通高中2021级“一诊”考试

数学（理科）

（满分150分120分钟完卷）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置.

2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5

毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区城以外答题无效，在

试题卷上答题无效.

3.考试结束后，考生将答题卡交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的.

1.若复数z满足z（2-i）=2i,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A={x|x<l,或尤>3},8={%|/-6%+8<。},则集合（"A）c3=（）

A.{x|3<x<4}B.[x\2<x<3}C.{x|2<x,,3}D.0

3.已知a=5+2C,c=5—2«,若a/,c三个数成等比数列，则〃=（）

A.5B.lC.-lD.-l,或1

4.已知。力是实数，则“a>6”是“片>〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知向量a1满足|。|=1,|Z?|=2夜a+Z?|=|a—人|,则cos〈。/一。〉=（）

A_1R1,2&口20

3333

6.已知直线办“与平面名下列命题中正确的是（）

A.若acy=m,0cy=n,贝!]m"

B.若〃z〃，则。_L〃

C.若a〃dmLa,。,则加〃7

D.若a10,ac0=n,mLn,则m±a

LA

7.ABC中，角ABC的对边分别为。，仇c,若J3a©I1。=2（:-052—.则A=（）

2

57r2兀7tit

A.—B.—C.—D.一

6336

8.从0,1,2,3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（）

2511

A.一B.一C.一D.一

3923

9.已知抛物线C:/=4%的焦点为尸，过点（2,0）的直线交抛物线C于A3两点，点Q在直线上且

OQLAB（。为坐标原点），则下列结论中不正确的是（）

A.|F2|=1

B.OAOB=-4

C.|E4|+|EB|的最小值为6

D.Q4B的面积的最小值为8后

10.在三棱锥P—ABC中，侧面K43是等边三角形，平面上43,平面ABCABLBC且AB=6C=2,则

三棱锥尸-ABC外接球的表面积为（)

1372兀196兀28兀7兀

A.---------B.-------C.------D.——

81933

11.若函数/（%）=2«%2+3兀-1在区间（-1,1）内恰有一个零点，则实数。的取值集合为（）

A.{d-1<a<2]

9

B.{a\a-——,或—1v〃V2}

8

C.{a|—啜收2}

9

D.{〃|〃=—,或一1张必2}

8

若/(%)”/[]/]1一%]=一/(》)，且/(%)在

12.已知函数/■(力=sin(ox+9)a>>0,\(p\<^\,

715兀

上单调，则①的取值可以是（

1912

A.3B.5C.7D.9

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的相应位置上.

131x+4j的展开式中的常数项等于.（用数字作答）

2%+y..0,

14.已知实数x,y满足约束条件12%+3y-4,,0;则3%-2y的最小值为.

2x-y-4„0

15.已知奇函数/（%）的导函数为若当X<0时;•（%）=V,且r（-l）=0.则/（%）的单调增区

间为.

22

16.己知双曲线土—上=1的左，右焦点分别为K,心，点P在直线x—2y+6=0上.当一月尸鸟取最大值

124

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试

题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答

（一）必考题：共60分

17.（12分）

已知数列｛«„｝的前n项和为Sn,且乙是S”与2的等差中项.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

]

（2）设〃=k>g24，求数列<>的前几项和

bn(2+2)

18.(12分)

如图，在直三棱柱ABC—A4G中，A41=AB=AC=2,M,N分别是8C,CG的中点，AB.LMN.

（1）证明：平面；

（2）求MN与平面A3]N所成角的正弦值.

19.（12分）

下图是某市2016年至2022年生活垃圾无害化处理量丁（单位：万吨）与年份/的散点图.

y

1.80....................................................................*.....

1.60.........................................................................

1.40......................................*........••…二......

1.20...............节••…•*........................

1.00…...............................................................

0,801234567/

注：横轴为年份代码1,1-7分别对应2016-2022,

蚁轴为年生活垃圾无害化处理量y

（1）根据散点图推断变量y与/是否线性相关，并用相关系数加以说明；

（2）建立y关于1的回归方程（系数精确到0.01）,预测2024年该市生活垃圾无害化处理量.

777

参考数据：=9.06,£行产39.33,2（丫-9『=036,疗。2.646.

z=li=lz=l

n»_

2?/一"7,歹_£&一『）（以一》）

参考公式：b=^----------,d=y-bT.相关系数厂汩.

1Vi=i/=i

20.（12分）

己知椭圆C:£+，=l（a〉0〉0）的离心率为弓，左顶点分别为A&G为C的上顶点，且..A3G的面

积为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（4,0）的动直线与C交于M,N两点.证明：直线A"与BN的交点在一条定直线上.

21.（12分）.

x

已知函数/（%）=-e---ax+a\nx.

x

⑴设g（x）=4（x），证明：当q,e时，过原点。有且仅有一条直线与曲线y=g（无）相切；

（2）若函数/（X）有两个零点，求。的取值范围.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xQy中，已知曲线G：1C（4为参数）和圆C2：%2+y2—4x=o.以坐标原点。

[y=2+2sin/7

为极点，以％轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线G和圆。2的极坐标方程；

(2)设过点。倾斜角为a0<a<：的直线/分别与曲线G和圆02交于点A3(异于原点。),求

A5C2的面积的最大值.

23.(10分)【选修4-5：不等式选讲】

已知函数/(%)=2卜+1卜|%—1|.

(1)解不等式〃x)>2x+l；

(2)若不等式"£)<*2-1+加恒成立，求机的取值范围.

巴中市普通高中2021级“一诊”考试

数学参考答案（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

题号123456789101112

答案BCDDABCBDCDA

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.6014.-715.（-1,0）,（0,1）wg

三、解答题：共70分

17.（12分）

解:（1）方法1

由题意，得2a,=S“+2

*'-2%+i=S^+i+2

两式相减得2〃〃+1-2an=Sn+i—Sn=an+i,化简得an+i=2an

取〃=1得2q=%+2,解得％=2

•.•｛%｝是以2为首相，2为公比的等比数列

「•2=2"•

方法2

由题意，得2%=S〃+2

取〃=1得2%=%+2,解得％=2

当九.2时，2（Sn-Sn_｝）=Sn+2,整理得S,=2Sa+2

Sn+2=20_]+2）,5]+2=4+2=4

・・・｛S“+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列

S„+2=4-2,,-1=2"+1

•a_S:+2_

2

(2)由(1)得：bn=log2a„=log22"=n,故么+2="+2

11111

•〃(〃+2)M"+2)2nn+2

3n~+5n

故雹=-5----------------

4/+12〃+8

18.（12分）

解：（1）证法1

由AB=AC且.5河=QW得AM，BC

由直梭柱的性质知BBl±平面ABC.

又AMu平面ABC

BBl±AM

BB[CBC=B,BBi,BCu平面BCC^

.•.AM,平面3CC1用

肱Vu平面BCC14

:.AM±MN

'■AB】_LMN,AMnABX=A,AM,AB；u平面ABXM

.•.ACV，平面A4M.

证法2

由AB=AC其9=QI/得AM

出直棱柱的性质知，平面8CG4，平面ABC

又AMu平面ABC，峋BCGBIC平面ABC=BC

.•.AM，平面BCG用

MNu平面3。。1片

:.AM±MN

AB]_LMN,AMnAB{=A,AM,ABXu平面ABXM

.•.ACV，平面A4M.

（2）方法1

由（1）知MN，平面阴M,又与Mu平面

MN1BXM,故/B[MB=NMNC

又tan/B^MB=%,tanNMNC=里，BB]=2,CN=-CC,=1,BM=CM

1BMCN121

:.BM2=2-

BC2=4BM~=S=AB-+AC2

故ABLAC,从而A5,AC,M两两垂直

以A为原点，AB,AC,A4,分别为羽％z轴的正方向建立空间直角坐标系A-孙z

出题意得,A(O,O,O),M(1,1,0),5；(2,0,2),7V(O,2,1)

ABX=(2,0,2),AN=(0,2,1),MN=(-1,1,1)

设平面ABM的一个法向量为u=（尤,y,z）

u-AB,=0,f2x+2z=0,

1得〈取z=-2得”=(2,1，-2)

u-AN=0[2y+z=0

设"N与平面A31N所成角为氏则

_|—2><：1+1><：1+1*(-2)|_百

sin0=|cos〈u,MN〉|=

\u\-\MN\~3x73-3

MN与平面AB[N所成角的正弦值为

3

方法2

由（1）知MV，平面A4”,又4"U平面A4M

MN±BXM,故NB[MB=NMNC

又tan/4Ms=外,tan/MNC=—,BB,=2,CN=-CC.=1,BM=CM

1BMCN121

BM2=2)故BM=4i=CM

BC2=8=AB2+AC2,MN=^CM2+CN2=6,B1M=+BB；=瓜

..AB.LAC,故

二匕,,MN=-X-XAMXMNXB.M=1

A-Z5J/KZ2V32]

又ABX=qBBi+AB?=272,同理可得AN=y/5,B1N=3

AB：+BN-AN。行4.72

..cos/AB]N=-----------------------=,故sin/AB,N-

12AB[XB\N212

:.S.=-AB.xB.Nsin^AB,N=-x2yf2x3x—=3

AR"TNV211122

设点M到平面ABM的距离为d,MN与平面AB】N所成角为6

3%-AB]N

则」=

uAB]N3

sin。="-=W,即MN与平面AB[N所成角的正弦值为B

MN33

19.(12分)

、_1+2+3+4+5+6+728/

解:(1)t=--------------------------=——=4

77

7

222222

Z,—亍)2=(-3)+(—2)2+(-1)+0+1+2+3=28

i=i

77

£。-亍)(X-刃=-7号=39.33-4X9.06=3.09

i=li=l

3.09

”0.97

2x2.646x0.6

由y与/的相关系数约为0.97表明：y与『的线性相关程度相当高

可用线性同归模型拟合y与t的关系.

7

,£（­）（y三）

⑵由广手

a1.29及(1)得7

Z(—)2

i=l

a=J-Z，r«1.29-0.11x4«0.85

•■•丫关于/的回归方程为y=0.85+0.11?

代2024年对应的年份代码t=9入回归方程得：y=0.85+0.11x9=1.84

预测2024年该市生活垃圾无害化处理量将约为1.84万吨.

20.（12分）

解：（1）由题意得五王=立，化简得a=23

a2

又SABC=JA5|><QG|=M=2

a=2,b=1

，椭圆。的方程为三+y2=l

4-

（2）方法1：由（1）得4（一2,0）,5（2,0）

设/a,%)川(为2，%)，直线M4：y=m(x+2),直线NB:y="(x-2)

由m(x+2),得(]+4>)九2+16加光+]6病一4=0

X2+4/-4=0、)

।工16/TZ-4由2-8m4m小

山于-2%=---------—，战X]=--------K,y=--------K

1+4m21+4m21+4m2

2)'得(l+4/)%2一16/尤+16/-4=0

由,

27

X+4/_4=01

16/—4

由于2%2=

1+4/1+4"'2I+4”2

X.-4Xr,-4

由题设知」一=一一,代入①②化简得（4加+1）（3加+〃）=。

%%

1_—4m2rl_m

省4zm+l=0,则加〃=—,此时%一用24机2/一I一%

4m+—

4

故M,N重合，即直线/椭圆C相切，不合题意

/.m=-3n

・•・点P（x,y）满足y=m（x+2）且y=-3m（x-2）,联立解得x=1

即AM与BN的交点在定直线X=1上.

方法2：由（1）可得4（—2,。）,4（2,0）,设“（不乂）,"（九2，%）

山题意知，直线MN的斜率不为0,设其方程为x=7砂+4,且

x=my+4,/

由＜八4/-4=。消去x整则4+小卜2+8冲+12=0

则一=16（疗-12）＞0,解得网＞26

—8m12

由根与系数的关系得%+%=2

4+根2'-1'24+m

%（）直线的方程为丁=上彳（》-）

直线MA的方程为丁=x+2,2

%1+2九2-2

联立直线与直线NB的方程可得:

x+2_y2a+2）_%（⑵i+6）_玫）科+6（%+%）-6%

%-2%（%2-2）乂（冽为+2）/孙％+2%

12,-8m「-36m「

m-----y+o-"一6%

4+根，

IF12m。.

mx----5；+2%------7+2y

4+m4+m2*4

龙+2

由----二-3可得％=1,故AM与3N的交点在定直线x=l上

x-2

方法3：由（1）可得4（-2,0）,4（2,0）,设加（4%）,"（々,为）

由题意知，直线MN的斜率不为0,设其方程为％=阳+4,且|时＞26

:如:'消去整理得（）加

由＜x4+W,2+8y+]2=o

x+4y-4=0、7

则△=16^m2—12)>0,解得网>26

-8m12

由根与系数的关系得%+%=4+m2'"%4+m2

当线论的方程为安栓（、+2），自线NB的方程为“言（、一2）

联立得%(马-2)(x+2)=%(石+2)(x-2)

代入石=myl+4,X2=加%+4得：（殁跖+2乂）（％+2）=（殁跖+6%）（兀一2）

12m-16m12m

-------7"1--------7

4+m4+m4+m2

即Q+M2-%}%+2）=Q+加2+3%}%-2）,化简得x+2=_3（1_2）

解得x=l,故A"与BN的交点在定直线x=l上.

方法4：设由题可知MN的斜率一定存在，设/:丁=加（%—4）

ym^x4）,得（1+4/—32加2%+644一4=0

犬2+4/_4=0'>

V3

(—32〃)—4(1+4/)(64加2-4)=16(1—12后)>0,解得—<m<

6~6

由根与系数的关系得石+x,=巫=,X/,=64m2-4

1+4加l+4m2

又肠l:y=T^(x+2),2VB:y%(I)

工2—2

联立解得：.=2（…々…x+2%）

%为一%2乂+2乂+2%

2(%/+%%-2%+2%)—(―X%+%%+2%+2%)

5%2—2)+2

=4初10机(玉+九16m=2m[2玉龙-5(%+x2)+8]

.64m2—4_32m2-8(1+W)

=2m2x------------5x---------+8二2m+8=0

1+4m1+4m1+4/772

:.x=l,即AM与BN的交点在定直线x=l上.

方法5：设加（%,%）川（%,％），由题意知MN的斜率一定存在，设/:丁=加（九一4）

y,m^x4）,得（]+4疗）九2-32/〃2工+8四2_4=0

山＜

x2+4y2-4=017

l-12m2）＞0,解得-叵＜m＜叵

（-32疗）—40+4加'2）（64m2-4）=16（

66

由根与系数的关系得32A石ZZ2+々=胃64加，2—4

病（64疗-4_128疗+16、

加2「玉龙2-4（玉+尤2）+16]Il+4m2l+4m2）3r

••ki^fnkjcrn-T7=7.7.=一

,再九2—2（再+尤2）+464m2-464m24

1+4m21+4m2七

%2yy11

由:+%=i得工73,^^5=_7,即上“B=_z②

由①②得左NB=一34"A

.,.直线MA的方程为y=kMA(x+2),直线NB的方程为y=-3^(x+2)

联立直线MA与直线NB的方程解得x=1

AM与BN的交点在定直线x=1上.

方法6：

设M4与NB交于点尸（0,%）,则AM：y=^—（x+2）,NB:y=上不（》—2）

Xp+ZXp—z

代入+/=1'解得X"=加1I：；；?："

._8君-2（%p-2）__4（马_2）力

/=（与-2）2+4.=（%―2『+4yJ

-4（”2）%,4（与+2）力

由题设知

8%-2（Xp-2）~_42国+21-8第4

（%―2）+4次（%+2）+4次

（xP-2）yP(如+2)小

即0

根据题意知闻<2,故42_4寸_4<0

xp=l,即AM与BN的交点在定直线x=l上.

注：

本题第(2)问的解法1,解法4,解法6是参照2024年版《高考试题分析(数学)》P225228对2023年高

考新课标〃卷第21题的解题思路给出的.

21.(12分)

解：(1)证法1

由题意，g(x)="-or2=-2ar+6z+4zlnx(x>0)

设过原点的直线与曲线y=g(x)相切于点”,g⑴)，贝|

d—a厂:"In/="一2公+a+aInt">0),变形化简得(/f(d—成)=0

=ex—ax,则“(%)="-a

若④0,则当X〉o时恒有秋无)>0,此时方程①有唯一解『=1

过原点0的有且仅有一条直线y=(e—a)x与曲线y=g(x)相切

^r0<«,,e,则"(x)<0得0<x<ln«,由尤)>0得x>lna

；,(幻皿=^(lna)=a(l-lna)..O,方程①有唯一解f=1

•••过原点0有且仅有一条直线与曲线y=g(%)相切.

综上，当《，e时，过点。有且仅有一条直线y=(e—a)x与曲线y=g(x)相切.

证法2

由题意，g(x)=ex—ax2+cuAnx,g'(x)=ex-2ax+a+a\nx{x>0)

设过原点的直线与曲线y=g(x)相切于点g(。)，贝U

e―或+"=£—2G+a+aln/«〉0)变形化简得“一1)一—a=0①

t\t7

设夕(。=--a(t>0),则=匕(：°

当0v%<1时夕'V。,单调减；当方>1时0")>0,单调增

=^l)=e-a

由④e知a>)而n=0(l)=e—a.O,当H.仅当f=l取等号

・•・当④e时，关于f的方程①有唯一解f=l

当④e时，过原点。有且仅有一条直线与曲线y=g(x)相切.

(2)方法1

〃x)=y—"L>o

内(1)知：当6,e时，ex-ax..0

故当0<x<l时/'(九)<0,当x>l时/''(x)>0

=a.0,此时/'(%)至多一个零点，份题意

当a〉e贝"，设/z(x)=eX-at

由(1)中方法1知例»1n=a(lTna)<0

又入(0)=1>0,"⑴=e-a<0,/z(21na)=a(a-21n«)>0

.,/(x)在(0,1),(1,+8)各有一个零点，设为％，w(v<4)

.•・/'(九)有三个零点和1,々,且0<%<1<%2

当0<%<凡，或1<X<%2时，/，(%)<0；当不<%<1,线x>%2时，/'(x)>0

二/(%)的极大值为f(l)=e-a<O,f(x)的极小值为/(xj和/(%2)

且/&)<〃1)<0"(%)<〃1)<0

又当xf0,或Xf+8时，都有

..・/(x)恰在(0,%)和(％，+。)各有一个零点，符合题意

，。的取值范围为(e,+“)

方法2

由/(x)=J_ax+alwc变形得/(x)=ex^m-a(x-lav)

X

令JF«)=/—〃/=x—lnx(%>0),则/二1一工

当0<x<l时，f<0：当x>l时，f>0

•」min=lTnl=l,故

X当0<x<l时，有/=x—lrLt>-lrLt,此时♦的取值范围为(L+°°)

当X>1时，由直线上升与对数增长的比较知，/的取值范围为。,+")

故对任意的/()>1,关于％的方程x-lnx=fo(/o>1)恒有两个解

.••/(%)有两个零点等价于F(t)在(1,+”)有且仅有一个零点

由(1)知，当q,e时，尸(。..0在［1,+8)恒成立，当巴仪当口=0/=1取等号

当④e则，八了)至多一个零点，不合题意

当a〉e时，由(1)知尸(。而口=F(Ina)=a(1-Intz)<0

又E(l)=e-a<0,且为(21na)=a(a-21na)>0

F(Z)在(1,+oo)有且仅有一个零点

综上可知，a的取值范围为(e,+“).

方法3

XXX

由/(%)=----1%+变形得/(%)=----aln—

令G«)=，-aln//=J(%>0)，则，^

%x

当0<%<1时，f<0；当x>l时，t'>0

e>故f-e

又当0<%<1时，有r=J〉上，此时/的取值范围为(e,+“)

XX

当x>l时，由直线上升与指数爆炸的比较知，f的取值范围为(e,+8)

故对任意的八>e,关于％的方程《=%00〉e)恒有两个解

.••/(X)有两个零点等价于G(r)=力在3+“)内有唯一零点

又G，a)=l一台小e)

⑴当6,e则，G'⑺..0,G(。在(e,+“)足增函数，止匕则GQ).=e—a.O

当且仅当。=/=e取等号，故“，e时，/(无)至多一个零点，不合题意

(ii)当a〉e时，若e<t<a,则G'(f)<0；若/>a,则G'(/)>0

此时=G(a)=a(l-lna)<0

又G(e)=e-a<0,且G(a2)=q(a-21na)>0

.•.G(。任(e,+。)有且仅有一个零点

综上可知，。的取值范围为(3+”).

方法4

^y^x-lwc,贝Uy，=]」

X

当Ov%vl时，y<0；当%>1时，y'>。

二.(九—InxLn=1-Ini=1,故x—1—Inx.0,且炉—jdnx>0

由/(x)=0得竺—以+ahu=0,变形得丁《-----a=0

xx-x\nx

令H(x)=———a,则/(x)有两个零点等价于H(x)有两个零点

x-xlnx

“、ex(x-l-lnx)

〃(刈=1------『一0，当且仅当X=1时取等号

(x-xlnx)

.・・当0<x<1时厅(X)<0,H(X)单调递减：当x>1时〃'(%)>0,H(%)单调递增

，H(X)min=用1)=6-。

由8(%)有零点知e-a<0,贝|a〉e

X当Ovxvl时，〉1，故“(%)〉1-----

%-xiwc

L1--*r-t»911TT

取x——,〃£NT,则x—xlnx——--I---

de2nen

[77

X,头〃一>+8时，有X—>09且九2—xllLV=1----->0

enen

，当XfO时〒^------>+8(如下图)，故“(X)—+。

x-xiwc

当尤＞1时，保而当兄一+8则，三•f+。

XX

当％f+oo是+。

故当a＞e时，》（%）在（0,1）和（1,+。）各有一个零点，故"％）有两个零点

，。的取值范围为（e,+“）

（-）选考题：共10分.

22.（10分）

x=2cos"x=2cos0,消去参数p得V+V—4^=0

解:（1）由＜变形得《

y=2+2sin尸y-2=2sin〃

代夕cose=x,psine=y入G和G的普通方程并化简得：

3:p=4sin。,G：夕=4cos。

「•直线G的极坐标方程为P=4sin8,圆C2极坐标方程为p=4cosO.

(2)方法1

由题意，设直线/的极坐标方程为6=a(〃£R)

代8=a(〃£R)入夕=4sin6得A(4sin。,。),故|OA|=4sina

代夕=a(〃£R)入Q=4sinO得5(4€05。,0,故|。因=4cosc

由0<a<：■知cosa>sina,印\OB\>|CH|

由圆C2的方程得|。。2|=2

x

••SABC2~BOC?_SAOC.=-|OC2|x^|OB|-|OA|)sin6if

=4(cosa-sin。)sin。=2sin2a+2cos2a-2

=2缶“2々+：）—2,,2后—2[0<a<；J

7T

当且仅当a=一时取等号

8

ABC2的面积的最大值为2立—2.

方法2

由题意，设直线/的极坐标方程为。=。（夕eR）

代e=(z(夕wR)切=4sin8得A(4sina,a),故=4sina

代6=a(夕wR)入夕=4sin8得5(4cos(z,a),故|OB|=4cosa

由0<a〈:知，[AB]=|O/?|-|OA|=4(cosa—sine)

由圆。2的方程得|°G|=2

设。2到直线I的距离为d,则d=\OC2\sina=2sina

=-xt/x|AB|二4(cos-sinor)sina-2sin2o+