高考数学复习 一元二次方程（练习）（解析版）

第07讲一元二次方程

目录

题型过关练N

题型01识别一元二次方程题型15由根与系数的关系直接求代数式的

题型02由一元二次方程的概念求参数的值值

题型03一元二次方程的一般形式题型16由根与系数的关系和方程的解通过

题型04由一元二次方程的解求参数的值代换求代数式的值

题型05由一元二次方程的解求代数式的值题型17由方程两根满足关系求字母或代数

题型06己知一元二次方程的一个根，求另式的值

一个根题型18与根与系数有关的新定义问题

题型07选用合适的方法解一元二次方程题型19构造一元二次方程求代数式的值

题型08错看或错解一元二次方程问题题型20根与系数的关系和根的判别式的综

题型09配方法的应用合应用

题型10判断不含字母的一元二次方程根的题型21分裂（传播）问题

情况题型22碰面（循环）问题

题型11判断含字母的一元二次方程根的情题型23增长率问题

况题型24营销问题

题型12由方程根的情况确定字母的值或取题型25与图形有有关的问题

值范围

题型13应用根的判别式证明方程根的情况

题型14与根的判别式有关的新定义问题

真题实战练N

重难创新练

题型过关练

题型01识别一元二次方程

1.（2023泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2x2=5%—1B.x+-=2

X

C.（x-3）（x+1）=x2—5D.3%—y=5

【答案】A

【分析】利用一元二次方程的定义，即可找出结论.

【详解】解：A.方程2-=5X一1是一元二次方程，选项A符合题意；

B.方程x+工=2是分式方程，选项B不符合题意；

X

C.原方程整理得2%-2=0,该方程为一元一次方程，选项C不符合题意；

D.3x-y=5是二元一次方程，选项D不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方

程是一元二次方程是解题的关键.

2.（202.无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（）

A./一2x+：=0B.y=2x2-3x-l

C.x2—1=0D.y2—%+3=0

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意：

C、是一元二次方程，故本选项符合题意；

D、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整

式方程是一元二次方程是解题的关键.

题型02由一元二次方程的概念求参数的值

1.（2022上•湖南长沙•九年级统考期末）若关于x的方程（m-3）x2+x-7n=0是一元二次方程，则〃?的

取值范围是（）

A.znW3B.m=3C.m>3D.mHO

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的定义，方程二次项系数不等于零，求解即可.

【详解】解：由题意，得怯3和,

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次方程的概念，一般地，形如“+bx+c=O,a,b,c是常数，且办0的方程是一

元二次方程.

2.（2023•山东青岛•统考二模）关于x的方程》同一1-3无+2=0是一元二次方程，则。的值为.

【答案】±3

【分析】根据一元二次方程的定义得出|a|-1=2,再求出a即可.

【详解】解：•••关于x的方程”1一3%+2=0是一元二次方程，

/.|a|-1=2,

解得：a=±3.

故答案为：±3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，是一元二次方程必须同时满足三个条件：①时整式方程，即等

号两边都是整式：②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.

3.（2022西咸新区五模）若方程（瓶一1）/+标X=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围

是—.

【答案】m#l且m>0

【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可.

【详解】•••方程（m-l）x2+后x=1是关于x的一元二次方程，

m-1/0且m>0,

且m>0.

故答案是：n#l且mNO.

【点睛】考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程

叫一元二次方程是解答此题的关键.

题型03一元二次方程的一般形式

1.（2023株洲市三模）一元二次方程2/+I=3X的二次项系数是2,则一次项系数是（）

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】B

【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可.

【详解】解：2x2+l=3x,

2x2—3x+1=0,

所以一次项系数是-3,

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：

一元二次方程的一般形式是a/+bx+c=0（a、b、c为常数，aHO）.

2.（2022上•福建泉州•九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2y2-7=3y的二次项系

数、一次项系数、常数项分别是（）

A.2,-3,-7B.2,-7,-3C.2,-7,3D.-2,-3,7

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判

断即可.一元二次方程的一般形式是：a/+bx+c=O（«,b,c是常数且在0）特别要注意。翔的条

件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中a/叫二次项，反叫一次项，c是常数项.其中

a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

【详解】解：一元二次方程2y2-7=3y化为一般形式为：2y2-3y—7=0,

二二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,-3,-7,

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式。/+以+©=0是解题的

关键.

3.（2022上•广西柳州•九年级统考期中）一元二次方程-（3%-2）=8的一般形式是.

【答案】x2-3x-6=0

【分析】根据去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可.

【详解】解：X2-（3X-2）=8,

x2—3x+2=S,

x2—3x-6=0,

故答案为：x2-3x-6=0.

【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即a/+bx+c=0（aK0）.其中“是二次项系数，b是一

次项系数，c是常数项.

题型04由一元二次方程的解求参数的值

1.（2022•广东广州•统考一模）若关于x的一元二次方程（a-1）办+。2=1的一个根为o.则。

【答案】」

【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到a2=l,a-lw0,求解即可.

【详解】•••关于x的一元二次方程（a-I）/-以+/=1的一个根为0

・•・=1,。—1工（J

・•・Q=-1

故答案为：

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键.

题型05由一元二次方程的解求代数式的值

1.（2022♦浙江金华•统考一模）己知a是方程2/一3%一5=0的一个解，则一4a2+6a的值为（）

A.10B.-10C.2D.-40

【答案】B

【分析】将。代入方程得到2a2-3a=5,再将其整体代入所求代数式即可得解.

【详解】；a是方程的一个解，

...有2a2-3a-5=0,即，2a2-3a=5,

-4a2+6a=-2(2a2—3a)=­2x5=-10,

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将

其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求。值再代入计算，此方法耗时费力不可

取.

2.(2022上.福建泉州.九年级期末)已知实数a是一元二次方程/+「8=0的根，则/+d+8a-1的值为

()

A.62B.63C.64D.65

【答案】B

【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值.

【详解】；a是一元二次方程/+》一8=0的一个根，

.,.a2+a-8=0

.".a2+a=8

：.a4+a3+8a-1=a2(a2+a)+8a-1=8a2+8a-1=8(a2+a)-1=64-1=63

故选：B

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于。的等式，利用等式对代数式

进行化简并求出代数式的值.

3.(2020.江苏泰州.统考一模)已知，〃?，〃是一元二次方程/+x—2021=0的两个实数根，则代数式

m2+2m+n的值等于_.

【答案】2020

【分析】根据一元二次方程根的定义得到，”2+,”=2021,则,/+2加+”=2021+,〃+〃，再利用根与系数的关系得

到m+n=-l,然后利用整体代入的方法计算.

【详解】解：•••〃，是一元二次方程f+『2021=0的实数根，

w2+/n-2021=0,

/.m2+/n=2021,

m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n,

"：m,〃是一元二次方程/+x-2021=0的两个实数根，

，nr+2m+n=2021-1=2020.

故答案为:2020.

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若X/,X2是一元二次方程/+法+C=0（在0）的两根时，X/+X2=±

a

X2=~.也考查了一元二次方程的解.

IXa

题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根

1.（202卜山东济南•统考中考真题）关于x的一元二次方程/+a=0的一个根是2,则另一个根

是.

【答案】-3

【分析】由题意可把户2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根.

【详解】解：由题意把42代入一元二次方程％2+x-a=0得：

22+2-a=0,解得：a=6,

原方程为/+%—6=0,

解方程得：Xj=2,X2=-3,

二方程的另一个根为-3；

故答案为-3.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键.

2.（2020高州市一模）已知x=1是方程M+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是.

【答案】x=—2

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.

【详解】解：设另外一个根为X,

由根与系数的关系可知：1x=-2,即％=—2.

故答案为：x=—2.

【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系.若

_xx

Xi1%2是一元二次方程a/+bx+c=0（a于0）的两根时，+x2=-i2-

3.（2022•北京顺义.统考一模）已知关于x的一元二次方程nix?-（2巾-1）芯+巾一2=0有两个不相等的

实数根.

（1）求m的取值范围；

(2)若方程有一个根是0,求方程的另一个根.

【答案】(l)m>-7且mW0

4

(2)另一个根为I

【分析】(1)由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可.

(2)将户0代入原方程，求出相，再解方程即可.

【详解】(1)解：Ym/—(2m—l)x+m—2=0是一元二次方程，

mW0,

.・•一元二次方程tn/—(2m-l)x4-m-2=0有两个不相等的实数，

.•・△=b2-4ac>0,

即：［—(2.TTI-1)产一4?71(771—2)>0,

整理得：4m+l>0,

m>--,

4

综上所述：且mHO.

4

(2)•.•方程有一个根是0,

将40代入方程得：m-2=0,

••771=2,

则原方程为：2/-3x=0,

O

解得：%1=0,%2=-,

...方程的另一个根为I.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：A>0O方程有两个

不相等的实数根，A=0=方程有两个相等的实数根，AVO0方程没有实数根，A200方程有实数

根.熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点.

4.(2022•北京海淀♦校考一模)关于x的一元二次方程支2-2%+3巾一2=0有实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)若方程有一根为4,求方程的另一根.

【答案】(l)mW1

(2)-2

【分析】(1)由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于〃?的一元一次不等式，解之即可得出"?的取值

范围；

(2)将x=4代入原方程求出m值，再将〃?的值代入原方程，利用十字相乘法解一元二次方程，即可得出

方程的另一个根.

(1)

解：•.•关于x的一元二次方程M-2x+3m-2=0有实数根，

，其根的判别式A>0,即(-2)2-4(3m-2)>0,

解得：m<l.

(2)

解：将x=4代入/-2x+3m-2=0,得：42-2x4+3m-2=0,

解得：m=—2,

•••该•兀二次方程为/—2x—8=0.

即(x-4)(x+2)=0,

♦♦X1=4,%2=-2,

.•.方程的另一根为-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程.(1)掌握“当一

元二次方程有实数根时，根的判别式4=炉-4这20”是关键；(2)理解一元二次方程的解的定义和解

一元二次方程的方法是关键.

题型07选用合适的方法解一元二次方程

1.(2023•河南周口•统考一模)计算：解方程：5x(2x-1)-2(2%-1)=0.

【答案】Xt=p%2=|

【分析】方程去括号，因式分解求解即可.

【详解】解：去括号，得：10x2-9x-2=0,

因式分解，得：(2x-l)(5x-2)=0,

解得：/=%x2=|.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，按照解方程的步骤求解即可.

57.(2023•山东淄博・统考二模)请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x-l=0.

【答案】Xi=鱼—1,芯2=—V2—1

【分析】用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1,然后在方程的

左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求

解；用公式法解方程，首先找出方程中二次项系数一次项系数b及常数项C,计算出根的判别式，由根

的判别式大于0,得到方程有解，将“，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解.

【详解】解：配方法，

移项得/+2x=1,

配方得：x2+2x+1=1+1,即(x+I)2=2

开方得：x+1=±V2

解得：%!=V2-1,x2=—V2—1；

公式法：

Va=1,b=2,c=—1,

：.b2-4ac=22-4x1x(-1)=8>0,

.-2+2V2.777

•.%=--—=-1±V2,

="

:.Xi=V2_1,x2V2-1.

【点睛】此题考查了解一元二次方程一公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用.

2.(2023•江西吉安•校考模拟预测)解方程：

(1)(2%+1)2=0—3)2；

(2)3x2-9x4-4=0.

【答案】(1)%1=|，应=一4

9+V339-V33

(2^=—,x2=-

【分析】(1)先移项，然后利用因式分解法解方程即可；

(2)利用公式法解方程即可.

【详解】(1)解：V(2x+I)2=(x-3)2,

•*.(2x+l)2—(%—3)2=0,

/.(2%+1+%—3)(2%+1—%+3)=0,即(3x—2)(%+4)=0,

3%—2=0或％+4=0,

解得/=|，%2=-4；

(2)解：V3X2-9X+4=0,

a=3,b=—9,c=4,

AA=炉一4ac=(-9)2—4x3x4=33>0,

2

•.•x_=-b±y/b-4ac_=9±\f33，

2a6

解得的=空亘，M=上咨.

6o

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

3.(2023・青海・统考一模)提出问题

为解方程("2-2尸—11(/-2)+18=0,我们可以将/一2视为一个整体，然后可设/-2=y,则

(%2-2)2=y2,于是原方程可转化为y?-iiy+18=0,解此方程，得%=2,%=9.

当y1=2时，%2—2=2,x2--4,.'.x=±2；

当丫2=9时，x2—2=9,x2=11,'.x=+V1T.

——

原方程的解为与—2,x2—2,%3=VT1.x4=V11.

以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想.

解决问题

(1)运用上述换元法解方程一一3/一4=0.

延伸拓展

(2)已知实数如"满足(m+3n)(m+3n—2)=2m+6n—4,求4m+12n-3的值.

【答案】(1)Xi=-2,x2=2；(2)5

【分析】(1)根据材料提示，利用换元法解方程即可求解；

(2)按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解.

【详解】解：解决问题：(|)设/=以

，原方程变形为a?—3a-4=0,解得，%=-1,a2=4,

当a=-l时，x2>0*-1.故舍去；

2

当a=4时,x=4,解得，xx=-2,x2=2；

综上所示，原方程的解为巧=-2,X2=2.

延伸拓展：(2)(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n—4

(m+3n)(m+3n-2)=m2+6mn+9n2-2m—6n,

原式变形为m2+6mn+9n2-47n—12n+4=0,

/.(m+3n)2—4(m+3n)+4=0,设?n4-3n=P,

.♦.p2-4P+4=o,则(p-2)2=0,解得，P=2,即?n+3九=2,

V4m+12n—3=4(m+3n)-3,

/.4m+12n—3=4(m+3n)—3=4x2—3=5

/.4m+12n-3=5.

【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关

键.

题型08错看或错解一元二次方程问题

1.(2023•河南信阳•校考三模)小明在解方程——3x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较

大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：

方法如下：

X2—3%4-2=0

%2—2x-x+2=0第①步

x2—2x=x—2第②步

x(x-2)=%-2第③步

%=1第④步

老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为(填序号).

【答案】④

【分析】由武%-2)=%-2,(%-1)(工-2)=0,解得％=1或%=2,进而判断作答即可.

【详解】解：x(x-2)=%-2,

(%—1)(%—2)=0,

解得％=1或%=2,

・・・第④步错误，

故答案为：④.

【点睛】本题考查了解•元二次方程.解题的关键在于正确的解•元二次方程.

2.(2023•浙江杭州•统考二模)以下是圆圆解方程的具体过程：(无一3)2=20—3)的具体过程，方程两边

同除以Q-3),得％-3=2,移项，得％=5,试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正

确的解答过程.

【答案】错误，见解析

【分析】利用因式分解法解方程可判断圆圆的解答过程是否有错误.

【详解】解：圆圆的解答过程有错误；正确的解答过程为：

移项得,x[x-3)-2a-3)=0,

利用因式分解法整理：-因式-2)=0,

解得：X-3=0或X-2=0,

所以Xi=3或%2=2.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

3.(2023•福建泉州•统考一模)小明在解方程X2—5x=-3的过程中出现了错误，其解答如下：

解："a=1,b=-5>c=-3,...............第一步

b2-4ac=(-5)2-4x1x(-3)=37..............第二步

(1)问：小明的解答是从第步开始出错的；

(2)请写出本题正确的解答.

【答案】⑴一

(2)见解析

【分析】(1)根据等式的性质，移项需要改变移动的项的符号可得出答案;

(2)先移项，再利用公式法解一元二次方程即可.

【详解】(1)解：•.•移项需要变号，

c-3,

故答案为：一；

(2)解：x2-5x+3=0,

•••a=1>b=-5,c=3.

b2-4ac=(-5)2-4x1x3=13,

.丫=-(-5)土TH

5+V135-V13

AX1=-2-，%2=-2--

【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

题型09配方法的应用

1.（2023•江苏扬州・统考一模）已知y2-2x+4=0,则/+y?+2x的最小值是（）

A.8B.-8C.-9D.9

【答案】A

【分析】由已知得y2=2x-4,注意x的取值范围，代入/+y2+2x再配方，利用非负数的性质即可求

解.

【详解】解：；y2-2x+4=0,

：.y2=2x-4,且2x-4>0即x>2,

二x2+y2+2%=x2+2x-4+2x

=x2+4x+4-8

=（x+2）2-8,

V（x+2）2>0,x>2

当x=2时，/+y2+2%的最小值是8,

故选：A.

【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范

围是解决问题的关键.

2.（2021•安徽马鞍山•统考二模）已知a,b,c为实数，且6+c=5-4a+3a2,c-b=1-2a+a?,则

a,瓦c之间的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】先根据已知等式求出b=a2-a+2,c=2a2-3a+3,再利用完全平方公式判断出c——a的

符号，由此即可得出答案.

【详解】■-b+c=5-4a+3a2,c-b=1—2a+a2,

b=a2—a+2,c=2a2-3a+3,

■■■b—a=a2-a+2—a,

=M—2Q+2,

=(a-l)2+l>0,

a<b,

又・.•c—b=1—2Q+M=(Q—i)2zo,

・•・b<cf

•­a<b<c,

故选：A.

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.

3.(2023•浙江台州・统考一模)已知点4(a,b)在一次函数y=2%-1图象上，则层+8+3的最小值

为.

【答案】1

【分析】将点力(。/)代入一次函数解析式得出，b=2a-l,代入代数式，根据配方法即可求解.

【详解】解：・・,点A(a,b)在一次函数y=2x-l图象上,

6=2a-1

•\Q2+b+3=a?+2Q—1+3

=彦+2Q+1+1

=(a4-l)24-1>1

故答案为：1.

【点睛】本题考查了♦次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键.

4.(2023•浙江嘉兴・统考一模)设x,y都是实数，请探究下列问题，

(1)尝试：①当％=—2,y=l时，v%2+y2=5,2xy=-4,%2+y2>2xy.

②当％=1,y=2时，vx2+y2=5,2xy=4,:.%2+y2>2xy.

③当x=2,y=2.5时，v%2+y2=10.25,2xy=10,A%2+y2>2xy.

④当久=3,y=3时，v%24-y2=18,2xy=18,・•・x2+y22xy.

(2)归纳：/+y2与2%y有怎样的大小关系？试说明理由.

(3)运用：求代数式炉+妥的最小值.

【答案】⑴二

(2)x2+y2>2xy,理由见解析；

（3）代数式/+2的最小值为8.

【分析】（1）求得/+V=18,2xy=18,得到/+y2=2xy；

（2）结合完全平方的非负性即可解答；

（3）利用归纳的结论即可求解.

【详解】（1）解：当％=3,y=3时，vx2+y2=18,2xy=18,

・•・x2+y2=2xy,

故答案为：=；

（2）解：x2+y2>2xy,理由如下，

V%2—2xy4-y2=（x—y）2>0,

Ax2+y2>2xy；

（3）解：Vx2+y2>2xy,

Ax2+^>2x23=8,

代数式/+之的最小值为8.

X2

【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键.

题型10判断不含字母的一元二次方程根的情况

1.（2023殷都区一模）一元二次方程/-3X+1=0的根的情况（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】B

【分析】根据判别式A=炉—4ac即可判断求解.

【详解】解：由题意可知：a=l,b=-3,c=1,

/.A=b2—4ac=（-3）2—4xlxl=5>0,

.♦・方程/—3x+1=0有两个不相等的实数根，

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当4=》2一4知>0时，方程有两个不相等的实数根；当

A=b2_4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当4=62一4砒<0时，方程没有实数根.

2.（2023秦皇岛开发区一模）不解方程，判别方程2^-3缶=3的根的情况（）

A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无实数根

【答案】C

【分析】根据一元二次方程根的判别式△>()时，方程有两个不相等的实数根，A=0时，方程有两个相等

的实数根，A<0时，方程没有实数根，进而确定根的情况即可.

【详解】解：：2/-3&%=3,

.•.泊-3缶-3=0,

VA=(-3V2)2-4x2x(-3)=18+24=42>0,

，有两个不相等的实数根，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练地掌握该知识是解决问题的关键.

题型11判断含字母的一元二次方程根的情况

1.(2022•河南商丘♦统考三模)关于x的方程2/一皿一3=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

【答案】A

【分析】根据根的判别式的判断方程根的数量即可.

【详解】解：△=(一m)2—4x2x(-3)=m2+24>0,

故方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

【点睛】本题考查根据•元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的数量，能够熟练应用根的判别

式是解决本题的关键.

2(2022•广东广州•统考一模)若16〃?+2V0,则关于x的方程(2/n+l)x+/n-1=0的根的情况是

()

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【答案】A

【分析】先计算出m的范围，判断出方程为二次方程，再计算判别式的范围即可得出答案.

【详解】解：由已知16〃任2<0,解得m<-±即方程为二次方程，

8

判别式A=[—（2m+l）]2—47n（m-1）=4m2+4m+1—4m2+4m=8m+1,

Vm<_?

/.8m+1V0,

二关于X的方程没有实数根；

故选：A.

【点睛】本题考查一次不等式的解法，二次方程根的判断，熟悉公式准确计算是解题的关键.

3.（2022•云南玉溪•统考一模）对于任意的实数机，关于x的方程%2一MX-^=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【答案】B

【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=〃一4牝的值的符号即可.

【详解】解：：〃=1,b=-m,c=--

.,.△=y-4俏=/+2>0

•••方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）

△>（）0方程有两个不相等的实数根；（2）△=（）=方程有两个相等的实数根；（3）△<（）=方程没有实数根，

是解决问题的关键.

题型12由方程根的情况确定字母的值或取值范围

1.（2023•广东肇庆•统考二模）若关于x的一元二次方程产+2x+m=0有两个不相等的实数根，则机的

值可能是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得A=4-47n>0,解出，〃的取值范围即可进行判

断.

【详解】解：根据题意，得A=4-4m>0,

解得m<1,

V0<1,

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键.

2.(2021•山东泰安•统考中考真题)已知关于x的一元二次方程kM-(2k-l)x+k-2=0有两个不相等

的实数根，则实数上的取值范围是()

A.k>—B.k<—

44

C.卜>一三且上彳0D.卜<三且/(:。0

44

【答案】C

【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数物0;由方程有两个不相等的实数根，得出“△>()”,解这两

个不等式即可得到k的取值范围.

【详解】解：由题可得：13-1)]”4队-2)>0,

解得：k>—；且k*0；

4

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能

读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式(组)的解集等，本题对学

生的计算能力有一定的要求.

3.(2023武鸣区二模)关于久的一元二次方程(k+1)/一2%+1=0有两个实数根，贝妹的取值范围是

()

A.fc>0B.k<0C.卜<0且A不一1D.k<0.1k*-1

【答案】D

【分析】根据一元二次方程a/+bx+c=0(a*0)根的判别式△=b2-4ac>0,

进行计算即可.

【详解】解：根据一元二次方程一元：次方程(卜+1)/-2%+1=0有两个实数根，A=b2-4ac=4-

4(k+1)>0,

解得：k<0,

根据二次项系数k+1*0,可得：k力-1.

故选D.

【点睛】考查一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)根的判别式△=b2-4ac,

当A=炉—4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

当A=川一4ac=。时，方程有两个相等的实数根；

当△=从一4叫<0时，方程没有实数根.

题型13应用根的判别式证明方程根的情况

1.(2023•北京昌平♦统考二模)关于x的一元二次方程/-kx+k-1=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于0,求k的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)fc<1

【分析】(1)先求出判别式，利用配方法△=1—4k+4=(k-2)2变为完全平方式即可，

(2)利用求根公式，先求一元二次方程含火的根，让其一根小于0,求出范围即可.

【详解】(1)解：A=(-fc)2-4xlx(/c-l),

=k2—4k+4,

=("2)2>0,

二方程总有两个实数根；

(2)解：•；X=

2x1

.丫_k±(R-2)

2

*,•%1=1,%2=k-19

■:方程有一根小于0,

k-1V0,

Afc<1.

【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决

方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键.

2.(2021上•北京•九年级北京市十一学校校考阶段练习)己知关于x的一元二次方程/-mx+m-1=

0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于-4,求m的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)m<-3

【分析】(I)计算方程根的判别式，判断其符号即可；

(2)求方程两根，结合条件则可求得〃?的取值范围.

【详解】(1)解：b2-4ac=(-m)2-4x1x(m-1)=(?n-2)2

•••(m-2)2>0

...方程总有两个实数根；

(2)解：原方程可化为：

(x-l)(x—m+1)=0

•••x—1=0或久—m+1=0

解得：x1=1,x2=m—1

由题意可得：m-1<-4

解得：m<—3

【点睛】本题主要考查•元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是

解题的关键.

3.(2020•湖北孝感♦中考真题)已知关于x的一元二次方程/—(2卜+1万+：1-2=0.

(1)求证：无论化为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根与，血满足与-亚=3,求k的值.

【答案】(1)见解析(2)0,-2

【分析】(1)根据根的判别式即可求证出答案；

(2)可以根据一元二次方程根与系数的关系得k与的勺、犯的关系式，进一步可以求出答案.

【详解】(1)证明：V4=(2k+I)2-4XQ/c2_2)=2k2+4fc+9=2(/c+l)2+7,

•.,无论k为何实数，2(k+l)2N0,

：.A=2(k+1)2+7>0,

无论々为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)由一元二次方程根与系数的关系得：

+工2=2k+1,xrx2=-2,

'/—x2=3»

2

/.(xx—X2)=9，

2

/.(%i+x2)—4/％2=9,

.,.(2fc+l)2-4xgfc2-2)=9,化简得：k2+2k=0,

解得k=0,-2.

【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.

4.(2023•江苏扬州•统考二模)已知关于x的一元二次方程/一(仅—1)%+m-2=0

(1)求证：该方程总有两个实数根.

(2)若该方程两个实数根的差为3,求机的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)0或6

【分析】(1)由，—(m—l)x+m—2=0,可知Q=1,b=—(m—1),c=m—2»根据△=b2-4ac=

[-(m—l)]2-4(m—2)=(m—3)2>0,证明即可；

(2)由/—(m-1)%+m-2=0,可得/+亚=-g=小一1，%i,x2=^=m—2,由该方程两个实数

根的差为3可得(右-%2)2=9,即(%i-t2)2=(%i+冷)？-4五1•%2，-I)2-4(m-2)=9,计算

求解即可.

【详解】(1)证明：x2—(m—l)x+m—2=0,

a=1,b=—(m—1),c=m—2,

/.△=b2—4ac=[—(m—l)]2—4(m—2)=(m—3)2>0,

・,.该方程总有两个实数根；

(2)解：Vx2—(m—l)x+m—2=0,

・।_b._Cn

==m

..Xj+%2=--=—1,-X2a~

•该方程两个实数根的差为3,

2

(xj—x2)=9,

22

■:01-X2)=(%1+X2)-4%1•x2，

:.(m—l)2—4(m—2)=9,

解得？n=0或m=6,

二加的值为0或6.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形.解

题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

5.（2023・北京大兴・统考二模）已知关于x的方程/一（m+4）x+4m=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根小于1,求〃?的取值范围.

【答案】（1）见解析

（2）771<1

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得A=（m-4）2>0,由此可证出方程总有两个实数

根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出%=4,x2=m,根据方程有一根小于1,即可得出m的取

值范围.

【详解】（1）解：•••△=[-0n+4）]2-4x4m

=m2—8m+16

=（771-4）2>0

.•.方程总有两个实数根.

（2）解：由求根公式，得

（m+4）±（m—4）

苫二2

=

/.Xj=4,x2

依题意可得L

【点睛】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程，利用公式法解•元二次方程表示出方程的两个

根，熟练掌握当△20时，方程有两个实数根是解题关键.

题型14与根的判别式有关的新定义问题

1.（2023・河南信阳・统考一模）定义新运算：。助=处一/）2,例如1回2=1x2—22=2—4=一2,则方

程2团x=5的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.只有一个实数根

【答案】C

【分析】先根据定义得到关于X的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解.

【详解】方程2回x=5化为=5,

一元二次方程化为一般式为/-2x+5=0,

A=(-2)2-4x1x5=-16<0,

•••方程没有实数根.

故选：C.

【点睛】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应

用是解题关键.

3.(2022・河北•校联考一模)新定义运算：a^\b=a2-ab+b,例如2回1=2?-2x1+1=3,则方程

X02=5的根的情况为()

A.没有实数根B.有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【答案】D

【分析】根据新定义，列出方程/-2尢+2=5,再利用一元二次方程根的判别式，即可求解.

【详解】解：根据题意得：x2-2x+2=5,

整理得：一一2%-3=0,

/.A=(-2)2-4X(-3)>0,

方程x团2=5有两个不相等的实数根.

故选：D

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程a/+bx+c=0(ar0),当

A=b2_4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=62-4此=0时，方程有两个相等的实数根；当

^=b2-4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键.

3.(2023・山东烟台・统考二模)对于实数a,6定义新运算：a^ib=ab2-b,若关于x的方程1回x=k有两

个不相等的实数根，则上的取值范围为.

【答案】/c>-i/-；<fc

【分析】根据新定义得到--x-k=0,再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到A=

(-1)2-4x1x(一k)=1+4k>0,再解不等式即可.

【详解】解：,.,。助=ab?-b,

2

/.10x=x—x=kf

整理得/一%-卜=0,

=(-1)2-4x1x(-fc)=1+4/c>0,

解得k>一;.

4

故答案为：k>

4

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+以+c=0(a70)的根与A=b2-4ac有如下关

系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根：当A=0时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程无

实数根.

题型15由根与系数的关系直接求代数式的值

1.(2021•江苏泰州•统考中考真题)关于X的方程*7-1=0的两根分别为X/、X2则X/+X2-X/X2的值

为一

【答案】2.

【分析】先根据根与系数的关系得到+x2=1,X1•x2=-1,然后利用整体代入的方法计算即可.

【详解】解：•.•关于X的方程/-X-1=0的两根分别为X/、必

+%2=1，%]•=-1，

/.X/+X2-X/*X2=1-(-1)=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若X1/2为一元二次方程。/+6%+。=0(。中0)的两个根，则有

%1+%2=-，匕•&=，熟记知识点是解题的关键.

2.(2021.江西・中考真题)已知修