广东省汕头市2024届高三第一次模拟考试数学试题(含答案)

试卷类型：A

2024年汕头市普通高考第一次模拟考试

数学

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫未黑色墨水签字名将自己的姓名、准考

证号填写清奖，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应逊目的答案标号

涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3,非选择题的作答：用黑色签字爸直接答在答题卡上对应的答题区域内。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷选择题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.“心；'是“工<2”的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

2.在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为

A.21B.24C.27D.30

3.已知△4BC的内角小B、C的对边分别为、b、c,若4=60。，6=10,则下列。的

取值中，使得该三角形有两解的是

A.a=8B.。=9C.a=10D.a=11

4.(l+})(l+x)7展开式中9项的系数为

A.42B.35C.7D.1

5.已知函数/("=山言=3>0,〃>0)是奇函数，则：的最小值为

A.3B.5C.3+20D.3+442

6.在复数范围内，下列命题是真命题的为

A.若ZKO,贝上二是纯虚数B.若z?=-|z『，贝丫静虚攀

C.若z；+z；=0,则马=0且Z2=0D.若Z］、z?为虚数,则Z*?+z,z2eR

7.已知圆锥的顶点为S,。为底面圆心，母线”与S3互相垂直，△胸的面积为8,

SZ与圆锥底面所成的角为30。，则

A.圆锥的高为1B.圆锥的体积为24%

C.圆锥侧面展开图的圆心角为返

D.二面角S-48-。的大小为45。

3

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8.如图，设尸卜g是椭圆的左、右焦点，点P是以凡户2为直

径的圆与椭圆在第一象限内的交点，延长尸产2与椭圆交于

点。，若1ml=4|。玛I，则直线打'2的斜率为

A.--B.-1

2(第8题图)

C.-2D.-3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分・在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，

有选错的得0分.

9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年

级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示

的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布

情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80,90)内的

学生成绩方差为12,成绩位于[90,100)内的同学成绩方

差为10.则

参考公式:

样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x,s；;〃，yf记样

本平均数为石,样本方差为一，则/=[s：+(x-0)卜加入+(y-0)],

A.a=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

10.已知函数/(x)=cos2x.cosj2x+g]-£则

IoJ4

A.曲线y=/(x)的对称轴为％=左不一?，kwZ

B./(x)在区间停片)上单调递增

C./⑺的最大值为g

D./(x)在区间[0,2句上的所有零点之和为8乃

11.如图，或是连接河岸相与OC的一座古桥，因保护古迹

与发展的需要，现规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形

保护区.规划要求：

①新桥8c与河岸彳8垂直；

②保护区的边界为一个圆，该圆与8c相切，且圆心A/在

线段。1上；

③古桥两端。和力到该圆上任意一点的距离均不少于(第11题图)

80m.

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4

经测量，点力、。分别位于点。正北方向60m、正东方向170m处，tan/BCO=m.

根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是

A.新桥8c的长为150m

B.圆心M可以在点4处

C.圆心〃到点O的距离至多为35m

D.当OM长为20m时，圆形保护区的面积最大

第II卷非选择题

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第13、14题第一空2分，第二空3分一

12.已知成对样本数据(和%)，(x2,y2),…，(x“,%)(〃N2)中,1，己,…，％不全

相等，且所有样本点(小力)(，=1,2/、〃)都在直线蚱?+1上，则这组成对样本数据

的样本相关系数厂=.

13.已知C:AJ8C外接圆的半径为1,圆心为点O,且满足加=-2日-3瓦，则

cosZ.AOB=,AQ♦OA=•

14.如图，在正方体ABCD-431cQ中,E是棱CG的中点，记平面

皿E与平面相8的交线为4，平面力。£与平面初44的交线

为4,若直线AB分别与乙、6所成的角为B,则tana=

,tan(a+')=.(第14题图)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知数列｛4｝和色｝,其中a=24,数列包+4｝的前〃项和为S〃.

(1)若4=2〃，求S”；

(2)若四｝是等比数列，S.=3〃，求数列｛/｝和也｝的通项公式•

16.(本小题满分15分)

已知函数/(x)=or_q_(a+l)lnx(aeR).

(1)当，=-1时，求曲线7=/(x)在点(e,/(e))处的切线方程；

(2)若/(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.

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17.(本小题满分15分)

如图，三棱台46C-44G中，侧面四边形ZCG4为等腰梯形，底面三角形力8c为

正三角形，且/1C=24G=2.设。为桂4G上的点.

(1)若。为4G的中点，求证：ACLBD}

(2)若三棱台"C-/必G的体积为：，且侧面

O

4CGA_L底面ABC,试探究是否存在点D,使直线BD与

平面HRB,所成角的正弦值为吟？若存在，确定点。的

位置；若不存在，说明理由.

18.(本小题满分17分)

已知点〃(%,%)为双曲线5-9=1上的动点.

(1)判断直线芳-歹，=1与双曲线的公共点个数，并说明理由；

(2)(i)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出

你的结论，不必证明；

丫2v2

(ii)将双曲线C：2一%=1(。>°2>°)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方

程为£-E=0,请利用该方程证明如下命题：若7(孙〃)为双曲线C上一点，直线/:

/O

等一处=1与C的两条渐近线分别交于点尸、Q,则T为线段产。的中点.

19.(本小遮满分17分)

2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在

内共有16个学科900多项实验与实践活动.

我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的

果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，

不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没

有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.

假设小明在果园中一共会遇到〃颗番石榴(不妨设〃颗番石榴的大小各不相同)，最

大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大

的，小明在老师的指导下采用了如下策略:不摘前S父<用颗番石榴，自第4+1颗开始，

只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.

设％=切，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.

(1)若〃=4，攵=2，求?；

(2)当〃趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及尸取最大值时，的值.

,™.11】.〃、

(取—+---+…+-----=ln—)

A+ln-\k>

2024年汕头市普通高考第一次模拟考试高三数学第4页(共4页)

内部资料严禁外传I

汕头市2023〜2024学年度普通高中毕业班

高三年级数学科参考答案

第I卷

题号1234567891011

答案ACBACDDCBCD-6cAC

8.[丽

连结产£'QFX,设|随|=，*

则|产用=4/«,|P0|=|尸玛|+m亍2a-4?n+m=2q-37n♦归°|=2a-m,

由期_LP巴得（4m）2+（2a-3w）2=（2a-m）2，解得a=3m，

故机=一遍56=_耦=_2.

9.【丽

成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为3x85+1x95=87.5分,

44

方差为号x[12+(87.5-85)2]+；x[10+(875-95)1=30.25.

10.

/3

nnJI

i—-g

•.•xw[02r],二04理7,"wN,则/但所有零点的和为乙二------工；8=等

423

II.ror]

（D设由ABC=/­=-</^=^^=2解得：a=80.6=120,,

、，BCa-MO3段a4

所以值C|=150,A正确;

设圆心M(0")(0q<60),半径r,

直线5c的方程为y=-±(x-170),贝i，=丝义①,

3D

费学试题舂考答案第1页(共6页)

y-产80故由①②解阳104/435,

r-（60-0^80

所以当且仅当r=10时，，取般大色，即网〃而积般大，IkD借谀，C正确,

第n卷

翘号121314

134

答案1、—7

443

13.【详解】

由16^?’=(-2而-3历/得：16u4+9+12cos40S,故C<W4O£=L

^-04=(05-04)04=1-1=-1.

14.【详解】

延长AE与直线CD相交于尸，连结/尸，则人为耳线/尸，

故0=4/5,且tana=!

2

由平面CQD£〃平面443反知,DE"口,

故由C.DJ/AB得夕=ZCRE=a,

4

所以tan（a+户）=tan2a=1.

15•【答案】

（I）当%=2"时，｛勺｝是首项为2,公差为2的等比数列，（1分）：

又4=22"=4"’所以也,｝是首项为4,公比为4的等比数列,（2分）

从而S„=（aJ+/+・f）+（6|+。2+…+6”）（3分）

加2+34x（l_4"）

=~~2~+-1-4（5分）

4""24

=----vn+〃—；（6•分）

33

（2）当〃22时，为他=Sn-S11T=3,“分＞'

当〃=1时，4+&=5=3,满足上式，（6分）

故。"+6"=3（"eN'）,即““+2%=3,（9分）

数学彷蛔参考在案第2页（共6贝）

令/（H）=X+2/，则/（x）在R上递增，且/⑴=3,（11分）

从而。.=1.进而瓦=2.且｛a｝为公比为1的等比数列，（12分）

所以存在等比数列｛瓦｝满足题意.其通项公式为“=2.〈13分）.

16.1答案「

⑴当N=-1时，,0=5一1,（1分）

则/*'（e）=4—1»/（e）=-e—工，（2分）

€-e

所以曲线y=〃x）在点色夕⑸）处的切线方程为y-（-e-3=fJ-］（x-e）.（3分）

即（4分）

⑵”）.当-史，对£1—单日.x>0,（6分）

（1）当时.flx-l<0.

由/'（x）?0.1由r（4）v®/■心!♦

:/5）在（0.|）上遍地.在（L2）上♦吗

,'./（X）只有极大值/（1）・不自星藻」（8分）

（ii）皆。>0时.

①若O〈L<1,BPa>I.

a

由『'（x）>0，得0<x〈L或x>l：y（Jt）<0.<a<l,

、'J（x）在［*）与0,y）上连增.在⑶）上递减，

A/（X）的极大值为《目，极耳遮为/（!）,符合题意：〈2分）

0<a<],

a

由/*(N)>0.用(bcxvl或工由得l<x<L

aa

数学试区参考多案第3页（共6页）

.-./（x）在（0,1）与g,”o）上逆他在（1词）上递减,

・•・/（X）的极大值为/（1）,极小值为/（：）,符合题意：（12分）

©^-=1,即。=1,

a

由f'（x）NQ在上恒成立，得/（x）在（0,-R»）递增，

.,./（X）无极值，不合题意，（14分）

踪上述，a的取值范围为（O,l）U（l,+«））.（15分）

17.【答案】

（1）取/。中点材，连结DA/、BM,则4c_LDM,ACLBM,（2分）

由力”0屈0=〃，得彳C_L平面BOAT,（3分）

又BDu平面BDM,：.AC±BD；（4分）

（2）取4G中点N,连结MN,由（1）知：

为二面角平面4-4C-3的平面角，（5分）

由平面NCG4J.平面/BC得：ZWB=90°,

即NMLBM,（6分）

如图，以财为原点，直线M4、MB,皿分别为x、歹、z轴、

建立空间直角坐标系,（7分）

设该棱台的高为“由公住+房和4得…本（8分）

..40,0,0），B（0,73,0）,0（-1,0,0）,C（

r.Cff=（1,73,0）,（9分）

设平面58£C的法向量为〉=（x/,z）,

CB-n=x+Gy=0、

则有|_____i石（取x=G，相力=（疝T-l）,（1。分）

CC<,n=-xH-----=0

I122

敢学试题拿中答案第4m（共6页）

设D=（科数-；4"则丽=[泅用’

（ii分）

加（叫一扁小¥“

（13分）

解得：r=1或1（舍去），

（14分）

26

故当。与4垂合时，满足题意.（15分）

18.【答案】

⑴：点〃（七，0）在双曲线橙-yZ=l上，,亨一北=1，①

（1分）

伊一

—y=]/12>

由■2得：万一工好+卬「（1+只）=0,

（3分）

芳-加=1U4）

代人①，整理得/一2%/+片=0,（4分）

A=4x：-4x：=0,（5分）

故该直线与双曲线有且只有1个公共点；（6分）

♦2

（2）（i）过双曲线——分V=1（。>0,6>0）上一点（％/0）的

ab

切线方程为殍-咨=1，（8分）

ab

（ii）当n=0时，直线『的斜率不存在，由对称性知，点T为线段P。的中点：（10分）

当”工0时，设P（E，H），0卜2，为），线段产。的中点N（f,s）,

v_/=0

由，得；f-^r—+2mx-a2=0.

（12分）

mxnyyba）

m2n2

由一j--1•=】整理得：Jp2-2nix+fl2=0>（13分）

X+X,

=m,（14分）

2

p皿ns[b2（m2

又丁尸="'（15分）

所以点7与点N重合,（16分）

数学试题参考答案第5页（共6页）

练上述，点7为线段P。的中点.（17分）

19.【答案】

（1）这4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有A：=24种情况，（1分）

要搞到那个最大的番石榴，有以下两种情况：

①鼓大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有A；=6种情况：（2分）

②最大的番石榴是最后1