2024年上海高考数学讲练 导数的应用（讲义）含详解

专题2-3导数的应用

-------------------------1

--------------------内容概览，

01专题网络•思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02考情分析•解密高考

03高频考点•以考定法（五大命题方向+6道高考预测试卷，高考必考-（5-18）分）

考点一极限及其运算

>命题点极限的求法

>高考猜题

考点二导数的应用

>命题点利用导数研究函数最值

>高考猜题

04仓U新好题•分层训练（★精选22道最新名校模拟试卷+12道易错提升）

0>>专题网络•思维脑图•

导数的概念导数在研究函

导数的运算

及其意义数中的应用

瞬

平

时

均

■

速

速

导

导

导

导

简

基

最

函

函

度

度

数

致

单

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数

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数

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大

公

的

复

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抽象(的

式

几

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概

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四

小

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切

何

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斜

斜

义

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算

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率

导

法

W致

函》考情分析•解密高考•

真题多维细目表

考点考向考题

极限及其运算极限的求法2022上海春考第12题

导数的应用利用导数研究函数最值2023上海春考第21题

2022上海自主招生

曲》高频考点•以考定点

考点一极限及其运算

►►高考解密<<

命题点极限的求法

典伊101(2022•上海)已知函数y=/(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xe(0,1］时,

f(x)=lnx,若将方程/(%)=%+1的正实数根从小到大依次记为玉，x,x,...»%,则lim(x“+］-怎)=.

23〃一>6

【分析】f(x)是周期为4的周期函数，作出图像，lim(x,用-x“)的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出

结果.

【解答】解：,函数y=/(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xe(0,1］时，/(x)=/nx,

将方程/(x)=x+l的正实数根从小到大依次记为％,x2,%，

则-玉)的几何意义是两条渐近线之间的距离2,

/J—>00

lim(x“+|-怎)=2.

/1->00

故答案为：2.

【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

考点二导数的应用

►►高考解密《

命题点利用导数研究函数最值

典例01(2022•上海自主招生)/(x)=Inx-mx2+(1-2m)x+1,对Vx>0,/(x)„0,求整数机的最小值.

【分析】结合函数解析式的特征分别考查m=0和相=1两种情况即可求得整数〃，的最小值.

【解答】解：当m=O时，f(x)=lnx+x+\,此时/(1)>0不合题意，

当机=1时，/(X)=bvc-X2-X4-1,

(x+1)(2元—1)

一x

当0<x<；时，f'(x)>0,/(x)单调递增，

当时，f\x)<0,f(x)单调递减，

函数的最大值为/(—)=In—----+1=bi\[e—ln\[\6<0>

2242

即m=l满足题意,

下面证明当ZM..1时，/(X),,0对x>0恒成立,

由于f(X),,(x-1)_mx2+(1-2m)x+1--mx2+(1-2m)x,

其对称轴为x=-~――=——1<0,

2m2m

故当x>0时，/(x)<0,

综上可得，整数，"的最小值为1.

【点评】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与函数的最值等知识，属于中

等题.

典例02(2023•上海)已知函数/(x)=ax'-(“+1)/+x,g(x)=fcr+〃？(其中〃..()，k,,若任意xe[0,

I]均有f(x),,g(x),则称函数y=g(x)是函数y=/(x)的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=g(x)在x处取

得的最小值记为](x).

(1)若a=2,g(x)=x,试判断函数y=g(x)是否为函数y=/(x)的“控制函数”，并说明理由；

⑵若〃=0,曲线y=/(X)在x=1处的切线为直线y=〃(x),证明：函数y=九&)为函数y=f(x)的“控制函数”，

4

并求了([)的值；

(3)若曲线y=/(x)在x=x(),〜)£(0,1)处的切线过点(1,0),且。1],证明：当且仅当c=x()或c=l时，f

(c)=f(c).

【分析】(1)iSh(x)-/(x)-g(x)=2x3-3x2,h\x)=6x2-6x-6x(x-1),当xe[O,1]时，易知〃(x)=6x(x-1),,0,

即〃(x)单调减，求得最值即可判断；

(2)根据题意得到“戏,以彳),即y=/z(x)为函数y=f(x)的“控制函数”，代入即可求解；

(3)f(x)=axi-(a+l)x2+x,f\x)=3ax2-2(a+l)x+\,y=/(x)在e(O,l))处的切线为f(x),求导整理

得到函数f(x)必是函数y=.f(x)的“控制函数"，又此时”控制函数"g(x)必与y=/(x)相切于x点，/(》)与>>=f{x}

在x处相切，且过点(1,0),在(‘■,1)之间的点不可能使得y=/(x)在切线下方，所以/(c)=/(c)=>c='-=X。

2a2a2a

或c=l,即可得证.

【解答】解：(1)f(x)=2x3-3x2+x,设Zz(x)=,f(x)-g(x)=2/-3x2,

h\x)=6x2-6x=6x(x-1),当xe[0,1]时，易知”(x)=6x(x-1),,0,即单调减,

h(x)1mx=〃(0)=0,即/(x)-g(x)劾I)=>f(x)g(x),

g(x)是/(x)的“控制函数”；

(2)/(犬)=-/+xJ(；)=KJ，(x)=-2x+l/(；)=g,

/z(x)=_(x—)H---=_xH,f(x)_/?(x)=­x^H—x----=_(x—0,

24162162164

〃(x),即y=h(x)为函数y=f(x)的“控制函数"，

又心=^=看且g(f••心=2冲=微；

证明：(3)f(x)=ax'-(tz+l)x2+x,ff(x)=3ax2-2(a+l)x+1,

y=f(x)在%=%(*0£(0,1))处的切线为，(=,

，(x)=r(Xo)(x-%))+/(公)，心())=/Oo)，，(1)=0=>/(1)=0，

2

/'(%)=30ro2_2(a+l)x0+1=>1(％)(1-/)=/(I)-f(xQ)=(l-x0)[a(l+x0+x0)-(a+1)(1+x0)+l]

°-5111

3CLXQ_2(〃+l)x()+1=—XQ—1)(_1)=0,/w1=>a=---G(—,+oo)x。=—

2x022a

,1911

f(N))=3时)—2(a+l)x+1=3(7(—)—2(a+1)(—)+1=——，

02a2a4〃

/(x)=«(—)3-(a+1)(—)2+—=,

°02a2a2aSa2

f(x)=7'(%)(x-X。)+/(将)=一;(x—=r(x)=—：(x-1),

4a2a8a“4a

f(x)=x(x-l)(ox-l晾i}(x)=o¥2-x+—0,(x———)2?0恒成立，

4。2a

函数f(x)必是函数丁=/(x)的“控制函数”，

Vg(x)=kx+=^>Vf(x)f(x),『(x)=/(x),xw(0,l)是函数y=/(x)的“控制函数”,

此时“控制函数“g(x)必与y=/(x)相切于X点，［*)与丁=/(%)在工=二处相切，且过点(1,0),

2a

在(―,1)之间的点不可能使得y=/(x)在切线的下方，所以/(c)=/(c)=>c=」-=/或c=l,

2a2a

所以曲线y=/(x)在“=玉)(/£(0』))处的切线过点(1,0)，且，£［%，1］，

当且仅当c=/或c=1时，7(c)=/(c).

【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题.

0)》创新好题•分层训练・(★精选22道最新名校模拟考试卷+12道易错提升)

A•新题速递

一、单选题

1.(2023•上海松江•校考模拟预测)设。、b、c、JeR,若函数y=奴3+旅2+CX+”的部分图像如图所示，则下列结

论正确的是()

A."0,c>()B.b>0,c<()

C.b<0,c>0D.b<0,c<0

【答案】D

【分析】由函数的单调性和极值点，判断导函数的图象特征，即可判断选项.

【详解】y'=3ax2+2hx+c,由图象可知，函数有两个极值点，并且函数是先增后减再增，所以极大值点大于极小

值点，所以导函数的图象如图所示,

由导函数的图象可知，a>0,r(0)=c<0,并且极值点的和=>0,

3a

得b<().

故选：D

2.(2023•上海普陀・上海市宜川中学校考模拟预测)如果函数y=/(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这

两点处的切线互相垂直，则称y=/(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()

A.y=cosxB.y=lnx

C.y=e"D.y=x3

【答案】A

【分析】根据丫=/(力具有T性质的含义，可得存在芭丹，使得r(x>r(w)=T,由此一一求得各选项中函数的

导数，判断其是否满足该性质，即得答案.

【详解】由题意知具有T性质，即存在不外，使得尸(芭)/。2)=-1；

ITTT.7r

对于A,/=-sinx,存在芭=5，々=-5，使得r(x，/a)=(-sin5)[-sin(-5)]=-l,A正确；

对于B,y=定义域为(0,+<»),=->0,

X

故不存在牛马,使得[(再)•尸(々)=T，B错误;

对于C,y'=e'>0,故不存在冷电,使得/'(七)"'(七)=-1,C错误；

对于D,y=3x2>0,故不存在片,再，使得r(xjr(w)=T,D错误;

故选：A

3.(2023・上海闵行•统考一模)已知函数y=/(x)的导函数为y=f'(x)，xeR,且y=/'(x)在R上为严格增函

数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是()

①“%>々”是“〃5+1)+〃/)>/(与)+/(々+1)”的充要条件；

②“对任意x<0都有/(x)<“0)”是“y="X)在R上为严格增函数”的充要条件.

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

【答案】C

【分析】对于①，构造函数g(x)=/(x+D-/(x),结合题设,判断“西>々”和

“/(内+1)+〃W)>/&)+/(%+1)”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要

性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假.

【详解】对于①：

设g(x)=f(x+D-f(x),xeR,则g'(x)=/'(x+lf(x),

因为y=r(x)在R上为严格增函数，故/(%+1)>/(X),

即g'(x)=f\x+1)-r(力>0,则g(x)=/(x+1)-f(x)在R上单调递增，

由于XI>%2，故g(X1)>g(%),即/(与+1)-/。

即/(再+1)+/(巧)>/(百)+〃W+1);

当〃5+1)+/(々)>/(5)++1)成立时，即〃5+1)-/(再)>〃々+1)-/(马),

由于g(x)=/(X+1)-f(x)在R上单调递增，故占>々，

故“X,>々”是“/a+1)+/优)>/a)+/5+1)”的充要条件，①为真命题；

对于②，当y=f(x)在R上为严格增函数时，由对任意X<o,则都有/(x)</(())成立；

当对任意x<0都有/(x)</(o)时-，假设y=/(x)在R上不为严格增函数，

即/'(X)不恒大于等于0，即加，使得/'(。)<0,

由于y=r(x)在R上为严格增函数，故X€(YOM］时，r(x)<o,

此时/(X)在(F,网上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，

故当x趋近于负无穷时，〃x)的值将趋近于正无穷大，

这与对任意x<0都有/(x)</(O)矛盾，

则假设不成立，即“y=f(力在R上为严格增函数”成立，

即“对任意x<0都有f(x)</(0)”是“y="X)在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题,

故选：C

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分

性成立.

4.(2023・上海虹口•上海市复兴高级中学校考模拟预测)已知/(x)=sinx+lnx,将y=/(x)的所有极值点按照由

小到大的顺序排列，得到数列｛七｝,对于正整数〃，甲<X<〃n；乙:，%一(2〃”,为严格减数列，

则().

A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误

C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误

【答案】A

【分析】将函数的极值点转化为两个函数图像的交点的横坐标，由图象判断命题甲，结合函数图像利用极限思想

判断命题乙.

【详解】函数〃x)=sinx+lnx的定义域为(0,转)，导函数f'(x)=cosx+：(x>0),

令/'(x)=0，得cosx=-L

x

所以函数〃x)的极值点为函数y=cosx(x>0)与函数y=—(x>0)的图象的交点的横坐标，

在同一平面直角坐标系中，分别画出函数y=cosx(x>0)与函数y=-jx>0)的图象，

如图所示，由图可知，在区间(("-1)兀，〃兀内，函数函数y=cosx(x>0)与函数y=-*x>0)的图象，有且

仅有1个交点，且(〃-1"<当<〃"，

所以命题甲正确；

因为x“+i>x”>0,函数)，=-1(x>0)为增函数，

所以一--<———<0=cos^^——(neN*),

XnXn+\2

所以随着〃的增大，%与(2"7”越来越接近,距离越来越小，

2

所以数列卜一.为递减数列,命题乙正确.

【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有极值点的定义，余弦函数的图象，反比例函数的图象，利用图象研究

方程的根等，考查数形结合，极限等数学思想，属于综合题.

5.(2023•上海崇明•统考一模)若存在实数对任意实数xe[0,l],使得不等式犬-，”W奴+8忘丁+川恒成立,

则实数力的取值范围是()

A「61R6+

A.—,+8B.9，+°°C.包+8D.--,+00

32

【答案】A

【分析】不等式X3-/M4G+64/+机等价于卜丁+奴+闻士"，原命题等价于存在实数。，b,对任意实数

xe[0,l]不等式卜丁+奴+6卜〃?恒成立，等价于存在实数a,h,不等式上^+依+目皿金筌成立，分别讨论

a<0,0<a<l,l<a<3,aN3的情况，先求出卜丁+奴+.心，再求出Q-x，+办+)

Imax/min即可解决问题.

(详解]不等式r1-m<ax+b<jc'+m等价于-m<一丁+以+6W即|-x3+ox+/?|<m,

原命题等价于存在实数0，b,对任意实数xe［0,l］不等式卜1+改+6上加恒成立,

等价于存在实数a,b,不等式卜丁+奴+可皿4机成立,

i己/(x)=-x3+ax+b,贝ijf\x)=-3x2+a,

(1)当“40时，对任意xe［04J,.f'(x)40恒成立，即/")在［0,1］上单调递减a+

①当a+)—l+6N0,即62詈时，四=b,

②当a+b-l+6<0,即一时，|/(x)L=-a-6+l,

.、\—a

i,bN------

b2

从而当时，g(b)=

-a-b+\b<，

1—a子,用)上单调递增,

则g3)在(V,三)上单调递减，在

所以gS)min=8(一)=一之J；

a

(2)当0<。<3时，令/'(x)=0,解得x=

3

/(x)在区间0,后

上单调递增，在1上单调递减,

2a

f(0)=h,4+6,,fW=a+b-l,

T

①当0<a<l时a+〃一lWb,此时〃+人一14/1)4彳/；+6,

a)^a+b-\+—]-+b<O^b<---a--与时“(x)L=e"l，

3V3223

与时，依我「和

13)^a+b-\+—A-+b>Q^b>---a--

33223

・c11aa

-2a-b+Sh<———a——

r-2233

从而当0<aVl时，gS)=,2ala.

—J—+b11aa

3V3,6>--a—

233

〜li11a

则gS)在区间上单调递减,在区间,一5。Ut，+8上单调递增,

卜j33

11a1aafa

所以gSLn=g------a——+

2262-23\3

令r=g则o<dg,g3)记〃⑺=1->+-'

322

当［啕

时，〃’（力<0恒成立,

即的）在区间上单调递减，即刀⑺mi

9

即gS)min2/;

②当l<a<3时a+6—l>b,此时。

+—J—+/?<0与时,，（x）L="，

3V33

夕）当匕+1假+b*0即6之-［、g时,|/（x）|

+b，

3

,a

,h<——

3

从而当1VQV3时，g（b）=<2ala,

—A-+Z?

33

与a咨）上单调递减，在区间

则gS）在区间-00,一,+8上单调递增,

（3）当。23时，对任意力£。1］,/'（X）之。恒成立,即/⑺在［0J上单调递增,

b<f(x)<a+b-1

①当。+6—1+人之0,即62二时，|/（x）|皿=。+〃一1,

OI■IlklA

②当a+b—l+6<0,即匕〈号时，|/（x）L=—A,

2〃+力一8'"一〒

从而当时，gS）=

-b,\-a

,J

则gs）在（F，r）上单调递减，在千,茁］上单调递增，

2L2）

1—aa—1

所以

综上所述，g3）min=卷，

所以机23.

9

故选：A

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:

一般地,已知函数y=f(x),xw[a,b],y=g(x),xw[c,d]

(1)若％e[a,可，也小,典，总有〃%.)<8(%2)成立，故/(5)1rax<8(々"„；

⑵若依平,句,3x,e[c,J],有/&)<g(W成立,故/(X)3<g(W)1mx；

⑶若当平,可,上24G4，有〃xj<g(w)成立,故"X)1n^<8(毛)1rt

(4)若％e[a,可,训e[c,d],有fG)=g(动,则〃x)的值域是g(x)值域的子集.

二、填空题

6.(2022•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)已知边长为1的正三角形48c的边8c上有2%(meN*)个

点片.2，…使得幽=明==弭\==P2,„C(jleN*,\<k<2m-\).510HmAP„,-AP2m=.

3

【答案】-/0.75

4

【分析】建立坐标系，利用向量的坐标运算求解ABjAg,,,然后再求极限.

【详解】设BC边的中点为M,以MC为X轴正方向，MA为y轴正方向建立平面直角坐标系.

则兄的坐标为(盛一；'°).故A《”=(崇、％”=(奈

4l•V(m1Y2w1A3133

得ahmAP-AF\=lim----------------+—=Ox—+—=—,

】寸，…站田ni卅”12m+12人2机+12)4244

3

故答案为：:.

4

7.(2023・上海嘉定・上海市嘉定区第一中学校考三模)设函数y=〃x),xeR的导函数是尸(x),

/(-x)+/(x)=x2,当x>0时，/'(x)>x,那么关于。的不等式“2—a)-〃a)Z2—2a的解是.

【答案】a<\

【分析】构造尸(x)=/(x)-gx2,则原不等式可转化为F(2i)2F(a),利用E(x)的奇偶性和单调性求解即可.

【详解】构造尸(x)=/(x)-gd,则F(r)=〃-x)-gx2,其定义域为R,

因为尸(x)+尸(―x)=〃x)+〃r)—X=O,所以尸(x)是奇函数，

又因为当x>0时，F\x)=f\x)-x>0,所以结合尸(x)是奇函数可知F(x)在R上单调递增，

原不等式/(2-4)一/(4)22-2。可转化为〃2-4)一；(2-“)22〃4)-3/,即-2—a)wF(a),

所以2-aNa,解得aSl,

故答案为：ci<1

8.(2023•上海杨浦•复旦附中校考模拟预测)若实数。使得存在两两不同的实数x、y、z,有

==则实数。的取值范围是_______.

y+zz+xx+y

【答案】(一2,0)=(0,2)

【分析】构造函数，利用导函数得到〃=/一3/=，"的三个互不相同的根，we(-2,2),且有

W=(r-x)(Z-y)(r-z)=O,进而得到x+y+z=O,化简可得-ae(-2,2)时有三个不同的根，进而得出结果.

*+a=-3z-3x

所以J-3x=y3-3y,

同理可得x3-3x=y3-3y=z3-3z,

构造函数"=/-3r,

令x，y，z为“=——3r=机的三个互不相同的根，

则〃'=3/一3,令"'=0,f=±l,

所以时，〃'<0,"单调递减，

/€(—℃,—1)(1,+00)时,u'>0>"单调递增,

且t=l时，u=—2,/=—1时，u=2,

所以为使“=/-3/1=机的三个互不相同的根，

则me(-2,2),且有”=(r-x)(f-y)(f-z)=O,

得到x+y+z=0,

ra-ix-TZHd+ay3+az3+a

原式可得：-----=J-----=-----=-3,

-x-y-z

,,x3+ay3+az3+a.

化简得：-----=-——=-----=3,

xyz

取j?+a=3x,得到—4=丁_3x,

解得-a«-2,2)时有三个不同的根，

又因为无W0,所以。«-2,0)U(0,2).

故答案为：(一2,0)口(0,2)

【点睛】关键点睛：本题考查方程与函数的思想，构造函数，利用导函数求出值域，注意转化思想的应用，属于

中档题.

9.(2023•上海普陀•上海市宜川中学校考模拟预测)函数y=sin2x+2sinx的最大值为.

【答案】史之下>

22

【分析】首先求得设cosx=,曰-1川，加)=4/+2-2,得出y的单调区间,即可得出最大值.

【详解】y'=2cos2x+2cosx=2(2cos2x-l)+2cosx=4cos2x+2cosx-2,

^cosx=/e[-l,l],/«)=4产+2f—2,

令/⑺=0,得f=!或r=—l,

2

所以当fe(—1,1)时，/⑺<°，

即在(一万+2br,-g+2br)和(三+2a,万+2也)(％eZ)上>单调递减，

当fegl)时，/⑺>0,

即在(-&+2版，工+2版)(无eZ)上，y单调递增，

33

又因为/(f+2反)=0,/(5+2版)=孚，

所以y的最大值为主8,

2

故答案为：—.

2

fxe'_1+l,x>0

10.(2023・上海虹口•华东师范大学第一附属中学校考三模)已知函数/(乃=〈,~~-点仞、N是函数/(x)图

[\ll+x2,x<0

象上不同的两个点，则tanNMON(。为坐标原点)的取值范围是.

【答案】(0,3)

【分析】根据给定的条件，求出过原点与曲线y=f(x)，x20相切的切线斜率，曲线y=/(x),x<()的渐近线，再确

定NMON的范围，进而求出tanNMON的范围作答.

【详解】当xNO时,/(x)=xet-I+l,求导得1(x)=(x+l)ei>0,即函数/*)在[0,+8)上单调递增，

当x<0时，由丫=，1+/,得y2-x2=l(x<0,y>l),于是函数y=/(x),x<0的图

象是焦点在y轴上的双曲线在第二象限的部分，y=-彳是其渐近线，如图，

B与7+1

令过原点的直线与曲线y=/(x),xN0相切的切点为“。/卢51+1),则(々+l)e&T=空x——

整理得片e'L=l,令g(x)=x%i,x>0,g'(x)=(x2+〃)e*T>0,函数g(x)在(0,+s)上单调递增,

而g⑴=1,因此当且仅当X=1时，g(x)=l,贝|片651=1(/20)的解为$=1,

即过原点的直线与曲线y=/(x),xNO相切的切点为(1,2),切线方程为y=2x,设其倾斜角为a,有tana=2,

因为点M、N是函数/(x)图象上不同的两个点，则。vNMONv：—a<—,

42

而正切函数>=tanx在(0止)上单调递增，Hitt0<tan/MON<tan(-—a),

24

3兀

atan----tana

一尸兀、4

又tan(---a)=----=4---------------=3,

413兀l+(-l)x2

1+tan——tana

4

所以tan4MoN的取值范围是(0,3).

故答案为：(0,3)

S

11.(2023•上海黄浦・格致中学校考三模)已知正项数列｛4｝的前〃项和为S.，若2a,,S“=l+d，d=logz等,

数列也,｝的前〃项和为Z,,则下列结论正确的是.

①〃“<八;②同｝是等差数列：③S“4eG；④满足423的”的最小正整数为1().

【答案】②③④

【分析】对于②，根据应与5“的关系得出｛S；｝是等差数列；对于①，由S“求出4,再比较大小进行判断；对于

③，令/(x)=e*-x-l(xNO),通过导数证明e**x+l在xe[0,+<»)上恒成立，令彳=«-1("21,neN*);再

证得不等式成立；对于④，利用裂项相消法求出，，再求出北23的〃的最小正整数.

【详解】对于②，因为2a£=1+片，当〃=1时，2“5=l+a；,解得£=1,

当〃22时，a——所以2(S“-S“T)S“=1+(S,,-S,Z)2,整理得5；-51=1,

所以数列｛S；｝是首项为S：=1,公差为1的等差数列，故②正确.

对于①，5>l+(n-l)xl=n,又正项数列｛q｝的前n项和为S"，所以S”=薪，

当”=1时，SI=l,当”2:2时，a„=S„-5„.|,即%=G7n-l，

又当〃=1时，满足=&7颐-1,所以a”=G7n-l=为+丁=^,

又a“+i=>/n+1--fn=尸，因为J”+l+&，

+1

所以\jn+1+~4n<\[n+'即"〃+i<’故①不正确;

对于③，令f(x)=e*-工一1(x20),fXx)=ex-\,当xNO时，e"-lNO恒成立，

所以在区间0+8)上单调递增，所以/。)之区0)=0,B[Jex-x-l>0(x>0),

所以e'2x+1在x£[0,+oo)上恒成立，

令x=G-1(心1，nGN"),所以又S〃:=指，故S“WeG,故③正确；

对于④，因为S〃=\/^,所以S〃+2=J〃+2,

所以a=log?卓=log?=log/"2Y=_Llog,"2=；[log2("+2)-log?〃],

S〃\lnyn)2n2

所以<=优+a+a++%+2

=g[log?3-log,1+log24-log22+log,5-log,3++log2(72+l)-Iog,(n-l)+log2(?z+2)-log,n\

=g[-1+log2(n+l)+log?(〃+2)]=J[-1+log,(n+l)(n+2)],

因为1,23,即/[—1+logz("+1)(〃+2)]23,化简整理得〃2+3〃—12620，

显然数歹|」｛1+3“-126｝递增，当“=9时，92+3X9-126=-18<0:

当”=10时，1()2+3X10-126=4>0，所以满足123的”的最小正整数为10,故④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】给出S”与%的递推关系，求应,常用思路是：一是利用a,,=S“-S,i转化为%的递推关系，再求其通项

公式；二是转化为S”的递推关系，先求出S”与"之间的关系，再求

三、解答题

12.（2023・上海杨浦・复旦附中校考模拟预测）某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发

费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现