数学-广东省四校联考2024届高三年级上册10月月考试题和答案(一)

2023〜2024学年度第一学期四校联考（二）

数学试卷

说明：本试卷共4页，22道题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位

号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡

上的非答题区域均无效。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知全集0=&,集合/={x|Q,%2},S={x|x2-x>0},则图中的阴影部分表示的集合为

A.{x|1或x>2}B.{x\x<0或1<x<2}

Cx<2}D.{短<匕2}

2.在等差数列{〃〃}中，若。8=6,。11=0,则〃2=()

A.16B.18C.20D.22

./、2yJ~5TC

3.已知sm(»+a)=-^—,则sin(—+2a)的值为()

?2

14

4.设S“为正项等差数列{%}的前〃项和.若Szg=2023,贝I］一+—的最小值为（）

“442020

59

A.-B.5C.9D.-

22

5.命题“V1&W2,N—为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.B.。三5C.“W4D.QW5

试卷第1页，共6页

1

6.己知函数/(x)满足矿(x)lnx+/(x)>0(其中/(X)是/(x)的导数)，若。=八")，6=/(e),

c=/(e2),则下列选项中正确的是()

A.4c<2b<aB.2b<4c<aC.a<2b<4cD.a<4c<2b

7.若函数/(x)=/+3x+l+h?，恰有两个零点，则实数k的取值范围为()

A.(—2,0]B.(e2,+oo)C.[0,e2)u{--}D.(-co,--)u{0}

eee

8.若直角坐标平面内4B两点满足：①点A,B都在函数/(x)的图象上；②点4B关于原点对

称，则称点(48)是函数/(X)的一个"姊妹点对”，点对(48)与(3,/)可看作是同一个"姊妹点

\ax-l(x,0)、一

对〃.已知函数/(%)=1/八、恰有两个〃姊妹点对〃，则实数。的取值范围是()

[lnx(x>0)

A.0<a,,e~2B,0<a<e~2C.0<a<e~xD.0<a,,e~1

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是()

A.若。</?,则/〈Z/B.若一<一<0,则a--->b——

abab

C.若关于x的不等式办2+法+2〉0的解集为{x|—则a+6=—10

D.函数7(x)=l0gl(-/+4%+5)在区间(3„7-2,加+2)内单调递增，则实数m的取值范围为

2

[1,3]

10.在数列也J中，q=1,且对任意不小于2的正整数"，。1+:。2+-+匕。,7=%恒成立，则

下列结论正确的是()

*+〃+2

A.an=n(nEN*)B.al0-5C.a『a4,4成等比数列D.a1+a2+...+an=--------

11.下列四个命题中，错误的是()

试卷第2页，共6页

A."九1"是"关于x的方程mx2+2x+l=0有两个实数解"的必要不充分条件

B.命题汩xeR,使得/+x+l<0"的否定是："对VxeR,均有f+x+l…0”

C.若x>0,则函数了=6+2+/。的最小值是2

V%2+2

D.若函数f(x)-x3+3ax2++/在x=-1有极值0,则。=2,6=9或a=1,b-3.

12.已知X],%分别是函数/@)=6'+》-2和g(x)=lnx+x-2的零点，贝ij()

x

A.占+%2=2B.e'+Inx2=2C.x1x2>——D.x；+x；<3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.数列｛4｝中，q=2,an+l=2an,〃eN*.若其前k项和为126,则左=.

cos——,0<%,2

14.已知函数/(x)定义域为R,满足〃x+2尸-/(x),当-2<~2时〃x)=；，则

|x+-|,-2<x„0

/(/(-5))=.

15.已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意x,yeR者B有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,

f(x)>0,f(k-2x)+f(4x+1-8x-2x)>0对任意xe[-1,2]恒成立，则实数k的取值范围是.

2

16.函数/(x)=/-axlnx在(一,2)上不单调，则实数a的取值范围是.

e

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题10分)

已知曲线y=/(x)=$32+6X+1在点(0,/(0))处的切线的斜率为3,且当x=3时，函数

/(x)取得极值.

(1)求函数在点(0,7(0))处的切线方程；(2)求函数的极值；

试卷第3页，共6页

(3)若存在xe[0,3],使得不等式/(x)—加(0成立，求m的取值范围.

18.(本小题12分)

己知角〃的终边上一点且sinO=-g

C0S(6——)-C0S(-6-7T)

(1)求tan。的值；(2)求2的值.

sin(〃-6)+cos(6+7i)

(3)若9£(一工,o],a0,->1,且sin(a+6)=,求cosa的值.

12；I2；10

19.(本小题12分)

已知数列｛%｝的前八项和为S"，且S”=〃2,数列也｝的前n项积为7；,且看=(百)/+"

⑴求｛%｝,｛4｝的通项公式；(2)求数列也也｝的前。项和

20.(本小题12分)

已知函数/(x)=(f—2x)e%e为自然对数的底数).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)求函数/(x)在区间[0,加]上的最大值和最小值.

试卷第4页，共6页

21.(本小题12分)

广东某中学校园内有块扇形空地。PQ,经测量其半径为60m,圆心角为一.学校准备在此扇形空地上

3

修建一所矩形室内篮球场ABCD,初步设计方案1如图1所示.

(1)取PQ弧的中点E,连接OE,设ZBOE=a，试

用。表示方案1中矩形ABCO的面积，并求其最大

值；

(2)你有没有更好的设计方案2来获得更大的篮球

场面积?若有，在图2中画出来，并证明你的结论.

22.(本小题12分)

已知函数/(x)=x-alnx(aeR).

(1)当a<e时，讨论函数/(x)零点的个数；

⑵当xe(l,+8)时，/■(力2"。瓦-北恒成立，求。的取值范围.

试卷第5页，共6页

试卷第6页，共6页

2023〜2024学年第一学期四校联考(二)参考答案

题号123456789101112

答案ABDDBCCBBCBCDBCDABD

V24

13.614.15.k>\16.(2,---------).

2ln2+l

部分试题答案详解

7.【答案】C

【解答】解：由题意知Y+3x+l+加、=0有两个不同的解，即y=-[与y=左有

e

两个不同的交点，记g.L—x—l,贝I]g，(x)=x2+：2=(x+2),xl),

eee

当x<-2时，g'(x)>0,g(x)单调递增;当—2<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以当x=-2时，函数g(x)有极大值e2,当尤=1时，函

数g(x)有极小值-2.

e

又因为尤-—00时，g(x)<0;xf+8时，g(x)<0,且

g(x)To,

如下图：

数形结合可知ke[0,e2)L7{--}时，函数/(x)恰有两个零

e

点.

8.【答案】B

67X-1(X^O)

【解答】解:由题意知函数/(%)=<恰有两个"姊妹点对〃,

lnx(x>0)

等价于函数/(x)=Inx,x>0与函数g(x)=〃x+l,的图象恰好有两个交点,

所以方程Inx=QX+1,即lnx—Qx—1=0在(0,+8)上有两个不同的解.

构造函数〃(x)=lnx-ax-1,则/(x)=L—〃，

当。(0时，h\x)>0,函数力0)区间(0,+8)上单调递增，不符合题意；

当a>0时，令〃(x)>0,解得0<x<L,所以函数人(X)在区间(0,工)上单调递增,

aa

第1页共9页

令"(X)<0,解得X>L,所以函数仪X)在区间(工,+8)上单调递减,

aa

所以〃(1)>0,解得0<a<e-2,

a

又h(e)-\^e-ae-\--ae<0,

所以函数以X)在(e,-)上有且仅有一个零点，

a

_.112-A/Y

令M(x)=lnx-«-l,则"(x)=-----广=------,

x2Vx2x

令解得0<x<4,

所以函数/(x)在(0,4)上单调递增,

令/，(x)<0,解得x>4,

所以函数/(x)在区间(4,+oo)上单调递减.

所以M(x)111ax=M(4)=In4—3<0,

所以M(x)=Inx-五一1WM(4)<0,即Inx(6+1.

又h(4)=ln^--tzx-^--l<+l-ax3—1=.^-(1-^2)<0，

aa~a\aa\a

17

所以函数h(x)在(--)上有且仅有一个零点.

aa

综上可得0<a<2.

12.【答案】ABD

【解答】解：函数/(x)=e*+x-2的零点为石，

函数g(x)=Inx+x-2的零点为马,

可得ef=2-X],Inx2=2-x2,

由了=/与其反函数y=Inx关于直线了=x对称,

y=/与直线y=2-x的交点为(西,2-占)，

y=lnx与直线y=2-x的交点为(%2,2-％)，

可得占=2-即苞+工2=2,故A正确；

直线了=2-x与直线V=x垂直，则点(再,/)和GJn%)也关于直线y=x对称，则有

第2页共9页

Xj=lnx2,则有e*+lnX2=e*+再=2,故B正确;

又g⑴=lnl+l—2=—1<0,

j_iL3

g(4e)=]n4e+^e-2=e1+--2>2.25^--=Q,

3

所以5<、2〈五，贝!1再%2=%2(2—X2)=X21n%2，

因为y=x\nx,

y=1+Inx>0,

所以了=xlnx在上单调递增,

所以xtx2=x2Inx2<VeInVe=，故C错误；

33

由上可知xrx2=x2Inx2>—In—,

因为三3ln±3——1=1m2a7z-1Jn卫〉0,

2222828e

3311

所以]In万〉万，即xxx2>—,贝!jx：+x[=(/+/『-2X1X2=4-2x1x2<3,

所以x；+x；<3,故D正确.

15.【答案】解：(1)令x=y=O,得/(0+0)=/(0)+/(0),所以/(o)=o.

证明：令》=一》，#f(x-x)=/(x)+/(-x)=/(0)=0,

所以/(-%)=-/(X),所以/(X)为奇函数.

由题知：f(k-2X)+/(4X+1-8T-2X)>0=/(O),

即f(k-T+4"i-8"-2X)>/(O),

又了=/(x)是定义在R上的增函数，

所以h2*+4-T+1-8Y-2x>0对任意xe[-1,2]恒成立,

所以h2£〉2'+8'—4>1，

即左〉1+22-22，

令2』，令［；,用,

贝Ug(/)=〃—4/+1,所以左〉g(/)max，

第3页共9页

当，=4时，g(Omax=g(4)=16-16+1=1,

所以%>1.

16.【解答】解：/'(x)=2x—a(lnx+l),

2

若函数/(x)=/-axlnx在(一,2)上不单调，

e

2

则方程/'(x)=0在(一,2)上有根

e

2x2

即方程〃=-——-在(-,2)上有根且方程的根是函数/'(X)的变号零点,

lnx+1e

2x，/、21nx

令，贝"

工£(一/)时,g\x)<0,g(x)递减，X£(l,2)时，gf(x)>0,g(x)递增,

e

又g⑴=2,g(-)=,g(2)=-:,由g(2)-g(-)=

eem2m2+1em2+1

4

得g(x)£(2),

ln2+l

4

故ae(2,：、

ln2+l

故答案为：(2,-^-).

In2+1

/(0)=6=3,

17.【答案】解：⑴/(》)=--2办+6,结合题意可得i分

/(3)=-6a+b+9=0,

(4=2

解得八2,经检验符合题意，........................3分

[6=3

故f(x)=^x3-2x2+3x+l.

所以在点(OJ(O))处的切线方程为>=3x+l...............................................4分

(2)由(1)知广(x)=/-4x+3.

令/X%)〉。，解得x>3或x<l,令r(%)<0,解得l<x<3,

故/(%)在(3,+8)上单调递增，在［1,3］上单调递减，..................6分

7

所以“X)极大值="1)=；，极小值=/⑶=1；..................7分

(3)/(%)在［0,3］上有极大值，无极小值，

又因为"0)=1,"3)=1,.

所以要使不等式/(%)一加W0能成立，则/(X%(加..............8分

第4页共9页

所以加21.............................................9分

故m取值取值范围是是[1,+8).............................................10分

18.【答案】解：⑴角6的终边上一点p(l,田且sing一巨得

2

所以9为第四象限角，则y<0,.........................................1分

所以由sin。=―；凶>y=-A/3.........................................3分

所以tan0=-3..........................................4分

(2)因为tan9=一3，

冗

COS(6)—COS(-0—71).IA

所以n

2Lsine+cosJ........................................6分

sin(yr-6)+cos(6+»)sincos0

=tan0+l=^3±l=2_^.

.........................................8分

tan0-1-\3-l

(3)因为5,0),ocGf0,—j,且si

[a+ff)=得

10

a+0€(0,^-),所以cos(a+6)=Jl-sin2(a+e)=31,...........................10分

210

.....................11分

所以cosa=cos[(a+e)-8]=cos(a+60cos6+sin(a+e)sin。

3V101痴，6、

=------•—+------•(--)

102102

_3A/T0-V30

20

..............................................................12分

19.【答案】解：(1)当〃=1时，%=岳=1;............................................................................1分

当时，%=5“一S“|=〃2一("-1)2=2〃-1,..................................................................2分

经检验，当”=1时，满足％=2〃-1,因此％=2〃一1........................................3分

当〃=1时，4=7]=3;......................................4分

T(6广厂

当磋2时，%=六='J=(百产=3",.......................................5分

当〃=1时，满足bn=3"，因此6〃=3〃........................................6分

第5页共9页

⑵由⑴知%，=(2〃-1)x3",

M,=1x3+3x3?+5x3'+…+(2〃-1)x3",.................7分

3M“=1x3?+3x3?+5x3"+…+(2〃-3)x3"+(2〃-l)x3"M,.................8分

两式相减得

234,,+1

-2Mit=3+2x(3+3+3+---+3")-(2H-1)X3..................9分

Q_4〃+1

=3+2x———(2M-1)X3,,+1..................10分

1—3

=-6-(2〃-2)x3"+1.................11分

故％=3+(〃-l)x3向.............................12分

20.【答案】解：⑴/(X)=(X2-2X>\

求导得/'(x)="(x2—2)...........................1分

因为"〉0,令/'(x)=e%x2—2)〉0,即――2〉0，

解得x<—0或x>也，

令八x)=，(Y—2)<0,即――2<0，

解得—0<x<0，..........................4分

函数/(X)在(-叫-夜)和(0,+QO)上单调递增，在(-8,行)上单调递减......5分

(2)①当0〈加时，

/(x)在［-V2,V2］上单调递减，

/(x)在区间［0,m］上的最大值为/(0)=0,

m

/(x)在区间［0,加］上的最小值为/(加)=(加2-2m)e.........................7分

②当行</联2时，

V/(x)在［-V2,V2］上单调递减，在［近,+oo)上单调递增，

且/(0)=/(2)=0,

/(x)在区间［0,m］上的最大值为/(0)=0,

/(x)在区间［0,m］上的最小值为/(V2)=(2-2也)步................9分

第6页共9页

③当加>2时，

V/（x）在［-V2,V2］上单调递减，在［V2,+oo）上单调递增,

且/（加）〉0=/（0）,

.'./（X）在区间［0,加］上的最大值为f（jn）=-2ni）em,

/（x）在区间［0,加］上的最小值为/（、历）=（2—20）e/....................................11分

综上所述，当0〈加WJ5时，最大值为/（0）=0，最小值为/（加）=（加2—2加）e"'.

当、回（加〈2时，最大值为/（0）=0,最小值为/（、回）=（2—2j5）e行.

当加>2时，最大值为/（加）=（加2—2加）e"‘，最小值为/（、汇）=（2—2j5）e3.…12分

21.【答案】解：⑴如图所示，

取PQ弧的中点E,连接OE,

设。E交AO于M,交BC于N,显然矩形ABC。关于

OE对称，而分别为AD,BC的中点.设

71

ZBOE=a,0<a<—,在RtACW中，

6

BN=60sina,ON=60cos6z1分

OM=^-=4i>DM=V3C2V=60V3sinaCCH,「.

.n，所以A/2V=ON-OM=60cosa-60丁3sina，

tan—

6

BPAB=60cosa-60A/3sina，ffi]BC=2BN=120sina*..................................2分

故矩形八BCD的面积S=AB・BC=3600(cosa-V^sina)-2sina.................................3分

=3600(2sinacosa-2Gsin2a)=3600[sin-V3(1-cos2a)]

二3600(sin2a+Gcos2a--Ji)=7200sin(2a+yj-3600百,.................................5分

jrjT

因为0<a<—,所以0<2a<一,

63

r-Lr、t兀-7127r八

所以................6分

故当2aH—=—,即a=—时，S取得最大值，此时S=3600(2—JJ),

3212

所以矩形ZBCO面积的最大值为3600(2-我疗；.................7分

第7页共9页

(2)如图所示，在半径OP上截取线段AB为矩形的一边，作

得矩形ABCD.

7T

设ZBOC=/0<。<—,可得CB=60sin0,OB=60cos6,

3

则CM=C8tan工=20Gsin。，................8分

6

所以S=(08—CM)xC5=(60cosd-x206sin6)x60sin0

=3600(sin6cos0———sin20)=\800(sin2。+-^-cos20)-600、

40073，V3._12006

=--------(——sin29+—cos29)------------

3223

=120073sin(2,+-)-600>/3,..................................10分

6

.।_八TCIT_八TC57c

因t为o<e<—,可行—<2。H—<—,

3666

TTTCTC—

所以当2。+：=7时，即9=：时，S有最大值为60(x/J.

626

即教室面积的最大值为600后?.....................