2024年北京市门头沟区2024届高三一模数学试卷（含答案）

2024北京门头沟高三一模

数学

本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试

结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项。

1.已知集合A={0』,2,3},集合3={邓<%<4},则4B=

A.{2,3}B.[0,1,2}C.{1,2}D.[1,2,3}

2.在复平面内，复数z满足iz=3-4i,贝Uz的虚部为

A.3iB.-3iC.3D.-3

3.下列函数中，既是奇函数又在(0,+oo)上单调递增的是

11

A.y=x2B.y=—C.y=tan犬D.y=x\x\

x

4.已知双曲线C经过点(0,1),离心率为2,则。的标准方程为

22

A.l2_Z_=1B.-

33

22

C.y2-—=1DX-x2=l

-33

5.已知等差数列{%,}的前”项和为S"，若S3=30,%=4,则风=

A.54B.63C.72D.135

6.设a>0,b>0,则“lg(a+b)>0"是“坨(仍)>0”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.在人钻。中，ZA=120°,a=y/19,b—c=l,则ZX/WC的面积为

A3A/3n33A/3「3

2244

8.在AABC中，AB=4,AC=3,S.\AB+AC\=\AB-AC\,则AB-8C=

A.16B.-16C.20D.-20

9.在平面直角坐标系中，记d为点Rcosasin。)到直线fcc-y-3左+4=0的距离，则当仇人变化时，d的最

大值与最小值之差为

A.2B.3C.4D.6

10.如图，正方体ABC。-4耳GR中，点P为线段BQ上的动点，则下列结论正确的个数是

①三棱锥A-qpc的体积为定值；

②直线AP与平面ACR所成的角的大小不变;

③直线AP与4。所成的角的大小不变；

@A,C1DP.

A.lB.2C.3D.4

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

H.(」-2x)6的展开式中常数项为.(用数字作答)

X

12.已知抛物线C：y=4x的焦点为产，点M在。上，若|"F|=3,则M到直线％=-2的距离为.

13.若函数/(x)=2sin3cos鼻+Acos%(A＞0)的最大值为及，则人=

哈=----------

14.已知数列｛%｝是各项均为正数的等比数列，S,为其前〃项和，平;3=16，&=14,

则生=；记看=%出为5=1,2,…)，若存在%eN*使得7；最大，则』的值为

15.设aeR,函数/(x)=一"爪＜1,,给出下列四个结论：

[x-3ax+2cr,x＞l

①当。=1时，/(元)的最小值为-1；

4

②存在。＞0,使得/(x)只有一个零点；

③存在。＞0,使得了(无)有三个不同零点；

@Vas(-oo,0),/(x)在R上是单调递增函数.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(本小题13分)

如图，在四棱锥尸-ABCD中，R4J.平面MCD,ABA.AD,

AD//BC,BC=-AD,PA=AB=2,E为棱尸3的中点.

2

(I)求证：EC〃平面

(II)当尸C=3时，求直线PC与平面3CE所成角的正弦值.

17.（本小题14分）

设函数f（x）=2sin（a）x+（p）（co>0,\（p\<^）,已知VxeR,f（x）<f（~），/（%）在区间噌］上单调,

再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数/（%）存在.

（I）求力,"的值；

（II）当时，若曲线>=/（尤）与直线y=相恰有一个公共点，求加的取值范围.

条件①：与。）为函数尸个）的图象的一个对称中心；

条件②：直线x=£77r为函数y=/（x）的图象的一条对称轴；

条件③：函数/（无）的图象可由y=sin2x的图象平移得到.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答

计分.

18.（本小题13分）

2024年1月H日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速）全线35

座桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到95%,预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门

头沟区清水镇车程将缩短到40分钟.新高速全线设置主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子）和匝道

收费站四处（分别位于雁翅、火村、清水和斋堂）.新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部

门特意从门头沟区某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速

的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口），具体情况如

下：

（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）.

项目斋堂出口清水出口安家庄出口雁翅出口火村出口西台子出口

上班4082532

旅游30201010128

出行161010554

（I）从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；

（II）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行

旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为X,求X的分布列和数学期望；

（III）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，用

“4=1”表示此人从斋堂出口下高速，“5=0”表示此人不从斋堂出口下高速；从该小区所有打算利用

新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用“$=1”表示此人从斋堂出口下高速，"&=。”表示此人不从

斋堂出口下高速，写出方差。几。&的大小关系.

（结论不要求证明）

19.（本小题15分）

己知椭圆£：，+/=13＞人＞0）的离心率为日，椭圆后的上顶点为4,右顶点为5,点。为坐标原

点，△AOB的面积为2.

（I）求椭圆E的方程；

（II）若过点尸（2,0）且不过点。（3,1）的直线/与椭圆E交于Af,N两点，直线与直线

x=4交于点C,试判断直线QV的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明

理由.

20.（本小题15分）

已知函数/'（X）=+（1-a）x.

（I）当。=1时，求曲线＞=/（尤）在点（1,y（1））处的切线方程；

（II）当。＜0时，求/（尤）的极值；

（III）当gwaWl时，判断了（元）零点个数，并说明理由.

21.(本小题15分)

已知数列{q}：4，%,aM,数列也}:々也，%，其中M>2,且〃”白金{1,2,…,M},

i=l,2,…,M.记{%}，也}的前〃项和分别为S〃Z，规定跖=4=0.

记S={s,_S,.|/=1,2,---,M；J=1,2,…,/，且i<j},

(I)若{a“}:2』,3,{/?„):1,3,3.写出S,T;

(II)若5={2,3,5,6,8},写出所有满足条件的数列{〃“},并说明理由；

(III)若q«4+i,bt<bM(/=1,2,--•,Af-1),a2>b2,且5=7\证明：Bie{2,,Af},

使得2=aM-ax.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

⑴A(2)D(3)D(4)C(5)B

(6)B(7)A(8)B(9)D(10)C

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(11)-160(12)4

(13)ly(14)43或4

(15)②③

三、解答题共6小题，共65分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

解:(I)取PA中点F,连接BF,EF、在4PAD中,E,F分别为「口上人的中点,所以EFAD.EP=^AD........................1

分

因为ADBC,BC=^AD,

所以BC〃EF,BC=EF..2分

所以四边形BCEF为平行四边形，因此EC〃BF、3分

又因为EC。平面PAB,BFu平面PAB,4分

所以EC〃平面PAB.5分

(II)因为PA_L平面ABCD,AD,ABu平面ABCD,

所以PA_LAD,PAXAB.又因为AD±AB,

所以建立如图空间直角坐标系人~*丫乙.......6分

因为PA_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以PA_LBC,

又因为AB_LAD,AD〃:BC,

所以ABJ_BC,

又因为ABAPA=A

所以BC_L平面PAB

所以BC_LPB...............7分

在RtAPBC中，PB=2V2,PC=3,可得BC=1,

又因为BC=所以AD=2.....................8分

由题意得B(2,0,0),C(2,l,0),P(0,0,2),E(0,l,l),

所以pc==(0-1-0),BE=(-2,1，1)...............................9分

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),

所以「,冬二。，即y=0,

(n-BE=0,—2x+y+z=0.

令X=l,则z=2.

所以平面BCE的一个法向量为n=（l,0,2）.....................11分

所以cos<n,PC>=n.P,—,=-7^=———■....................12分

\n\-\PC\V9-V515

设直线PC与平面BCE所成角为仇则

sin0=|cos（rn'PC）\=等，

所以直线PC与平面BCF所成角的正弦值为等................13分

（17）（本小题14分）

解：（I）因为f（x）=2sin（cox+（p）,所以f（x）的最大值为2,

又因为打6/?"（久）/信）,所以八刍=2....................2分

选择条件①

因为f（x）在区间上，器］上单调,且（无/3,0）为函数y=f（x）的图象的一个对称中心,

所以由三角函数的性质得三=三-三=三,故周期T=TI............................3分

43124

因为3>0,所以0)=—=2,....................4分

此时f(x)=2sin(2x+(p).....................5分

方法一：

所以当久=；时，2xg+=yr+2/CTT,々eZ,....................6分

即4=三十2k7i,k£Z.....................7分

因为II<p

所以①=泉此时k=0.-8分

（如果写成2x|+^=左加扣一分）

方法二：

因为|<条所以2义升€仁子）——6分

所以2x；+e=兀——7分

所以0=2—8分

方法三：

所以当久=捻时，2x+=+2kn,kEZ,-6分

即=^+2kn,kEZ.--—7分

因为||<今所以0=今此时k=0.-一一8分

（如果写成2x^+a=|+TH扣一分）

方法四：

因为II<p所以2x工+9e等）-6分

所以2x盘+0=1-7分

所以一.......8分

选择条件②

因为f(x)在区间上明上单调，且直线乂=*为函数y=f(x)图象的一条对称轴,

所以由三角函数的性质得|=g-^=f,故周期T=?i、-3分

因为s>0,所以2=景=2,-4分

此时f(x)=2sin(2x+(p)................5分

方法一：

所以当％=工时，2乂工+=3+2历1,壮乙-6分

即=g+2kjifAGZ.------7分

因为II<p所以9=泉此时k=0.....................8分

(如果写成2X强+。=£+k(4=4)

方法二：

因为||<p所以2X工+€(年号)..........6分

所以2X号+=：..........7分

所以w=g....................8分

方法三：

所以当％=总时，2x巳+0=]+2/OT,/C6Z,....................6分

即=^+2kn,kEZ....................7分

因为||<今所以此时k=0.....................8分

(如果写成2x^+9=]+k扣一分)

方法四：

因为II<p所以2x^+6....................6分

所以2x^+0=5....................7分

所以=；..........8分

(II)由(/)f(x)=2sin卜久+§

因为一所以—+尹..........9分

44636

于是，当且仅当2%+；=泉即久=会时,f(x)取得最大值2;...........10分

当且仅当2刀+三=/即久=—?时,f(x)取得最小值-1............................11分

又2%+1=篙即乂=押,f⑵=2si嘿=1.....................12分

所以m的取值范围是[-1,1)U{2}.....................14分

(m的取值范围写对一部分扣一分)

(18)(本小题13分)

解：(I)样本中被调查的居民人数为200,

其中利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数为10,

所以该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率为盖=点.……3分

(或记“从被调查的居民中随机选1人，该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速”为事件A,

所以「⑷=券=云)..........3分

(直接写出p(a)=/扣一分)

(II)从样本中所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为|；从

样本中所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为|

由题设,X的所有可能取值为0,1,2,3...........4分

P(X=0)=(Jx|=?

p(x=1)=dx2xZx2+(1)2X工=2；

P(X=2)=废x々x1x三+(-)2x-=—；

P(X=3)=(|)2X|=^)..........8分

所以随机变量X的分布列为：

X0123

p2/279274/27

..........9分

所以X的数学期望FX=0x^+lxJ+2x||+3x^=g=|.............10分

=..........13分

(19)(本小题15分)

(|aZ?=2

解:(1)由题意可得(a?=。2+。2,..........3分

£=如

1a2

a=2V2

解得b=42,..........4分

<c=V6

所以椭圆E的方程为：+4=1...........5分

82

(日)方法一：

22

当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=2,代入椭圆方程2+5=1得丫=±1,

82

不妨设此时M(2,l),N(2,-l),.则C(4,l),

1-(-1)

直线NC的斜率k==1；6分

CN4-2

当直线1的斜率存在时,设其方程为y=k(x-2)(后1),7分

设M(xi,yi),N(X2,y2),

；。湾2；消去丫得:

联立方程(1+4/C2)X2-16k2x+16k2—8=0,8分

由于点P在椭圆E内，所以必有△>(),

16k216fc2-8

则与+&==^r，9分

直线MQ的方程为y—1=段(％—3),

yi+%「4'

令x=4,得C(4,10分

%1—3.

yi+xi-4,

%]—3乃11分

4-X2

yi+xi-4

利„一_O3--------y2i

4T2

yi+%]4y2(力]-3)

-1

(4—x2)(x1—3)

(4—X2)(X1—3)

(忆一1)[3(%1+%2)-%1%2-8]

13分

(4一42)(第1一3)

48k216k2-8

8

(J)1+4/c21+4/c2

(4一%2)(%1-3)

48/g216M-88+32^2'

22

(fe-1)'l+4kl+4k1+4/C2

(4—X2)(X1—3)

(fc-1)=014分

(4—%2)(%1—3)

因此kCN=1,

综上，直线CN的斜率为1.15分

方法二：

当直线1与X轴重合时，直线1的方程为y=0时，代入椭圆方程1+。=1得%=±2V2,

o2

不妨设此时.〃(一2夜，0),7(2夜，0),

直线MQ的方程为y—l=—(x-3),

令x=4,得C(4,黑)，

4+2V2Q

直线NC的斜率kCN=乎小=1；..........6分

4-2V2

当直线1与x轴不重合时，设其方程为x=my+2,..........7分

设M&,yi),N(X2,y2),

联立方程|X+4，］；消去*得：(/+4)必+4my-4=0,..........8分

(x=my+2

由于点P在椭圆E内，所以必有A>0,

-4m—4

贝!y±+y=9分

J2m2+4'm2+4(

直线MQ的方程为旷一1=工(久一3),

丫1+巧-4'

令x=4,得C(4,10分

%1—3,

yi+xi-4,

IXi-3丫2

11

kC5N=-4--T----分

yi+-4一丫2(%1-3)

(4—%2)(%i—3)

yi+myi+24y2Oyi+23)

(4-7ny2-2)(7ny1+2-3)

(1+僧)当一2一加乃乃+乃13分

(2-my2)(ny1-l)

(〃1+®、％2r一0-4m+,薪4m-y】

2gL2f2^+m(瑞》)

2_]

14分

my1-2'

因此kCN—1,

综上，直线CN的斜率为1.15分

(20)(本小题15分)

解：(I)当a=l时，/(x)=xlnx—

所以f(x)=lnx+l-x,..........1分

所以/(I)=-|,..........2分

所以f(l)=0,..........3分

所以曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的为：y+|=0...............4分

(II)方法一:

f(x)的定义域为(0,+oo),且f(x)=alnx+a-x+l-a=alnx-x+l...5分

4yg(x)=f(x)=alnx-x+1

则grM=~~1..........6分

因为a<0,x>0,所以/(%)=E-1<0,所以g(x)在(0,+8)上单调递减.

所以f(x)在(0,+8)上单调递减，..........7分

令f(x)=0,可得x=l,..........8分

所以F(x),f(x)的变化如下表：

X(0,1)1(l,+oo)

f(x)+0

f(x)极大值

..........9分

故函数f(x)的极大值为/(1)=|—a,无极小值...........10分

方法二：

f(x)的定义域为(0,+co),且f(x)=alnx+a-x+l-a=alnx-x+1…5分

因为a<0,,所以alnx在(0,+co)上单调递减,-x+l在(0,+co)上单调递减，

所以f(x)=alnx-x+1在(0,+co)上单调递减...........7分

以下同方法一.

(III)令f(x)=O,即axlnx—|x2+(1—a)x—0,因为x>0,

即alnx—之尤+(1—a)=0,...........11分

令尸(久)=alnx—3尤+(1—a),所以判断f(x)零点个数，即判断F(x)零点个数.

/(比)=±—工=吗............12分

、，x22x

因为|<a<1

所以令F'(x)=0,,得到x=2a,所以F(x),F(x)的变化如下表：

X(0,2a)2a

F'(x)+0