广东省2024年中考适应性考试数学试题含解析

广东省宝塔实验重点名校2024年中考适应性考试数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.数据”1,2,1,3,1”的众数是（）

A.1B.1.5C.1.6D.3

2.如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC,AE,则——的值是（）

AC

DR

A.1B.72C.2D.73

3.如图，网格中的每个小正方形的边长是1,点M,N,。均为格点，点N在。。上，若过点”作。。的一条切线

MK,切点为K,则MK=（）

厂.J...1..工.厂.厂.厂力・・，

A.372B.2^5C.5D.V34

4.一个圆锥的底面半径为之,母线长为6,

则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）

2

A.180°B.150°C.120°D.90°

5.如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案,第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第

3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（）和黑子.

A.37B.42C.73D.121

6.下列各式中，正确的是（）

A.t5-t5=2t5B.t4+t2=t6C.t3-t4=t12D.t2-t3=t5

7.下列说法不正确的是（）

A.选举中，人们通常最关心的数据是众数

B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大

C.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S甲2=0.%S乙2=0.6,则甲的射击成绩

较稳定

D.数据3,5,4,1,-2的中位数是4

8.已知e是一个单位向量，。、b是非零向量，那么下列等式正确的是（）

11_1z

a\e-aB.|e|Z?=Z?•j~-ci—ed-r=n

A.C.同

112

9.化简-;---j—3--------1-----的结果是（)

x—1x—2x+1x+1

1x-12x-2

A.1B.-C.D.---------T

2x+1(x+l)-

10.在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（

A.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟.如果他骑自行车的平均速度

是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟,

那么可列出的方程是.

12.计算：一x（-2）=.

2

13.已知a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，贝!Ja2-a+b的值是.

14.关于x的方程kx2-（2k+l）x+k+2=0有实数根，则k的取值范围是.

15.如图，在△ABC中，AB=AC,D、E、F分另！］为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF^^FEC；②四

边形ADEF为菱形；③SMDF:5AAsc=1:4.其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

16.两个反比例函数二=和_=；在第一象限内的图象如图所示，点P在=的图象上，PC，x轴于点C,交二='

的图象于点A,PD_Ly轴于点D,交的图象于点B,当点P在一二二的图象上运动时，以下结论：①△ODB与

△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B

一定是PD的中点.其中一定正确的是—.

17.（题文）如图1,点P从△ABC的顶点B出发，沿BTC-A匀速运动到点A,图2是点P运动时，线段BP的长

度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AABC的面积是

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）计算：-2-2-712+

19.（5分）如图1所示，点E在弦A3所对的优弧上，且二二为半圆，C是二二上的动点，连接CA、CB,已知45=

4cm,设3、C间的距离为点C到弦AB所在直线的距离为yiczn,A、C两点间的距离为"c/n.

小明根据学习函数的经验，分别对函数力、”岁自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,

请补充完整.按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了山、口与x的几组对应值：

xlcm0123456

yi/cm00.781.762.853.984.954.47

y21cm44.695.265.965.944.47

（2）在同一平面直角坐标系比Oy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x,ji）,（X,y2）,并画出函数以、J2

的图象；结合函数图象，解决问题：

①连接3E,则3E的长约为cm.

②当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，5c的长度约为cm.

20.（8分）如图，在航线1的两侧分别有观测点A和B,点A到航线/的距离为2km,点B位于点A北偏东60。方向

且与A相距10km.现有一艘轮船从位于点B南偏西76。方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行

至点A的正北方向的D处.

（1）求观测点B到航线/的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到O.lkm/h）.

（参考数据：石M.73,sin76-0.97,cos76-0.24,tan76°=4.01）

21.（10分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行.某

自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100

元销售7辆获利相同.求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出

售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每

月获利最大？最大利润是多少？

22.（10分）在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法.小芳的

测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶

部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的

高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.

A

'户

BCD

23.（12分）如图，已知。是AABC的外接圆，圆心。在AABC的外部，AB=AC=4,8C=4&，求。。的半

径.

24.（14分）如图，已知。O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作。O的切线交OC的延长线于点D,交

BC的延长线于点E.

(1)求证：ZDAC=ZDCE；

⑵若AB=2,sinZD=-,求AE的长.

3

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解.

【详解】

在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1.

故选：A.

【点睛】

本题为统计题，考查众数的意义.众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

2、B

【解析】

连接AG、GE、EC,易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解.

【详解】

则四边形ACEG为正方形，故——=72.

AC

故选:B.

【点睛】

本题考查了正多边形的性质，正确作出辅助线是关键.

3、B

【解析】

以OM为直径作圆交。。于K,利用圆周角定理得到NMKO=90。.从而得到KM,OK,进而利用勾股定理求解.

【详解】

如图所示：

MK=722+42=2君•

故选：B.

【点睛】

考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直

关系.

4、B

【解析】

解：271x—=—,解得n=150。.故选B.

2180

考点：弧长的计算.

5、C

【解析】

解：第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2x6=13个，第5、6图案中黑子有1+2x6+4x6=37个，第7、

8图案中黑子有1+2x6+4x6+6x6=73个.故选C.

点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后

推广到一般情况.

6、D

【解析】选项A,根据同底数募的乘法可得原式=卅；选项B,不是同类项，不能合并；选项C,根据同底数塞的乘法

可得原式=，；选项D,根据同底数幕的乘法可得原式=卢，四个选项中只有选项D正确，故选D.

7、D

【解析】

试题分析：A、选举中，人们通常最关心的数据为出现次数最多的数，所以A选项的说法正确；

B、从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，由于奇数由3个，而偶数有2个，则取得奇数的可能性比较大，所以B选

项的说法正确；

C、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S甲2=0.4,S乙2=0工，则甲的射击成绩

较稳定，所以C选项的说法正确；

D、数据3,5,4,1,-2由小到大排列为-2,1,3,4,5,所以中位数是3,所以D选项的说法错误.

故选D.

考点：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法

8,B

【解析】

长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向

量只规定大小没规定方向，则可分析求解.

【详解】

A.由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；

B.符合向量的长度及方向，正确；

C.得出的是a的方向不是单位向量，故错误；

D.左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误.

故答案选B.

【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

9、A

【解析】

原式=/上（x-1）2+——=—~7+~7=~~=1,故选

+x+1x+lx+1x+1

10、C

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.

【详解】

解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.

故选C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、80%+250(15-^)-2900

【解析】

分析：

根据题意把李明步行和骑车各自所走路程表达出来，再结合步行和骑车所走总里程为2900米，列出方程即可.

详解：

设他推车步行的时间为x分钟，根据题意可得：

80x+250(15-x)=2900.

故答案为80x+250(15-x)=2900.

点睛：弄清本题中的等量关系：李明推车步行的路程+李明骑车行驶的路程=2900是解题的关键.

12、-1

【解析】

根据“两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘”即可求出结论.

【详解】

1x(-2)=-l,

故答案为-L

【点睛】

本题考查了有理数的乘法，牢记“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键.

13、1

【解析】

根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出aZ2a=l、a+b=2,将其代入a^a+b中即可求出结论.

【详解】

Va>b是方程x2-2x-l=0的两个根，

/.a2-2a=l,a+b=2,

/.a2-a+b=a2-2a+(a+b)=1+2=1.

故答案为1.

【点睛】

hr

本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于・一、两根之积等于一是解题的关键.

aa

1

14、k<-.

4

【解析】

分k=l及k/1两种情况考虑：当k=l时，通过解一元一次方程可得出原方程有解，即k=l符合题意；等k#l时，由4>1

即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围.综上此题得解.

【详解】

当k=l时，原方程为-x+2=l,

解得：x=2,

k=l符合题意；

当片1时，有4=[-(2k+l)]2-4k(k+2)>1,

解得：kW，且后1.

4

综上：k的取值范围是kW』.

4

故答案为：k<—.

4

【点睛】

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分k=l及k/1两种情况考虑是解题的关键.

15、①②③

【解析】

①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC,进而可证出AADF段4FEC(SSS),结论①正确；

②根据三角形中位线定理可得出EF〃AB、EF=AD,进而可证出四边形ADEF为平行四边形，由AB=AC结合D、F

分别为AB、AC的中点可得出AD=AF,进而可得出四边形ADEF为菱形，结论②正确；

③根据三角形中位线定理可得出DF〃BC、DF=gBC,进而可得出△ADFs^ABC,再利用相似三角形的性质可得出

2

S1

黄纥=彳，结论③正确.此题得解.

>ABC4

【详解】

解：①E、F分另IJ为AB、BC、AC的中点，

ADE,DF、EF为△ABC的中位线，

111

；.AD=-AB=FE,AF=-AC=FC,DF=-BC=EC.

222

在小ADFWAFEC中，

AD=FE

<AF=FC,

DF=EC

/.△ADF^AFEC(SSS),结论①正确；

F分别为BC、AC的中点，

.^.EF为△ABC的中位线，

，EF〃AB,EF=-AB=AD,

2

二四边形ADEF为平行四边形.

；AB=AC,D、F分另lj为AB、AC的中点,

/.AD=AF,

二四边形ADEF为菱形，结论②正确；

③F分别为AB、AC的中点，

.,.DF为△ABC的中位线，

；.DF〃BC,DF=-BC,

2

/.△ADF^AABC,

SAOF=（DF）2=

结论③正确.

SABCBC4

故答案为①②③.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分

析三条结论的正误是解题的关键.

16、①②④.

【解析】

①AODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为二.

②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB

的面积不会发生变化.

③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB.

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.正确，当点A是PC的中点时，k=2,则此时点B也一定是PD

的中点.

故一定正确的是①②④

17、12

【解析】

根据题意观察图象可得BC=5,点P在AC上运动时，BP_AC时，BP有最小值，观察图象可得，BP的最小值为4,

即BPAC时BP=4,又勾股定理求得CP=3,因点P从点C运动到点A,根据函数的对称性可得CP=AP=3,所以---

的面积是=12.

ixO*力x4

三、解答题(共7小题，满分69分)

187573

lo>---------

42

【解析】

直接利用负指数塞的性质以及零指数塞的性质和特殊角的锐角三角函数值分别化简，再根据实数的运算法则即可求出

答案.

【详解】

解：原式=」—2否+1—且+1」—

4242

【点睛】

本题考查了负指数幕的性质以及零指数塞的性质和特殊角的锐角三角函数值，熟记这些运算法则是解题的关键.

19、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)①6；②6或4.1.

【解析】

(1)由题意得出3c=3cm时，CD=2.85cm,从点C与点3重合开始，一直到8C=4,CD.AC随着的增大而增

大，则CD一直与4B的延长线相交，由勾股定理得出50=,得出40=45+50=4.9367

(cm),再由勾股定理求出AC即可；

(2)描出补全后的表中各组数值所对应的点(X,力)，(X,J2),画出函数以、及的图象即可；

(3)①•.•8C=6时，C£)=AC=4.1,即点C与点E重合，CD与AC重合，5c为直径，得出5E=5C=6即可；

②分两种情况：当NCA8=90。时，AC^CD,即图象》与力的交点，由图象可得：3c=6；

当NCBA=90。时，BC=AD,由圆的对称性与NCA5=90。时对称，AC=6,由图象可得：8c=4.1.

【详解】

(1)由表中自变量X的值进行取点、画图、测量，分别得到了山、72与X的几组对应值知：5c=3即时，CD=2.85cm,

从点C与点3重合开始，一直到3c=4,CD、AC随着3c的增大而增大，则5一直与的延长线相交，如图1

所示:

'：CD±AB,

**.,«_____T(cm),

□□=vBe-CD*=Vr-215J«OJStf;

，AO=A5+5Z>=4+0.9367=4.9367(cm),

(cm)；

□=JQ+B=+4.956T«5J0

补充完整如下表:

0134S•

00*12.154.M4*

45.24$TOS.M4.47

(2)描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,ji),(x,*),画出函数力、及的图象如图2所示：

(3)①；BC=6c机时，C0=AC=4.1cm,即点C与点E重合，C。与AC重合，3c为直径，

:.BE=BC=6cm,

故答案为：6；

②以A、5、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：

当NC43=90。时，AC^CD,即图象yi与以的交点，由图象可得：BC=6c机；

当NCBA=90。时，BC=AD,由圆的对称性与NCA3=90。时对称，AC=6cm,由图象可得：BC=4.1cm；

综上所述：BC的长度约为6cm或4.1cm；

故答案为：6或4.1.

图2

【点睛】

本题是圆的综合题目，考查了勾股定理、探究试验、函数以及图象、圆的对称性、直角三角形的性质、分类讨论等知

识；本题综合性强，理解探究试验、看懂图象是解题的关键.

20、(1)观测点3到航线/的距离为3km(2)该轮船航行的速度约为40.6km/h

【解析】试题分析：(1)设AB与1交于点O,利用NDAO=60。，利用NDAO的余弦求出OA长，从而求得OB长，

继而求得BE长即可；

(2)先计算出DE=EF+DF=求出DE=5,再由进而由tanZCBE=——求出EC,即可求出CD的长，进而求出航

BE

行速度.

试题解析：(1)设AB与1交于点O,

北

一一匚-二二.

CD"

A

在RtAAOD中，

VZOAD=60°,AD=2(km),

.AD/、

•.OA=---------=4(km),

cos60°

VAB=10(km),

:.OB=AB-OA=6(km),

在RtABOE中，NOBE=NOAD=60。，

BE=OB»cos60°=3(km),

答：观测点B到航线1的距离为3km；

(2)VZOAD=60°,AD=2(km),AOD=AD-tan600=2>/3,

VZBEO=90°,BO=6,BE=3,/.OE=^OB1-BE1=373,

/.DE=OD+OE=5A/3(km)；

CE=BE«tanZCBE=3tan76°,

.\CD=CE-DE=3tan760-5逝M.38(km),

1SCD

V5(min)=一(h),v=一=——=12CD=12x3.38~40.6(km/h),

12t1

12

答：该轮船航行的速度约为40.6km/h.

【点睛】本题主要考查了方向角问题以及利用锐角三角函数关系得出EC,DE,DO的长是解题关键.

21、(1)进价为1000元，标价为1500元；(2)该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元.

【解析】

分析：(1)设进价为x元，则标价是1.5x元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5xx0.9x8-8x,

将标价直降100元销售7辆获利是(1.5x-100)x7-7x,根据利润相等可得方程1.5xx0.9x8-8x=(1.5x100)x7-7x,再

解方程即可得到进价，进而得到标价；

(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用销售量x每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方

法求最值即可.

详解：(1)设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得：

1.5xx0.9x8-8x=(1.5x-100)x7-7x,

解得：x=1000,

1.5x1000=1500(元)，

答:进价为1000元，标价为1500元；

(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：

a

w=(51+——x3)(1500-1000-a),

20

3

------(a-80)2+26460,

20

3

V--<0,

20

:.当a=80时,w最大=26460,

答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元.

点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w与a的关系

式，进而求出最值.

22、这种测量方法可行，旗杆的高为21.1米.

【解析】

分析：根据已知得出过F作FGLAB于G,交CE于H,利用相似三角形的判定得出△AGFs^EHF,再利用相似三

角形的性质得出即可.

详解：这种测量方法可行.

理由如下：

设旗杆高AB=x.过F作FGLAB于G,交CE于H(如图).

BCD

所以△AGF^AEHF.

因为FD=1.LGF=27+3=30,HF=3,

所以EH=3.1-1.1=2,AG=x-1.1.

由小AGF^AEHF,

田AGGF

得一