第12讲求未知角的三角函数值(原卷版+解析)

第12讲求未知角的三角函数值方法总结：1.解决此类问题的方法步骤：（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值（4）将结果整体代入到运算式即可2.确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。确定角的范围有以下几个层次：（1）通过不等式的性质解出该角的范围（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（4）通过题目中隐含条件判断角的范围典型例题：例1．（2023·广东韶关·一模）若，则__________.例2．（2023·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））若，则______．例3．（2023·山西太原·高三期末（文））已知为锐角，，则__________.例4．（2023·浙江·高三开学考试）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴交于点．(1)求函数的最小正周期及，的值；(2)已知，，求的值，例5．（2023·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知函数.(1)求的单调递增区间及值域；(2)若，，求的值.过关练习：1．（2023·陕西榆林·一模（理））已知，则（

）A．3 B． C． D．2．（2023·四川·模拟预测（理））已知，则（

）A． B． C． D．3．（2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知，，则（

）A． B． C． D．4．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，且，则等于（

）A． B． C． D．5．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则角可以是（

）A． B． C． D．6．（2023·江西上饶·高三阶段练习（文））已知sin，则（

）A． B． C． D．7．（2023·福建漳州·一模）已知，则（

）A． B． C． D．8．（2023·江西九江·一模（文））已知，则的值为（

）.A． B． C． D．9．（2023·江西吉安·高三期末（理））已知，则（

）A． B． C． D．10．（2023·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知角终边上一点，那么（

）A． B． C．1 D．011．（2023·江苏·苏州中学高三开学考试）已知，且，则（

）A．5或 B．5或 C．5 D．12．（2023·山西吕梁·一模（文））已知，则（

）A． B． C． D．13．（2023·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知α，β均为锐角，且满足，，则（

）A． B． C． D．14．（2023·山西临汾·一模（理））已知角的终边过点，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题15．（2023·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））若，则________________.16．（2023·山东·青岛二中高三开学考试）______．17．（2023·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若，则________．18．（2023·四川省高县中学校模拟预测（文））已知，则______19．（2023·北京八中高三开学考试）若，，则______.20．（2023·广东高州·二模）已知锐角的终边上一点P的坐标为，则_______．21．（2023·河南濮阳·高三开学考试（理））若且，则______．22．（2023·河南焦作·一模（理））计算：___________.23．（2023·河南焦作·一模（文））已知，且，则______．24．（2023·广东·模拟预测）________．25．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则的值为________．第12讲求未知角的三角函数值方法总结：1.解决此类问题的方法步骤：（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值（4）将结果整体代入到运算式即可2.确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。确定角的范围有以下几个层次：（1）通过不等式的性质解出该角的范围（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（4）通过题目中隐含条件判断角的范围典型例题：例1．（2023·广东韶关·一模）若，则__________.答案:解析：分析：先求出，利用两角差的正切公式即可求出.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：例2．（2023·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））若，则______．答案:解析：分析：由诱导公式得，进而根据半角公式求解即可.【详解】解：因为，所以，所以．故答案为：例3．（2023·山西太原·高三期末（文））已知为锐角，，则__________.答案:##解析：分析：求出，则.【详解】,，，.故答案为：.例4．（2023·浙江·高三开学考试）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴交于点．(1)求函数的最小正周期及，的值；(2)已知，，求的值，答案:(1)最小正周期，，(2)解析：分析：（1）由周期公式可求得最小正周期,根据函数的最大值点可求得，将代入解析式，可求得A.（2）根据角结合已知可求得，再利用两角差的正弦公式即可求得答案.(1)的最小正周期，∵为最大值，则，，而，故取，∵函数图象过，∴，(2)，∵，∴，∴，∴，∴.例5．（2023·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知函数.(1)求的单调递增区间及值域；(2)若，，求的值.答案:(1)单调递增区间为，，的值域为(2)解析：分析：（1）利用降幂公式、二倍角的正弦公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质即可得出答案；（2）根据，可得，再根据，结合平方关系求得，再根据利用两角差的正弦公式即可得解.(1)解：∵∴由，，即，，所以的单调递增区间为，，且的值域为；(2)解：∵，∴，∵，则，又因为，所以，所以，则.过关练习：1．（2023·陕西榆林·一模（理））已知，则（

）A．3 B． C． D．答案:B解析：分析：利用诱导公式将化简，可得的值，再利用两角和的正切公式求得答案.【详解】由题意,

可得，则，故,故选：B2．（2023·四川·模拟预测（理））已知，则（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：应该对已知条件展开，考虑条件和结果之间的内部关系，使用2倍角公式即可.【详解】，则，即，所以,故选：B.3．（2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知，，则（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：利用二倍角公式，化简为，即可求解.【详解】，，，当时，，解得：（舍）或.故选：D4．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，且，则等于（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：根据已知条件结合正切的和角公式求得，结合同角三角函数关系，求得，再利用正弦和余弦的倍角公式，代值计算即可.【详解】因为，故可得，解得，因为，又，故可得，又.故选：C.5．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则角可以是（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：先判定角终边所在象限，再通过角的三角函数值确定角.【详解】则又，则角终边在第二象限则角可以是故选：D6．（2023·江西上饶·高三阶段练习（文））已知sin，则（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：三角函数的恒等变换要注意条件与结果之间的关系，由此而产生解题思路.【详解】∵，；∴，，∴=；故选：D.7．（2023·福建漳州·一模）已知，则（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：利用正余弦的二倍角公式对已知式子化简可求得答案【详解】由，得，所以，故选：C8．（2023·江西九江·一模（文））已知，则的值为（

）.A． B． C． D．答案:A解析：分析：结合诱导公式与二倍角公式即可求出结果.【详解】.故选：A.9．（2023·江西吉安·高三期末（理））已知，则（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：利用诱导公式得到，两边同时平方即可得到，再由求出，最后利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为，得，所以，，所以，又，所以，，因此，因此．故选：A．10．（2023·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知角终边上一点，那么（

）A． B． C．1 D．0答案:A解析：分析：根据三角函数的定义求得,再利用二倍角公式求得，接着求得，最后利用两角和的余弦公式求得答案.【详解】，，所以角终边上一点，即，,故，所以，所以，，所以，故选：A.11．（2023·江苏·苏州中学高三开学考试）已知，且，则（

）A．5或 B．5或 C．5 D．答案:C解析：分析：由条件结合二倍角正切公式可求，再由同角关系将所求表达式化简为含正切的代数式，由此可求其值.【详解】∵

，∴

，即，又∴

，∴

，故选：C.12．（2023·山西吕梁·一模（文））已知，则（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：利用二倍角公式直接进行求解即可.【详解】，故选A13．（2023·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知α，β均为锐角，且满足，，则（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：可根据已知条件，先求解出，然后结合使用余弦的和差公式构造出，然后根据条件给的，的范围排除，即可完成求解.【详解】，所以，，因为，均为锐角，所以，故故选：D.14．（2023·山西临汾·一模（理））已知角的终边过点，则的值为（）A． B． C． D．答案:D解析：分析：结合三角函数的定义、两角差的正切公式求得正确答案.【详解】.故选：D二、填空题15．（2023·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））若，则________________.答案:解析：分析：由诱导公式求得，再由二倍角公式计算．【详解】由，得，所以．故答案为：．16．（2023·山东·青岛二中高三开学考试）______．答案:1解析：分析：由，利用两角和的正切公式计算即可.【详解】因为，所以．故答案为：117．（2023·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若，则________．答案:1解析：分析：根据三角诱导公式与二倍角公式结合弦切互化公式即可求解．【详解】，，所以．故答案为：118．（2023·四川省高县中学校模拟预测（文））已知，则______答案:##解析：分析：直接利用二倍角的余弦公式计算可得；【详解】解：因为，所以故答案为：19．（2023·北京八中高三开学考试）若，，则______.答案:##-0.25解析：分析：切化弦，再利用二倍角正余弦公式化简计算作答.【详解】依题意，，因，则，则有，解得，所以.故答案为：20．（2023·广东高州·二模）已知锐角的终边上一点P的坐标为，则_______．答案:##解析：分析：由三角函数的定义可得，化简结合条件可得答案.【详解】由题意可得又为锐角，所以故答案为：21．（2023·河南濮阳·高三开学考试（理））若且，则______．答案:或##或解析：分析：化简整理方程，根据特殊角三角函数值即可求解.【详解】∵∴，∴，，或，或.故答案为：或.22．（2023·河南焦作·一模（理））计算：___________.答案:##解析：分析：先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.【详解】.故答