江西省五市九校2023-2024学年高三年级下册2月开学联考试题 数学 含解析

高三数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.(2+2i)(3-2i)=()

A.-10+2iB.-10-2iC.10+2iD.10-2i

2.集合M={,『,—1},N=5},MN={1},则“=()

A.-1B.1C.±1D.一1或-2

3.已知sin(a-?)+cos[a-?)二cosa，则tana=<)

D,也

A.0B.1C.-1

2

4.函数54的图象大致为（）

.22

5.已知产为椭圆C：4y+方=1（0〉〃〉0）的右焦点，AB分别为椭圆C的上顶点和右顶点，若AAB尸的

周长为3。，则椭圆C的离心率为（）

175-1VI-1G-1

A.-B.-----C.-----D.-----

2222

6.某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）

的侧面，在它的轴截面A8CD中，AB=AD=10cm,CD=15cm,则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（）

图1图2

7.过原点0的直线/:），=履与圆M:『_6x+），-6），+16=。交于48两点，且|。4|=,理，则k=（）

A.IB.2C.-D.-7?

2

8.如图，已知圆。的半径为2,弦长48=2,C为圆。上一动点，则AC8C的取值范围为（）

A.[0,4]B.15-4石,5+4石]C.[6-46,6+4石]D.[7-46,7+4石]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/（X）=卜口1*--1],则（）

A./（月的最小正周期为2不

B./（x）的图象关于y轴对称

C/（x）的值域为[0,1]

D.将函数y=-sinv的图象向上平移一个单位长度可以得到/（x）的图象

10,国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（）

农村居民消费水平x农村人口数+城镇居民消费水平x城镇人口数

（居民消费水平=)

农村人口数+城镇人U数

■居民消费水平

次农村居民消费水平

口城慎居民消费水平

A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高

B.2018年至2022年我国农村居民消费水平逐年提高

C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为27504元

D.2022年我国城镇人口数比农村人L1数的1.5倍还要多

11.已知定义在R上的函数/3满足/⑴一/(尤一3)]=/(◎)，当、e(YO,0)u(o,+»)时，

/(x)w0.下列结论正确的是()

a-41)4B-

C./(x)是奇函数D.7(x)在R上单调递增

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知抛物线C：x2=4.y的焦点为F,例(1,3),P为抛物线C上一点，则户日+忸例|的最小值为.

13.小王一次买了两串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，另一串有三颗冰糖葫芦.若小王每次随机从其中

一串吃一颗，则只有两颗冰糠葫芦的这串先吃完的概率为.

14.如图，将正四棱柱A8CO-A4GA斜立在平面a上，顶点在平面a内，平面a,

AA=2A8=6.点。在平面a内，且「G=G.若将该正四棱柱绕AQ旋转，则PC的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知数列满足4=2,3■—%=1.

〃+1〃

(1)求何｝的通项公式；

(2)求数列I的前〃项和S..

16.(15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,

AD=BC=CD=I,AB=2,ADA.PB.

(1)证明：平而「4。_L平而ABCD.

(2)若DP=下,且PD1.CD,求二面角A—P/3—。的正弦值.

17.(15分)

将3个数字1,2,3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依

次变大.

第1个空格第2个空格第3个空格…第99个空格

(I)求数字2填在第2个空格中的概率；

(2)记数字2填在第.V个空格中的概率为P(x),求*x)的最大值.

18.(17分)

已知双曲线C:十-3=l(a>0,〃>0)的离心率为V2,右焦点为网2,0).

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)过点£的直线/与双他线C的右支交于A,4两点，在x轴上是否存在点P,使得Q4.P/3为定值？若

存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.

19.(17分)

已知函数/(x)=y/2x-a.

(1)若曲线y=/(x)在点(〃,m〃))处的切线过点(4,2),求〃的值;

(2)若＜，七5恒成立，求”的取值范围.

高三数学试卷参考答案

I.C(2+2i)(3-2i)=6+6i-4i-4i2=10+2i.

2.B因为用,N={1},所以leM,则/=],解得”=土1,当〃=一1时，不符合题意，当〃=1时，

经检验，符合题意.

3.D因为sinfa-巳]+cos(a-巳]=0sina，所以及sina=cosa,tana=9亩°=.

I4JI4Jcosa2

4.A/(T)=2尸2,"A"，所以/(x)为奇函数，排除CD.

当x〉()时，2"-2T>(),所以/(x)>(),排除B,故选A.

5.D由题意可得JPT。？=M,所以2c2-1+2ac=(),即2e?+2e-1=()，解得

-y/3-l

（舍去）.

-V

6.B延长C8,D4交于点0（图略），设圆台两个底面的圆心分别为0“。”

『08

设OB=X,OB=r,OC=R.因为矗所以一=---，则x=20cm.设所求圆心角为6,

2tR0C

2北「7T

则工8=2笈〃，所以-=一.

/2

7.A圆例：F-6x+V-6y+16=（）,即圆例：（x-3）2+（），-3尸=2,设圆用的半径为，-，圆心例（3,3）

到直线/的距离为乩A8的中点为C.因为|QA|=kM，所以|oq=3|AC|.因为|。M|=+3?=3®,

所以|0C|=y]\0M|2-d2=J18-CF.又因为\AC\=炉工产=^2-dz,所以麻二工户,

解得d=(),所以直线/经过圆心用(3,3),所以％=丁11.

8.C取A8的中点。，连接CD(图略).ACBC=^AD-hDC)(BD+DC)=ADBD+

22

(AD+BbyDC+DC^DC-\.OD=>/3,CDmin=2-ACDmax=2+73,(AC-BC)min=6

-4y/3,(AC-BC)inu=6+473.故A&的取值范围为16—46,6+4>6].

9.AD/(x)=卜in_r-l|=finx+lj(x)的最小正周期为2乃，A正确./(x)的图象不关于)，轴对称，B

错误./（x）的值域为[0,2],C错误.将函数y=-sin.v的图象向上平移•个单位长度可以得到了⑴的图象,

D正确.

10.BD2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高，A错误.2018年至2022年我国农村居民消费

水平逐年提高，B正确.2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为25245,27439,27504,31013,

31718,5x60%=3,2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为上■二=29258.5元,

2

C错误.设我国农村人口数为大，城镇人口数为)，，yi'J31718=19530A+38289-V.化简得上=里卷>3,

A-+yx65712

所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，D正确.

11.ACD令x=>'=0,可得/(0)=0,

令x=y=1,可得因为当工>0时，/(X)H0,所以/(1)=1.

2

令x=y，可得［/(x)丁=/(X)>0.

因为/NO,所以当x20时，/(.v)>0.

又因为当x>0时，/(X)H0,所以当x>0时，/(.v)>0.

令尸1，可得/(x)[/(x)-/(x-l)]=/(x)①，所以/(x)-/(x-l)=l,/(x+l)—/(x)=l,两式

相加可得/(x+1)—/(x—1)=2.

令),=—1,可得/(11/⑴一八为+川二”-月②.

①-②可得/(x)[/(x+l)—/(x—l)]=/(x)—/(—X),化简可得/(x)=—/(—X),所以/(X)是奇函数,

C正确.

由/⑺-/(x-1)=1,可得〃2)=/⑴+1=2,/⑶=〃2)+1=3，〃4)=〃3)+1=4,…,

/(10)=10,B错误.

/(x+1)-/(x)=l,

A正确.

/(A)=-/(-A),

—口，可得小)-/(力小铲

令0<X2<X,则A]-x2>0,(X-立)>0.

因为当不>0时，/(R)>0,所以/(2)>。,/(内(工|一七))>0,

所以小*押”即小"㈤,

所以/（X）在（0,ZO）上单调递减.

因为/（x）为奇函数，所以/（X）在R上单调递增，D正确.

12.4作尸8垂直于抛物线。的准线，垂足为3（图略），|叩|+仍叫=|用+归叫".

13”—记事件A为“小王从有两颗冰糖葫芦的这串吃一颗”，事件3为“小王从有三颗冰糖葫芦的这串吃

16

颗”.只有两颗冰糖胡芦的这串先吃完的情况有6种：①AA,@ABA,®AB-BA,®BAA,©BABA,

,1111111111111111111111

(6)BBAA.故所求概率为一x—十—x—x—十—x—x—x—+—X—x—+—x—x—x—十—x—x—x—=一

2222222222222222222216

14.后过点。作CE」一ACi垂足为£,连接AC（图略）.易得CE〃平面a,所以点。到平面a的距

离为C,£.AC=3叵，Ag=Ja+CC：=3#,CE=AC'CC'~=2y/3,

AC]

CE=«C；-a=2底.过点C作CC_L平面a,垂足为C'(图略).当C'，G，P三点共线，且

22

CP=eg+qp时，PC取得最大值，最大值为JGE+(c'C+c1p)=JCE+(CE+CFY=回.

15.解：(1)设q,=巴"则c;)+l-c„=1,q=4=2,

n

所以数列｛c,J是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以C“=〃+1,4“=/?(/?+1).

16.（1）证明：如图1,在等腰梯形A6CD中，作于于”.

AE=BF=~,所以DE=9~,BD=力DE2+BE。=瓜

22

所以4。2+6。2=AB2t则AD_J_BD

因为A。J.PB,8。u平面PBD,依u平面PBD,BDr\PB=B,所以A。」一平面PBD.

因为AQu平面A6CD,所以平面尸6。JL平面ABC。.

（2）解：由（1）得ADJ_平面PBD，所以AO」.PD.

因为//).LC7),AOnC7)=O,所以平面A8CO.

以点O为原点建立如图2所示的空间直向坐标系，则4(1,0,0),8(0,、6,0),~(0,0,、。卜

AP=(_】,O,G),8P=(O,SG),OP=(O,O,6),ZM=(1,0,0).

n-AP=一x+小z=0,,厂\

设平面PAB的法向量为〃=(.r,j,z)»则有，Lr-令y=l，可取〃=力」,1.

BP=-y]3y+V3z=0,I/

平面P8D的一个法向量为DA.

设二面角A——。的平面角为3，则上＜k6|=|以夙〃,。4)|=:乃=巫，sin8=MB,故二面角

11n\\DA55

4一Q8—。的正弦值为巫.

5

(2)由题意可得24xW98,且xeN..

P⑴—%%-(1)*7)

C99C-gg

,、4924Q

当x=50时，P(x)取得最大值，最大值为一?=上-

Cgg3201

a43

18.解：(1)由题意可得＜。=2,解得，

b=应,

C2=+〃2,

则双I川线C的标准方程为--^=1.

22

(2)由题意可知直线/的斜率不为0,设直线l:x=my+2,A(xt,H),风必,％)，P(%，。)-

x=my+2,

联立｛p),2_整理得(〃/—|),,2+4,町+2=0,

--=1,

22

.4〃？2

则ny+y=一一7,.y,%=-5—.

2m-1m-1

因为=—％。1),〃8=(々一/，%)，

所以尸4"=(%-,%)(工2—%)+X%=(，孙+2-%)("5+2-％)+X见

二(川+1卜6+，〃(2_,%)(M+K)+X：-4XO+4.

2

将x+丹