新疆疏勒县2024年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

新疆疏勒县八一中学2024年高三第五次模拟考试数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.设双曲线=-==1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C

ab

分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于Q+行两，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(-oo,-l)(l,+oo)

C.(-72,0).(0,72)

D.(7,-

HQQ1]X>0

2.已知函数/'(x)=।2I'，方程/(x)-a=0有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合。，贝!)“函

x2+2x+2,x<0

数砥%)=/(%)-履(xe。)有两个零点”是“女〉!”的().

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.如图所示，正方体的棱长为1,线段511上有两个动点E、F且EF=显,则下列结论中错误的

2

是()

A.ACVBEB.E尸〃平面4BCZ)

C.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,5歹所成的角为定值

v2y1

4.已知双曲线r=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。的直线1与双曲线的右支有且只有一

ab2

个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是()

A.[2,+oo)B.(1,2),C.(2,+oo)D.(1,2]

5.若不等式2xlnx…-Y+办对xw[l,+8)恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,0)B.(-oo,1]C.(0,+00)D.[l,+oo)

6.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说:

甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是()

A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

7.如图，在棱长为4的正方体ABC。—A4G2中，E,F,G分别为棱AB,BC,CQ的中点，M为棱4。的中点,

设尸，。为底面A3C。内的两个动点，满足。P//平面E尸G,=J万，则PM+P。的最小值为()

C.2店-1D.2#1-2

8.已知函数/(%)=-<75由3%+4+6(<7>0,%61<)的值域为|-5,3],函数g(x)=b-COSOX,则g(龙)的图象的对称

中心为()

A.[^-,一5卜左€2)B.I+—,-5IeZ)

C.U")D.苧3(左eZ)

9.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱.下

图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部

分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方

形内的概率是()

3456

A.-B.C.D.

7777

10.关于函数/（X）=|COSX|+COS|2M，有下列三个结论:①〃是/⑴的一个周期；②了（幻在上单调递增;

③/（X）的值域为[-2,2].则上述结论中，正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

11.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（）

一♦一各月最低气温平均值—各月最高气温平均值

A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关

B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大

C.全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个

D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势

12./+〃=i是asinO+bcosOWl恒成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（x-y）（x+2y）4的展开式中，的系数为.

14.已知等比数列｛。“｝的各项均为正数，％+%=4,%+。3-42-囚=1，则%的值为.

2

15.已知双曲线必-%=13〉0）的一条渐近线为y=2x,则焦点到这条渐近线的距离为.

16.如图，在等腰三角形ABC中，已知|A同=|AC|=1,ZA=120°,E、/分别是边A3、AC上的点，且

4石=4公84/=〃4。,其中4〃€（0,1）且2+4〃=1,若线段所、5c的中点分别为M、N,贝!!|"耳的最小值

是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生

活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中.为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传

普及的关系，对某试点社区抽取50户居民进行调查，得到如下的2x2列联表.

分类意识强分类意识弱合计

试点后5

试点前9

合计50

已知在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58.

（1）请将上面的2x2列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有

关？说明你的理由；

（2）已知在试点前分类意识强的9户居民中，有3户自觉垃圾分类在12年以上，现在从试点前分类意识强的9户居民

中，随机选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X,求X分布列及

数学期望.

身浜八斗n(ad-bc)2

参考公式：K=-------------------------,其中〃=〃+b+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

下面的临界值表仅供参考

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

仆二、后cos0

18.（12分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（a是参数），以原点。为极点，x轴的正半

y=sina

轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为夕sin[，-.

（1）求直线/与曲线。的普通方程，并求出直线的倾斜角；

（2）记直线/与V轴的交点为。,M是曲线。上的动点，求点的最大距离.

19.（12分）在极坐标系中，曲线。的方程为夕cos2£=asin〃（a>0）,以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直

[9得

x-2------1

2

角坐标，直线/的参数方程为La为参数），/与c交于M，N两点.

「1+2

I2

（1）写出曲线。的直角坐标方程和直线/的普通方程；

（2）设点P（2,—1）；若归囱、|肱V|、|PN|成等比数列，求。的值

20.（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创

城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：.

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数212202524134

（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z-N（〃,198）,〃似为这100人得分的平均值（同一组中的数

据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（38.2<ZV80.2）；

（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:

①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费;

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额（单位：元）2050

2£

概率

44

现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望.

附：参考数据与公式：V198若X-N（〃,cr2）,则P（〃一cr<xW〃+cr）=0.6826,

P(〃一2cr<X<〃+2cr)=0.9544,P(//-3cr<X<〃+3cr)=0.9974

21.(12分)已知函数lux,g(x)=x2—ax.

(1)求函数｛x)在区间住，+1](，>0)上的最小值机(。；

力(X)—h(x)

3

(2)4*h(x)=g(x)—f(x)9A(xi,h(xi))9B(xi,Zz(x2))(xirx2)是函数/i(x)图像上任意两点，且满足、>1,求

X]-x2

实数。的取值范围；

(3)若mxG(O,l],使—成立,求实数。的最大值.

X

22.(10分)已知函数/(x)=2|x—2|—加(加>0),若/(％+2)<0的解集为(―2,2).

(1)求加的值；

、1119

(2)若正实数b,。满足〃+2Z?+3c=根，求证：-H----1—>—.

a2b3c4

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由题意«(<.1.)，

aa

根据双曲线的对称性知。在X轴上，设ZXx,0),则由

b2b2

h

得：a_a,*

c-xc-akr*(a-c)

因为。到直线的距离小于a+Jq2+万，所以

即0<—Z?<1,所以双曲线渐近线斜率左=±b9£(—l,0)u(0,l),故选A.

aa

2、A

【解析】

作出函数f(x)的图象，得到D=(2,4］,把函数F(x)=f(x)—kx(xeD)有零点转化为y=kx与y=f(x)在(2,

4］上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断.

【详解】

。、logx,x>0

作出函数f(x)=1S9I'的图象如图，

由图可知，D=(2,4］,

函数F(x)=f(x)-kx(xcD)有2个零点，即f(x)=kx有两个不同的根，

也就是y=入与y=f(x)在(2,4］上有2个交点,则k的最小值为|；

设过原点的直线与y-logzx的切点为(x0,log2Xo),斜率为，

X.Q1I1L

则切线方程为ylOg2X=1<XXo),

x0ln2

把(o,o)代入，可得Tog2X0=—2，即x0=e,.•.切线斜率为:二，

m2eln2

.•.k的取值范围是仪,工］,

eln2)

•••函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有两个零点”是“k>!”的充分不必要条件，

故选A.

上不公二.

-WO124‘X

1

1

1

本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,训练了利用导数研究过曲线上

某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题.

3、D

【解析】

A.通过线面的垂直关系可证真假；B.根据线面平行可证真假；C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D.根

据列举特殊情况可证真假.

【详解】

A.因为AC，3。,ACLDR,BD=D,所以AC,平面,

又因为BEu平面5。，用，所以ACLBE,故正确；

B.因为所以EF//DB,且跖仁平面ABC。，D5u平面ABC。，

所以EN//平面ABCD,故正确；

C.因为58£/=''£/'5用=立为定值，A到平面8。。用的距离为/?=LAC=Y2,

BEF2422

所以匕一/^二,^^^/二士为定值，故正确；

312

D.当AGBQI=E,ACoBD=G,取尸为耳，如下图所示:

因为BF/IEG,所以异面直线AE,3歹所成角为/AEG,

也

且AG方立,

tanNAEG=---=----=—

GE12

当AGl42=尸，ACcBD=G,取£为2,如下图所示:

因为D、F//GB,DF=GB,所以四边形RG。方是平行四边形，所以BF//D】G,

..AG

所以异面直线AE,3尸所成角为/AEG,且tan/A2G=诟

由此可知：异面直线AE,§尸所成角不是定值，故错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度

较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.

4、A

【解析】

若过点厂且倾斜角为(的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜

率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.

【详解】

22

已知双曲线1-斗=l(a>0,6>0)的右焦点为歹，

ab

若过点歹且倾斜角为(的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，

b

则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率一，

a

-..A/3,离心率e2=^^..4,

aa

e..2,

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件.

5、B

【解析】

转化2xlnx…一/+ox,xe[l,+co)为④21n无+x,构造函数〃(％)=21nx+龙,xe口,+8),利用导数研究单调性，求

函数最值，即得解.

【详解】

由2xlnx...-x2+or,%e[1,+oo),可知q,21nx+x.

,2

设h(x)=21nx+x,xe[l,+<»),贝！J(x)=—+1>0,

x

所以函数以幻在U”)上单调递增，

所以■%)而n=W)=L

所以4,九(%)1ttsi=1.

故。的取值范围是(-8」].

故选：B

【点睛】

本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

6、C

【解析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.

【详解】

解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，

若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，

若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，

综上可得甲被录用了，

故选：C.

【点睛】

本题考查了逻辑推理能力，属基础题.

7、C

【解析】

把截面跳G画完整，可得「在4。上，由2。=知。在以。为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得

PM+P。的最小值.

【详解】

H

如图，分别取G，，2A，AA的中点〃,/,J,连接GH,m易证及工共面，即平面ERG为截面

EFGHIJ,连接A2，，C,AC,由中位线定理可得AC//石尸，AC<Z平面MG,EFu平面EFG,则AC//平

面跳G,同理可得//平面ERG,由ACIAD】=A可得平面ARC//平面EFG,又D〔P//平面EFG,尸在

平面ABC。上，...PeAC.

正方体中。。，平面ABC。，从而有。:.DQNDiQ2-DD：=1,二。在以。为圆心1为半径的四

分之一圆(圆在正方形A3CD内的部分)上，

显然M关于直线AC的对称点为E,

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=54?+2?—1=2—1，当且仅当EP,Q,。共线时取等号，

二所求最小值为2不-1.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出。点

轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值.

8、B

【解析】

由值域为［-5,3］确定的值，得g(x)=-5-cos4x,利用对称中心列方程求解即可

【详解】

因为/(x)eg,2a+b］,又依题意知/(x)的值域为［—5,3］,所以2。+5=3得。=4,b=-5,

jTKTCTC

所以g(x)=-5-cos4x,令4x=k〃+—(AeZ),得工=—+—(keZ),则g(无)的图象的对称中心为

248

件+"5卜eZ).

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0

9、D

【解析】

由几何概型可知，概率应为非小正方形面积与窗花面积的比，即可求解.

【详解】

由题,窗花的面积为12?—4x1=140,其中小正方形的面积为5x4=20,

b,In140—206

所以所求概率P=———=~,

故选:D

【点睛】

本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.

10、B

【解析】

利用三角函数的性质，逐个判断即可求出.

【详解】

①因为/(无)=/(%+〃)，所以乃是/Xx)的一个周期，①正确；

②因为/(»)=2,曰卜曰＜2,所以/(X)在牛，年上不单调递增，②错误；

71

③因为/(—X)=/(%),所以/(X)是偶函数，又乃是了(X)的一个周期，所以可以只考虑xe0,-时，/(尤)的值域.当

xe0弓时，r=cosxe[0,1],

f(x)=|cosx|+cos12x|=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-l=2t2+t-l

丁=2/+”1在[0』上单调递增，所以/(%)«—1,2],7W的值域为[—1,2],③错误；

综上，正确的个数只有一个，故选B.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质应用.

11、D

【解析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】

由绘制出的折线图知：

在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；

在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；

在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确;

在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.

12、A

【解析】

Q—cosoc

设｛=>asine+Z?cose=sinecosa+cos6sina=sin(e+a)<l成立；反之，=0满足

b=sina

Qsin9+Z?cose<l,但〃2+/wi,故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、16

【解析】

要得到x3/的系数，只要求出二项式(x+2y)4中x2/的系数减去的系数的2倍即可

【详解】

x3y2的系数为Cjx22Vx2=16.

故答案为：16

【点睛】

此题考查二项式的系数，属于基础题.

14、V2-1

【解析】

运用等比数列的通项公式，即可解得〃1.

【详解】

6+“5=4[。5(1+9)=4

%%—％—%=]%(1+q)—(1+q)=1

二.%x-----4x—=1,:q=4(%-q),:.q，—4d+4=0,

?.(q2-2)2=0,/.q2—2,:.q=舵,=4,

/.a"+a"=4,(^2+1)4=1,

故答案为：V2-1.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题.

15、2.

【解析】

2

由双曲线炉-齐=1（6〉0）的一条渐近线为y=2x,解得求出双曲线的右焦点（c,0）,利用点到直线的距离公式

求解即可.

【详解】

.2h

双曲线2=13〉0）的一条渐近线为y=2x-.-=2

解得：b=2.-.C=71+22=A/5

二双曲线的右焦点为（6,0）

二焦点到这条渐近线的距离为：-^==2

本题正确结果：2

【点睛】

本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题.

16、叵

7

【解析】

UUUUUUL

根据条件及向量数量积运算求得AB-AC,连接4%AV,由三角形中线的性质表示出AM,AN.根据向量的线性运算及

数量积公式表示出MN?，结合二次函数性质即可求得最小值•

【详解】

根据题意，连接,如下图所示:

在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC=I,NA=I20。

则由向量数量积运算可知AB-AC=|AB|-|AC|cosA=lxlxcosl20=-1

线段EF、5c的中点分别为“、N则

AM=1（AE+AF）=1（2AJB+//AC）

AiV=1（AB+AC）

由向量减法的线性运算可得MN=AN—AM1白卜5+

~12

所以MN?=+

AC2+2xf1-1-2W|-1^jxAB-AC

2

因为彳+4〃=1,代入化简可得感2=义2_g_L=4

4244

因为4〃«0,1）

191

所以当〃=亍时，MN取得最小值,

因而=.=当

故答案为：叵

1

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法，二次函数最值的应用,属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系.见解析(2)分布列见解析，期望为1.

【解析】

(1)由在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58可得列联表，然后计算Kz后可得结论；

(2)由已知X的取值分别为0』,2,3,分别计算概率得分布列，由公式计算出期望.

【详解】

解：(1)根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，到分类意识强的概率为058,可得分类意识强的有29户，故可得2x2

列联表如下:

分类意识强分类意识弱合计

试点后20525

试点前91625

合计292150

因为右的观测值」景设设、端。9.93427.879,

所以有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系.

(2)现在从试点前分类意识强的9户居民中，选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12

年以上的户数为X,则X=0,1,2,3,

C35C2cl15

故~乂=0)=谓=一，P(X=l)=^/=—

Cl21Cf28

C*C23C31

P(X=2)=」/=一,P(X=3)=V=—,

C；14C；84

则X的分布列为

X0123

51531

P

21281484

E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=1.

21281484

【点睛】

本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望.考查学生的数据处理能力和运算求解能力.

丫2兀

18、(1)—+/=1,y=x+2,直线/的倾斜角为一

6-4

力3A/30

5

【解析】

X=OCOS0

(1)由公式Sil?。+COS20=1消去参数得普通方程，由公式,八可得直角坐标方程后可得倾斜角;

y=夕sin”

(2)求出直线/与V轴交点Q,用参数表示4点坐标，求出|M2|,利用三角函数的性质可得最大值.

【详解】

(1)由1x=J^cosa,,消去e得。的普通方程是：^l+y2=i

y=sina,6

由夕sin[e-(]=0,得夕sin6—夕cosO=2,

x二夕cos。

将”.八代入上式，化简得丁=%+2

y二夕sin”

71

直线/的倾斜角为了

(2)在曲线。上任取一点“(&85。,5亩。)，

直线/与y轴的交点。的坐标为(o,2)

cos(z—0)+(2-sina)2=J-5sin?a-4sina+10

当且仅当sina=-：时，|MQ|取最大值£10.

35

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题.求两点间距离的最值时,

用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题.

19、（1）曲线C的直角坐标方程为炉=。7（。>0）,直线/的普通方程为x+y—1=0；（2）a=l

【解析】

⑴由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;

（2）把/的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得％+%=4啦+啦区=8+2”，可得到

1MM=卜]—寸,|加|=浦两|=/2,根据因为|加|，|MN|，|小|成等比数列，列出方程，即可求解.

【详解】

（1）由题意，曲线C的极坐标方程可化为22cos28=。2sin。,（。>0）,

又由〈.C，可得曲线。的直角坐标方程为尤=欧（。>0），

y二夕sin”

x-2-----1

2

由直线/的参数方程为la为参数），消去参数乙得x+y-i=o,

「1+咚

r2

即直线I的普通方程为x+y-l=0.

[,6t

x=2-----1

⑵把/的参数方程2代入抛物线方程中，得/-（40+0a）/+（8+2a）=0,

y=-l+—t

[2

由A=2/+8a>0，设方程的两根分别为6,t2,

则Zj+/2=4,\/2+\f2,ci>0>/J?=8+2a>0,可得4>0,,与>。.

所以=胃，归时=1

因为归|PN|成等比数列，所以&_72）2=邛2,即&+弓）2=5串2，

贝“4^历+=5（8+2a）,解得解得a=l或a=—4（舍），

所以实数4=1.

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答

中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础

题.

20、(1)0.8185(2)详见解析

【解析】

（1）由题意，根据平均数公式求得〃=66.2,再根据b=J丽标14,参照数据求解.

（2）由题意得P（Z<〃）=P（Z之〃）=g,获赠话费X的可能取值为20,40,50,70,100,求得相应的概率，列出分布

列求期望.

【详解】

35x2+45x12+55x20+65x25+75x24+85x13+95x14…

（1）由题意得------------------------------------------------------------------------=66.2

100

二.〃=66.2

cr=7198^14

P(66.2-14<Z<66.2+14)=P(52.2<Z<80.2)=0.6826

P(66.2-2xl4<Z<52.2)=|[P(38.2<Z<94.2)—P(52.2<Z<80.2)]=0.1359

综上，P(38.2<Z<80.2)=P(38.2<Z<52.2)+P(52.2<Z<80.2)=0.1359+0.6826=0.8185

(2)由题意得P(Z<〃)=P(Z»〃)=g,获赠话费X的可能取值为20,40,50,70,100

133133Q

P(X=20)=—义一=—,=40)=—x—x—=—

'7248'724432

1311133

24424416

P(X=100)=-x-x-=—

'724432

X的分布列为：

X20405070100

39131

P

83281632

.-.£X=20x-+40x—+50x-+70x—+100x—=—

832816324

【点睛】

本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21、(1)m(t)=<…，(2)a<2V2-2.(3)

1,O<?<1

【解析】

(1)是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进

行求解.

(2)注意到函数/z(x)的图像上任意不同两点A,3连线的斜率总大于1,等价于MX2)Vxi—X2(X1〈X2)恒成立，

从而构造函数尸(x)=/r(x)—x在(0,+oo)上单调递增，进而等价于〃㈤项在(0,+oo)上恒成立来加以研究.

(3)用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得至Uae—mx,再利用导数求