江西省宜春市丰城市2024届中考数学最后一模试卷含解析

江西省宜春市丰城市2024届中考数学最后一模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A—B-C—D路径匀速运动到点D,设APAD的面

积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为()

2.关于x的一元二次方程(m-1)=0有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围是()

A.»1>0且“zwlB.m>0C.且"zwlD.m>0

3.用配方法解方程X2-4X+1=0,配方后所得的方程是()

A.(x-2)2=3B.(x+2)2=3C.(x-2)2=-3D.(x+2)2=-3

4.如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分丕能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是

A.B.乙

C.丙D.T

5.如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼

成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是()

C.40cm2D.30cm2

6.甲、乙两人分别以4m/s和5m/s的速度，同时从100m直线型跑道的起点向同一方向起跑，设乙的奔跑时间为t(s),

甲乙两人的距离为S(m),则S关于t的函数图象为()

7.如图，A点是半圆上一个三等分点，3点是弧AN的中点，尸点是直径“V上一动点，。。的半径为1,则AP+

BP的最小值为

C.V2D.V3-1

8.若实数a,b满足|a|>|b|,则与实数a,b对应的点在数轴上的位置可以是()

A.OapB.'abi>c--b-a~O_*D.-a~O-^

9.如图，半径为3的。A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧。A优弧上一点，贝！|tanNOBC为()

A1R2万c®02及

A・a•z72Vz••---------------

3v43

io.解分式方程二，分以下四步，其中，错误的一步是()

x+lx-1x-1

A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)

B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解这个整式方程，得x=l

D.原方程的解为x=l

11.下列运算正确的是()

A.4x+5y=9xyB.(m)3*m7=ml°

C.(x37)5=xsy5D.小一。8="4

12.下列说法中，正确的是()

A.两个全等三角形，一定是轴对称的

B.两个轴对称的三角形，一定是全等的

C.三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形

D.三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.用一直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个不倒翁玩具，不倒翁的轴剖面图如图所示，

圆锥的母线AB与。O相切于点B,不倒翁的顶点A到桌面L的最大距离是18cm.若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜

色，则需要涂色部分的面积约为cn?(精确到lcm2).

14.将一个含45。角的三角板ABC,如图摆放在平面直角坐标系中，将其绕点。顺时针旋转75。，点5的对应点8’恰

好落在轴上，若点C的坐标为(L0),则点8'的坐标为.

15.计算：a3-；-(-a)2=.

16.若将抛物线y=-4(x+2)2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是.

2

17.在RtAABC中，ZC=90°,AB=6,cosB=-,则BC的长为.

3

18.在一次射击比赛中，某运动员前7次射击共中62环，如果他要打破89环(10次射击)的记录，那么第8次射击

他至少要打出____环的成绩.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)在△A3C中，AB^AC,以A3为直径的。。交AC于点E,交8C于点O,尸为AC延长线上一点，S.ZPBC

=-ZBAC,连接。E,BE.

2一

(1)求证：5尸是。。的切线；

(2)sinZPBC=—,AB=10,求5尸的长.

5

/_h2

20.（6分）先化简再求值：（a-一------,其中2=1+应，b=l-y/2.

aa

21.（6分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调

查统计.现从该校随机抽取“名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其

中一项）.并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.由图中提供的信息，解答下列问题：求n

的值；若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生

和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率.

22.（8分）如图，已知一次函数yi=kx+b（片0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于

5=F

M、N两点.且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-1.求一次函数的解析式；求AAOB的面积；观察图象，直接写

23.（8分）据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目.某校学生会想知道学生对这个

提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完

整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

扇陶堰斜前十图

(1)接受问卷调查的学生共有一名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为请补全条形统计图

(2)若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达

到“了解”和“基本了解”程度的总人数；

(3)“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头,

石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平.若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概

率.

24.(10分)车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A.B.C、。中，可随机选择其中的一个通过.一辆车经过

此收费站时，选择A通道通过的概率是;求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率.

25.(10分)如图所示，在RtZXABC中，NACB=90°,

(1)用尺规在边BC上求作一点P,使八4=依；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)连接AP当E)B为多少度时，AP平分NC4B.

26.(12分)随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案.针

对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见(分为：赞成、无所谓、反对)，并将调查结果绘制成图1和图2

图1

请根据图中提供的信息，解答下列问题：此次抽样调查中，共调查了多少名学生？将图1补充完整；求出扇形统计图

中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数;根据抽样调查结果,请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无

所谓”意见.

27.(12分)如图，A5是。。的直径,点C在48的延长线上，。与。。相切于点O,CELAD,交AO的延长线于

点E.

(1)求证：ZBDC=ZA；

(2)若CE=4,DE=2,求的长.

E

aroJBC

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】【分析】设菱形的高为h,即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的

面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可.

【详解】分三种情况:

①当P在AB边上时，如图1,

设菱形的高为h,

y=AP・h,

TAP随x的增大而增大，h不变,

•••y随X的增大而增大,

故选项C不正确;

②当P在边BC上时，如图2,

y=；AD«h,

AD和h都不变，

，在这个过程中，y不变，

故选项A不正确；

③当P在边CD上时，如图3,

y=(PD«h,

；PD随x的增大而减小，h不变，

，y随x的增大而减小，

VP点从点A出发沿A-B-C-D路径匀速运动到点D,

...P在三条线段上运动的时间相同，

故选项D不正确，

故选B.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD

的面积的表达式是解题的关键.

2、A

【解析】

根据一元二次方程的系数结合根的判别式△>1,即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范

围.

【详解】

•关于x的一元二次方程好-2比-(机-1)=1有两个不相等的实数根，...△=(-2)2-4xlx[-(m-1)]=4/n>l,

・••川>1・

故选B.

【点睛】

本题考查了根的判别式，牢记“当△>1时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

3、A

【解析】

方程变形后，配方得到结果，即可做出判断.

【详解】

方程%2-4%+1=0，

变形得：X2-4X=-1>

配方得：为2_4%+4=-1+4,即（X-2）2=3,

故选A.

【点睛】

本题考查的知识点是了解一元二次方程-配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式.

4、D

【解析】

解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的

是丁.故选D.

5、D

【解析】

标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得NB=NAED,然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边

DF5FF5

成比例求出——=—，即——=—,设BF=3a,表示出EF=5a,再表示出BC、AC,利用勾股定理列出方程求出a的

BF3BF3

值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解.

【详解】

解:如图，•.•正方形的边DE〃CF,

/.ZB=ZAED,

VZADE=ZEFB=90°,

/.△ADE^AEFB,

.DEAE105

"BF^BE~6-3'

•EF5

••—―,

BF3

设BF=3a,贝!）EF=5a,

BC=3a+5a=8a,

540

AC=8ax—=—a,

33

在RtAABC中，AC】+BCi=ABi,

即(—a)]+(8a)J(10+6)1,

3

1Q

解得a^—,

,一，140

红、蓝两张纸片的面积之和二—x—ax8a-(5a)S

23

160।।

=-----a^lSa1,

3

85।

=—a1,

3

8518

——X---f

317

=30cm1.

故选D.

【点睛】

本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减

去正方形的面积求解是关键.

6、B

【解析】

匀速直线运动的路程s与运动时间t成正比，s-t图象是一条倾斜的直线解答.

【详解】

,甲、乙两人分别以4m/s和5m/s的速度，

二两人的相对速度为lm/s,

设乙的奔跑时间为t(s),所需时间为20s,

两人距离20sxim/s=20m,

故选B.

【点睛】

此题考查函数图象问题，关键是根据匀速直线运动的路程s与运动时间t成正比解答.

7、C

【解析】

作点A关于的对称点4,连接45,交.MN于点P,则HL+PB最小，

连接OA'^.A'.

•.•点A与4,关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

:.ZA'ON=ZAON=60o,PA=PA',

•••点5是弧AN八的中点，

:.ZB0N=3d°,

：.ZA'OB=ZA'ON+ZBON=9Q°,

X'-OA=OA'=1,

：.A'B=y/2

：.PA+PB=PA'+PB=A'B=72

故选：C.

8,D

【解析】

根据绝对值的意义即可解答.

【详解】

由|a|>|b|,得a与原点的距离比b与原点的距离远，只有选项D符合，故选D.

【点睛】

本题考查了实数与数轴，熟练运用绝对值的意义是解题关键.

9、C

【解析】

试题分析：连结CD,可得CD为直径，在RtAOCD中，CD=6,OC=2,根据勾股定理求得OD=4.匚

所以tan/CDO=y£,由圆周角定理得，ZOBC=ZCDO,则tanNOBC=；,故答案选C.

考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义.

10、D

【解析】

先去分母解方程，再检验即可得出.

【详解】

方程无解，虽然化简求得x=l,但是将X=1代入原方程中，可发现色一和/一的分母都为零，即无意义,所以XW1,

x-1X-1

即方程无解

【点睛】

本题考查了分式方程的求解与检验，在分式方程中，一般求得的X值都需要进行检验

11、D

【解析】

各式计算得到结果，即可作出判断.

【详解】

解：A、4x+5y=4x+5y,错误;

B、(-m)3«m7=-m10,错误；

C、(x3y)5=x15y5,错误；

D、a124-a8=a4,正确;

故选D.

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

12、B

【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：A.两个全等三角形，一定是轴对称的错误，三角形全等位置上不一定关于某一直线对称，故本选项错误；

B.两个轴对称的三角形，一定全等，正确；

C.三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形，错误；

D.三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形，错误.

故选B.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、174cm1.

【解析】

直径为10cm的玻璃球，玻璃球半径OB=5,所以AO=18-5=13,由勾股定理得，AB=U,

ABxBO60

'：BDxAO=ABxBO,BD=———

13

圆锥底面半径=BD=K，圆锥底面周长=卜如兀,侧面面积=^*卜如兀xll=ZZ坐.

131321313

点睛：利用勾股定理可求得圆锥的母线长，进而过B作出垂线，得到圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长x

母线长+L本题是一道综合题，考查的知识点较多，利用了勾股定理，圆的周长公式、圆的面积公式和扇形的面积公

式求解.把实际问题转化为数学问题求解是本题的解题关键.

14、(1+72,0)

【解析】

先求得NACO=60。，得出NOAC=30。，求得AC=2OC=2,解等腰直角三角形求得直角边为0,从而求出卬的坐标.

【详解】

解：•../ACB=45°,NBCB，=75°,

.♦.NACBT20。，

•,.ZACO=60°,

/.ZOAC=30°,

.\AC=2OC,

•.•点c的坐标为(1,0),

/.OC=1,

.,.AC=2OC=2,

VAABC是等腰直角三角形，

：.AB=BC=4I

BC=AB=y/2

OB=1+72

.••B，点的坐标为(1+0,0)

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质及坐标与图形变换，同时也利用了直角三角形性质，首先利用直角三角形的性质得到有关

线段的长度，即可解决问题.

15、a

【解析】

利用整式的除法运算即可得出答案.

【详解】

原式.一

【点睛】

本题考查的知识点是整式的除法，解题关键是先将一一变成二，再进行运算.

16、(-7,0)

【解析】

直接利用平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后的解析式进而得出答案.

【详解】

•••将抛物线y=-4(x+2)2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位，

二平移后的解析式为：y=-4(x+7)2,

故得到的抛物线的顶点坐标是：(-7,0).

故答案为(-7,0).

【点睛】

此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键.

17、4

【解析】

根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可.

【详解】

,:ZC=90°,AB=6f

「2BC

:.cosB=—

3-AB

2…

：.BC=-AB=4.

3

【点睛】

本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在RtAABC中,

ZA的对边COSA/A的？边,小马黑

sinA=

斜边斜边ZA的邻边

18、8

【解析】

为了使第8次的环数最少，可使后面的2次射击都达到最高环数，即10环.

设第8次射击环数为x环，根据题意列出一元一次不等式

62+x+2xl0>89

解之，得

x>7

X表示环数，故x为正整数且x>7,则

X的最小值为8

即第8次至少应打8环.

点睛：本题考查的是一元一次不等式的应用.解决此类问题的关键是在理解题意的基础上,建立与之相应的解决问题的

，，数学模型，，—不等式，再由不等式的相关知识确定问题的答案.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

40

19、（1）证明见解析；（2）y

【解析】

（1）连接AD,求出NPBC=NABC,求出NABP=90。，根据切线的判定得出即可；

（2）解直角三角形求出BD,求出BC,根据勾股定理求出AD,根据相似三角形的判定和性质求出BE,根据相似三

角形的性质和判定求出BP即可.

【详解】

解：（1）连接AD,

；AB是。O的直径，

；.NADB=90。，

AADIBC,

VAB=AC,

AAD平分/BAC,

/.ZBAD=-ZBAC,

2

VZADB=90°,

ZBAD+ZABD=90°,

VZPBC=-ZBAC,

2

.".ZPBC+ZABD=90°,

...NABP=90°,即ABJ_BP,

，PB是。O的切线；

(2)VZPBC=ZBAD,

.,.sinZPBC=sinZBAD,

J5BD

VsinZPBC=—=——，AB=10,

5AB

:.BD=2下,由勾股定理得：AD=J1C)2_(2⑹2=4火,

；.BC=2BD=45

•.•由三角形面积公式得：ADxBC=BExAC,

•*•475X4V5=BEX10,

，BE=8,

...在R3ABE中，由勾股定理得：AE=6,

"."ZBAE=ZBAP,ZAEB=ZABP=90°,

/.△ABE^AAPB,

.BE_AE

"AB

ABxBE10x840

AE~6-T

【点睛】

本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用性

质定理进行推理是解此题的关键.

20、原式=巴心=应

a+b

【解析】

括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.

【详解】

a?—2ab+a

原式=

a

a

a(〃+/?)(〃-/?)

_a-b

—,

a+b

当a=l+0,b=l-0时，

原式=1+勺+/=0.

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.

21、(1)50；(2)240；(3)

2

【解析】

用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；

先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比，即可估计该校喜爱看电视

的学生人数；

画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】

解：(1)〃=5+10%=50；

(2)样本中喜爱看电视的人数为50—15—20—5=10(人)，

1200X—=240,

50

所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人;

(3)画树状图为:

男女

ZN

小男男女

共有12种等可能的结果数,其中恰好抽到2名男生的结果数为6,

所以恰好抽到2名男生的概率=4=1.

122

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图.

22、(1)yi=-x+l,(1)6；(3)xV-1或0<xV4

【解析】

试题分析：（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；

（1）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；

（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可.

试题解析：（1）设点A坐标为（-1,m）,点B坐标为（n,-1）

,一次函数y产kx+b（k/0）的图象与反比例函数yi=的图象交于A、B两点

，将A(-1,m)B(n,-1)代入反比例函数yi=-可得，m=4,n=4

.,.将A(-1,4)、B(4,-1)代入一次函数yi=kx+b,可得

一亍：三，解得仪=7

...一次函数的解析式为yi=-x+l；,

(1)在一次函数yi=-x+l中，

当x=0时，y=l,即N(0,1)；当y=0时，x=l,即M(1,0)

:.9ACB=-&MCK+&M0B=4xlxl+!xlxl+^xlxl=l+l+l=6；

X的取值范围为：xV-1或0VxV4

考点：1、一次函数，1、反比例函数，3、三角形的面积

23、（1）60；90°；统计图详见解析；（2）300；（3）

O

【解析】

试题分析：（1）由“了解很少”的人数除以占的百分比得出学生总数，求出“基本了解”的学生占的百分比，乘以360得

到结果，补全条形统计图即可；

（2）求出“了解”和“基本了解”程度的百分比之和，乘以900即可得到结果；

（3）列表得出所有等可能的情况数，找出两人打平的情况数，即可求出所求的概率.

试题解析：（1）根据题意得：304-50%=60（名），“了解”人数为60-（15+30+10）=5（名）,

“基本了解”占的百分比为一xl00%=25%,占的角度为25%x360°=90°,

60

补全条形统计图如图所示：

条形统计图

（2）根据题意得：900x巴。=300（人），

60

则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人;

（3）列表如下:

剪石布

剪（剪，剪）（石，剪）（布，剪）

石（剪，石）（石，石）（布，石）

布（剪，布）（石，布）（布，布）

所有等可能的情况有9种，其中两人打平的情况有3种,

考点：1、条形统计图，2、扇形统计图，3、列表法与树状图法

/、1/、3

24、(1)-；(2)

44

【解析】

试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；

（2）画出树状图即可得到结论.

试题解析：（1）选择A通道通过的概率=!，

4

故答案为一；

4

（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结

123

果，...选择不同通道通过的概率工7

开始

25、(1)详见解析；(2)30°.

【解析】

(1)根据线段垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线即可；

(2)连接PA,根据等腰三角形的性质可得NR4B=N3，由角平分线的定义可得=根据直角三角

形两锐角互余的性质即可得/B的度数，可得答案.

【详解】

(1)如图所示：分别以A、B为圆心，大于』AB长为半径画弧，两弧相交于点E、F