高等数学(同济)下册期末考试题及答案(共5套)

高等数学(下册)考试试卷(一)

一、填空题(每小题3分，共计24分)

1、z=Jlog(%2+y2)(a〉0)的定义域为D=_________。

va

2、二重积分"ln(%2+y2)dxdy的符号为。

3、由曲线y=Inx及直线x+y=e+1,y=1所围图形的面积用二重积分表示为,其值

为o

4、设曲线L的参数方程表示为("=叭"(01<》<0),则弧长元素心=o

5、设曲面£为'2+》2=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则

JI(X2+>2+V)ds=O

6、微分方程无=)+tan』的通解为。

dxxx

7、方程y(4)—4y=0的通解为o

8、级数分的和为________________o

n(n+1)

n=l

二、选择题(每小题2分，共计16分)

1、二元函数z=/(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是()

00

(A)/(x,y)在(x,y)处连续；

oo

(B)f'(x,y),尸(x,y)在(x,y)的某邻域内存在；

xyoo

(C)Az-尸(x,y)Ax—/'(x,y)Ay当J(Ax”+(Ay”-0时,是无穷小；

x00y00v-

垃—f'(x,y)Ax-/,(x,y)Ay

(D)lim--------?QMo_Q--------=0°

oJ(Ax)2+(Ay)2

2、设"=+(3+货(马,其中/具有二阶连续导数，则+等于()

yx3x2Qyi

(A)x+y；(B)x；(C)>；(D)0°

3、设Q:%2+y2+z2KLz20,则三重积分/=J"zdV等于()

Q

1/17

(A)J:do'dqJ

卜3sin(pcos<p(ir；(B)力sincpdr；

000000

271

f6?0f2d<pJ

(C)"3sincpcoscpdr(D)WdoJ2/r3sin(pcos(p<7r。

000000

4、球面犬2+y2+Z2=4Q2与柱面％2+y2=所围成的立体体积V=()

2flCOS0

(A)4JIdOJJ4a2-r2dr；(B)4/2d。J2acos0r<4^2-r2dr；

0000

(C)81；d。J2ocos674a2—rzdr；(D)f26/of2acosGr^ai-ndr。

00一孤o

2

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,y),0(x,y)在D上具有一阶

连续偏导数，则kPdx+。6=(

L

(A)ff(---Wy；(B)JJ(丝—")dxdy；

dydxdydx

D

(D)Wi^-^dxdyo

(C)

dxdy

D

6、下列说法中错误的是()

(A)方程盯防+2y"+%2y=0是三阶微分方程；

(B)方程+=ysinx是一阶微分方程；

dxdx

(C)方程(12+2盯3)dx+(y2+3%2y2)dy=0是全微分方程；

(D)方程包+1%=宜是伯努利方程。

dx2x

7、已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x+y+6=0平行，而y(x)满足微分

方程y"—2y'+5y=0,则曲线的方程为了=()

(A)-exsin2x；(B)e%(sin2%—cos2%)；

(C)ex(cos2x-sinlx)；(D)exsin2xo

8、设lim〃况=0,贝！()

n—>co

n=l

2/17

（A）收敛；（B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）设7,g均为连续可微函数。u=f（x,xy）,v=g（x+xy）,

r.dudu

不_,_°

dxdy

2、(8分)设〃(％/)=，求坐,2。

Idxdt

四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算/=j2g_y2dy。（7分）

0%

2、计算/=川（X2+y2）dV,其中。是由x2+y2=2z,z=l及z=2所围成的空间闭区域（8分）

Q

3/17

五、（13分）计算/=6砂二沙，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点

L+X2+y2

。（0,0）的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意x,y,/（x）满足方程/（x+y）=5±^M,且尸（0）存在，求了⑴。

七、（8分）求级数--下y的收敛区间。

n=l

高等数学（下册）考试试卷（二）

C^7

1、设2sin(x+2y—3z)=X+2y—3z,贝+—

dxdy

3-J9+xy

2、lim

x—>0移

yf0

设/=「公卜〃工,历办，交换积分次序后，I=

3、

0

4/17

4^设，(M)为可微函数，且/(0)=0,则lim一—11f(Jx2+y2)do=

z-»0+兀t3

X2+y2<t2

5、设L为取正向的圆周％2+y2=4,则曲线积分

B+l)dx+(2ye%=

L

6、设A=(%2+yz)7+(y2+xz)]+(z2+xy)2,贝1」力丫4=

7、通解为y=ce*+ce-2x的微分方程是。

12

8^设/(x)=1—1'-71<X<0,则它的Fourier展开式中的。=

1,0<x(兀"

二、选择题(每小题2分，共计16分)。

、——----,X2+y2WO

1、设函数/(x,y)=<%2+犷，则在点(0,0)处()

0,X2+y2=0

(A)连续且偏导数存在；(B)连续但偏导数不存在；

(C)不连续但偏导数存在；(D)不连续且偏导数不存在。

2、设"(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

82u八R02"

---*0及——+——=0,

dxdy6x2by2

贝U()

(A)最大值点和最小值点必定都在D的内部；

(B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上；

(C)最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；

(D)最小值点在D的内部，最大值点在D的咨界上。

3^设平面区域D：(X-2)2+(y-l)2<1,若/=ff(x+y)2t/c),I=JJ(x+y)3db

12

DD

则有()

(A)I<1；(B)I=1；(C)I>1；(D)不能比较。

121212

4、设。是由曲面z==1及z=0所围成的空间区域，贝U町2z3dMydz=()

Q

(A)-A-；(B)L(C)—；(D)—o

361362363364

5、设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为尸=3⑺(a<r<P),其中

5/17

(P⑺,w⑺在［a,B］上具有一阶连续导数，且(p，2(O+V，2(O*0,则曲线积分Jf(x,y)ds=

L

()

(A)”/(叭/)州”))力；(B)Ja>((p⑺w⑺)J(p，2(>+W‘2⑴出；

ap

(C)JP/(Cp(0,V(0)W2c力;(D)Ja/((p⑺"⑺)力。

ap

6^设X是取外侧的单位球面X2+y2+Z2=1,则曲面积分

Uxdydz+ydzdx+zdxdy=()

s

(A)0；(B)2n；(C)兀；(D)4K。

7、下列方程中，设是它的解，可以推知y+y也是它的解的方程是()

1212

(A)y'+p(x)y+q(x)=0；(B)y"+p(x)y'+q(x)y=0；

(C)y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)；(D)y"+p(x)y'+q(x)=00

8、设级数》a为一交错级数，则()

n

n=\

(A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若(〃—0),则必收敛。

三、求解下列问题(共计15分)”

1、(8分)求函数a=ln(x+Jy2+£)在点A(0,1,0)沿A指向点B(3,-2,2)

的方向的方向导数。

2、(7分)求函数/(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,y=0,x=0所围成的闭区域D上

的最大值和最小值。

6/17

四、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）计算/二川-------------，其中Q是由x=0,y=0,z=0及％+y+z=所围成的

（l+x+y+z）3

Q

立体域。

2、（8分）设/（x）为连续函数，定义/⑺=JJJ。+/（X2+y2）］dv,

c

*dF

其中Q=[x,y,z)I0Wz«h,x2+y2<t2求——o

dt

五、求解下列问题（15分）

1、（8分）求/=J（exsiny-my）dx+{excosy-m）dy,其中L是从A（a,0）经y=y[ax-x2

L

到O（0,0）的弧。

2、(7分)计算/=0x2dydz+>2dzdx+z2dxdy,其中E是%2+y2=22(。(z«a)

的外侧。

s

7/17

六、(15分)设函数中⑴具有连续的二阶导数，并使曲线积分

J[3cp'(x)-2(p(x)+xe2x]ydx+(p'(x)dy与路径无关，求函数5⑴。

L

高等数学(下册)考试试卷(三)

一、填空题(每小题3分，共计24分)

1、设〃二/"白2由，贝|丝=o

xzh

2、函数〃x,y)=盯+sin(x+2y)在点(0,0)处沿，=(1,2)的方向导数

%=。

dlko,o)

3、设Q为曲面z=1-优—y2,z=0所围成的立体，如果将三重积分/=川/(x,y,z)dv化为先

Q

对z再对了最后对x三次积分，则1=o

4、设/(x,y)为连续函数，见=0f(x,y)dc=___________,其中。：无2+y2W/2。

-0+兀/2

D

5^J(%2+y2)ds=,其中L：X2+>2=。2。

L

6、设Q是一空间有界区域，其边界曲面。。是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Q上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之

间有关系式：，该关系式称为公式。

7、微分方程y"-6y'+9y=X2-6x+9的特解可设为y*=。

8、若级数不(212H发散，则°。

np

n=l

二、选择题(每小题2分，共计16分)

8/17

1、设尸(a,b)存在，则lim"'+羽刀=()

X10X

(A)f'(a,b)；(B)0；(C)2f'(a,b)；(D)-f'(a,b)0

XX2x

2、设名=%，2,结论正确的是()

/八02Z。2名8Z02Z

(A)-------------->0；(B)--------------=0；

dxdydydxdxdydydx

/△、d2zd^z八/Nd2zM

(C)--------------<0；(D)-------------。0。

dxdydydxdxdydydx

3^若/(x,y)为关于x的奇函数，积分域D关于y轴对称，对称部分记为。，。，/(x,y)在D

12

上连续，则JJ/(x,y)do=()

(A)0；(B)20/(羽y)do；(C)4"/(羽y)do；(D)2ff/(x,y)do。

D\fffD\D2

4、设Q：%2+y2+z2«R2,贝Ij+y2)dxdydz=()

Q

OAO1zr

(A)小；(B)K7?5；(C)nR5；(D)n7?5

3315150

5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L,在点(x,y)处的线密度为p(x,y),则曲线弧L的重心

的X坐标x为()

(A)x=—Jxp(x,y)ds；(B)x=—Jxp(x,y)dx；

MLML

(C)x=\xp(x,y)ds；(D)x=—fxds,其中M为曲线弧L的质量。

LML

6、设x为柱面x2+>2=1和％=0,y=0,z=1在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分

7、方程y"-2<=f(x)的特解可设为()

(A)A,若/(x)=1；(B)Ae.r,若/(x)=ex；

(C)A%4++C%2+Dx+E,若/(X)=X2-2x；

(D)x(Asin5x+Bcos5x),若/(x)=sin5x。

9/17

_1—TT<V<0

8、设/(x)=('—,则它的Fourier展开式中的a等于()

10<X<Kn

24

(A)——[1—(—1"]；(B)0；(C)_L；(D)——o

M7C〃兀〃兀

三、(12分)设y=/(xj),/为由方程F(,x,y,t)=0确定的x,y的函数，其中九尸具有一阶

连续偏导数，求%。

四、(8分)在椭圆％2+4y2=4上求一点，使其到直线2x+3y-6=0的距离最短。

五、(8分)求圆柱面12+产=2y被锥面z=7^~^5二和平面％=0割下部分的面积A。

六、(12分)计算/=JJxyzdxdy,其中2为球面％2+户+22=1的20部分

z

的外侧。

七、(10分)设""os=1+sin2%,求/(x)。

6?(cos%)

10/17

八、(10分)将函数/(%)=ln(l+x+x2+%3)展开成九的塞级数。

高等数学(下册)考试试卷(一)参考答案

一、1、当0<〃<1时，0<%2+丁2<1;当。〉1时，%2+)72>1;

2、负号；3、JJdo=\xdy\e+x~ydx\%；4、+\|/力⑺力；

D

5、180K；6、sin—=Cx；

x

7、y=Ccosyjlx+CsinJ2x+C/2%+。；8、1；

1234

二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；

三、1、"=f，+yf，；=xg'(x+xy)；

dx12dy

Cbn.、.、.、.\

2、—=rfr(x-t)；--=f(x+t)+fr(x-t)；

oxot

22y22

四、1、J2dje-ydy=hdyje-ydx=f2ye-ydy=；(1—6—4)；

Ox000

2、/柱畔可?冗12公，2r3a+「冗小j2dJ2r3dz=11兀;

0010。21r23

2

五、令P=—=—则=V，­(0,0)；

X2+y2X2+y2dy(%2+y2)2dx

于是①当L所围成的区域D中不含。(0,0)时，在D内连续。所以由Green公式得:

11/17

1=0；②当L所围成的区域D中含0（0,0）时，丝，丝在D内除0（0,0）外都连续，此时

dydx

作曲线/+为X2+y2=£2（0<£<1）,逆时针方向，并假设。*为L+及/-所围成区域，则

Green公式”(挈——)dxdy+

/=1」+J=J+二2兀

L+/+1+L++Z-i+----------dxdy

N+y2=£2

六、由所给条件易得:

/(0)口…。

/(x)+f(Ax)

---------------------------T\^)

/(.r+Ax)-/(x)1-7(x)/3)

又f'(x)=lim=lim

Axf0AxAx^oAx

1+/2Q)/(A^)-/(0)

=lim=/(0)口+/2(切

Ar->0l-/(x)/(Ax)Ax

即J'（x）=/（0）

1+/2（X）

/.arct，皿)二/(O),x+c即f(x)=tan[r(O)x+c]

又/(O)=0n\\c=kn,kEZ...f(x)=tai/((O)x)

七、令x—2=t,考虑级数不（—1）〃上土

2n+l

n=l

t2n+3

?〃+3

=t2

"1t2n+l

2n+l

.•.当/2<1即H<1时，亦即1<X<3时所给级数绝对收敛;

当卜<1即x>3或x<l时,原级数发散;

当t=-i即x=i时，级数£（-i）.+i—i—收敛;

2〃+1

n=l

当"1即x=3时，级数£（-l）

n—收敛;

2n+l

n=l

12/17

二级数的半径为R=l,收敛区间为[1,3]0

高等数学(下册)考试试卷(二)参考答案

■、1、1；2^-1/6；3、f2dy\y/(x,y}dx+f^dy\2/(x,y}dx；4、—/\0)；

0y/22y/23

5、-8K；6、2(x+y+z);7、y"+y'-2y=0；8、0；

二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；

三、1、函数〃=ln(x+Jy2+")在点A(1,0,1)处可微，且

du

=1/2；

dxA

du_1y।

②Ax+J-2+Z2Jy2+Z25'O'D

%=一J.,z|=1/2

&A%+J-2+Z2Jy2+Z2k。1)

■-221.—►

而/=AHk=(2,-2,1),所以/，故在A点沿；AB方向导数为:

du।dudu।du,

—=——-cosa+----cosp+--cosy

dlUdxAdyUU

12八，2、11…

=­•一+0•(——)+—,—=1/2.

23323

fr=2xy(4—x-y)+xy(-l)=0

2、由＜/〃c、八得D内的驻点为M(2,1),且“2,1)=4,

f=X2(4-x-2y)=0。

y

又/(0,y)=0"(x,0)=0

而当x+y=6,x»0,y20时，f(x,y)=2x3-12x2(0<x<6)

令(2x3—12x21=0得x=0,x=4

12

于是相应y=6,y=2且/(0,6)=0,/(4,2)=—64.

12

/.于(x,y)在D上的最大值为/(2,1)=4,最小值为/(4,2)=-64.

13/17

0<X<1

四、1、。的联立不等式组为Q:

0<z<l-x-y

所以/=』力X/dz

000(l++x+y+z)3

=，Jidx\1-%[

IW

2oo(Z7Z^-4

3-x1ln2-5

)dx=

u4216

2、在柱面坐标系中

F(t)=fOTrfOJ"J”z2+f(r2)]rdz=2K\'[hf{r^r+-h3r]dr

oooo3

所以

1T-111

—=2n[hf(t2)t+-hn]=2兀历"«2)+-h2]

dt33

五、1、连接房',由Gree”公式得:

/J+L-L=1_-L

LOAOAL+OAOA

Gr。。"公式

y-excosy+m)dxdy+0

x2+y2<ax,y>0

1

mna2

8

z=a

2、作辅助曲面E,上侧，则由Gauss公式得:

1[%2+）72«Q2

/=■+[[_□=口」

2Z4£+44

2(x+y+z)dxdydz一

222

X2+y2<z2t0<z<ax+y<a

六、由题意得：3（p\x）-2<p（x）+xe2x=（p\x）

即q"(%)-3(p'(x)+2(p(x)=xe^x

14/17

特征方程「2—3r+2=0,特征根r=1,r=2

12

对应齐次方程的通解为：y=cexe2x

12

又因为九=2是特征根。故其特解可设为：y*=x(Ax+5)62%

代入方程并整理得：A=l,B=—l

2

即y*=；X(X-2)C2X

故所求函数为：(p(x)=Ce%+C02%+1X(X-2)e2x

122

高等数学(下册)考试试卷(三)参考答案

2、\行；3、JidJ"FdyJirf"(x,y,z)dz；

一、1、yey2z2-xex^；

-1-S'l-X20

6、4J(——+-—+——)dv=JjPdydz+Qdzdx+Rdxdy,

4、/(0,0);5、2TCQ3；

dxdydz

c5Q+

GQKSS公式；7、Ax2+Bx+C8、P<0o

二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B

三、由于"y二r(x")dx+/'(%/)力，F'dx+F'dy+F'dt=0

xtxyt

dyf'-F'-f'F'

由上两式消去山，即得:=XttX

dxF,+f,F,