2023-2024学年高二数学期末模拟卷2（全解全析）（新高考地区专用）

2023-2024学年上学期期末模拟考试02

高二数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知向量）=（1,-3,-2）,5=（3,2,-5）,则下列结论正确的是（）

A.allbB.aC.a-b=（-2,-5,-3）D.|a|=V14

【答案】D

【分析】根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得.

【详解】因3=（1,-3,-2）,石=（3,2,-5）,

对于A选项，由£=与可得：（1,-3,-2）=2（3,2,-5）,易知X的值不存在；

对于B选项，由鼠6=3+（-6）+10=7/0可知B不成立；

对于C选项，a-b=（1-3-2）-（3,2,-5）=（-2-5,3）^（-2-5-3）；

对于D选项，@=#+（_3）2+（_2>="

故选：D.

2.抛物线16了的焦点到点（2,5）的距离为（）

A.2B.75C.V7D.4

【答案】B

【分析】首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得.

【详解】抛物线f=16了的焦点为尸（0,4）,

所以点（2,5）到焦点的距离d=百+（5-4）2=6

故选：B

3.2023年10月17〜18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组

织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长

率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1

位小数）约为（）.

参考数据：1.0648«1.64,1.0649«1.75,1.06410-1.86,1.06411-1.98

A.17.9万亿B.19.1万亿C.20.3万亿D.21.6万亿

【答案】B

【分析】根据给定信息，构建等比数列，再求出其中的项即可.

【详解】依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列{。“},

其中为=10.9,公比q=l+6.4%=1.064,

所以2022年进出口累计总额为%。=砧9=10.9*1.064晨10.9*1.75近9.1（万亿）.

故选：B

4.给出下列命题：

①直线x=l的倾斜角不存在；

②若直线/的方向向量3=（0,1,-1）,平面。的法向量为=0,-1,-1）,则〃/a；

③己知。为空间直角坐标的原点，且N（W）,则点尸。,2,3）到直线CM的距离是亚；

④如果向量用B与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么凡分一定共线.

其中真命题的个数是（）

A.3B.2C.ID.0

【答案】B

【分析】对于①④，可举出反例；对于②，计算向量数量积得到为，从而得到/〃a或/ua；对

于③，变形后得到直线所过定点.

【详解】对于①，直线x=l的倾斜角为90°,①错误；

对于②，因为限行=(0,1,-1)山,一=-1+1=0,故元,

则直线/与亢垂直，贝U///a或/ua,②错误；

对于③，由题意可知”=(1,1,1)是直线CM的方向向量，而在直线。4上的投影向量的模长为

2

OPu6

=26所以点尸(1,2,3)到直线的距离是d=|OP|2-OP-u=42,③正确;

|w|V3T

对于④，如果向量a,B与任何向量不能构成空间向量的一个基底，则向量与与任何向量均共面,

那么一定共线，④正确.

故选：B

5.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262〜公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学

的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数4(2^1)的点的轨迹是圆，后人

称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点。(0,0),43,0),动点满足乌=1,则点尸的轨迹与圆

\PA\2

匚(》-1)2+必=1的公切线的条数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据两点距离公式整理等式，可得动点尸的轨迹方程，明确两圆的圆心和半径，结合两圆

的位置关系，可得答案.

【详解】由题意知化简得(尤+以+/=4,其圆心为3(-1,0),半径12,

又圆C的圆心C(l,0),半径4=1,所以由。|=2,且…|<|3C]<u+力

所以两圆相交，故其公切线的条数为2条.

故选：B.

6.在正方体/BCD-44G。中，若棱长为1,E,尸分别为线段4D1,8G上的动点，则下列结论

错误的是()

A.。4，平面/。2B.直线4E与平面8BQQ所成角的正弦值为定值;

C.平面4GB//平面AC。D.点尸到平面/CR的距离为定值且

3

【答案】B

【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐个计算

判断即可

【详解】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0),BQ,0,0),C(l,l,0),0(0,1,0),A(0,0,1),a(1,0,l)g(U,[(0,1,1),

uuu.uuuu.

令==4(-l,l,0),得E(l-441),

numUUUL

令5F=〃g=M0,Ll)，得尸(L〃，〃)，A,^e[0,l],

-，—>—>DBcAC=0

对于A,DBt=(1,-1,1),C=(1,1,0),AD,=(0,1,1),显然__'__.

DBX•ADX=0

即。与_L/C,DBX±ADX,

^ACIADX=A,4C,4D1u平面/C2,因此。耳_L平面/CR,A正确;

对于B,由_L平面/BCD,%Cu平面/BCD,得

因为BB、cBD=B,BB、,BDu平面BBRD,则4。_L平面5片2。,

于是衣二(1,1,0)为平面BB】DQ的一个法向量，赤=(1-,

设直线AE与平面BBRD所成角为夕，

\AC-AE\_1

则sin6=|cos〈旅次〉|=不是定值,B错误;

\AC^AE\~V2.A/222-22+2

对于C,由选项A知。4，平面ZCD],即谓=（1,-1,1）为平面NCR的一个法向量,

;郎=o

而4Go），45=（i,o,—1）,则

\•AXB=0

即有。4_L4G，£>4LAtB,

又4Gn4B=4,4G,U平面,因此。耳，平面4GB，

则平面4c3〃平面/c。，C正确;

对于D,显然赤=&〃,〃），

UUUUUUL

因此点尸到平面42的距离为"=9^^=美=9，为定值，D正确.

故选：B

22

7.己知双曲线£:=-==1（°>0,6>0）,过E的右焦点厂作其渐近线的垂线，垂足为P,若尸尸

ab

的面积为心呢，则£的离心率为（）

4

A.V3B.—C.2D.V2

3

【答案】C

【分析】先求出焦点尸到渐近线的距离为6,由勾股定理求出RTAOEP的边长|。尸|=。，再由面积

得到a,c的关系，从而求出离心率.

22r

【详解】双曲线E:0-5=1（°>0,6>0）的渐近线方程为：y=±±x

aba

则上―6

过E的右焦点厂作其渐近线的垂线，垂足为尸,

所以在RTAO尸尸中，ZOPF=^,\FP\=b,pF\=c,所以|。尸|="

则S=—ab=,即2b=y/3c

MOPPFF24

所以4〃=3C2,即41-*=3C?,所以4/=02,故e=：=2

故选：C

8.定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差

是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差.已知各项均为正

数的数列｛0“｝是等方差数列，且公方差为3,4=1,则数列1的前33项的和为（）

A.3B.6C.2D.4

【答案】A

【分析】根据数列｛%｝是等方差数列，且公方差为3,得到o3-d=3,再利用等差数列通项公式

求得从而得到:引求解•

【详解】解：因为数列｛4｝是等方差数列，且公方差为3,

所以-=3,又=1,

所以+(〃—1).3=3〃—2,

又数列｛%｝的各项均为正数，所以为=I,

11+1-Y3n-2出n+\-Jn-2

所以Q〃+Q〃+I弋3n-2+】3〃+1'Z3n-2+J3.+1)(次x+1-6-2)3

111

所以-----+------+…+-------,

4]I。2+。33।。34

V4-V1V7-V473x33+1-73x33-2.

=----------+------------+•••H--------------------------------=3，

333

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，在平行六面体/3CD-44G2中，以顶点A为端点的三条棱长都是2,且它们彼此的夹角

都是60°,P为4。与“〃的交点，^AB=a,AD=b,A^=c,则下列正确的是（）

B.ACX=a+b-c

D.3。的长为2G

【答案】AC

【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以万，b，3为基底表示苏，莺就可以

得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示皮和布，再求它

/__.__ADC'AC

们的数量积和模，利用cosMC,"G)=片可判断是否正确；对D选项，先用基底表示西,

,AC,C

再结合西2=|西『可求BDX的长.

VCP=ZP-^C=1(ZD+Z^)-(Z8+2D)=-AB-^AD+^AAl=-a-^b+卜,故A正确.

:煎；=刀+齐心+元=方+而+怒=)+不+3.故B错误.

X**>52=62=c2=4，a'b=b'C=C'a=2x2xcos60°=2.

DC=a，|℃|=2;

ACX=a+b+c,

硝=万+3+G『=/2+『+/+方彳+方@+万｝=74+4+4+4+4+4=2行.

庆•布=万•(万+5+dj=万？+万彳+万］=44-2+2=8

-777\8

•••cM"A、=回DC'A同CX=TA/6•故c正确•

\BDx=-a+b+c,：.

I丽■[“_石+g+@2=，才+#+>_23g+2g己23a=J4+4+4-4+4-4=2亚.故D错误.

故选：AC.

10.己知直线/：丘-夕+2a+1=0和圆。：x2+y2=8,则()

A.直线/恒过定点(2,1)

B.存在先使得直线/与直线/。：x-2y+2=0垂直

C.直线/与圆。相交

D.直线/被圆O截得的最短弦长为2行

【答案】BC

【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利

用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.

【详解】对A,由Ax—y+2左+1=。可得，&(x+2)—y+1=0,

令x+2=0,即x=-2,此时y=。所以直线/恒过定点(-2,1),A错误；

对B,因为直线％：x-2y+2=0的斜率为卜所以直线/的斜率为-2,即斤=-2,

此时直线/与直线/。垂直，满足题意，B正确；

对C,因为定点(-2,1)到圆心的距离为"71=石<272,

所以定点(-2,1)在圆内，所以直线/与圆O相交，C正确；

对D,因为直线/恒过定点4-2,1),圆心到直线/的最大距离为卜石，

此时直线/被圆。截得的弦长最短为27^7=26，D错误；

故选：BC.

11.已知数列｛%｝满足4+3/+…+3"-%=〃-3"M(〃eN*),设数列｛%｝的前〃项和为S“，则下列结

论正确的是()

A.数列｛。〃｝为等差数列

B.Sn=3n2+6n

C.数列1-1)"凡｝的前100项和为300D.数列的前20项和为284

【答案】ABC

【分析】先构造数列2=3"-%"，知其前〃项和求通项也,，进而再求出％,选项A,由定义证明为

等差数列；选项B,利用等差数列前"项和公式求解即可；选项C,两项并一项，并项为常数列求

和；选项D,分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出.

+1

【详解】由6+3%-+----H3"Tan=n-3"(neN,),

设6“=3"-4,贝屹+仇+…+久=〃・3向，

所以当"22时，4+仇+—+。_]=(〃-1)-3",

两式相减得，6“=(2〃+1)3,

当〃=1时，4=%=9也适合上式.

则6“=(2〃+1)♦3"=3"为“,解得，an=3(2"+1),

所以。用-4=6,故数列｛。“｝是以9为首项，6为公差的等差数列，

则J=M(9+6»+3)=%(〃+2)=%2+的，

故选项AB正确；

选项C,数列1-1)"凡｝的前100项和

河=3[(-3+5)+(-7+9)+-■■+(-199+201)]

=3x2x50=300,故C项正确;

III।fl7-6«,zz<2*

选项D,|%-20|=|6〃-17|=,neN,

>3

181103

贝l]｛k“一20|｝前20项和为N=ll+5+l+7+13+••-+103=16+(+)=952,

故D项错误.

故选：ABC.

22

12.已知耳，&分别为椭圆C:土+匕=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点(不在无轴上)，△对巴

1612

外接圆的圆心为H,半径为R，△尸耳£内切圆的圆心为/,半径为厂，直线7V交无轴于点M,。为

坐标原点，则()

A.S“贴2最大时，r=B.而.丽的最小值为8

「M-2D.Rr的取值范围为12,|

,\PM\3

【答案】BCD

【分析】根据焦点三角形的面积邑两弓=。上|，可知其最大值，再根据内切圆半径公式可判断A选

项,根据外心的概念及向量的线性运算可判断B选项,根据内切圆的性质可得备=£=2,即可

判断C选项，再根据外接圆半径与内切圆半径的求法可判断D选项.

22_

【详角军】由C:土+匕=1,得a=4,b=26,c=2,

1612

A选项：设P（x,y）,则—4<x<4,-273<y<2V3,S/尸内二；尸石|•卜卜。•卜卜2川，所以当点尸在

短轴端点时，面积最大值为4g，

此时由内切圆性质可知邑冏乌=g川尸4|+|尸园+|4动=67,

则r=2咨=拽，A选项错误；

63

设|尸耳|=加，|尸月|=〃，则加+〃=2o=8,

B选项：如图所示，设尸片中点为G,则G”,尸片，所以

PHPO=^PH^PFl+PF^=^PH-PF\+^PH-PF\,

又丽.闻=（所+西•所=而.所=g两=-1rh,

同理尸”了工=—/，

2

2

—►—►1-1--_LJ匚1—加m+n

所以PH-PO=51+2=8,

244T+24V'22

当且仅当机=〃时，等号成立，B选项正确;

血n裔居V即

C选项：设77与耳与交于点由角分线定理可知m=

PI_附+%I_丝一[=2,^\PI\=2\IM\,

IM厂幽+\F2M2;

,,,,\PI\2

所以|尸叫=3|如所以裾=］，C选项正确;

D选项：设NF\PF,=9,由正弦定理得2尺=险=士，即火=三

sin。sin。sing

由余弦定理得2一⑸、(加+”广后

cosej"'1="1，

2mn2mnmn

24m+n21

则mn=----------,S.mn<=16,即cosez^,当且仅当冽=〃时取等号,

cos6^+12

所以cosOeg,l1,

i2sm3

SPFF=-mnsin(9=

鹏2cos0+1

所以2sin。

6cos9+1

42,1,D选项正确;

则K嬴”

故选：BCD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知“(11,0),川0,3,0),C(2,2,2),则向量方在就上的投影向量的坐标是.

【答案】

65653

【分析】由已知得出方，衣的坐标，然后求出投影向量即可得出答案.

【详解】因为方=(-1,2,0),就=(1,1,2),

ABACAC-1+2+0AC

所以，向量通在/C上的投影向量是不g—,i=|=一法"F=-AC

6，

其坐标为，就

故答案为:

14.已知正项数列｛%｝的前〃项和为，，且｛对｝满足。3=%%+2,若$3=13,q=1,则"

〃1~I-〃2

【答案】9

【解析】

【详解】因为。3=。“。”+2,所以数列｛%｝为等比数列，设公比为4(«>0)，

则邑=%(1+q+q2)=13,得/+g-12=0,解得4=3(q=-4舍去)，

所以巴士幺=d1aL±©=“2=9.

a

ax+&％+i

15.已知两点M(—2,0),#(2,0),若直线y=-3)上存在四个点尸1=1,2,3,4),使得AMVP是直

角三角形，则实数后的取值范围是

【答案】[-等o]jo,咨

I'7I'J

【分析】根据△MAP是直角三角形，转化为以九W为直径的圆和直线(x-3)相交，且存0,然

后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可.

【详解】当HMLx,尸"/Lx时，此时存在两个直角三角形，

当血W为直角三角形的斜边时，是直角三角形,

要使直线厂左(x-3)上存在四个点P(z=l,2,3,4),

使得AM部是直角三角形，等价为以AW为直径的圆和直线(x-3)相交，且厚0,

圆心O到直线kx-y-3k=0的距离d—2

平方得9/<4(1+F)=4+4F,

即5k<4,BPk2<-,得一汉5〈发〈拽.

555

又存o,...实数4的取值范围是卜华，o卜卜，半］

16.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的

一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图

①，一个光学装置由有公共焦点与，鸟的椭圆。与双曲线S构成，现一光线从左焦点耳发出，依

次经S与C反射，又回到了点片，历时白秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点耳发出，

经C两次反射后又回到了点耳，历时4秒.若。与S的离心率之比为2:3,则g=.

h

【答案】6

【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得A/AF；和AC。K的周长，再根据光

速相同，时间比等于路程比，再结合C与S的离心率之比为2:3,即可求解.

【详解】在图①中，由椭圆的定义得：忸媚+忸周=2%,由双曲线的定义得图-|/胃=血，两式

相减得|幽|+忸阊盟|+卜周=2%-2%,

所以448片的周长为2%-2%，

在图②中，ACD片的周长为4%,

t2_4q_4

因为光速相同，?一2〃1-22一2-2殁

ax

c

因为。与S的离心率之比为2:3,即2=2=包=3,

e2ax3

_——______—h

所以「2-2，・

3

故答案为：6.

四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

17.（10分）已知直线/：3x+4y+12=0和圆C：/+/+2x-4y-4=0.

（1）求与直线m垂直且经过圆心C的直线的方程；

（2）求与直线加平行且与圆C相切的直线的方程.

【答案】（l）4x-3y+10=0

⑵3x+4y-20=0或3x+4y+10=0

【分析】（1）先根据垂直关系设直线，再结合直线过圆心求参即可；

（2）先根据平行设直线方程，再根据圆心到直线距离为半径求参得出直线方程.

【详解】（1）设与直线加：3x+4y+12=0垂直的直线的方程为4x-3y+a=0.

圆C可化为（x+iy+（y-2）2=9,圆心为C（T,2）,

因为直线4x-3y+a=0经过圆心C,所以4x（—1）一3x2+a=0,即。=10,

故所求直线的方程为4x-3y+10=0.

（2）设与直线〃?：3x+4y+12=0平行的直线的方程为3x+4y+c=0（c/12）.

因为直线3x+4y+c=0与圆C相切，

|3x（-l）+4x2+c|

所以圆心C（T2）到直线3x+4y+c=0的距离等于半径，即1、二——~L=3,

A/32+42

所以|c+5|=15,c=-20或10,

故所求直线的方程为3尤+4y-20=0或3x+4y+10=0.

18.（12分）S,为数列｛%｝的前〃项和.已知%>0,d+2%=4S,,+3.

（I）求｛七｝的通项公式;

（II）设或=-----，求数列｛2｝的前"项和.

anan+l

1

【答案】(I)2〃+1(II)7-

64〃+6

【分析】（/）根据数列的递推关系，利用作差法即可求｛的｝的通项公式:

(II)求出加利用裂项法即可求数列｛加｝的前〃项和.

%%+1

【详解】解：(/)由。/+2斯=45〃+3,可知斯+i=4S〃+i+3

2

两式相减得an+i~an+2(&n+i-an)=4斯+1，

艮口2(a“+i+〃“)-a/(a〃+i+a〃)(a〃+i—a〃),

•>0,••Cln+l~4〃2,

ai2+2tzi—4tzi+3f

.'.ai=-1(舍)或0=3,

则｛斯｝是首项为3,公差d=2的等差数歹U,

・・・｛斯｝的通项公式。〃=3+2(«-1)=2。+1：

(II)・・・斯=2〃+1,

・心，=______1______=1(」______L_)

'anan+l(2??+1)(2«+3)22«+12〃+3'

++

二数列｛60｝的前n项和Tn=^-(+)1(1_=1_1

235572几+12〃+3232〃+364〃+6

19.(12分)已知抛物线C:/=2px(p>0)经过点M(2,-2⑹，直线/与抛物线相交于不同的A、

B两点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)如果区.赤=-4，直线/是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由.

【答案】⑴产=4%

(2)过定点(2,0)

【分析】(1)将点“(2,-2后)代入抛物线方程，可得。=2,从而可得答案；

(2)设出直线方程/:叼=x+",与抛物线方程联立，由数量积公式结合韦达定理可得"=-2,进

而可得答案.

【详解】(1)由题意可知，将点可(2,-20)代入抛物线方程，

可得/2啦丁=2px2,解得°=2,

则抛物线方程为必=4尤.

(2)因为，直线/与抛物线相交于不同的A、B两点,

所以直线不与x轴平行，

可设/：7索=尤+〃，与了2=4x联立，得了2-4加V+4〃=0,

设4（%,必）,5优,%），；•%+%=4机，%%=4".

由OAOB=xrx2+yxy1

=(myl-n)(my2-n)+yly2

22

=(m+l)y1y2-mM(y1+y2)+«

m2+1)x4/?—mnx4m+n2

=*+4〃=一4,解得n=-2,

l：my=x-2过定点（2,0）.

20.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD_L底面ABCD,侧棱PA=PD=V^,PA_LPD,底面ABCD

为直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AB=BC=1,0为AD的中点.

（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值.

（2）线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为逅？若存在，求出冬的值;若不存在,

3QP

请说明理由.

【答案】（1）如；（2）存在，；

32

【详解】试题分析：由以=尸。,。为AD中点，侧面PAD,底面ABCD,可得POL平面ABCD.又

在直角梯形ABCD中，易得OC，AD,所以可以。为坐标原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立

空间直角坐标系，然后利用空间向量求解.

试题解析：（1）在AP4D中，PA=PD=6,。为AD的中点，所以尸OL4D,

侧面PAD_L底面ABCD,贝ijPO±ffiABCD.

又在直角梯形ABCD中，连接OC,则。CL4D,

以。为坐标原点，直线0C为x轴，直线OD为y轴，直线O尸为z轴建立空间直角坐标

系.而=(1,-1,-1),40_LffiPOC,04=(0,-l,0),cos(PB,OA^=^-=sin。

所以，直线PB与平面POC所成角的余弦值为它.

3

(2)假设存在，则设迎及所,OV2V1

因为力=(0,1,-1),所以Q(0,X,1-X).

[〃+6=0

设平面CAQ的法向量为玩=(a，b,c),则，+i)b+(l1/)c=0

所以取而=(1-X,X-1,UI),

平面CAD的法向量元=(0,0,1),

因为二面角Q-Ab口的余弦值为g，

所以\n'扁m\T

所以我2-10九+3=0.

所以入=g或九=3(舍去),

所以意=3•

21.(12分)已知等差数列｛。“｝的前〃项和为S",公差140,且$3+$5=50,%,%，%成等比

数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

⑵设是首项为1,公比为3的等比数歹h

①求数列也｝的前〃项和

②若不等式彳（-5.+2〃240对一切"eN*恒成立，求实数2的最大值.

【答案】【小题1】。“=2〃+1；【小题2】①4=小3"；②一焉.

【分析】（1）根据等差数列通项公式与前〃项和公式，结合等比中项进行求解;

（2）①先计算｛"｝的通项公式，再用错位相减法求解北；

②代入&S“，得到2W筝对一切“eN*恒成立，构造函数〃"）=姜，再求〃"）的最小值,

即可求得结果.

3x24x5

H-------d+5。1H--------d—50—3

【详解】（1）依题意得2,2，解得"=2，

（%+3d）2=%（%+12"）I

/.an=ax+(〃-V)d=3+2(〃-1)=2n+1,即%=2〃+1.

B1lH1

(2)S—=3_,bn=an-y-=(2M+1)-3-,

an

7；=3+5-3+7-32+…+(2"+l>3"T,

231H

3Tn=3.3+5-3+7-3+---+(2H-1)-3"-+(2M+1)-3,

所以一27；=3+2・3+2・32+…+2-3"T-(2〃+l)3"=3+2.i&Z121_(2〃+l)3"=-2〃.3".

:.T.=n-3".

②由(1)易求得S.=〃(〃+2),所以不等式XT；-S"+2〃2wo对一切〃eN*恒成立,

即转化为X4寸2—Yl对一切neN,恒成立，

令/(〃)=?(〃eN*),则

又〃〃+1/(")=w="

当时，/(n+l)-/(w)<0；时，/(H+1)-/(H)>0,

所以/(1)>〃2)>〃3),且以3)<〃4)<…,则%”(叽二/⑶二一白.

所以实数2的最大值为-3

22

22.(12分)已知椭圆C:1r+3=1(。>6>0)的左、