小学数学六年级下讲义

第一单元负数

【知识点1】负数的认识

知识精讲：

0C表示淡水开始结冰的温度，比0C低的温度叫零下温度，通常在数字前加（负

号）：如-3C表示零下3摄氏度，读作负三摄氏度。比0℃高的温度叫零上温度，在数字前

加“+”（正号），一般情况下可省略不写；如，+3℃表示零上3摄氏度，读作正三摄氏

度，也可以写成3C,读作三摄氏度。

为了表示两种相反意义的量，如零上温度和零下温度、收入与支出等，需要用两种数。

一种是我们以前学过的数，如3、500、4.7、，这些数是正数：另一种是在这些数的前面

添上负号“-"的数，如-3、-500、-4.7、-等，这些数是负数。

负数的读法是：先读“负”，再读数，如-3读作负三。正数前面的“+”可以省略不写;

如果为了与负数对比，也可以加上正号，如+3,读作正三。

0既不是正数，也不是负数。

正数包括正整数、正分数、正小数大于0

0既不是正数，也不是负数。它是正、负数的分

数0

界点。

负数包括负整数、负分数、负小数小于0

正数前面可以写“+”，但通常不写，而负数前面的“一”必须写。

正数前面可以读“正"，但通常不读（如果有“+”号必须读），而负数前面的“负”必须

读。

对点练习：

1.读出下面各数，再把这些数填入相应的圈内。

-8读作：：+12读作：：

2.一座高山比海平面高234米，记作（）；一个盆地比海平面低64米，记作（）；

海平面记作（）。

3.下面各组数中不是互为相反意义的量的是（）

A、向东走5米和向西走2米

B、收入100元和支出20元

C、上升7米和下降5米

D、长大1岁和减少2千克

4.请你比一比。

0()60()-3-7()5.5

37

-()---8()8

810

【知识点2】在直线上表示数

IIIIIIIII

-4-3-2-101234

像这样表示出正数、o和负数的直线，叫做数轴。

用有正数和负数的直线可以表示距离和方向。

对点练习1：

1.按要求填空。

(1).写出A、B、C、D、E表示的数。

CB1DE

()()()-1~o~~J()()y

(2)在数轴上表示下列各数。

L5「

—42.5—3-$+2+3.5

II1III11I》

D

2.升降机上升5米，记作+5米，那么它下降3米，记作()。

3.在下面的上填上“>”或。

-70.5-9-1

-5

02.50—

2

4.名同学的身高如下：

小兰135cm、小东138cm、小丽142cm、小华145cm、小昊150cm。以平均身高为标准,

小兰矮7cm记作：-7cm；请你表示出其他4个同学的身高。

对点练习2：

1.在直线上表示出各数。

3-1：1-3.5~4-3

22

0

这些数在直线上从左到右的顺序就是从小到大的顺序，从中我们可以看出，负数都比

0（），正数都比0（），负数都比正数（）。

2.下图每一个小格代表1米。

遹]___I____I___I_______I___11_______I_____I_____I_____I____I_____I_____I_______#

-7—6—5—4—3—2—10123456

（1）小明向东走2米,表示为+2米;小明向西走5米表示为（）米。

（2）如果小明的位置是+6米，说明他向（）走了（）米。

（3）如果小明的位置是-3米，说明他向（）走了（）米。

（4）如果小明先向东走6米，又向西走11米,这时小明所在的位置表示为（）米。

3.一只蚂蚁出洞觅食。它先向东爬了10cm,记作+10cm,乂爬了-40cm,找到食物。这时

它在什么位置?请在直线上表示出来。它要把食物搬回洞，需要爬行（）。

,।।।A关，।,一

一如一30-20-1001020304050»

4.我会判。（对的画“，错的画“X”）

（1）0可以看成是正数，也可以看成是负数。（）

（2）正数和负数表示一对相反意义的量。（）

（3）不带号的数都是正数。（）

（4）用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向。（）

第二单元百分数（二）

【知识点1】折扣

解决与折扣有关的实际问题，实质上是“求一个数的百分之几是多少”和“已知一个

数的百分之几是多少，求这个数”的问题，和百分数问题解题思路相同。

对点练习：

1.填一填。

（1）.一种商品打八折出售，就是按原价的（）％出售。

（2）.一种彩电打九五折出售，现价比原价便宜（）％。

2.算出下面各物品打折后的价钱。

畲/

¥125,00元30元

打五折:打八八折:

3.某商场服装打九折促销，妈妈买了一件衣服，原价为180元，妈妈买衣服便宜了多少钱?

4.一台笔记本电脑，打八折出售后价格是4800元，这台电脑原价为多少元?

4

【知识点2】成数

解决与成数有关的实际问题，实质上是“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”

的问题，和百分数解决问题解题思路相同。一般有两种解题方法，一种是先求出比单位“1”

多（或少）的数量，再用单位“1”的数量去加或减这个数量，另一种是先求出要求的这个数

量是单位“1”的百分之几，再用单位“1”的数量乘百分之几。

对点练习：

1.填一填。

（1）.一成=（）%四成二=（）%

（2）.今年十一，某省出游人数比去年增加三成二，表示今年出游人数是去年的（）%-

（3）.某超市第一季度比第二季度的营业额少二成，则第二季度的营业额比第一季度增加

（）成。

2.拖拉机厂去年生产拖拉机1000台，今年比去年增产了二成五，今年生成了多少台？

3.东东家前年秋粮产量28000斤，去年秋粮产量是33600斤，去年比前年增产了几成?

4.拖拉机生产厂今年比起去年产量增加了一成二，增加了2400台拖拉机，拖拉机厂今年

生产拖拉机多少台？

【知识点3】税率

解决与税率有关的实际问题，实质上是“求一个数的百分之几是多少”和“已知一个

数的百分之几是多少，求这个数”的问题，和百分数问题解题思路相同。应纳税额=收入额

X税率。

对点练习：

1.按营业额的3%缴纳营业税，就是把（）看作单位“1”，（）

占（）的3%。

2.杨叔叔所开超市十月份的营业额是30000元，都按5%缴纳营业税，杨叔叔的超市十月份

应缴纳营业税多少元？

5

3.工厂上个月纳税5万元，实际营业额为50万元，由此可知税率是多少？

4.一家饭店八月份的营业额为300万元。如果按营业额的5%缴纳营业税，八月份应缴纲营

业税款多少万元？税后余额是多少万元？

【知识点4】利率

利息的求法：利息=本金X利率X时间；到期取回总钱数求法：取回总钱数=本金+利息。

对点练习：

1.小华把2000元压岁钱存入银行，存期二年，年利率为2.1%。到期时小华可得到多少利

息？到期可取回多少元？

2.小红的爸爸将20000元存入银行，定期一年。年利率为1.5%,到期后他要将利息捐给

希望工程。请问小红的爸爸捐款多少元？

3.李奶奶五年前将50000元存入银行，定期为3年，当时的年利率为2.75%,今年李奶奶

一共可以拿到多少钱？

4.小兰两年前将500元存入银行，存两年定期，今年到期时小兰共取出了527元，你知道

银行的年利率是多少？

【知识点5］解决问题

先分就需算每个方案的实际花费，再进行比较，从而选出最省钱的方案。

6

对点练习：

1.某品牌的旅游鞋搞促销活动，在A商场按“满100元减40元”的方式销售，在B商场

打六折销售。妈妈准备给小丽买一双标价120元的这种品牌的旅游鞋。

(1)在A、B两个商场买，各应付多少钱？

(2)选择哪个商场更省钱？

2.运动队要买70个足球，甲、乙两个体育用品商店采取不同的促销方式销售这种足球，到

哪家商店购买更省钱？

3.从甲城到乙城的飞机票全价是1280元，小王买的是上午的机票，八五折优惠；小李买的

是晚上的机票，票价五折优惠。晚上的票价比上午便宜多少钱？

4.一套眼装，如果定价240元，将获利60机如果再打八折出售，将获利多少元?

【知识点6】生活与百分数

1.调查国债的最新利率和一种理财产品的利率，填写下表。

存期一年期三年期五年期

国债利率

存期一年期三年期五年期

理财产品

2.张阿姨为孩子攒了2万元钱，留着孩子六年后上大学用。张阿姨想把这些钱先存入银

行,请你结合调查到的银行普通储蓄、理财产品及国债利率情况,为张阿姨设计几个合

理的存款方案，并计算出到期时所得的利息。

存款方法年利率/%到期利息/元

方案一

方案二

方案三

方案四

7

通过计算比较，其中收益最大的是方案（）,存款的方法是

（），到期能获得利息（）元。

第三单元圆柱与圆锥

【知识点1】圆柱的认识

1、圆柱是生活中一种常见的立体图形。圆柱是由两个大小相同的圆形底面和一个侧面（曲

面）组成的，有无数条高。

2、圆柱的侧面沿着高剪开，展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长,

宽等于圆柱的高。

对点练习:

L下图中是圆柱的请在括号内画“，不是的画“X”。

2.指出下列圆柱的底面、侧面、高。

3.转动长方形ABCD,可以生成（）个圆柱。说说它们分别是以长方形的哪条边为轴旋

转而成的，底面半径和高分别是多少。

A2cmB

lcm

二D

4.将下面的纸板以一边为轴快速旋转一周，能形成底面直径4厘米，高4厘米的圆柱的是

8

AB

【知识点2】圆柱的表面积

1、圆柱的侧面积=底面周长X高，用字母表示为S侧=Ch。

圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面面积X2,用字母表示为S表=S侧+2S底。

2、解决圆柱表面积计算的有关问题时，要注意物体是否有上下两个底面：在解决实际问题

时，为计算结果取近似值时，一定要根据实际情况采用恰当的方法。

对点练习：

1.选一选，并填空。

做一个水桶需要多少铁皮（）

求圆柱形蓄水池的占地面积（）

压路机滚筒一周压路的面积（）

油漆大厅柱子的面积是多少（）

做一节通风管需多少铁皮（）

A、求圆柱的2个底面积与侧面积的和

B、求圆柱的1个底面积与侧面积的和

C、求圆柱的侧面积

D、求圆柱的底面积

2.一个圆柱的底面直径是8分米，高是3分米，它的侧面积是多少平方分米？

3.一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是4厘米，求它的表面积。

4.一个圆柱形蓄水池，底面周长是25.12米，高是4米，将这个蓄水池四周及底部抹上水

泥。如果每平方米要用水泥2。r克，一共要用多少r克水泥？

【知识点4】圆柱的体积

1、圆柱的体积=底面积X高

V=Sh

9

知道S和h：V=Sh

知道r和h：Vnr2*h

知道d和h：V=n(^)2xh

知道C和h：V=n(C+Jt+2);xh

2、求圆柱形容器的容积的计算方法与圆柱体积计算方法相同，注意所需数据应从容器的里

面测量得到。

对点练习：

1.一个酸奶瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），底面半径4厘米，当瓶子正放时，瓶内

酸奶高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米.请你算一算，瓶内酸奶体积是多少

立方厘米？

2..一瓶装满的矿泉水，小明喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，内

直径是6厘米。小明喝了多少水？

3.一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10cm,把一块完全浸在这个容器的水中的铁块取出后,

水面下降2cm,求这块铁块的体积。

4.把一块长31.4cm、宽20cm、高4cm的长方体钢坯熔铸成底面半径是4cm的圆柱，圆柱

的高是多少厘米？

10

【知识点4】解决问题

正放时水的体积+倒放瓶子时空余部分的容积=瓶子的容积；利用体积不变的特性，把

不规则圆柱转化成规则圆柱来计算。

对点练习：

1.圆柱的侧面展开图不可能是一个（）。

A、长方形B、正方形

C、梯形D、平行四边形

2.计算下面各圆柱的表面积和体积。

4cm

(1)r---30cm-

3.一只圆柱形的杯子从里面测量高是15厘米,底面直径是8厘米。用这样的杯子装水,

一桶纯净水有18.9升,能倒出多少杯水？（得数保留整数）

4.一个圆柱形木桩，沿直径切开，截面是一个正方形，圆柱底面周长是6.28分米，求圆

柱形木桩的体积。

【知识点5】圆锥的认识

形才目同点不同点

休底面形状侧面底面个数侧面展开高

圆柱圆形曲面2个长方形无数条

圆专隹圆形曲面1个扇形1条

11

对点练习：

1.填一填。

（1）圆锥的底面（）,侧面展开图（）。

（2）从圆锥的（）到底面（）的距离是圆锥的高。

（3）圆柱的高有（）条，圆锥的高有（）条。

2.图①小旗绕一条直角边快速转动形成的圆锥，底面半径是（）cm,高是（）cm。

图②小旗绕一条直角边快速转动形成的圆锥，底面半径是（）cm,高是（）cm。

2cm

3.下面这些平面图形绕轴旋转一周，会得到什么图形，请你连一连。

口MD

自△㊁目

4.有一个底面直径为20cm的圆柱形玻璃杯中装有一些水，水离杯口3cm,若将一个圆锥形

的铅锤浸没到水中，水会溢出20毫升，铅锤的体积是多少cm'?

【知识点6】圆锥的体积

1、圆锥是一种立体图形，生活中很多物体的形状都是圆锥形。

必现傩=§匕列柱=三Sh

2、已知圆锥的底面直径和高，可直接利用下列公式求圆锥的体积。

对点练习：

1.填一填。

（1）一个圆柱的体积是28.26立方米，与它等底等高的圆锥的体积是（）立方米。

(2)一个圆锥的体积是47.1立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是()立方厘米。

2.计算出下图圆锥的体积。

3.把一个底面半径1厘米，高9厘米的圆柱表木块加工成一个最大的圆锥。圆锥的体积是

多少？要削去多少立方厘米的木料？

4.一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高9厘米的

圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体的底面积是多少平

方厘米？(丸取3.14)

第四单元比例

【知识点1】比例的意义

1.表示两个比相等的式子叫做比例。

2.根据比例的意义能判断两个比能否组成比例。如果两个比的比值相等，就能组成比例;

否则不能组成比例。

对点练习：

1.判断两个比能否组成比例，并把组成的比例写出来，不能的说出理由。

⑴0.9：1.2和8：6

(3)6：三和0.8：6

□

(4)12：1.2^n1：—

2.写出比值是，的两个比：

4--------------

和,组成的比例是，

13

3.连一连。(将两个能组成比例的比连起来)

2：30.5：0.2

11

0.6•0.8-~

J1U

3：1.24：6

2.13.4

3-55-5

4.在()里填上适当的数。

(1)3：()=()：12

(2)24：9=8：()

(3)()：3=8：()

填完之后，将各组比例中的第一项与第四项相乘，第二项与第三项相乘，算一算，你有什

么发现？

【知识点2】比例的基本性质

组成比的四项中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。

对点练习：

1.填一填。

(1)如果a:b=c:d,那么，()X()=()X()。(b、d都不为0)

(2)一个比例的两个内项分别是5和a,则两个外项的积是()。

2.应用比例的基本性质，判断下面哪组中的两个比可以组成比例。

1和I:3

⑴：4□10

3<5

⑵…2和：1.6

3.根据等式，改写成比例式。

(1)14X12=21X8

(2)AXB=CXD

14

4.用8,40,32再找上一个数组成比例，可以找哪些数？请写出组成的比例。

【知识点3】解比例

求比例中的未知项叫做解比例。

解比例无论在书写格式还是验算方法上它与解方程都是相同的。解比例时，先根据比例的

基本性质把比例转化为方程，再按解方程的方法进行解答。如：

x：320=1：10

解：10x=320Xl

对点练习：

1.解比例。

352

⑴Z：6=X⑵

2.根据下列条件列出比例，并解比例。

1R

⑴8与X的比等于微与-的比。

36

37

（2）什么数与合的比值等于-与L2的比值?

14y

3.轮船模型是按照与实物大小1：400的比例做成的，它的长是20.5cm,这艘轮船的实际

长多少米？

4.下图是一个山坡的示意图，如果A点的高度是40米，B点的高度应是多少米?

100JR

【知识点4】正比例

两种相关联的量：一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个

数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

如：总价和数量是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。如果用字母y和x表示

两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：

X=k（一定）

X

两种量成正比例关系要满足以下三个条件：一、这两种量是相关联的量；二、一种量

变化，另一种量也随着变化；三、这两种量中相对应的两个数的比值一定。

对点练习：

1.一列火车行驶的时间和所行的路程如下表。

时间/123・・・

时

千90180270・・・

米

上表中，路程是随着的变化而变化的，和—是两种相关联的量,

路程和时间的比值,也就是和一成正比例关系，

和是成的量。

2.填一填。

（1）表示X和Y成正比例关系的式子是（）。

（2）甲数是乙数的:，甲数与乙数成（）。

4

3、判断下面每题中的两种量是不是成正比例。

（1）汽车的速度一定，所用的时间和所行的路程。（）

（2）每天加工零件的个数一定，加工的天数和加工零件的总数。（）

（3）一根绳子用去的长度和剩下的长度。（）

（4）小明的体重和身高。（）

4.正方形的周长和边长是不是成正比例？那正方形的面积和边长呢？

【知识点5】反比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个

数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

16

如：高度和底面积是成反比例的量，高度与底面积成反比例关系。

如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关

系可以用下面的式子表示：

xy=k（一定）

不同点

名称其同点

特征关系式

两种量

中相对

(y)

正比例应的两^—4=(k)

\x)

关系个数的

(一定)

两种湖关联）（比值）

的量，一种量一定。

（变化），另一

种量也随着两种量

（变化中相对

反比例应的两(X)x(y)

关系［、没的=(k)(一定)

（积）

一定。

对点练习:

（2）请任意写出两个长方形长与宽相乘的式子，并求出积。

（3）这两个算式的积相等吗？

（4）这个积表示的是（）。

（5）由此可知：（）一定时，（）和（）成（）比

例。

2.判断下面每题中的两种量是否成反比例。

（1）三角形的面积一定，底和相对应的高。

（2）妈妈从家到工厂，行走的速度和时间。

（3）圆的周长一定，圆的直径和圆周率。

（4）一袋糖，平均分给每人的块数与分给的人数。

（5）饼干总量一定，吃掉的和剩下的。

3.小强用下面的图像表示从甲地到乙地，用不同的速度和所用的时间。

17

4.把图像所表示的数据填在下面的表内。

时间/时

速收干椅时

回答下面问题：

（1）在这一过程中，哪个量没有变？

（2）速度和时间有什么关系？

（3）不计算，从图中观察，如果每小时行40千米，大约用多少小时？

【知识点6】比例尺（1）

一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺按形式可分为数值

比例尺和线段比例尺。为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的比，前项是1

的比例尺是缩小比例尺，后项是1的比例尺是放大比例尺。

对点练习：

1.在比例尺是1：4000000的图纸上，量得A地到B地的距离是3.2厘米，A地到B地的实

际距离是多少千米？

2.乙两城相距75千米，如果画在比例尺是1：2500000的地图上，应该画多长？

3.在一幅8：1的工程图纸上，量得一个螺钉长9.6厘米，则实际这个螺钉长多少?

4.小雨在比例尺是1：2500000的地图上，量得两城之间的距离是8厘米，如果画在比例

尺是1：8000000的地图上，这段距离应画成多少厘米？

18

【知识点7】比例尺（2）

厂'1=比彳列尺

已知图上距离和比例尺，求实际距离，可以根据“实际下足巨离”列

方程求解，也可以利用“实际距离=图上距离+比例尺”直接列式计算。

图上星巨离_比一尺

当我们要求图上距离或实际距离时，我们可以根据实际星巨两列方程

解答，也可以利用关系式“图上距离=实际距离X比例尺”或“实际距离=图上距离小比例

尺”来进行计算，在计算过程中要注意单位名称的统一。我们在设计平面图时，要先根据

实际情况确定平面图的比例尺，再根据比例尺计算出相应的图上距离，最后再画图。

对点练习：

1.学校要建一个长80米，宽60米的长方形操场，运用比例尺的相关知识通过计算，画出

操场的平面图。（比例尺1：2000）

（1）要建一个长40米，宽20米的厂房，在比例尺是1：500的图纸上，长要画（）

厘米

A、5B、8C、1D、6

（2）学校要新建一个食堂，选用比例尺（）

画出的平面图最大。

A、1：1000B、1：500C、1：2000

3.以学校为观测点，小光家在正东方向500米处，小辉家在西北方向400米处，小松家

在东南方向300米处，按给定的比例出画图。（1：20000）

学校

19

4.在比例尺是1：2000的图纸上，量得一个长方形花园的长是2.4厘米，宽是1.8厘米,

这个花园的实际面积是多少平方米？

【知识点8】图形的放大与缩小

图形放大或缩小后，只是大小发生了变化，形状没变。

1.填一填。

（1）图形在平移和旋转后，（）发生了变化，（）不变。图形在放大

与缩小后，（）发生了变化，（）不变。

（2）学校准备出一张环保知识的手抄报，要将这幅画按1：2复印出来放在手抄报上，应该

调到（）%o

2.画出下面三角形按4：1放大后的图形，然后把放大后的图形按1：2缩小。

3.按1：2的比例，在方格纸上画出下图缩小后的图形。

4.把左边的长方形按比例放大后得到右边的长方形，求未知数X。（单位：cm）

x

-3

642

【知识点9】用比例解决问题

20

解决这个问题的关键是找到不变的量，只要两个相关联量的比值一定，就可以用正比

例关系解答。

用比例解决问题的步骤是：一、分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成比

例，成什么比例；二、依据正比例或反比例的意义列出方程：三、解方程（求解后检验），

写答。

21

对点练习：

1.一辆汽车3小时行了180千米。照这样的速度，这辆汽车再开4小时还可以行

多少千米？

（1）（）和（）是两种相关联的量。

（2）根据“照这样的速度”可知汽车行驶的（）是一定的。

（3）（）和（）成（）比例。

2.小明在同时同地测得自己的影长为1.2米，一棵树的影长为3米。小明的身

高为L5米，这棵大树的实际高度是多少米？

3.50千克芝麻能榨出22.5千克油，照这样计算，2吨芝麻