平面几何证明题的常用解题思路与方法的研究(全文)

精品文档-下载后可编辑平面几何证明题的常用解题思路与方法的研究(全文)众所周知，平面几何证明是初等数学学习的难点之一，其难就难在如何寻找证明思路。初中数学的证明题的出现率十分频繁，可总不知道该先从哪开始突破。我想，数学也有它的奥妙，总有解决的办法。我觉得学生对于做证明题感到很困难，也没有兴趣，是因为证明题的逻辑性很强，学生做题时往往思维混乱，作业上写的乱七八糟，语言也没有经过组织，有时候看半天也看不出学生的思路是什么样的。如何才能让学生的思路清晰呢？经过我多年的教学经验总结与分析，应努力培养学生的以下五种解题思路和方法，并且要精讲多练，多让学生自己归纳和总结解题思路，积累证明题目的经验，教师点拨强调让其成为学生的做证明题的思维习惯。

（１）分析逆推法。所谓分析逆推法应该就是“由果索因”地对所要证明的结论进行周密分析，逆向逐步找出结论成立需要具备的充分条件。在平面几何证明题中，这一解题思路是用得最多也是最常用的思路的。

例如：如图在ΔＡＢＣ中，ＢＤ和ＣＥ分别是ΔＡＢＣ的两条高。求证：∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ．

解题思路分析：即从逆向思维的角度出发，从结论出发，欲证明∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ。若能证明ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ就可以得出∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ，这样就把证明∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ的问题转化为证ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ的问题。如何去证明ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ呢？结合题设，这里已有∠Ａ＝∠Ａ这个条件，要找到其余一组角对应相等是不可能的，若有条件ＡＤ／ＡＢ＝ＡＥ／ＡＣ就可以得出ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ，这样把证明ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ的问题转化为证明ＡＤ／ＡＢ＝ＡＥ／ＡＣ的问题，那么有如何去证明ＡＤ／ＡＢ＝ＡＥ／ＡＣ呢？只要证明出ΔＡＤＢ与ΔＡＥＣ相似即可得出ＡＤ／ＡＢ＝ＡＥ／ＡＣ这个结论。这样又把证明ＡＤ／ＡＢ＝ＡＥ／ＡＣ的问题转化为ΔＡＤＢ∽ΔＡＥＣ的问题，而根据条件完全可以证明出ΔＡＤＢ∽ΔＡＥＣ，这样把刚才思维过程按照思维顺序的反向顺序进行书写即可得出推理证明全过程。

（２）综合顺推法。综合顺推法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“要证明的结果”。这一方法适用于比较简单的证明题目，

例如：如图，在ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｐ是上任意一点，ＰＥ／／ＡＢ，ＰＦ／／ＡＣ。问：ＰＥ，ＰＦ，ＡＢ之间有什么关系？并说明理由；

解题思路分析：当学生得到这个题，认真分析后会要求找出ＰＥ，ＰＦ，ＡＢ之间有什么关系。首先学生应该有一种较合理的感觉，线段与线段的关系主要有位置关系和长度关系，本题很明显不会是位置关系而是长度关系。

由ＡＢ＝ＡＣ推出∠Ｂ＝∠Ｃ（等边对等角）

由ＰＥ／／ＡＢ，ＰＦ／／ＡＣ推出四边形ＡＥＰＦ是平行四边形，∠ＢＰＦ＝∠Ｃ

由∠ＢＰＦ＝∠Ｃ推出ＢＦ＝ＰＦ

由四边形ＡＥＰＦ是平行四边形推出ＡＦ＝ＰＥ

因为ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ通过等量代换可得ＡＢ＝ＰＦ＋ＰＥ

到此学生可以分析结果先可作出判断ＡＢ＝ＰＦ＋ＰＥ，再根据思路写出证明过程就完成了。

（３）分综结合法。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析。初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路。例如给我们三角形某边中点，我们就要想到中线、中位线。要求证三角形角相等，我们就要想到边相等、三角形全等、三角形相似。用正逆结合的思路去思考解题的方法。

例如：已知：如图，在菱形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＣＤ的中点。

求证：ＡＢＥ≌ＡＤＦ

解题思路分析：

１．由条件入手“由因导果”的推理

由Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＣＤ的中点推出ＢＥ＝ＥＣ，ＣＦ＝ＦＤ

由在菱形ＡＢＣＤ可得ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ∠Ｂ＝∠Ｄ

２．由结果入手“由果索因”的推理

要证明ＡＢＥ≌ＡＤＦ得先熟练掌握全等的判定定理（ＡＡＳ，ＡＳＡ，ＳＳＳ，ＨＬ），是用哪一个判定定理得先作简单思考。

通过１的分析已得出ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ∠Ｂ＝∠Ｄ，证明三角形全等已得到了一条边和一个角，再找一条邻边即可以判定全等了。于是再综合分析“由Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＣＤ的中点推出ＢＥ＝ＥＣ，ＣＦ＝ＦＤ”和“由在菱形ＡＢＣＤ可得ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ”这两个结论可推出：ＢＥ＝ＥＣ＝ＣＦ＝ＦＤ

到此学生可以分析结果先可作出判断用“ＳＡＳ”来证明全等，再根据思路写出证明过程就完成了。

（４）添加辅助元素。在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题是在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段。我们作辅助线的目的你要明确，就是将我们不常见的图形转化成我们学过的知识来解答和证明。这种方法需要一定的解题经验和掌握牢固的基础知识作支撑。例如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形，等等。

例如：如图，过边长为１的等边三角形的边ＡＢ上一点Ｐ作ＰＥＡＣ于点Ｅ，Ｑ为ＢＣ延长线上一点，当ＰＡ＝ＣＱ时，连接ＰＱ交ＡＣ边于Ｄ。求证ＤＥ＝１／２。

解题思路分析：

过Ｐ作ＢＣ的平行线，交ＡＣ于Ｍ，则ＡＰＭ也是等边三角形；在等边三角形ＡＰＭ中，ＰＥ是ＡＭ上的高，根据等边三角形三线合一的性质知ＡＥ＝ＥＭ；易证得ＰＭＤ≌ＱＣＤ，则ＤＭ＝ＣＤ；此时发现ＤＥ的长正好是ＡＣ的一半，由此得解。

解答：解：过Ｐ作ＰＭ∥ＢＣ，交ＡＣ于Ｍ；

易知ＡＰＭ是等边三角形；

又ＰＥＡＭ，

ＡＥ＝ＥＭ；（等边三角形三线合一）

ＰＭ∥ＣＱ，

∠ＰＭＤ＝∠ＱＣＤ，∠ＭＰＤ＝∠Ｑ；

又ＰＡ＝ＰＭ＝ＣＱ，

ＰＭＤ≌ＱＣＤ；

ＣＤ＝ＤＭ；

又ＤＥ＝ＤＭ＋ＭＥ，ＡＥ＋ＥＭ＋ＭＤ＋ＤＣ＝１

ＤＥ＝１／２

此题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形ＡＰＭ是解答此题的关键。教学中发现，学生在几何题证明过程中，常对如何添加辅助线甚感困惑。其实，添加辅助线因题而异，其主要作用是集中题目的分散“元素”，使隐含条件明朗化。本题主要是根据已知条件和待证结论，把有关的“元素”迁移、靠拢、集中起来组成相关图形。有时还可以按已知条件的引申来添加。扩大和产生更多的已知条件，使隐含条件凸显出来，以架设铺向结论推导的“桥梁”。

（５）反证法。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反”。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”反证法是“间接证明法”的一种，是从反面的角度证明的方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当做条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。

例如：请说明如果两条直线相交为什么只有一个交点？

解题思路分析：

“如果两条直线相交为什么只有一个交点”这个命题的题设是两条直线相交，结论是只有一个交点。

假设两条直线相交有不止一个交点，则至少有两个交点。

这样，过两点就可以做两条直线。

这个过两点有且只有一条直线的公理矛盾。

这样假设便是错误的。

于是两条直线相交有且只有一个交点用反证法得以证明是正确的了。

像上题中欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳